О нижней оценке регулятора прямого произведения почти периодической и периодической последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics // Appl. Math. Vol. 68. N.Y.: SpringerVerlag, 1988.

4. Hale J.K. Asymptotic behaviour of dissipative systems // Math. Surveys Monogr. Vol. 25. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1988.

5. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.

6. Chepyzhov V. V., Vishik M.I. Attractors for equations of mathematical physics // Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. Vol. 49. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002.

7. Горицкий А.Ю., Чепыжов В.В. Свойство дихотомии решений квазилинейных уравнений в задачах об инерци-альных многообразиях // Матем. сб. 2005. 196, № 1. 23-50.

8. Chepyzhov V.V., Goritsky A.Yu, Vishik M.I. Integral manifolds and attractors with exponential rate for nonautonomous hyperbolic equations with dissipation // Russ. J. Math. Phys. 2005. 12, N 1. 17-39.

Поступила в редакцию 23.11.2010

УДК 519.716.35

О НИЖНЕЙ ОЦЕНКЕ РЕГУЛЯТОРА ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ И ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

М. А. Раскин1

В статье доказывается нижняя оценка регулятора почти периодичности произведения почти периодической и периодической последовательностей, которая отличается от ранее известной верхней оценки только множителем в количестве итераций регулятора исходной последовательности.

Ключевые слова: комбинаторика слов, регулятор почти периодичности, произведение последовательностей.

A lower bound is proved for the almost periodicity regulator of an almost periodic sequence coupled with a periodic sequence. This lower bound differs from the known upper bound only in a multiplier in the number of iterations of the regulator of almost periodicity of the original sequence.

Key words: combinatorics on words, almost periodicity regulator, sequence coupling.

Введение. Свойство почти периодичности последовательностей было введено в рассмотрение А. Туэ в начале XX века. Неформально говоря, любое слово, хоть раз встретившееся в почти периодической последовательности, повторяется в ней, причем расстояние между соседними вхождениями ограничено.

В частности, любая периодическая последовательность является почти периодической. Одной из первых последовательностей, при изучении которых использовано понятие почти периодичности, — последовательность Туэ 0110100110010110 .... Ее можно получить, начиная со слова 0 и приписывая бесконечное число раз к очередному слову его образ при замене 1 на 0 и 0 на 1.

Определение. Бесконечная последовательность и символов конечного алфавита £ называется почти периодической, если существует функция l : N ^ N, такая, что для любого u каждое слово длины не более u над алфавитом £ либо не входит в и, либо входит в каждый ее отрезок длины l(u). Минимальная такая функция l называется регулятором почти периодичности последовательности и. Последовательность и называется заключительно почти периодической, если существует число p, такое, что для любого u каждое слово длины не более u над алфавитом £ либо не входит в и правее позиции p, либо входит в каждый ее отрезок длины l(u). Ясно, что регулятор является неубывающей функцией. Бесконечная последовательность и символов конечного алфавита £ называется обобщенно почти периодической, если существует функция l : N ^ N, такая, что для любого u каждое слово длины u над алфавитом £ либо не входит в и после позиции l(u), либо входит в каждый ее отрезок длины l(u).

1 Раскин Михаил Александрович — асп. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Замечания. 1. Очевидно, что существует заключительно почти периодическая последовательность, не являющаяся почти периодической (например, 01111...).

2. Существуют обобщенно почти периодические, но не заключительно почти периодические последовательности [1].

Определение. Произведением последовательностей а = аа ... и b = b\b2 ... называется последовательность пар символов а ® b = (ai, b\)(а2, b2).... Аналогично определяется произведение конечных слов, при этом мы считаем, что произведение двух слов разной длины равно произведению более короткого слова на префикс более длинного слова, имеющий ту же длину, что и более короткое слово.

Будем обозначать через lon(-) функцию, являющуюся n-кратной композицией функции l(-) с собой.

