Оценки, связанные с теоремой Ширшова о высоте Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 15 Выпуск 4 (2014)

УДК 512.5+512.64+519.1

ОЦЕНКИ, СВЯЗАННЫЕ С ТЕОРЕМОЙ ШИРШОВА О ВЫСОТЕ1

М. И. Харитонов (г. Москва)

Работа посвящена 80-летию профессора В. Н. Латышева

Аннотация

Работа посвящена получению оценок в теореме Ширшова о высоте. Слово Ш называется п-разбиваемым, если его можно представить в виде Ш = Ш0Ш1 ■ ■ ■ Шп где подслова Ш1,..., Шп идут в порядке лексикографического убывания. Из не п-разбиваемых слов состоит базис алгебры с тождеством степени п. А. И. Ширшов показал, что множество слов, не являющихся п-разбиваемыми, над алфавитом из I букв имеет ограниченную высоту Н над У - множеством слов степени не выше п — 1. Мы показываем, что Н < Ф(п,1), где

Ф(п,1) = 2961 ■ п121о§з га+36^з п+91.

Пусть I, п и й ^ п - некоторые натуральные числа. Тогда все слова над 1-буквенном алфавитом длины больше, чем Ф(п, й, I), либо содержат хл, либо являются п-разбиваемыми, где

Ъ(п,й,1) = 227г(пй)31о§з("^+91оёз 1о§з МН36.

В 1993 году Е. И. Зельманов поставил следующий вопрос в Днестровской тетради:

"Пусть - свободное 2-порожденное ассоциативное кольцо с тождеством хт = 0. Верно ли, что класс нильпотентности кольца растет экспоненциально по т?"

В работе показано, что в 1-порожденной ассоциативной алгебре с тождеством ха = 0 класс нильпотентности меньше, чем Ф(й,й,1). Тем самым получаются субэкспоненциальные оценки на индекс нильпотентности ниль-алгебр для произвольной характеристики.

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке фонда Дмитрия Зимина "Династия" и фонда О.В. Дерипаски; исследование поддержано грантом РФФИ № 14-01-00548.

Изначальная оценка высоты у Ширшова носила рекурсивный характер, в 1982 году была получена двойная экспонента, в 1992 году - экспоненциальная оценка.

Доказательство использует идею В. Н. Латышева, связанную с применением теоремы Дилуорса к исследованию не n-разбиваемых слов. Нам представляется, что теорема о высоте имеет глубокую связь с задачами современной комбинаторики, в частности, Рамсеевского типа. С помощью такого рода соображений получаются верхние и нижние оценки количества периодов длины 2, 3, (n — 1) в не n-разбиваемом слове, отличающиеся только постоянным множителем.

Ключевые слова: Теорема Ширшова о высоте, комбинаторика слов, n-разбиваемый, теорема Дилуорса, проблемы Бернсайдовского типа, теория Рамсея.

Библиография: 79 названий.

ESTIMATES IN SHIRSHOV HEIGHT THEOREM

M. I. Kharitonov

Abstract

The paper is devoted to subexponential estimations in Shirshov's Height theorem. A word W is n-divisible, if it can be represented in the following form: W = W0Wi • • • Wn such that Wi - W2 - ••• - Wn. If an affine algebra A satisfies polynomial identity of degree n then A is spanned by non n-divisible words of generators ai — • • • — al. A. I. Shirshov proved that the set of non n-divisible words over alphabet of cardinality l has bounded height h over the set Y consisting of all the words of degree ^ n — 1. We show, that h < Ф(п, l), where

Ф(п,,1) = 296l • ni21og3n+361o§3 logsn+9i.

Let l, n и d ^ n be positive integers. Then all the words over alphabet of cardinality l which length is greater than Ф(n,d,l) are either n-divisible or contain d-th power of subword, where

Ф(n,d,l) = 227l(nd)31og3(nd)+91ogs 1ogs (nd)+36.

In 1993 E. I. Zelmanov asked the following question in Dniester Notebook:

"Suppose that F2,m is a 2-generated associative ring with the identity xm = 0. Is it true, that the nilpotency degree of F2,m has exponential growth?"

We give the definitive answer to E. I. Zelmanov by this result. We show that the nilpotency degree of l-generated associative algebra with the identity xd = 0 is smaller than Ф(d,d,l). This imply subexponential estimations on the nilpotency index of nil-algebras of an arbitrary characteristics.

Original Shirshov's estimation was just recursive, in 1982 double exponent was obtained, an exponential estimation was obtained in 1992.

Our proof uses Latyshev idea of Dilworth theorem application. We think that Shirshov's height theorem is deeply connected to problems of modern combinatorics. In particular this theorem is related to the Ramsey theory. We obtain lower and upper estimates of the number of periods of length 2, 3, (n-1) in some non n-divisible word. These estimates are differ only by a constant.

Keywords: Height theorem, combinatorics on words, n-divisibility, Dilworth theorem, Burnside type problems.

Bibliography: 79 titles

1. Проблемы Бернсайдовского типа и тождества в теории колец

1.1. Теория колец в контексте проблематики Бернсайдовского типа

Дальнейшее развитие теории периодических групп требует решения следующей проблемы, поставленной Бернсайдом:

Проблема 1 ([1]). Будет ли конечной всякая периодическая конечно порождённая группа?

Первоначальные усилия были направлены в сторону положительного решения проблемы, так как все известные частные случаи давали позитивный ответ. Например, если группа порождена m элементами и порядок каждого ее элемента является делителем числа 4, она конечна. Первый контрпример к "неограниченной" проблеме был найден Е. С. Голодом в 1964 году на основе универсальной конструкции Голода-Шафаревича. Вопрос о локальной конечности групп с тождеством xn = 1 был решен отрицательно в знаменитых работах П. С. Новикова и С. И. Адяна (1968): было доказано существование для любого нечетного n ^ 4381 бесконечной группы с m > 1 образующими, удовлетворяющей тождеству xn = 1. Эта оценка была улучшена до n ^ 665 С. И. Адяном (1975). Позднее А. Ю. Ольшанский предложил геометрически наглядный вариант доказательства для нечетных n > 1010.

Построения в полугруппах, как правило, проще, чем в группах. Например, вопрос о существовании конечно порожденной ниль-полугруппы, то есть полугруппы, каждый элемент которой в некоторой степени обращается в нуль, имеет тривиальный положительный ответ: уже в алфавите из двух букв имеются слова сколь угодно большой длины, не содержащие трех подряд одинаковых подслов (кубов). Этот факт был независимо доказан А. Туэ ([72]) и М. Морсом

([73]).

Теорема 1 (Морс-Туэ). Пусть X = {a,b}, X* — множество слов над алфавитом X, подстановка ф задана соотношениями ф(а) = ab, ф(Ь) = ba. Тогда если слово w Е X* — бескубное, то и ф('ш) — бескубное.

В дальнейшем этот результат был усилен Туэ:

Теорема 2 (Туэ-1, [72]). Пусть X = {а,Ь,е}, X* — множество слов над алфавитом X, подстановка ф задана соотношениями ф(а) = аЬсаЬ, ф(Ь) = асаЬсЬ, ф(с) = асЬсасЬ. Тогда если слово т Е X* — бесквадратмое, то и ф(т) — бесквадратное.

Теорема 3 (Туэ-2). Пусть Ь и N — алфавиты, N * — .множество слов над алфавитом N, для подстановки ф : Ь ^ N * выполнены следующие условия:

1. если длина т не больше 3, 'то ф(т) — бесквадратное;

2. если а, Ь — буквы алфавита Ь, а ф(а) — подслово ф(Ь), то а = Ь. Тогда если слово т Е Ь* — бесквадратное, то и ф(т) — бесквадратное.

Полное алгоритмическое описание бесквадратных подстановок было впервые получено Дж. Берстелем ([74, 75]). В дальнейшем Крошмором было предложено следующее описание:

Теорема 4 (Крошмор, [76]). Пусть Ь и N — алфавиты, N * — множество слов над алфавитом N, ф : Ь ^ N * — подстановка, М — наибольший размер образа буквы алфавита Ь при подстановке ф, т — наименьший размер образа буквы Ь при той же подстановке, к = тах{3,1 + [(М — 3)/т]}. Тогда подстановка ф — бесквадратная в том и только в том случае, когда для любого бесквадратного слова т длины ^ к слово ф(т) будет бесквадратным.

Обзор проблем Бернсайдовского типа в теории колец проведен в монографии М. Сапира ([58]) и статье А. Я. Белова ([41]).

Проблема Бернсайда для ассоциативных алгебр была сформулирована А. Г. Курошем в тридцатых годах двадцатого века:

Вопрос 1. Пусть все 1-порождённые подалгебры конечно порождённой ассоциативной алгебры А конечномерны. Будет ли А конечномерна?

PROPOSITION 1. Пусть А — ассоциативная К-алгебра, К — коммутативное кольцо, а Е А. Подалгебра, порождённая а, конечномерна тогда и только тогда, когда а — алгебраический элемент.

Отрицательный ответ был получен Е. С. Голодом в 1964 году более сложным способом, чем в случае полугрупп. Например, в полугрупповом случае найдется 3-порожденная бесконечная полугруппа, удовлетворяющая тождеству х2 = 0. Для ассоциативных алгебр над полем характеристики ^ 3 это невозможно.

Определение 1. Классом нильпотентности, индексом нильпотентности или ниль-индексом ассоциативной алгебры А называется минимальное натуральное число п такое, 'что Ап = 0.

Теорема 5 (Курош, [2]). Любая удовлетворяющая тождеству х2 = 0 алгебра над полем характеристики ^ 3 или 0 является нильпотентной класса 3. Любая нильпотентная конечно порождённая алгебра конечномерна.

Определение 2. Индексом алгебраической алгебры А называется супремум степеней минимальных аннулирующих многочленов элементов А.

В 1941 году Курош в работе [2] сформулировал проблему Бернсайда алгебр конечного индекса:

Вопрос 2. 1. Верно ли, 'что конечно порождённая ниль-алгебра конечного ниль-индекса нильпотента?

2. Верно ли, что конечно порождённая алгебра конечного индекса конечномерна?

В 1946 году И. Капланский [3] и Д. Левицкий [4] ответили на эти вопросы положительным образом для алгебр с допустимым полиномиальным тождеством, где полиномиальное тождество называется допустимым, если один из его коэффициентов не равен 1. Заметим, что в случае ассоциативных алгебр над полями любое полиномиальное тождество является допустимым.

В 1948 году И. Капланский отказался от условия конечности индекса:

Теорема 6 (Капланский, [71]). Любая конечно порождённая алгебраическая алгебра над коммутаитвным кольцом, удовлетворяющая допустимому полиномиальному тождеству, конечномерна.

Доказательства в работах [3] и [4] были проведены структурными методами. Заметим, что структурная теория, развитая в работах Ш. Амицура, И. Каплан-ского и др., позволила решить ряд классических проблем и служит основой для дальнейших исследований. Обычная схема структурных рассуждений состояла в исследовании полупростой части (матриц над телами) и редукции к полупростой ситуации путем факторизации по радикалу. Несмотря на свою эффективность, рассуждения такого рода не являются конструктивными. Кроме того, доказательства, которые получаются с помощью структурной теории, не дают понимания происходящего "на микроуровне", т. е. на уровне слов и соотношений между ними.

В 1958 году А. И. Ширшов доказал свою знаменитую теорему о высоте чисто комбинаторными методами [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]. Из теоремы Ширшова о высоте следует решение проблемы Куроша для ассоциативных Р1-алгебр в усиленной форме, т.е. требование алгебраичности алгебры заменяется на требование алгебраичности слов от порождающих длины менее степени тождества в алгебре, а требование конечности отбрасывается. Таким образом, результат А. И. Ширшова есть улучшение теоремы 6.

Теорема 7 (Ширшов, [8, 9]). Пусть А = (X) — конечно порождённая ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом, удовлетворяющая допустимому полиномиальному тождеству степени п. Тогда найдётся число Н, зависящее только от \Х\ и п такое, 'что каждый элемент а Е А .может, быть представлен как линейная комбинация слов вида ь^1 • • • ь^1, где Л, ^ Н, а длина каждого слова ьг меньше п.

Если в ассоциативной алгебре есть допустимое полиномиальное тождество, то есть и допустимое полилинейное тождество той же или меньшей степени. Доказательство этого факта можно найти в обзоре [40].

Пусть f = 0 — допустимое полилинейное тождество степени п. Тогда каждый моном f является произведением переменных в некотором порядке (каждая переменная встречается в точности один раз в каждом мономе). Таким образом, все мономы f получаются из Х\Х2 • • • Хп путем перестановки переменных. Следовательно, каждое допустимое полилинейное тождество имеет форму

где Бп — группа всех перестановок множества {1,... ,п}, а один из коэффициентов аа равен 1.

Это тождество после переименования переменных может быть представлено в форме

Таким образом, каждое произведение щпъ • • • ип элементов алгебры А есть линейная комбинация перестановок этого произведения. Пусть на словах из X* задан некоторый частичный порядок. Рассмотрим подмножесво, получающихся из X* выбрасыванием слов, представимых в виде линейной комбинации меньших слов. Получаем, что теорему 7 можно доказывать только для этого подмножества. Таким образом доказательство теоремы 7 сводится к чистой комбинаторике.

Заметим, что верно и утверждение, обратное теоремам 6 и 7.

Известно, что в каждой ассоциативной алгебре размерности п над коммутативным кольцом выполняется так называемое стандартное тождество Бп+1(Х1, . . . ,Хп+\) = 0, где Бп(х1, ... ,Хп)= —1)аХа(1)Ха(2)Ха(п), Бп — группа

Предложение 1. Любая конечномерная алгебра является конечно порождённой, алгебраичной и удовлетворяет допустимому полилинейному тождеству.

Определение 3. СК(А) — размерность Гельфанда-Кириллова алгебры А — определяется по правилу

„т/, ,. 1пУл(и)

СК(А) = 11ш 1 Л . ',

1п(п)

где Ул(и) есть функция роста алгебры А, т.е. размерность векторного пространства, порождённого словами степени не выше п от образующих А.

Следствие 1 (Веге1е). Пусть А — конечно порождённая Pl-алгебра. Тогда СК(А) < то.

Обозначения 1. Обозначим как deg(A) степень алгебры, т.е. минимальную степень тождества, которое в ней выполняется. Через Pid(A) обозначим сложность алгебры А, т.е. максимальное к такое, что Мк — алгебра матриц размера к — принадлежит многообразию Уаг(А), порождённому алгеброй А.

Введем понятие высоты, частный случай которого использовался в теореме

7.

Определение 4. Назовём множество М С X* множеством ограниченной высоты к = И1у(А) над множеством слов У = {и1,и2,...}, если к — минимальное число такое, что любое слово и ЕМ либо п-разбиваемо, либо пред-ставимо в виде и = ик1 ик2 ■ ■ ■ икг, где г ^ к.

Л у2 уг 7 ^

Определение 5. Назовём Р1-алгебру А алгеброй ограниченной высоты к = И1у(А) над множеством слов У = {и1,и2,...}, если к — минимальное число такое, что любое слово х из А можно представить в виде

к(г,1) ик(г,2) .^Гг)

Л(г,1) %,2) а3(1,гг) '

х = ^^ агиЛ(' 1 и'Л('. • • • иЛ(

причем {гг} не превосходят к. Множество У называется базисом Ширшова или з-базисом для алгебры А.

Вместо понятия высоты иногда удобнее пользоваться близким понятием существенной высоты.

Определение 6. Алгебра А имеет существенную высоту к = НЕзз(А) над конечным множеством У, называемым з-базисом алгебры А, если можно выбрать такое конечное множество Б С А, что А линейно представима элементами вида ¿1 • ... • где I ^ 2к + 1, и Уг(и Е Б V и = укг; уг Е У), причем множество таких г, что Е Б, содержит не более к элементов. Аналогично определяется существенная высота множества слов.

Говоря неформально, любое длинное слово есть произведение периодических частей и "прокладок" ограниченной длины. Существенная высота есть число таких периодических кусков, а обычная еще учитывает "прокладки".

В связи с теоремой о высоте возникли следующие вопросы:

1. На какие классы колец можно распространить теорему о высоте?

2. Над какими Y алгебра A имеет ограниченную высоту? В частности, какие наборы слов можно взять в качестве {v¿}?

3. Как устроен вектор степеней (ki,..., kh)? Прежде всего: какие множества компонент этого вектора являются существенными, т.е. какие наборы ki могут быть одновременно неограниченными? Какова существенная высота? Верно ли, что множество векторов степеней обладает теми или иными свойствами регулярности?

4. Как оценить высоту?

Перейдем к обсуждению поставленных вопросов.

1.2. Неассоциативные обобщения

Теорема о высоте была распространена на некоторые классы колец, близких к ассоциативным. С. В. Пчелинцев [15] доказал ее для альтернативного и (—1,1) случаев, С. П. Мищенко [16] получил аналог теоремы о высоте для алгебр Ли с разреженным тождеством. В работе автора [17] теорема о высоте была доказана для некоторого класса колец, асимптотически близких к ассоциативным, куда входят, в частности, альтернативные и йордановы PI-алгебры.

1.3. Базисы Ширшова

Теорема 8 (А. Я. Белов). а) Пусть A — градуированная PI-алгебра, Y — конечное множество однородных элементов. Тогда если при всех n алгебра A/Y(n) нильпотентна, 'то Y есть s-базис A. Если при этом Y порождает A как алгебру, то Y — базис Ширшова алгебры A.

б) Пусть A — PI-алгебра, M Ç A — некоторое курошево подмножество в A. Тогда M — s-базис алгебры A.

Y (n) обозначает идеал, порожденный n-ыми степенями элементов из Y. Множество M С A называется курошевым, если любая проекция п : A ® К [X] ^ A, в которой образ п(М) цел над п(К[X]), конечномерна над п(К[X]). Мотивировкой этого понятия служит следующий пример. Пусть A = Q[x, 1/x]. Любая проекция п такая, что п(х) алгебраичен, имеет конечномерный образ. Однако множество {х} не является s-базисом алгебры Q[x, 1/х]. Таким образом, ограниченность существенной высоты есть некоммутативное обобщение свойства целости.

Описание базисов Ширшова, состоящих из слов, заключено в следующей теореме:

Теорема 9 ([13, 18]). Множество слов У является базисом Ширшова алгебры А тогда и только тогда, когда для любого слова и длины не выше т = Иё(А) — сложности алгебры А — .множество У содержит слово, циклически сопряженное к некоторой степени слова и.

Аналогичный результат был независимо получен Г. П. Чекану и В. Дренски. Вопросы, связанные с локальной конечностью алгебр, с алгебраическими множествами слов степени не выше сложности алгебры, исследовались в работах [14, 19, 20, 21, 22, 23, 24]. В этих же работах обсуждались вопросы, связанные с обобщением теоремы о независимости.

1.4. Существенная высота

Ясно, что размерность Гельфанда-Кириллова оценивается существенной высотой и что з-базис является базисом Ширшова тогда и только тогда, когда он порождает А как алгебру. В представимом случае имеет место и обратное утверждение.

Теорема 10 (А. Я. Белов, [13]). Пусть А — конечно порождённая пред-стлвимая алгебра и пусть НЕззУ(А) < то. Тогда НЕззУ(А) = ОК(А).

Следствие 2 (В. Т. Марков). Размерность Гельфанда-Кириллова конечно порожденной представимой алгебры есть целое число.

Следствие 3. Если ИЕззУ(А) < то и алгебра А предстлвима, то ИЕззУ(А) не зависит от выбора з-базиса У.

В этом случае размерность Гельфанда-Кириллова также равна существенной высоте в силу локальной представимости относительно свободных алгебр.

1.5. Строение векторов степеней

Хотя в представимом случае размерность Гельфанда-Кириллова и существенная высота ведут себя хорошо, тем не менее даже тогда множество векторов степеней может быть устроено плохо — а именно, может быть дополнением к множеству решений системы экспоненциально-полиномиальных диофантовых уравнений [13]. Вот почему существует пример представимой алгебры с трансцендентным рядом Гильберта. Однако для относительно свободной алгебры ряд Гильберта рационален [25].

1.6. п-разбиваемость, обструкции и теорема Дилуорса

Значение понятия п-разбиваемости выходит за рамки проблематики, относящейся к проблемам бернсайдовского типа. Оно играет роль и при изучении полилинейных слов, в оценке их количества, где полилинейным называется слово, в которое каждая буква входит не более одного раз. В. Н. Латышев

применил теорему Дилуорса для получения оценки числа не являющихся т-разбиваемыми полилинейных слов степени п над алфавитом {а-\_,... ,ап} (см. [53]). Эта оценка: (т — 1)2п и она близка к реальности. Напомним эту теорему.

Теорема 11 (Дилуорс, [5]). Пусть п — наибольшее количество элементов антицепи данного конечного частично упорядоченного множества М. Тогда М можно разбить на п попарно непересекающихся цепей.

Рассмотрим полилинейное слово Ш из п букв. Положим аг У а^, если г > ] и буква аг стоит в слове Ш правее а^. Условие не т-разбиваемости означает отсутствие антицепи из т элементов. Тогда по теореме Дилуорса все позиции (и, соответственно, буквы аг) разбиваются на (т— 1) цепь. Сопоставим каждой цепи свой цвет. Тогда раскраска позиций и раскраска букв однозначно определяет слово Ш. А число таких раскрасок не превосходит (т — 1)п х (т — 1)п = (т — 1)2п. Улучшение этой оценки и другие вопросы, связанные с полилинейными словами, рассматриваются в главе 5.

В. Н. Латышев ([53]) с помощью приведенных оценок провел прозрачное доказательство теоремы Регева:

Теорема 12 (Регев, [66]). Если алгебры А и В удовлетворяют полиномиальному тождеству, 'то алгебра А В также удовлетворяет полиномиальному тождеству.

Вопросы, связанные с перечислением полилинейных слов, не являющихся п-разбиваемыми, имеют самостоятельный интерес. (Например, существует би-екция между не 3-разбиваемыми словами и числами Каталана.) С одной стороны, это чисто комбинаторная задача, с другой стороны, она связана с рядом коразмерностей для алгебры общих матриц. Исследование полилинейных слов представляется чрезвычайно важным.

В 1950 году Шпехт ([57]) поставил проблему существования бесконечно базируемого многообразия ассоциативных алгебр над полем характеристики 0. Решение проблемы Шпехта для нематричного случая представлено в докторской диссертации В. Н. Латышева [54]. Рассуждения В. Н. Латышева основывались на применении техники частично упорядоченных множеств. А. Р. Кемер ([51] доказал, что каждое многообразие ассоциативных алгебр конечно базируемо, тем самым решив проблему Шпехта.

Первые примеры бесконечно базируемых ассоциативных колец были получены А. Я. Беловым ([46]), А. В. Гришиным ([50]) и В. В. Щиголевым ([56]).

Введем теперь некоторый порядок на словах алгебры над полем. Назовем обструкцией полилинейное слово, которое

• является уменьшаемым (т. е. является комбинацией меньших слов);

• не имеет уменьшаемых подслов;

• не является изотонным образом уменьшаемого слова меньшей длины.

В. Н. Латышев ([27]) поставил проблему конечной базируемости множества старших полилинейных слов для Т-идеала относительно взятия надслов и изо-тонных подстановок.