В [2] показано, что если подавать конечному автомату на вход обобщенно почти периодическую последовательность, то на выход он будет выдавать обобщенно почти периодическую последовательность. В [1] доказан аналог этого результата для более узкого класса: показано, что заключительно почти периодические последовательности под действием конечного автомата переходят в заключительно почти периодические. В [3, 2] фактически получена верхняя оценка регулятора конечно-автоматного образа через регулятор исходной последовательности. Но эта оценка очень быстро растет.

Теорема [3, 2]. Если у последовательности регулятор не превосходит G(u) — 1 и автомат имеет n состояний, то у ее образа под действием автомата регулятор не превосходит Gon(u).

В частности, эта оценка имеет место для регулятора произведения заключительно почти периодической последовательности и периодической с периодом n последовательности. Действительно, такая последовательность может быть получена применением автомата с n состояниями к исходной последовательности (автомат переходит по циклу от состояния к состоянию независимо от входных букв).

В данной работе для регулятора произведения периодической последовательности и почти периодической последовательности доказывается нижняя оценка, отличающаяся от верхней только множителем в количестве итераций. При этом регулятор исходной почти периодической последовательности может быть сколь угодно быстро растущей функцией.

Основной результат. Аккуратная формулировка утверждения относительно точности верхней оценки регулятора образа чуть сложнее, чем хотелось бы, а именно простая формулировка могла бы выглядеть следующим образом.

Существуют почти периодическая последовательность A нулей и единиц с некоторым регулятором l(-) и положительная константа а, такие, что произведение A и некоторой периодической последовательности с достаточно большим периодом n имеет регулятор, который для почти всех u (или для бесконечно многих и) превосходит loan(u).

К сожалению, это утверждение не гарантирует, что значения регулятора произведения существенно больше значений регулятора исходной последовательности на многих аргументах. Пусть, скажем, исходная последовательность состоит из одних нулей. Ее регулятор почти периодичности есть тождественная функция, а поэтому для всех u выполнено равенство loan(u) = u. В частности, эта последовательность удовлетворяет рассматриваемому утверждению. Поэтому в формулировку необходимо добавить условие, гарантирующее, что регулятор произведения существенно больше регулятора исходной последовательности, даже если последний быстро растет. Например, можно потребовать, чтобы он был больше, чем max{F,l}oan(u), где F — любая наперед заданная возрастающая функция. Однако добиться, чтобы это неравенство было верным при почти всех значениях аргумента, не удалось. Доказываемое в этой работе утверждение гарантирует, что оно верно лишь для бесконечно многих u.

Теорема. Если задана возрастающая функция натурального аргумента F, то существует почти периодическая последовательность A нулей и единиц со следующими свойством. Для всех n > 100 и бесконечно многих и значение на и регулятора последовательности Сус1еп®^4 превышает max{F, Lзо J (и), где Cyclen обозначает последовательность (k mod n), а l — регулятор последовательности A.

Доказательство. Мы определим последовательность A вместе с числовой последовательностью Rm так, что

1) Rm+1 ^ F(Rm);

2) для регулятора A выполнено неравенство l(Rm) ^ Rm+1;

3) для m > n > 100 значение на Rm регулятора последовательности (k mod n) ® A превышает

Сначала убедимся, что этого будет достаточно для доказательства теоремы. Из первого и второго свойств следует, что Rm+k ^ max{_F, l}ok(Rm). Подставив в это неравенство k = и применив третье свойство последовательностей Rm и A, мы получим утверждение теоремы для u = Rm и произвольного m > n.

Рассмотрим следующие слова из нулей и единиц:

Л = 100000010,

Во — 1000000110, Со — 10000001110, А,-, — А А А В А (В )10&п+1-10с А С С С

Ап+1 - АпАпАпВпАп\Вп) СиАПСПСиС'1

В ,-, — А А А В В (В )10&„+1-10с А С С С

Вп+1 - АпАпАпВпВп\Вп) СпАпСпСпСг*

С ,-, — А А А ВС (В )10&п+1-10 с А С С С

Сп+1 — АпАпАпВпСп\Вп) СпАпСпСпСп

В этих формулах кг — некоторая последовательность натуральных чисел (не равных нулю).