Вопрос 1 (Латышев). Верно ли, что количество обструкций для полилинейного Т-идеала конечно?

Из проблемы Латышева вытекает полилинейный случай проблемы конечной базируемости для алгебр над полем конечной характеристики. Наиболее важной обструкцией является обструкция ХпХп-1 ...Х1, ее изотонные образы составляют множество не п-разбиваемых слов.

В связи с этими вопросами возникает проблема:

Вопрос 2. Перечислить количество полилинейных слов, отвечающих данному конечному набору обструкций. Доказать элементарность соответствующей производящей функции.

Также имеется тесная связь с проблемой слабой нетеровости групповой алгебры бесконечной финитарной симметрической группы над полем положительной характеристики (для нулевой характеристики это было установлено А. За-лесским). Для решения проблемы Латышева надо уметь переводить свойства Т-идеалов на язык полилинейных слов. В работах [13, 17] была предпринята попытка осуществить программу перевода структурных свойств алгебр на язык комбинаторики слов. На язык полилинейных слов такой перевод осуществить проще, в дальнейшем можно получить информацию и о словах общего вида.

В работе техника В. Н. Латышева переносится на неполилинейный случай, что позволяет получить субэкспоненциальную оценку в теореме Ширшова о высоте. Г. Р. Челноков предложил идею этого переноса в 1996 году.

1.7. Оценки высоты

Первоначальное доказательство А. И. Ширшова хотя и было чисто комбинаторным (оно основывалось на технике элиминации, развитой им в алгебрах Ли, в частности, в доказательстве теоремы о свободе), однако оно давало только упрощенные рекурсивные оценки. Позднее А. Т. Колотов [28] получил оценку на Ш(А) ^ I1" (Здесь и далее: п = deg(A), I — число образующих). А. Я. Белов в работе [30] показал, что Ш(п,/) < 2п/п+1. Экспоненциальная оценка теоремы Ширшова о высоте изложена также в работах [18, 31, 32]. Данные оценки улучшались в работах А. Клейна [34, 35]. В 2001 году Е. С. Чибриков в работе [43] доказал, что Ш(4,/) ^ (7к2 — 2к). Верхние и нижние оценки на структуру кусочной периодичности, полученные М. И. Харитоновым в работах [44, 32], изложены в главе 4.

В работе [61] рассматривается связь между высотой конечных и бесконечных полей одинаковой характеристики. Пусть А — ассоциативная алгебра надо конечным полем Е из д элементов и тождеством степени п. Тогда доказано, что

если д ^ п, то индекс нильпотентности алгебры будем таким же, что и в случае бесконечного поля. Если же д = п — 1, то индексы нильпотентности в случае поля Е и бесконечного поля отличается не более, чем на 1.

В 2011 году А. А. Лопатин [42] получил следующий результат:

Теорема 13. Пусть Сп,1 — степень нильпотентности свободной ¡-порождённой алгебры и удовлетворяющей тождеству хп = 0. Пусть р — характеристика базового поля алгебры — больше чем п/2. Тогда

(1): Сп,1 < 4 • 2п/21.

По определению Сп,1 ^ ^(п,п,1).

Заметим, что для малых п оценка (1) меньше, чем полученная в данной работе оценка Ф(п, п, ¡), но при росте п оценка Ф(п, п, ¡) асимптотически лучше оценки (1).

Е. И. Зельманов поставил следующий вопрос в Днестровской тетради [29] в 1993 году:

Вопрос 3. Пусть Р2т — свободное 2-порождённое ассоциативное кольцо с тождеством хт = 0. Верно ли, что класс нильпотентности кольца Р2т раст,ёт экспоненциально по т?

В работе получен следующий ответ на вопрос Е. И. Зельманова: в действительности искомый класс нильпотентности растет субэкспоненциально.

1.8. Основные результаты

В работе получен ответ на вопрос 3 Е. И. Зельманова: в действительности искомый класс нильпотентности растет субэкспоненциально.

Теорема 14. Высота множества не п-разбиваемых слов над ¡-буквенным алфавитом относительно множества слов длины меньше п не превышает, Ф(п,1), где

Ф(п ¡) = 2961 • п121о&3п+361°§з 1°§3п+91

Из данной теоремы путем некоторого огрубления и упрощения оценки получается, что при фиксированном I и п ^ ж

Ф(п,1) = п12(1+о(1)) 1о^з п,

а при фиксированном п и I ^ ж

Ф(п,1) < С(п)1.

Также доказательство этих результатов содержится в работе [45].

Следствие 4. Высота ¡-порождённой Р1-алгебры с допустимым полиномиальным тождеством степени п над множеством слов длины меньше п не превышает Ф(п, ¡).

Как следствие получаются субэкспоненциальные оценки на индекс нильпотентности ¡-порожденных ниль-алгебр степени п для произвольной характеристики.

Другим основным результатом диссертации является следующая теорема:

Теорема 15. Пусть ¡, п и d ^ п — некоторые натуральные числа. Тогда все ¡-порождённые слова длины не меньше, чем Ф(п^, ¡), либо содержат хЛ, либо являются п-разбиваемыми, где

Ф(пД0 = 227¡(nd)3logз(nd)+9logз 1о§зМ)+зб.

Из данной теоремы путем некоторого огрубления и упрощения оценки получается, что при фиксированном I и ^ ^ то

Ф(пД1) = (^)3(1+о(1))ЪёзП),

а при фиксированных п^ и I ^ то

Ф(пД ¡) < С(п^)1.

Следствие 5. Пусть ¡, d — некоторые натуральные числа. Пусть в ассоциативной ¡-порождённой алгебре А выполнено тождество хЛ = 0. Тогда ее индекс нильпотентности меньше, чем

Кроме того, доказывается субэкспоненциальная оценка, которая лучше при малых п и d:

Теорема 16. Пусть ¡, п и d ^ п — некоторые натуральные числа. Тогда все ¡-порождённые слова длины не меньше, чем Ф(n,d, ¡), либо содержат хЛ, либо являются п-разбиваемыми, где

Ф(п^^) = 256¡(nd)2log2(nd)+10d2.

Обозначения 2. Для вещественного числа х положим гхП := — [—х]. Таким образом мы округляем нецелые числа в большую сторону.

В процессе доказательства теоремы 14 доказывается следующая теорема, оценивающая существенную высоту:

Теорема 17. Существенная высота ¡-порождённой Р1 -алгебры с допустимым полиномиальным тождеством степени п над множеством слов длины меньше п меньше, чем Т(п^), где

Х(п,0 = 2п3По&з n"+4¡.

1.9. О нижних оценках

Сравним полученные результаты с нижней оценкой для высоты. Высота алгебры А не меньше ее размерности Гельфанда-Кириллова СХ(А). Для алгебры /-порождённых общих матриц порядка п данная размерность, равна (I — 1)п2 +1 (см. [36, 37]).

В то же время Амицур и Левицкий в 1950 году доказали следующий факт:

ТЕОРЕМА 18 (Амицур-Левицкий, [59]). Пусть Бп — группа перестановок. Определим стандартное тождество Бп(х1,... ,хп) = 0 следующим образом: Бп(х1,... ,хп) := (—1)ахст(1)хст(2)ха(п). Тогда для любого натурального числа

d и любого коммутативного кольца Е в матричной алгебре Matd(F) выполняется стандартное тождество Б2а = 0.

Минимальная степень тождества алгебры /-порожденных общих матриц порядка п равна 2п согласно теореме Амицура-ыЛевицкого. Имеет место следующее:

Предложение 2. Высота ¡-порождённой ^-алгебры степени п, а также множества не п-разбиваемых слов над ¡-буквенным алфавитом, не менее, чем (/ — 1)п2/4 + 1.

Другие примеры использования теоремы Амицура-Левицкого можно найти в работе [60]

Нижние оценки на индекс нильпотентности были установлены Е. Н. Кузьминым в работе [38]. Е. Н. Кузьмин привел пример 2-порожденной алгебры с тождеством хп = 0, индекс нильпотентности которой строго больше (п2 + п — 2)/2. Вопрос нахождения нижних оценок рассматривается в главе 5 (см. также [44]).

В то же время для случая нулевой характеристики и счетного числа образующих Ю. П. Размыслов (см. например, [39]) получил верхнюю оценку на индекс нильпотентности, равную п2.

2. Оценки индекса нильпотентности конечно порожденных алгебр с ниль-тождеством

2.1. Оценки на появление степеней подслов

2.1.1. План доказательства субэкспоненциальности индекса нильпотентности

В леммах 1, 2 и 3 описываются достаточные условия для присутствия периода длины d в не n-разбиваемом слове W. В лемме 4 связываются понятия n-разбиваемости слова W и множества его хвостов. После этого определенным образом выбирается подмножество множества хвостов слова W, для которого можно применить теорему Дилуорса. Затем мы раскрашиваем хвосты и их первые буквы в соответствии с принадлежностью к цепям, полученным при применении теоремы Дилуорса.

Необходимо изучить, в какой позиции начинают отличаться соседние хвосты в каждой цепи. Вызывает интерес, с какой "частотой" эта позиция попадает в р-хвост для некоторого p ^ п. Потом мы несколько обобщаем наши рассуждения, деля хвосты на сегменты по несколько букв, а затем рассматривая, в какой сегмент попадает позиция, в которой начинают отличаться друг от друга соседние хвосты в цепи. В лемме 6 связываются рассматриваемые "частоты" для р-хвостов и kp-хвостов для k = 3.

В завершение доказательства строится иерархическая структура на основе применения леммы 6, т. е. рассматриваем сначала сегменты n-хвостов, потом подсегменты этих сегментов и т. д. Далее рассматривается наибольшее возможное количество хвостов из подмножества, для которого была применена теорема Дилуорса, после чего оценивается сверху общее количество хвостов, а значит, и букв слова W.

2.1.2. Свойства периодичности и п-разбиваемости

Пусть {ai, a2,... ,al} — алфавит, над которым проводится построение слов. Порядок a1 — a2 -—■■■ — al индуцирует лексикографический порядок на словах над заданным алфавитом. Для удобства введем следующие определения:

Определение 7. а) Если в слове v содержится подслово вида U, то будем говорить, что в слове v содержится период длины t.

б) Если слово и является началом слова v, то такие слова называют, несравнимыми и обозначают u ~ v.

в) Слово v — хвост слова и, если найдется слово w такое, 'что u = wv.

г) Слово v — k-хвост слова и, если v состоит из k первых букв некоторого хвоста и. Если в хвосте и меньше k букв, то считаем v = и.

г ') k-начало то же самое, что и k-хвост.

д) Пусть слово и левее слова v, если начало слова и левее начала слова v.

Обозначения 3. а) Для вещественного числа х положим гхп := — [—х].

б) Обозначим как \n\ длину слова и.

Для доказательства потребуются следующие достаточные условия наличия периода:

Лемма 1. В слове Ш длины х либо первые [х/й] хвостов попарно сравнимы, либо в слове Ш найдется период длины й.

Доказательство. Пусть в слове Ш не нашлось слова вида пЛ. Рассмотрим первые [х/й] хвостов. Предположим, что среди них нашлись 2 несравнимых хвоста г1 и г2. Пусть г1 = и • г2. Тогда г2 = и • г3 для некоторого г3. Тогда г^ = и2 • г3. Применяя такие рассуждения, получим, что г^ = иЛ • , так как \п\ < х/й, \г2\ ^ (й — 1)х/й. Противоречие.□

Лемма 2. Если в слове V длины к • Ь не больше к различных подслов длины к, 'то V включает в себя период длины Ь.

Доказательство. Докажем лемму индукцией по к. База при к = 1 очевидна. Если находится не больше, чем (к — 1) различных подслов длины (к — 1) , то применяем индукционное предположение. Если существуют к различных подслов длины (к — 1) , то каждое подслово длины к однозначно определяется своими первыми (к — 1) буквами. Значит, V = г1, где г — к-хвост V.□

Определение 8. а) Слово Ш — п-разбиваемо в обычном смысле, если найдутся и1,и2,... ,ип такие, что Ш = г • и1 • • • ип, при этом и1 У ... у ип. Слова и1,и2,... ,ип назовём п-разбиением слова Ш.

б) В текущем доказательстве слово Ш будем называть п-разбиваемым в хвостовом смысле, если найдутся хвосты и1 ,...,ип такие, что и1 У и2 У ... У ип и для любого г = 1, 2,... ,п — 1 начало иг слева от начала иг+1. Хвосты и1,и2,... ,ип назовём п-разбиением в хвостовом смысле слова Ш. В части 2, если не оговорено противное, то под п-разбиваемыми словами мы подразумеваем п-разбиваемые в хвостовом смысле.

в) Слово Ш — (п,й)-сократимое, если оно либо п-разбиваемо в обычном смысле, либо находится слово вида иЛ С Ш.

Теперь опишем достаточное условие (п, й)-сократимости и его связь с п-разбиваемостью.

Лемма 3. Если в слове Ш найдутся п одинаковых непересекающихся подслов и длины п • й, то Ш — (п, й)-сократимое.

Доказательство. Предположим противное. Рассмотрим хвосты и1,и2,... , ... ,ип слова и, которые начинаются с каждой из его первых п букв. Перенумеруем хвосты так, чтобы выполнялись неравенства: и1 У ... у ип. Из леммы 1 они несравнимые. Рассмотрим подслово и1 , лежащее в самом левом экземпляре слова и, подслово и2 — во втором слева, . . . , ип — в п-ом слева. Получили п-разбиение слова Ш. Противоречие. □

Предложение 3. Если для некоторых слов верно соотношение

|и| ^ |V| < и, кроме того, и ~ IV, V ~ V, то слова и и V несравнимы.

Замечание 1. Если для некоторого действительного числа а мы говорим про а-разбивае.мост,ь, 'то имеется ввиду [а]-разбиваемость.

Лемма 4. Если слово Ш является [§(п + 1)А(^§ (пА) + 2)}-разбиваемым, то оно - (п, А)-сократимое.

Обозначения 4. рпА := [§(п + 1)А(^§ (пА) + 2)}.

Доказательство. От противного. Пусть слово Ш является рп,4-разбивае-мым, хвосты и1 — и§ — ■ ■ ■ — иРп Л образуют рп, —разбиение, но слово Ш — не (п, А)-сократимое.

Обозначения 5. Пусть для 1 ^ г < рщ4 слово VI — подслово слова Ш, которое начинается первой буквой хвоста щ и заканчивается буквой, стоящей на одну позицию левее первой буквы хвоста щ+1. Также считаем, что

= иРп,в..

Предположим, что для любого числа 1 ^ г ^ [§§п — 1)А(к^§ (пА) + 2) найдут-

ki+i д1+г

ся числа 0 ^ ]г ^ кг < тг ^ дг < [3А(^§ (пА) + 2)} такие, что П vs — П vs.

в=]1+г s=mi+i

Тогда рассмотрим последовательность чисел гs = Прп, 4 + 1, где 0 ^ 5 ^ [п—}.

кц} +го Яц} +го к^ +г-1 qi1

Тогда последовательность слов П vs — П vs — П vs — П vs —

s=ji0 +го s=mi0 +го s=ji1 +г1 s=mi1 +г1

к¿2 +г2 [П—11 [ П—11

п Vs — ■ ■ ■ — П vs — П vs образует 2[п++1}—разбиение

+г2 — +г[ п—1] — +г[ п—1]

в обычном смысле слова Ш.

Значит, слово Ш — (п, А)-сократимо. Противоречие.

§

(

Следовательно, найдется такое число 1 ^ г ^ [§§п — 1)А(к^§ (пА) + 2)}, что

к+г q+i

для любых 0 ^ ] ^ к < т ^ д < [3А(к^§ (пА) + 2)} имеем П vs ~ П vs.

s=j+i s=m+i

Без ограничения общности г = 1. Для некоторого натурального Ь рассмотрим

некоторую последовательность натуральных чисел {к,}г^=1 такую, что к1 = 33 и

г

Пкi > пА. В силу леммы 3 т£ |vj | ^ пА. Пусть т£ |vj| достигается на

i=§ 0<'^к14 0<'^к14

Vj1, где 0 < ^ к1А (если таких минимумов несколько, то берем самый правый из них).

• Если ^ А, то А|vj1 — начала хвостов Uj1 и Uj1+1 не пересекаются и несрав-

34

нимы со словом П Vj и меньше его по длине. Следовательно, по пред-

'=§4+1

ложению 3 А^' — начала хвостов щ1 и и'1+1 несравнимы, а, значит, vd1 — подслово слова Ш.

Если й < ]1 ^ 2й, то ¡—начала хвостов и не пересекаются со

а

словом Уза+1 и несравнимы со словом П . Кроме того, эти d\vj¡—начала

3 = 1

меньше его по длине. Значит, по предположению 3, — подслово слова W.

Если 2й < ^ 3й и й\ьз\ - начало хвоста п31+1 не пересекается с ь[3а(1о^ (па)+2)], то, аналогично предыдущему случаю, — подслово слова W. Пусть й\ьз¡—начало хвоста п31+1 пересекается с ь[3а(1о^(па)+2)]. Тогда для некоторого натурального числа Ь, которое будет выбрано позднее, рассмотрим последовательность натуральных чисел {кз}3=2, для ко-

г г

торой П ^ пй. Выберем Ь так, что ^ ^ (!°§3 (пй) + 1). Можно показать,

3=2 3=2

что такое Ь всегда существует. Заметим, что слово П ьз содержится в

3=^1^+1

й\ьз1 \— начале хвоста П31 + 1. Рассмотрим Ь32 — слово наименьшей длины среди слов при к1й < ] ^ (к1 + к2)й. Если таких слов несколько, то в качестве наименьшего возьмем самое правое из них. Тогда \ь32 \ ^ [^к1 ]. Теперь рассмотрим й\ь32 \— начало хвоста п32+1. Если оно не пересекается со словом Ь[3а(1о^ (п^)+2)], то — подслово слова W. В противном случае

слово П является подсловом й\ь32 \— начала хвоста п32+1.

3=(к1+к2)а+1

Пусть для некоторого числа г такого, что 2 ^ г < Ь среди чисел ] та-

г—1 г II

ких, что й^к3 < ] ^ й^к3 найдется число такое, что \ ^ [ ¿31 ].

3=1 3=1 П ке

.9 = 2

Рассмотрим \— начало хвоста п3.+1. Если оно не пересекается со словом Ь[3а(1о^ (па)+2)], то 3 — подслово слова W. В противном случае слово

¿+1 а 52 к.

. =1

П является подсловом \— начала хвоста п3.+1. Рассмотрим

3=а ¿ к.+1

. =1

г г+1

— слово наименьшей длины среди слов при к3 < ] ^ й ^ к3.

8=1 3=1

Тогда \ь3.+1 \ ^ [] ^ [¿+11 ]. Таким образом, \ьг\ ^ [ 1 ] < 1. Получено

¿+1 П к. П к.

в=2 в=2

противоречие, из которого и вытекает утверждение леммы.

□

Пусть W — не (п, й)-сократимое слово. Рассмотрим и — [^\ /й]-хвост слова W. Тогда W — не (рп,а + 1)-разбиваемое. Пусть П — множество хвостов слова W, которые начинаются в и. Тогда по лемме 1 любые два элемента из П сравнимы.

Естественным образом строится биекция между П, буквами U и натуральными числами от 1 до |П| = \U|.

Введем слово в такое, что в лексикографически меньше любого слова.

Замечание 2. В текущем доказательстве теоремы 15 все хвосты мы предполагаем лежащими в П.

2.2. Оценки на появление периодических фрагментов

2.2.1. Применение теоремы Дилуорса.

Для хвостов u и v положим u < v, если u -< v и, кроме того, u левее v. Тогда по теореме Дилуорса П можно разбить на pn,d цепей, где в каждой цепи u -< v, если u левее v. Покрасим начальные позиции хвостов в pn, d цветов в соответствии с принадлежностью к цепям. Фиксируем натуральное число p. Каждому натуральному числу i от 1 до |П| сопоставим Bp(i) — упорядоченный набор из pn,d слов {f (i,j)}, построенных по следующему правилу: Для каждого j = 1, 2,... ,pn>d положим

f (i,j) = {max f ^ i : f раскрашено в цвет j} .

Если такого f не найдется, то слово из Bp(i) на позиции j считаем равным в, в противном случае это слово считаем равным p-хвосту, который начинается с f (i,j)-ой буквы.

Неформально говоря, мы наблюдаем, с какой скоростью хвосты "эволюционируют" в своих цепях, если рассматривать последовательность позиций слова W как ось времени.

2.2.2. Наборы Bp(i), процесс на позициях

Лемма 5 (О процессе). Дана последовательность S длины S^ составленная из слов длины (k — 1). Каждое из них состоит из (к — 2) символа "0" и одной "1". Пусть S удовлетворяет следующему условию: если для некоторого 0 < s ^ к — 1 найдутся pn, d слов, в которых "1" стоит на s-ом месте, то между первым и pn,d-ым из этих слов найдется слово, в котором "1" стоит строго меньше, чем на s-ом месте; L(k — 1) = sup S^

S

Тогда L(k — 1) ^ p'- — 1.

Доказательство. L(1) ^ pnd — 1. Пусть L(k — 1) ^ рП— — 1. Покажем, что L(k) ^ рП d — 1. Рассмотрим слова, у которых символ "1" стоит на первом месте. Их не больше pn,d — 1. Между любыми двумя из них, а также перед первым и после последнего, количество слов не больше L(k — 1) ^ p- — 1. Получаем, что

L(k) ^ pn,d — 1 + (Pn,d) ((Pn^)' 1 — 1) = (Pn,d)k — 1

□

Нам требуется ввести некоторую величину, которая бы численно оценивала скорость "эволюции" наборов Бр(г):

Определение 9. Положим

ф(р) := {шах к : Бр(г) = Бр(г + к — 1)} .

В частности,, по лемме 2, ф(рп, а) ^ рп,

Для заданного а определим разбиение последовательности первых |П| позиций г слова Ш на классы эквивалентности АСа следующим образом: г АСа ],

если Ба(г) = Ба(]).

Предложение 4. Для любых натуральных а < Ь имеем ф(а) ^ ф(Ь).

Лемма 6 (Основная). Для любых натуральных чисел а, к верно неравенство

ф(а) ^ рПаФ(к • а) + к • а

Доказательство. Рассмотрим по наименьшему представителю из каждого класса АС^.а. Получена последовательность позиций {г^}. Теперь рассмотрим все гз и Бк'а{%2) из одного класса эквивалентности по АСа . Пусть он состоит из Бк'а(гз) при гз € [Ь,с). Обозначим за {г^}' отрезок последовательности {г^}, для которого гз € [Ь,с — к • а).

Фиксируем некоторое натуральное число г, 1 ^ г ^ рп, а- Назовем все к • а-начала цвета г, начинающиеся с позиций слова Ш из {гз}', представителями типа г. Все представители типа г будут попарно различны, так как они начинаются с наименьших позиций в классах эквивалентности по АСк.а. Разобьем каждый представитель типа г на к сегментов длины а. Пронумеруем сегменты внутри каждого представителя типа г слева направо числами от нуля до (к — 1). Если найдутся (рп,а + 1) представителей типа г, у которых совпадают первые (Ь — 1) сегментов, но которые попарно различны в ¿-ом, где Ь — натуральное число, 1 ^ Ь ^ к — 1, то найдутся две первых буквы ¿-го сегмента одного цвета. Тогда позиции, с которых начинаются эти сегменты, входят в разные классы эквивалентности по АСа .