Так как для всех п слово Ап является префиксом Ап+1, то существует последовательность Аш, содержащая все Ап в качестве префиксов. Она и будет искомой последовательностью А. Последовательности кг и Кт мы зафиксируем позднее. А сейчас установим некоторые свойства построенной последовательности Аш.

Определение. Каждое слово с индексом п (А п, Вп или Сп) определено как конкатенация копий слов с индексом п — 1. Разворачивая рекуррентное соотношение, это слово можно представить как конкатенацию копий слов с индексами п — 2, копий слов с индексами п — 3 и так далее. Вхождения копий слов с некоторым индексом в слово с большим индексом, которое можно найти с помощью этого представления, назовем корректными.

Лемма 1. Все вхождения слов Ат, Вт, Ст в А\, В1, С1 корректны.

Доказательство. Утверждение почти очевидно из-за наличия уникальных фрагментов в словах каждого уровня. Доказательство проведем индукцией по т.

База: слова с индексом 0 могут входить только корректно, так как иначе вхождение слова с индексом нуль пересекается с двумя или тремя словами с индексом нуль. Но в начале каждого слова с индексом нуль стоит подслово 100, а оно может входить лишь в той позиции, где начинается одно из вхождений. С другой стороны, ни одно из слов индекса нуль не является началом никакого другого. База индукции доказана.

Индуктивный переход: по предположению индукции любое вхождение слова с индексом т + 1 должно состоять из корректных вхождений слов с индексом т. Но если это вхождение перекрывается с каким-то корректным вхождением, то их начала — единственное место, где стоит АтАтАтВт, — должны быть в одной и той же позиции. Как и в случае с базой индукции, никакое слова с индексом т + 1 не является началом другого слова с индексом т + 1. Лемма 1 доказана.

п

Лемма 2. Длина слова Вп вычисляется по формуле \Вп\ — Ьп — 10п+1 П кг- Кроме того, \Ап\ —

г=1

\Вп\ — 1 и \Сп\ — \Вп\ + 1-

Доказательство. Проверим это по индукции. При п — 0 утверждение очевидно.

п

Индуктивный переход: Вп+1 является конкатенацией 10кп+1 — 8 слов длины 10п+1 П кг, а также 4

г=1

слов длины на единицу меньше и 4 слов длины на единицу больше. В сумме получаем как раз в 10кп+1 раз больше, чем на предыдущем шаге, что и требовалось.

Слова Ап+1 и Сп+1 отличаются от Вп+1 только заменой одного слова в конкатенации на слово, которое на один символ короче или длиннее соответственно.

Лемма 3. В любом слове с индексом п + т слово Ап входит начиная с позиций, дающих все остатки от —т до 0 по модулю Ьп (и, возможно, другие). При этом никакое слово с индексом п не входит ни в какое слово с индексом п + т начиная с позиций с остатками по модулю Ьп, не лежащими от —4т до 0 (данное утверждение нетривиально только при Ьп > 4т).

Доказательство. Докажем индукцией по т. База т — 1 очевидна — достаточно рассмотреть первое и второе вхождения Ап. Легко посчитать остатки позиций, на которых в Ап+1 входят Ап, Вп, Сп, так как все вхождения корректны.

Пусть для т — I это верно. Рассмотрим теперь т — I + 1, и пусть дано любое слово с индексом п +1 + 1. Сначала докажем первое утверждение. По предположению индукции в данном слове есть вхождение

Ап+1 на позиции с остатком —I по модулю Ьп+1, а значит, и по модулю Ьп, так как Ьп+1 . Ьп. Это вхождение Ап+1 начинается с вхождения Ап; так мы получим вхождение Ап с остатком —I по модулю Ьп. Аналогичным образом доказывается существование вхождений Ап с остатками от —I + 1 до 0 по модулю Ьп. Остаток —I — 1 даст второе вхождение Ап во вхождение Ап+1, начинающееся с позиции с остатком —I по модулю Ьп.