Применим лемму 5 следующим образом: во всех представителях типа г, кроме самого правого, будем считать сегменты единичными, если именно в них находится наименьшая позиция, в которой текущий представитель типа г отличается от предыдущего. Остальные сегменты считаем нулевыми.

Теперь можно применить лемму о процессе с параметрами, совпадающими с заданными в условии леммы. Получаем, что в последовательности {гз}' будет не более рЛ-^ представителей типа г. Тогда в последовательности {гз}' будет не более рП а членов. Таким образом, с — Ь ^ рП аФ(к • а) + к • а. □

2.2.3. Завершение доказательства субэкспоненциальности индекса нильпотентности

Пусть

ас = 3^а1 = 3^.., агЬ§з= 1.

При этом \ ^ d \ П \ + d в силу леммы 1.

Так как набор В 1(г) принимает не более (1 + рп^¡) различных значений, то ^\ ^ d(1+ Рп^(1) + d. По лемме 6

Ф(1) < (рП,d + Рп,d)Ф(3) < (рП,d + Рп,d)2Ф(9) < ••• < (рП,d + Рп,d)Г1ogзРп'^Ф(Рп,d) ^

^ (Р3п,d + Рп,d)Гl0g3Рп^Рп,dd Подставляя Рп, d = 4^ — 1, получаем

\ < 45+31ogз 4 ¡(nd)31ogз(nd)+(5+61ogз 4^2.

Отсюда имеем утверждение теоремы 15.

Доказательство теоремы 16 завершается так же, только вместо последовательности

ас = зГ1°^Рп,^,а1 = 3Г1°^... ,аг^з= 1 рассматривается последовательность

ас = 2Г1^2а1 = 2^.., а^^ = 1.

3. Оценки высоты и существенной высоты конечно порожденной Р1-алгебры.

3.1. Оценка существенной высоты.

В данном разделе мы продолжаем доказывать основную теорему 14. Попутно доказывается теорема 17. Будем смотреть на позиции букв слова Ш как на ось времени, то есть подслово и встретилось раньше подслова г, если и целиком лежит левее г внутри слова Ш.

3.1.1. Нахождение различных периодических фрагментов в слове

Обозначим за в количество подслов слова Ш с периодом длины меньше п, в которых период повторяется больше 2п раз и которые попарно разделены сравнимыми с предыдущим периодом подсловами длины больше п. Пронумеруем их от начала к концу слова: Х21п , Х 2 , ... , Х 2п. Таким образом Ш = УоХ21пу1х2п • • • х23пу3.

Если найдется г такое, что слово хг длины не меньше п, то в слове х2 найдутся п попарно сравнимых хвостов, а значит, слово х2а- п-разбиваемое. Получаем, что число в не меньше, чем существенная высота слова Ш над множеством слов длины меньше п.

Определение 10. Слово и назовем нециклическим, если и нельзя представить в виде гк, где к > 1.

Определение 11. Слово-цикл и — слово и со всеми его сдвигами по циклу.

Определение 12. Циклическое слово и — цикл из букв слова и, где после его последней буквы идёт первая.

Определение 13. Если любые два циклических сдвига слов и и г сравнимы, то назовём слова и и г сильно сравнимыми. Аналогично определяется сильная сравнимость слово-циклов и циклических слов.

Далее мы будем пользоваться естественной биекцией между слово-циклами и циклическими словами.

Определение 14. Слово Ш называется сильно п-разбиваемым, если его можно представить в виде Ш = Ш0Ш1 • • • Шп, где подслова Ш1,..., Шп идут в порядке лексикографического убыв ания, и каждое из слов г = 1, 2,... ,п начинается с некоторого слова гк Е Z, все различны.

Лемма 7. Если найдётся число т, 1 ^ т < п, такое, что существуют (2п — 1) попарно несравнимых слов длины т : хг1,... ,хг2п-1, то Ш — п-разбиваемое.

Доказательство. Положим х := хг1. Тогда в слове Ш найдутся непересекающиеся подслова хр1 ь'1,... , хР2п-1 ь'2п_ 1, где Р1,... ,Р2п-1 — некоторые натуральные числа, большие п, а у'1,... ,у'2п_ 1 — некоторые слова длины т, сравнимые с х,ь'1 = ьг1. Тогда среди слов ь'-^.. ,ь'2п-1 найдутся либо п лексикографически больших х, либо п лексикографически меньших х. Можно считать, что ,... ,у'п — лексикографически больше х. Тогда в слове Ш найдутся подслова ,хь'2,... , хп-1Уп, идущие слева направо в порядке лексикографического убывания. □

Рассмотрим некоторое число т, 1 ^ т < п. Разобьем все хг длины т на эквивалентности по сильной несравнимости и выберем по одному представителю из каждого класса эквивалентности. Пусть это слова хг1,..., хц , где 3 — некоторое натуральное число. Так как подслова хг являются периодами, будем рассматривать их как слово-циклы.

Обозначения 6. ьк := хгк

Пусть ь(к,г), где г — натуральное число от 1 до т, — циклический сдвиг слова ьк на (к — 1) позиций вправо, 'то есть ь(к, 1) = ьк, а первая буква слова ь(к, 2) является второй буквой слова ьк. Таким образом, {ь(к,г)}т=1 — слово-цикл слова ьк. Заметим, что для любых 1 ^ г1,г2 ^ р, 1 ^ 3ъ32 ^ т слово ь(г1,31) сильно несравнимо со словом ь(г2,32).

Замечание 3. Случаи т = 2, 3, п— 1 более подробно рассмотрены в работах [44, 32].

3.1.2. Применение теоремы Дилуорса

Рассмотрим множество П' = {ь(г,з)}, где 1 ^ г ^ р, 1 ^ з ^ т. Введем следующий порядок на словах ь(г,з) :

ь(г1,31) У ь(г2,32), если

1) ь(г1,31) > ь(г2,32)

2) г1 > г2

Лемма 8. Если во множестве П' для порядка У найдётся антицепь длины п, то слово Ш будет п-разбиваемым.

Доказательство. Пусть нашлась антицепь длины п из слов ь(г1,31), ь(г2,32),..., ь(гп,3п); где г1 ^ г2 ^ • • • ^ гп. Если все неравенства между гк — строгие, то слово Ш — п-разбиваемое по определению.

Предположим, что для некоторого числа г нашлись гг+1 = • • • = гг+к, где либо г = 0, либо гг < гг+1. Кроме того, к — такое натуральное число, что либо к = п — г, либо гг+к < гг+к+1.

Слово вгг+1 — периодическое, следовательно, оно представляется в виде произведения п экземпляров слова ьг2+1. Слово ьг2+1 содержит слово-цикл ьгг+1. Значит, в слове вгг+1 можно выбрать непересекающиеся подслова, идущие в порядке лексикографического убывания, равные у(гг+1,3г+1),... ,ь(гг+к3г+к) соответственно.

Таким же образом поступаем со всеми множествами равных индексов в последовательности {ir}™=1. Получаем n-разбиваемость слова W. Противоречие. □

Значит, множество П' можно разбить на (п — 1) цепь.

Обозначения 7. Положим qn = (n — 1).

3.1.3. Наборы Ca(i), процесс на позициях

Покрасим первые буквы слов из П' в qn цветов в соответствии с принадлежностью к цепям. Покрасим также числа от 1 до |П'| в соответствующие цвета. Фиксируем натуральное число а ^ т. Каждому числу i от 1 до |П'| сопоставим упорядоченный набор слов Ca(i), состоящий из qn слов по следующему правилу:

Для каждого j = 1, 2,... ,qn положим

f (i,j) = {max f ^ i ■ существует k такое, 'что v(f,k) раскрашено в цвет, j и а-хвост,, который начинается с f, состоит только из букв, являющихся первыми буквами хвостов из П'}.

Если такого f не найдётся, то слово из Ca(i) считаем равным 9, в противном случае это слово считаем равным а-хвост,у слова v(f, k).

Обозначения 8. Положим ф(а) равным наибольшему k такому, что найдётся число i, для которого верно равенство Ca(i) = Ca(i + k — 1).

Для заданного а ^ т определим разбиение последовательности, слово-циклов {i} слова W на классы эквивалентности следующим образом: i ACa j, если C a(i) = C a(j).

Заметим, что построенная конструкция во многом аналогична построенной в доказательстве теоремы 15. Можно обратить внимание на схожесть Ba(i) и Ca(i), а также 'ф(а) и ф(а).

Лемма 9. ф(т) ^ qn/m.

Доказательство. Напомним, что слово-циклы были пронумерованы. Рассмотрим слово-циклы с номерами i,i + 1,... ,i + [qn/m]. Ранее было показано, что каждый слово-цикл состоит из т различных слов. Рассмотрим теперь слова в слово-циклах i,i + 1,... ,i + [qn/т] как элементы множества П'. При таком рассмотрении у первых букв из слово-циклов появляются свои позиции. Всего рассматриваемых позиций не меньше п. Следовательно, среди них найдутся две позиции одного цвета. Тогда в силу сильной несравнимости слово-циклов имеем утверждение леммы. □

Предложение 5. Для любых натуральных а < b имеем ф(а) ^ ф(Ь).

Лемма 10 (Основная). Для натуральных чисел а,k таких, что ak ^ т, верно неравенство

Ф(а) < Pkn,dV(k • а).

Доказательство. Рассмотрим по наименьшему представителю из каждого класса АСка. Получена последовательность позиций {гу}. Теперь рассмотрим все гу и Ск'а(г^) из одного класса эквивалентности по АСа . Пусть он состоит из Ск'а(гу) при гу € [Ь, с). Обозначим за {гу}' отрезок последовательности {гу}, для которого г у € [Ь, с).

Фиксируем некоторое натуральное число г, 1 < г < дп. Назовем все к • а-начала цвета г, начинающиеся с позиций слова Ш из {гу}', представителями типа г. Все представители типа г будут попарно различны, так как они начинаются с наименьших позиций в классах эквивалентности по АС к-а. Разобьем каждый представитель типа г на к сегментов длины а. Пронумеруем сегменты внутри каждого представителя типа г слева направо числами от нуля до (к — 1). Если найдутся (дп + 1) представителей типа г, у которых совпадают первые (Ь — 1) сегментов, но которые попарно различны в ¿-ом, где Ь — натуральное число, 1 < Ь < к — 1, то найдутся две первых буквы ¿-го сегмента одного цвета. Тогда позиции, с которых начинаются эти сегменты, входят в разные классы эквивалентности по АСа .

Применим лемму 5 следующим образом: во всех представителях типа г, кроме самого правого, будем считать сегменты единичными, если именно в них находится наименьшая позиция, в которой текущий представитель типа г отличается от предыдущего. Остальные сегменты будем считать нулевыми.

Теперь мы можем применить лемму о процессе с параметрами, совпадающими с заданными в условии леммы. Получаем, что в последовательности {гу}' будет не более дП-1 представителей типа г. Тогда в последовательности {гу}' будет не более дП членов. Таким образом, с — Ь < дПф(к • а). □

3.1.4. Завершение доказательства субэкспоненциальности существенной высоты

Пусть

ао = З^3а1 = З^3Рп^-1,..., аг1о§з= 1. Подставляя эти аг в леммы 10 и 9, получаем, что

ф(1) < дПФ(3) < дПф(9) < • • • < дП^т>(т) < < д3г1о§8 тп+1

дп.

Так как С1 принимает не более 1 + дп1 различных значений, то

\П'\ < дПг^ятП+1(1 + дп1) < п3^пП+2/.

По лемме 7 получаем, что количество хг длины т меньше 2п3Г1°^пП+3/.

Имеем, что количество всех хг меньше 2п3Г1°^пП+4/.

То есть ^ < 2п3Г1°^пП+41. Таким образом, теорема 17 доказана.

3.2. Оценка высоты в смысле Ширшова

3.2.1. План доказательства

Будем снова под п-разбиваемым словом подразумевать п-разбиваемое в обычном смысле. Сначала мы находим необходимое количество фрагментов с длиной периода не меньше 2п в слове Ш. Это можно сделать, просто разбив слово Ш на подслова большой длины, к которым применяется теорема 15. Однако мы можем улучшить оценку, если сначала выделим в слове Ш периодический фрагмент с длиной периода не менее 4п, затем рассмотрим Ш1 — слово Ш с "вырезанным" периодическим фрагментом и1. У слова Ш1 выделяем фрагмент с длиной периода не менее 4п, после чего рассматриваем Ш§ — слово Ш1 с "вырезанным" периодическим фрагментом и§. У слова Ш§ так же вырезаем периодический фрагмент. Далее продолжаем этот процесс, подробнее описанный в алгоритме 1. Затем по вырезанным фрагментам мы восстанавливаем первоначальное слово Ш. После этого показывается, что в слове Ш подслово щ чаще всего не является произведением большого количества не склеенных подслов. В лемме 11 доказывается, что применение алгоритма 1 дает необходимое количество подслов слова Ш с длиной периода не меньше 2п среди вырезанных подслов.

3.2.2. Суммирование существенной высоты и степени нильпотентности

До конца главы будем использовать следующее

Обозначения 9. Ш^) — высота слова V над множеством слов степени не выше п.

Рассмотрим слово Ш с высотой ) > Ф(п,1). Теперь для него проведем

следующий алгоритм:

Первый шаг. По теореме 15 в слове Ш найдется подслово с длиной периода 4п. Пусть Ш0 = Ш = и^х^Уг, причем слово Ху — нециклическое. Представим у[ в виде У1 = х1 у1, где г§ — максимально возможное число. Слово и! представим как и! = и1хг11, где г1 — наибольшее возможное. Обозначим за /1 следующее слово:

Шо = и1х1п+Г1+Г2 У1 = щ/т.

Назовем позиции, входящие в слово /1, скучными, последнюю позицию слова и1 — скучной типа 1, вторую с конца позицию и1 — скучной типа 2 и так далее, п-ую с конца позицию и1 — скучной типа п. Положим Ш1 = и1у1.

к-ый шаг. Рассмотрим слова ик-1, Ук-1, Шк-1 = ик-1ук-1, построенные на предыдущем шаге. Если |Шк_1| ^ Ф(п,1), то применим теорему 15 к слову Ш с тем условием, что процесс в основной лемме 6 будет вестись только по не скучным позициям и скучным позициям типа больше ка, где к и а — параметры леммы 6.

Таким образом, в слове Шк-1 найдется нециклическое подслово с длиной периода 4п, так что

Шк-1 = ик хкп У'к.

При этом положим

Г1 := su.plг : и'к = щхк}, Г2 := вир{г : ук = хгк,ук}.

(Отметим, что слова в наших рассуждениях могут быть пустыми.) Определим /к из равенства:

Шк-1 = икхк?+Г1+Г2 ук = ик /к ук.

Назовем позиции, входящие в слово /к, скучными, последнюю позицию слова ик — скучной типа 1, вторую с конца позицию ик — скучной типа 2 и так далее, п-ую с конца позицию ик — скучной типа п. Если позиция в процессе алгоритма определяется как скучная двух типов, то будем считать ее скучной того типа, который меньше. Положим Шк = ик ук.

Обозначения 10. Проведём 4г + 1 шагов алгоритма 1. Рассмотрим первоначальное слово Ш. Для каждого натурального г из отрезка [1, 4г] имеет, место равенство

Ш = т/г(1)т/г(2) ••• ¡пшПг

для некоторых подслов Wj. Здесь = 1) ••• . Также мы считаем, что при 1 ^ ] ^ пг — 1 подслово Wj — непустое. Пусть в(к) — количество индексов г Е [1, 4г] таких, что пг = к.

Для доказательства теоремы 15 требуется найти как можно больше длинных периодических фрагментов. Помочь в этом сможет следующая лемма:

Лемма 11. в = в(1) + в(2) ^ 2г.

Доказательство. Назовем монолитным подслово и слова Ш, если

И)

1. и является произведением слов вида Л ,

2. U не является подсловом слова, для которого выполняется предыдущее свойство (1).

Пусть после (i — 1)-го шага алгоритма 1 в слове W содержится ki_1 монолитных подслов. Заметим, что ki ^ ki_1 — щ + 2.

Тогда если ni ^ 3, то ki ^ ki-1 — 1. Если же ni ^ 2, то ki ^ ki-1 + 1. При этом k1 = 1, kt ^ 1 = k1. Лемма доказана. □

Следствие 6.

J^k • s(k) ^ 10t ^ 5s.(6) k=i

Доказательство. Из доказательства леммы 11 получаем, что

Y^ (ni — 2) ^ 2t.

х х

По определению Y1 s(k) = 4t, т.е. Y1 2s(k) = 8t.

k=i k=i

Складывая эти два неравенства и применяя лемму 11, получаем доказываемое неравенство 6. □

Предложение 6. Высота слова W будет не больше

Ф(п, 4n, l) + ^ k • s(k) ^ Ф(п, 4n, l) + 5s.

k=i

Далее будем рассматривать только fi с ni ^ 2.

Обозначения 11. Если ni = 1; то положим f' := fi.

Ежели ni = 2; то положим f' := f(j, где f(j - слово с наибольшей длиной между fl) и f(2).

Слова f ' упорядочим в соответствии с их близостью к началу W. Получим последовательность f'mi,..., f'ms, где s' = s(1) + s(2), положим f' := fm.. Пусть fi = wixpf w'I, где хотя бы одно из слов wi ,w'( - пустое.

Замечание 4. Можно считать, что мы первыми шагами алгоритма 1 выбрали все 'те fi,, для которых щ = 1.

Теперь рассмотрим zj — подслова W следующего вида:

zj = , 3 ^ ° \vj \ = |x(2j-1)'^

при этом Vj не равно x(2j-1)'', начало подслова zj совпадает с началом периодического подслова в f2j_1. Покажем, что zj не пересекаются как подслова

слова W.

В самом деле. Если /2,^-1 = /т2^_1, то г'^ = /т^_г.

Если же /2]-1 = /гп2^_1, к = 1, 2, а подслово г^ пересекается с подсловом г^+1, то /^ С г\. Так как слова х^у и Х(2]-1)" — нециклические, то \х^у \ = \х^-1у |. Но тогда длина периода в г^ не меньше 4п, что противоречит замечанию 4.

Тем самым доказана следующая лемма:

Лемма 12. В слове Ш с высотой не более (^(п, 4п,1) + 5в') найдётся не .менее в' непересекающихся периодических подслов, в которых период повторится не менее 2п раз. Кроме того, между любыми двумя элементами данного множества периодических подслов найдётся подслово длины периода более левого из выбранных элементов.

3.2.3. Завершение доказательства субэкспоненциальности высоты

Подставляя в лемму 12 вместо числа s' значение s из доказательства теоремы 17 получаем, что высота W не больше, чем

4n, l) + 5s< Eil • nE2+12log3n,

где Ei = 42llog3 4+17, E2 = 30 log3 4 + 10.

Тем самым мы получили утверждение основной теоремы 14.

4. Оценки кусочной периодичности

4.1. План улучшения оценок существенной высоты

Далее приводятся оценки на количество периодических подслов с периодом длины 2, 3, (п — 1) произвольного не п-разбиваемого слова Ш. Рассмотрение случая периодов длины 2, 3 при помощи кодировки обобщается до доказательства ограниченности существенной высоты. Кроме того, получена нижняя оценка на число подслов с периодом 2, и эта оценка при достаточно большом I отличается от верхней в 4 раза.

С целью дальнейшего улучшения оценок, полученных в главе 3, вводятся следующие определения:

Определение 15. а) Число к называется малой выборочной высотой с границей к слова Ш над множеством слов Z, если к — такое максимальное число, что у слова Ш найдётся к попарно непересекающихся циклически несравнимых подслов вида гт, где г € Z,m> к.

б) Число к называется большой выборочной высотой с границей к слова Ш над множеством слов Z, если к — такое максимальное число,что у слова Ш найдётся к попарно непересекающихся подслов вида гт, где г € Z,m> к, причём соседние подслова из этой выборки несравнимы.

Здесь и далее: к = 2п.

в) Множество слов V имеет малую (большую) выборочную высоту к над некоторым множеством слов Z, если к является точной верхней гранью малых (больших) выборочных высот над Z его элементов.

Затем доказываются следующие нижние и верхние оценки на кусочную периодичность:

Теорема 19. Малая выборочная высота множества не сильно п-разбивае-мых слов над ¡-буквенным алфавитом относительно множества нециклических слов длины 2 не больше *2,(2, ¡,п), где

П(2Л,г^=(^1 — ™п — ™п — 2).

Теорема 20. Малая выборочная высота множества не сильно п-разбивае-мых слов над ¡-буквенным алфавитом относительно множества нециклических слов длины 2 при (фиксированном п больше, чем а(п, ¡), где

а(п, ¡) = 1 — о(1)).

Более точно, а(п, ¡) = (I — 2п 1)(п — 2)(п — 3)/2.

Теорема 21. Малая выборочная высота множества не сильно п-разбива-емых слов над ¡-буквенным алфавитом относительно множества нециклических слов длины 3 не больше Л(3,1,п), где

П(3, ¡, п) = (21 — 1)(п — 1)(п — 2).

Доказательства теорем 20, 19, 21 изложены в работе [44].

Теорема 22. Малая выборочная высота множества не сильно п-разбивае-мых слов над ¡-буквенным алфавитом относительно множества нециклических слов длины (п — 1) не больше П(п — 1,1,п), где

П(п — 1,1, п) = (I — 2)(п — 1).

Теорема 23 с помощью кодировки обобщает теорему 19 до доказательства ограниченности существенной высоты множества не п-разбиваемых слов.

Теорема 23. Существенная высота ¡-порождённой Р1-алгебры с допустимым полиномиальным тождеством степени п над множеством слов длины < п меньше, чем Т(п,1), где

Т(п,0 = 8(1 + 1)пп5(п — 1).

Доказательства теорем 22, 23 изложены в работе [32].

Малую и большую выборочные высоты связывает следующая теорема:

Теорема 24. Большая выборочная высота ¡-порождённой Р1-алгебры А с допустимым полиномиальным тождеством степени п над множеством нециклических слов длины к меньше 2(п — 1)Л(к,1,п), где Л(к,1,п) — малая выборочная высота А над множеством нециклических слов длины к.

Как и ранее будем считать, что слова строятся над алфавитом А из букв {а-\^, а2,... , а{}, над которыми введен лексикографический порядок, причем аг < aj, если г < ]. Для следующих ниже доказательств будем отождествлять буквы аг с их индексами г (то есть будем писать не слово aiaj, а слово г]).

4.2. Доказательство верхних оценок выборочной высоты 4.2.1. Периоды длины два

Пусть слово Ш не сильно п-разбиваемо. Рассмотрим некоторое множество П'' попарно непересекающихся циклических сравнимых подслов Ш вида гт, где т > 2п, г — нециклическое двухбуквенное слово. Будем называть элементы этого множества представителями, имея в виду, что эти элементы являются представителями различных классов эквивалентности по сильной сравнимости.

Пусть набралось Ь таких представителей. Пронумеруем их всех в порядке положения в слове Ш (первое — самое левое) числами от 1 до ¿.В каждом выбранном представителе в качестве подслов содержатся ровно два различных двухбуквенных слова.

Введем порядок на этих словах следующим образом: и -< V, если

• и лексикографически меньше V,

• представитель, содержащий и левее представителя, содержащего V.