Перейдем к доказательству второго утверждения. По предположению индукции в данном слове все вхождения слов с индексом п + 1 имеют начальные позиции с остатками от —41 до 0 по модулю Ьп+\ (а значит, и по модулю Ьп). Рассмотрим отдельно любое из таких вхождений. Остатки от деления на Ьп позиций вхождений слов с индексом п в слово с индексом п + 1 относительно его начала лежат от —4 до 0, а само начало по предположению индукции имеет позицию с остатком от —41 до 0 при делении на Ьп. Складывая остатки, получаем второе утверждение леммы.

Лемма 4. Пусть кп . п и в > п > 100. Тогда регулятор последовательности Аш ® Сус1еп на Ь3 принимает значение не менее Более того, регулятор любого суффикса Аш ® Сус1еп обладает,

этим свойством.

Доказательство. Заметим, что Ьт . п при т ^ п, и остаток от деления позиции на п можно считать остатком от деления на п остатка от деления на Ьт.

Рассмотрим произвольное N > п + в. По лемме 3 в слове АN есть вхождения А3, начинающиеся с позиций, дающих все возможные остатки от деления на п, так как разность N — в не меньше п. В частности, там есть и вхождение А3 с остатком [п/2\ по модулю п. Заметим, что Аш содержит бесконечно много непересекающихся вхождений AN. Поэтому любой суффикс последовательности Аш ® Сус1еп содержит вхождение произведения слова А3 и слова

[—п/2\, [—п/2\ +1,..., —1, 0,1,... , [п/2\ — 1.

Чтобы завершить доказательство первого утверждения леммы 4, покажем, что некоторое подслово длины в Аш ® Сус1еп не содержит вхождений рассматриваемого произведения. Таким подсловом

__ш

ю

будет, например, начало этого слова длины Ь и:. Действительно, нетрудно убедиться, что при п > 100 выполнено неравенство IА п 11 > Ь п_|. Поэтому рассматриваемое начало является префиксом произведения и начала последовательности Сус1еп подходящей длины. По лемме 3 слово

может содержать только вхождения А3, начинающиеся с позиций —4 ,..., 0 по модулю п. Поскольку 4 < \_п/2\, среди этих остатков отсутствует \_п/2\.

Для доказательства второго утверждения леммы 4 осталось заметить, что слово Аш содержит бесконечно много вхождений слова , начинающихся в позициях, кратных п (опять же по лемме 3).

Лемма 4 устанавливает нужную нижнюю оценку регулятора последовательности Аш ® Сус1еп. Осталось получить верхнюю оценку регулятора самой последовательности Аш.

Лемма 5. Любое слово, которое является подсловом двух слов с индексом п, входит в каждое слово с индексом, п + 2.

Доказательство. Заметим, что любая комбинация рядом стоящих слов с индексом п встречается хотя бы в одном из слов уровня п +1. В каждом из слов Ап+2, Вп+2 и Сп+2 встречается каждое из слов предыдущего уровня, что и требовалось.

Лемма 6. Регулятор последовательности Аш можно оценить следующим образом,:

^ К^п) ^ 2Ьп+2 + 1 ^ ¿га+3-

Доказательство. Первое неравенство: левая половина слова Ап+1 не содержит Сп, хотя все слово Ап+1 содержит Сп и встречается в последовательности бесконечно много раз.

Второе неравенство: любой участок длины 2Ьп+2 + 1 содержит целиком хотя бы одно слово уровня п + 2. Такое слово, как уже доказано, содержит любое слово, которое можно покрыть двумя непересекающимися словами с индексом п (а участок длины Ьп не может пересекаться сразу с тремя вхождениями слов с индексом п).