Из не сильной п-разбиваемости получаем, что максимальное возможное число попарно несравнимых элементов равно (п— 1). По теореме Дилуорса существует разбиение рассматриваемых двухбуквенных слов на (п — 1) цепь. Раскрасим слова в (п — 1) цвет в соответствии с их принадлежностью к цепям.

Введем соответствие между следующими четырьмя объектами:

• натуральными числами от 1 до ¿,

• классами эквивалентности по сильной сравнимости,

• содержащимися в классах эквивалентности по сильной сравнимости циклическими словами длины 2,

• парами цветов, в которые раскрашены сдвиги по циклу этого слово-цикла.

Буквы слово-цикла раскрасим в цвета, в которые раскрашены сдвиги по циклу, начинающиеся с этих цветов.

Рассмотрим граф Атта с вершинами вида (к, г), где 0 < к < п и 0 < г < I. Первая координата соответствует цвету, а вторая — букве. Две вершины (к1, г1), (к2, г2) соединяются ребром с весом ], если

• в ]-ом представителе содержится слово-цикл из букв г1, г2,

• буквы ]-го представителя раскрашены в цвета к1, к2 соответственно.

Посчитаем число ребер между вершинами вида (к1,г1) и вершинами вида (к2,г2), где к1,к2 — фиксированы, г1,г2 - произвольны. Рассмотрим два ребра 11 и 12 из рассматриваемого множества с весами j1 < ]2 с концами в некоторых вершинах А = (к1,г11 ),В = (к2,г21) и С = (к1,г12),Б = (к2,г2з) соответственно. Тогда по построению одновременно выполняются неравенства г11 < г12, г21 < г22. При этом, так как рассматриваются представители классов эквивалентности по сильной сравнимости, одно из неравенств строгое. Значит, г11 + г21 < г12 +г22. Так как вторые координаты вершин ограничены числом I, то вычисляемое число ребер будет не более (21 — 1).

Так как первая координата вершин меньше п, то всего ребер в графе будет не более (21 — 1)(п — 1)(п — 2)/2. Таким образом, теорема 19 доказана.

4.2.2. Периоды длины три

Пусть слово Ш не сильно п-разбиваемо. Рассмотрим некоторое множество попарно непересекающихся циклических несравнимых подслов слова Ш вида гт, где т > 2п, г — нециклическое трехбуквенное слово. Будем называть элементы этого множества представителями, имея в виду, что эти элементы являются представителями различных классов эквивалентности по сильной сравнимости. Пусть набралось Ь таких представителей. Пронумеруем их всех в порядке положения в слове Ш (первое — ближе всех к началу слова) числами от 1 до Ь. В каждом выбранном представителе в качестве подслов содержатся ровно три различных трехбуквенных слова.

Введем порядок на этих словах следующим образом:

и V, если

• и лексикографически меньше V,

• представитель, содержащий и, левее представителя, содержащего V.

Из не сильной п-разбиваемости получаем, что максимальное возможное число попарно несравнимых элементов равно п — 1. По теореме Дилуорса существует разбиение рассматриваемых трехбуквенных слов на (п — 1) цепь. Раскрасим слова в (п — 1) цвет в соответствии с их принадлежностью к цепям.

Можно заметить, что до этого момента доказательство теоремы 21 практически полностью повторяет доказательство теоремы 19. Однако для дальнейшего доказательства необходимо использовать ориентированный аналог графа Атта, который вводится далее.

Рассмотрим теперь уже ориентированный граф О с вершинами вида (к, г), где 0 < к < п и 0 < г ^ ¡. Первая координата обозначает цвет, а вторая — букву. Ребро с некоторым весом 3 выходит из (к1 ,г1) в (к2,г2), если для некоторых г3,к3

• в 3-ом представителе содержится слово-цикл г1г2г3,

• буквы г1,г2,г3 3-го представителя раскрашены в цвета к1,к2,к3 соответственно.

Таким образом, граф О состоит из ориентированных треугольников с ребрами одинакового веса. Однако в отличие от графа Атта из доказательства теоремы 19, могут появляться кратные ребра, то есть ребра с общими началом и концом, но разным весом. Для дальнейшего доказательства нам потребуется следующая

Лемма 13 (Основная). Пусть А, В и С — вершины графа О, А ^ В ^ С ^ А - ориентированный треугольник с рёбрами некоторого веса 3, кроме того, существуют другие рёбра А ^ В, В ^ С, С ^ А с весами а,Ь,е соответственно. Тогда среди а,Ь,с есть число, большее 3.

Доказательство. От противного. Если два числа из набора a,b,c равны друг другу, то a = b = c = j, так как в противном случае есть 2 треугольника A ^ B ^ C ^ A, в каждом из которых веса всех трех ребер совпадают между собой. Тогда в П'' есть два не сильно сравнимых слова, что противоречит определению П''. Без ограничения общности, что a наибольшее из чисел a,b и с. Рассмотрим треугольник из ребер веса a. Этот треугольник будет иметь общую с AABC сторону AB и некоторую третью вершину C'. Если вторая координата вершины C' совпадает со второй координатой вершины C (то есть совпали соответствующие C и C' буквы алфавита), то AABC и AABC' соответствуют не сильно сравнимым словам из множества П''. Снова получено противоречие с определением множества П''. По предположению a < j, а значит, из монотонности цвета к a (первой координаты вершины A) слово ÍaÍbic', составленное из вторых координат вершин A, B, C соответственно, лексикографически меньше слова ÍaÍbic. Значит, iC' < ic. Тогда слово iBiC' лексикографически меньше слова Íbic. Из монотонности цвета кв получаем, что b > a. Противоречие. □

4.2.3. Завершение доказательства теоремы 21

Рассмотрим теперь граф G\, полученный из графа G заменой между каждыми двумя вершинами кратных ребер на ребро с наименьшим весом. Тогда по лемме 13 в графе Gi встретятся ребра всех весов от 1 до t.

Посчитаем число ребер из вершин вида (k1,i1) в вершины вида (k2, i2), где к1,к2 фиксированы, i1,i2 произвольны.

Рассмотрим два ребра из рассматриваемого множества с весами j1 < j2 с концами в некоторых вершинах (k1, i1l), (к2, i2l) и (к1, i12), (к2, i22) соответственно. Тогда по построению i1l ^ i12, i2l ^ i22, причем, так как рассматриваются представители классов эквивалентности по сильной сравнимости, одно из неравенств строгое. Так как вторые координаты вершин ограничены числом l, то вычисляемое число ребер будет не более 21 — 1.

Так как первая координата вершин меньше n, то всего ребер в графе будет не более (2l — 1)(n — 1)(n — 2). Таким образом, теорема 21 доказана.

4.2.4. Периоды длины, близкой к степени тождества в алгебре

Пусть слово W не n-разбиваемо. Как и прежде, рассмотрим некоторое множество попарно непересекающихся несравнимых подслов слова W вида zm, где m > 2n, z — (n — 1)-буквенное нециклическое слово. Будем называть элементы этого множества представителями, имея в виду, что эти элементы являются представителями различных классов эквивалентности по сильной сравнимости. Пусть набралось t таких представителей. Пронумеруем их всех в порядке положения в слове W (первое — ближе всех к началу слова) числами от 1 до t. В каждом выбранном представителе в качестве подслов содержатся ровно (n — 1) различное (n — 1) -буквенное слово.

Введем порядок на этих словах следующим образом: и -< V, если

• и лексикографически меньше V;

• представитель, содержащий и левее представителя, содержащего V.

Из не сильной п-разбиваемости получаем, что максимальное возможное число попарно несравнимых элементов равно п — 1. По теореме Дилуорса существует разбиение рассматриваемых (п - 1) -буквенных слов на (п - 1) цепь. Раскрасим слова в (п — 1) цвет в соответствии с их принадлежностью к цепям. Раскрасим позиции, с которых начинаются слова, в те же цвета, что и соответствующие слова.

Рассмотрим ориентированный граф О с вершинами вида (к, г), где 0 < к < п и 0 < г ^ I. Первая координата обозначает цвет, а вторая — букву.

Ребро с некоторым весом ] выходит из (к1,г1) в (к2,г2), если

• для некоторых ... , гп-1 в ]-ом представителе содержится слово-цикл 1112 • • • гп-1;

• позиции, на которых стоят буквы г1, г2 раскрашены в цвета к1, к2 соответственно.

Таким образом, граф О состоит из ориентированных циклов длины (п — 1) с ребрами одинакового веса. Теперь нам требуется найти показатель, который бы строго монотонно рос с появлением каждого нового представителя при движении от начала к концу слова Ш. В теореме 21 таким показателем было число несократимых ребер графа О. В доказательстве теоремы 22 будет рассматриваться сумма вторых координат неизолированных вершин графа О. Нам потребуется следующая

Лемма 14 (Основная). Пусть А1,А2,..., Ап-1 — вершины графа О, А1 ^ А2 ^ • • • ^ Ап-1 ^ А1 — ориентированный цикл длины (п — 1) с рёбрами некоторого веса ]. Тогда не найдётся другого цикла между вершинами А1, А2,..., ..., Ап-1 одного веса.

Доказательство. От противного. Рассмотрим наименьшее число ], для которого нашелся другой одноцветный цикл между вершинами цикла цвета ]. В силу минимальности ] можно считать, что этот цикл имеет цвет к > ]. Пусть цикл цвета к имеет вид А^, А^2,... , А^п-1, где {]Р}'П=\ = {1' 2,... ,п — 1}. Пусть (kj,¡3) — координата вершины А^. Рассмотрим наименьшее число д £ N такое, что для некоторого г слово %зг гзг+1 • • • гзг+^_1 лексикографически больше слова ¡3г+1 • • • +q-1 (здесь и далее сложение нижних индексов происходит по модулю (п — 1)). Такое д существует, так как слова г1г2 • • • гп-1 и г^• • • гзп_г сильно сравнимы. Кроме того, в силу совпадения множеств {]р}П=1 и {1, 2,... ,п — 1} получаем, что д ^ 2. Так как д — наименьшее, то для любого в < д, любого г имеем г^%зг+1 ••• Ъзг+1!_1 = %зг%зг+1 ••• %зг+8-ь Тогда для любого в < д,

любого г имеем г]г+—1 = г^г+«-1- Из монотонности слов каждого цвета получаем, что для любого г г^т+1 ••• 1]г+ч-1 не больше +1 ••• +-1 ■ Значит, для любого г верно неравенство г^т+ч_1 ^ г^г+q-1■ По предположению найдется такое г, что г^г+с1_1 > г^г+ч-1 ■ Так как обе последовательности {]г+—1}'П—\ и {Зг + Я — 1 пробегают элементы множества чисел {1, 2, ■■■ ,п — 1} по одному

п—1 п-1

разу, то £ Зг+(}-1 = ^2 (Зг + Я — 1) (при вычислении числа Зг— 1 суммирование

Г=1 Г=1

п- 1 п- 1

также проходит по модулю (п — 1)). Но мы получили ^ jr+q-1 > ^2 (З + Я — 1)

Г=1 Г=1

Противоречие. □

4.2.5. Завершение доказательства теоремы 22

Для произвольного З рассмотрим циклы длины (п — 1) весов З и З + 1 для некоторого з Из основной леммы 14 найдутся числа к, г такие, что вершина (к, г) входит в цикл веса (З + 1), но не входит в цикл веса З Пусть цикл веса З состоит

п- 1

из вершин вида (к, г^,к)), где к = 1, 2, ■ ■ ■ , п — 1 Введем величину п(З) = ^2 гk)■

к=1

Тогда из основной леммы 14 и монотонности слов по цветам получаем, что п(З + 1) ^ п(З) + 1 Так как рассматриваемые периоды не циклические, то найдется к такое, что г(1, к) > 1 Значит, п(1) > п — 1 ^З : г^,к) ^ I — 1, а значит, п(З) ^ (I — 1)(п — 1) Следовательно, З ^ (I — 2)(п — 1) Значит, Ь ^ (I — 2)(п — 1) Тем самым, теорема 22 доказана.