Закончим построение искомых последовательностей А и Я. Пусть задана функция Р. Построим последовательность кп по формулам к1 = 3Р(1), кп+1 = 3(п + 1)Р(Ьп). В качестве Ят возьмем Ят = Ь-3т, а в качестве А — последовательность Аш. Проверим выполнение условий теоремы: Ят+1 = Ь%т+3 > 1^зт+1 > Р(¿эт) = Р(Ят), регулятор последовательности Аш на Ят принимает значение не более Ят+1, а при т > п регулятор последовательности Аш ® Сус1еп на Ят принимает значение, превосходящее

ЬЗш+[^\ > ЧТ° И ТРеб0ВаЛ0СЬ'

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Притыкин Ю.Л. Конечно-автоматные преобразования строго почти периодических последовательностей // Ма-тем. заметки. 2006. 80, № 5. 751-756.

2. Muchnik An., Semenov A., Ushakov M. Almost periodic sequences // Theor. Comp. Sci. 2003. 304. 1-33.

3. Притыкин Ю.Л. Почти периодичность, конечно-автоматные преобразования и вопросы эффективности // Изв. вузов. Математика. 2010. 1. 74-87.

Поступила в редакцию 27.09.2010

УДК 511

О КВАНДЛАХ С ДВУМЯ ОПЕРАЦИЯМИ

Д. А. Федосеев1

В статье рассматриваются виртуальные квандлы с двумя операциями и связанные с ними инварианты длинных виртуальных узлов. Выполняется построение одного из инвариантов и приводится пример доказательства неэквивалентности двух узлов при помощи этого инварианта.

Ключевые слова: квандл, дистрибутивный группоид, квандл с двумя операциями, длинный виртуальный узел, виртуальный трилистник, инвариант раскрасок.

Virtual quandles with two operations and the corresponding invariants of long virtual knots are discussed. A certain knot invariant is constructed and an example of proof of unequivalency of two knots is presented.

Key words: quandle, distributive grouppoid, biquandle, long virtual knot, virtual trefoil, colourings invariant.

1. Введение. В теории узлов хорошо известна конструкция так называемого дистрибутивного группоида (квандла), позволяющая строить точные инварианты узлов. Напомним, следуя [1], как выполняется построение этого объекта.

Пусть дано конечное множество цветов Г, снабженное операцией о : Г х Г —> Г.

Определение 1. Правильная раскраска диаграммы D ориентированного узла (зацепления) K — это такое сопоставление дугам диаграммы элементов множества Г, что для каждого ее перекрестка переход (имеющий некоторый цвет b), дуга прохода, лежащая справа (имеющая цвет a), и дуга прохода, лежащая слева (цвет с), удовлетворяют соотношению a о b = c.

Заметим здесь, что нам не важна ориентация дуг, которым сопоставлены цвета a и c. Под дугой мы понимаем часть диаграммы от одного прохода до другого.

Наложим теперь на операцию о некоторые условия, выполнение которых будет гарантировать инвариантность количества правильных раскрасок диаграммы относительно движений Рейдемейстера. Непосредственная проверка показывает, что они имеют следующий вид:

a о a = a, У a & Г для инвариантности относительно Qi;

уравнение x о a = b У a, b & Г должно иметь в точности одно решение x & Г, обозначаемое через b/a, для инвариантности относительно Q2;

(a о b) о c = (a о c) о (b о c), У a, b,c & Г для инвариантности относительно Q3.

Всякое множество, снабженное операцией о, удовлетворяющей указанным выше свойствам, называется дистрибутивным группоидом. Из построения следует

Предложение 1. Количество правильных раскрасок элементами фиксированного конечного дистрибутивного группоида является инвариантном узлов (зацеплений).

Заметим далее, что имеется и общий способ задания дистрибутивного группоида при помощи образующих и соотношений. Пусть A — алфавит, иными словами, множество букв. Словом в алфавите A назовем произвольную последовательность, состоящую из букв этого алфавита, а также символов о и /. Определим теперь множество D(A) допустимых слов согласно следующим правилам:

1) всякая буква алфавита A есть допустимое слово;

2) если слова Wi и W2 допустимы, то слова (Wi) о (W2) и (Wi)/(W2) допустимы;

3) иных допустимых слов не существует.

1 Федосеев Денис Александрович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].