Представленная при доказательстве теоремы 22 техника позволяет доказать следующий факт:

Предложение 7. Малая выборочная высота .множества не сильно п-разбиваемых слов над ¡-буквенным алфавитом относительно множества нециклических слов длины (п — с) не больше Б(с)пс1, где О(с) — некоторая ффункция, зависящая от с.

4.3. Нижняя оценка малой выборочной высоты над периодами длины два

Приведем пример. Из формулировки этой теоремы следует, что можно положить I сколь угодно большим. Будем считать, что I > 2п-1. Мы воспользуемся конструкциями, принятыми в доказательстве теоремы 19. Таким образом, процесс построения примера сводится к построению ребер в графе на I вершинах. Разобьем этот процесс на несколько больших шагов. Пусть г — натуральное число от 1 до (I — 2п-1). Пусть на г-ом большом шаге в приведенном ниже порядке соединяются ребрами следующие пары вершин: (г, 2п-2 + г),

(г, 2п-2 + 2п-3 + г), (2п-2 + г, 2п-2 + 2п-3 + г),

(г, 2п-2 + 2п-3 + 2п-4 + г), (2п-2 + г, 2п-2 + 2п-3 + 2п-4 + г), (2п-2 + 2п-3 + г, 2п-2 + 2п-3 + 2п-4 + г),...,

(г, 2п-2 + ... + 2 + 1 + г),..., (2п-2 + ... + 2 + г, 2п-2 + ... + 2 + 1 + г), где г = 2, 3,...,1 — 2п-1 + 1. При этом:

1. Никакое ребро не будет подсчитано 2 раза, так как вершина соединена ребрами только с вершинами, значения в которых отличаются от значения в выбранной вершине на неповторяющуюся сумму степеней двойки.

2. Пусть вершина типа (к, г) — вершина, которая на г-ом шаге соединяется с к вершинами, значения в которых меньше значения ее самой. Для всех г будут вершины типов (0, г), (1, г)..., (п — 2, г).

Раскрасим в к-ый цвет слова, которые для некоторого г начинаются с буквы типа (к, г) и заканчиваются в буквах, с которыми вершина типа (к, г) соединяется ребрами на г-ом большом шаге. Получена корректная раскраска в (п — 1) цвет, а значит, слово сильно п-разбиваемо.

3. На г-ом большом шаге осуществляется (п 2)2(п 3) шагов. Значит,

q = (I — 2п-1)(п — 2)(п — 3)/2, где q — количество ребер в графе Атта. Тем самым, теорема 20 доказана.

4.4. Оценка существенной высоты с помощью выборочной высоты

Из рассмотрения случая периодов длины 2 с помощью кодировки букв можно получить оценку на существенную высоту, которая будет расти полиномиально по числу образующих и экспоненциально по степени тождества. Для этого надо обобщить некоторые понятия, введенные ранее. Заметим, что механизм кодировки букв представляется перспективным для обобщения оценок на высоту, полученных при конкретном значении одного из параметров (в данном случае — ограничение длины слов в базисе Ширшова).

Конструкция 1. Рассмотрим алфавит А с буквами {а1, а2,... ,а{}. Введём на буквах лексикографический порядок: аг > а^, если г > 3. Рассмотрим произвольное множество нециклических попарно сильно сравнимых слово-циклов некоторой одинаковой длины Ь. Пронумеруем эле,мент,ы этого множества натуральными числами, начиная с 1. Введём порядок на словах, входящих в слово-цикл, следующим образом: и — V, если:

1. слово и — лексикографически меньше слова V,

2. слово-цикл, содержащий слово и, имеет меньший номер, чем слово-цикл, содержащий слово V.

Пронумеруем теперь позиции букв в слово-циклах числами от 1 до г от начала к концу некоторого слова, входящего в слово-цикл.

Обозначения 12. 1. Пусть w(г,j) — слово длины г, которое начинается с j-ой буквы в г-ом слово-цикле.

2. Пусть класс X(г, ¡) — рассматриваемое множество слово-циклов с введённым на его словах порядком — .

Определение 16. Назовём те классы X, в которых не найдётся антицепи длины п, — п-светлыми. Соответственно, те, в которых найдётся такая антицепь — п-темными.

Из теоремы Дилуорса получаем, что слова в п-светлых классах X можно раскрасить в (п — 1) цвет, так что одноцветные слова образуют цепь. Далее требуется оценить число элементов в п-светлых классах X.

Определение 17. Пусть Л(г,1,п) — наибольшее возможное число элементов в п-светлом классе X(г,1).

Замечание 5. Здесь и далее первый аргумент в сфункции Л(-, •, •) меньше третьего.

Следующая лемма позволяет оценить Л (г, ¡, п) через случаи малых периодов. Лемма 15. Л(г, ¡2, п) ^ Л(2г, ¡, п)

Доказательство. Рассмотрим п-светлый класс X(2г, ¡). Разобьем во всех его слово-циклах позиции на пары соседних так, чтобы каждая позиция попала ровно в одну пару. Затем рассмотрим алфавит В с буквами {Ьг ^}lij=1, причем Ьг1^1 > Ьг2^2, если г1 • I + j1 > г2 • I + j2. Алфавит В состоит из ¡2 букв. Каждая пара позиций из разбиения состоит из некоторых букв аг, aj. Заменим пару букв аг, aj буквой Ьг^. Поступая так с каждой парой, получаем новый класс X(г,12). Он будет п-светлым, так как если в классе X(г, ¡2) есть антицепь длины п из слов w(г1, л), w(г2,... ^(гп^п), то следует рассматривать прообразы слов w(г1,j1 )^(г2, j2),... ^(гп, jn) в первоначально взятом классе X(2г, ¡). Пусть эти прообразы — слова w(г1 ,jl1),w(г2,jl2),... , w(гn,j/n). Тогда слова 1^(г1,Л),1^(г2,Л),... ^(гп^п) образуют в классе X(2г,1) антицепь длины п. Получено противоречие с тем, что класс X(2г, ¡) — п-светлый. Тем самым, лемма доказана. □

Теперь оценим Л(г, ¡, п) через случаи малых алфавитов.

Лемма 16. Л(г,12,п) ^ Л(2г,1,2п — 1)

Доказательство. Рассмотрим (2п — 1)-темный класс X(2Ь, ¡). Можно считать, что п слов из антицепи, а именно /ш(г1,]\)^(гъ,),... ,^(гп,]п), начинаются с нечетных позиций слово-циклов. Разобьем во всех его слово-циклах позиции на пары соседних так, чтобы каждая позиция попала ровно в одну пару и первая позиция в каждой паре была нечетной.

Затем рассмотрим алфавит В с буквами {Ьг^ }\¿=1, причем Ьг1> Ьг2¿2, если г1 • I + j1 > г2 • I + Алфавит В состоит из ¡2 букв. Каждая пара позиций из разбиения состоит из некоторых букв аг, а^. Заменим пару букв аг, а^ буквой Ьг^. Поступая так с каждой парой, получаем новый класс X(Ь,12). Пусть слова цг!,jl),w(г2,j2),... Мгп^п) перешли в слова Цгь л),т(г2^2),.. .,т(гп^'п). Эти слова будут образовывать антицепь длины п в классе X(Ь,12). Таким образом, получен п-темный класс X(Ь, ¡2) с тем же числом элементов, что и (2п — 1)-темный класс X(2Ь,1). Тем самым, лемма доказана.□

Для дальнейшего рассуждения необходимо связать ^(Ь, ¡, п) для произвольного первого аргумента и для первого аргумента, равного степени двойки.

Лемма 17. 3(Ь,1,п) ^ З(23,1 + 1, 2я(п — 1) + 1), где в = г^^Ьу.

Доказательство. Рассмотрим п-светлый класс X(¿,1). Введем в алфавит А новую букву ао, которая лексикографически меньше любой другой буквы из алфавита А. Получен алфавит А.

В каждый слово-цикл из класса X(¿,1) добавим (Ь + 1)-ю, (Ь + 2)-ю,... , 2я—ю позиции, на которые поставим буквы а0. Получили класс X(2я,1 + 1). Он будет (2я(п — 1) + 1)-светлым, так как в противном случае в этом классе для некоторого j найдутся слова ,ш(г1^),'ш(г2^),... ^^^), которые образуют антицепь в классе X(2я,1 + 1). Тогда:

1. Если j > Ь, то слова ,ю(г1,1),,ю(г2,1),..., ,ш(гп, 1) образуют антицепь в классе X (Ь,1).

2. Если ^ ^ Ь, то словат(г1^),,ш(г2^),... ,т(гп^) образуют антицепь в классе X (Ь,1).

Получено противоречие с тем, что класс X(Ь, ¡) — п-светлый. Тем самым, лемма доказана. □

Предложение 8. 2(Ь, ¡, п) ^ 2(Ь, ¡,п +1)

По лемме 17 3(Ь,1,п) ^ З(23,1 + 1, 2я(п — 1) + 1), где в = г^2(Ьу.

В силу замечания 5 Ь < п. Значит, 2я < 2п.

Следовательно, Л(2я, I + 1, 2я(п — 1) + 1) ^ Л(2я, I + 1, 2п2).

По лемме 15 имеем

2(23,1 + 1, 2п2) ^ 2(23-1, (I + 1)2, 2п2) ^ 2(23-2, (I + 1)22, 2п2) ^

^ 2(23-3, (I + 1)23, 2п2) ^ ••• ^ (I + 1)2^, 2п2).

По теореме 19 имеем (I + 1)28-1, 2п2) < (I + 1)2'"1 • 4п4 < 4(1 + 1)пп4.

То есть доказана следующая

Лемма 18. 2(г,1,п) < 4(1 + 1)пп4.

Чтобы применить лемму 18 к доказательству теоремы 23, требуется оценить число подслов не п-разбиваемого слова с одинаковыми периодами.

Лемма 19. Если в некотором слове Ш найдутся (2п — 1) подслов, в которых период повторится больше п раз, и их периоды попарно не сильно сравнимы, то Ш — п-разбиваемое.

Доказательство. Пусть в некотором слове Ш найдутся (2п — 1) подслов, в которых период повторится больше п раз, и их периоды попарно не сильно сравнимы. Пусть х — период одного из этих подслов. Тогда в слове Ш найдутся непересекающиеся подслова хР1 у[,..., хР2п-1 ь'2п-1, где р1,... ,р2п-1 — некоторые натуральные числа, большие п, а ь^,... ,ь'2п_ 1 — некоторые слова длины |х|, сравнимые с х. Тогда среди слов у[, ... ,ь'2п-1 найдутся либо п лексикографически больших х, либо п лексикографически меньших х. Можно считать, что ^],,...,уП — лексикографически больше х. Тогда в слове Ш найдутся подслова у[,ху2, ... ,хп-1ь'п, идущие слева направо в порядке лексикографического убывания. □

Из этой леммы получаем следствие 24.

Рассмотрим не п-разбиваемое слово Ш. Если в нем найдется подслово, в котором нециклический период х длины не меньше п повторится больше 2п раз, то в слове х2 подслова, которые начинаются с первой, второй, . . . , п-ой позиции, попарно сравнимы. Значит, слово х2п является п-разбиваемым. Получаем

противоречие с не п-разбиваемостью слова Ш. Из лемм 19 и 18 получаем, что суп- 1

щественная высота слова Ш меньше, чем (2п —1) ^ ^(М,п) < 8(1 + 1)пп5(п— 1).

г=1

Значит, Т(п,/) < 8(1 + 1)пп5(п — 1). Тем самым, теорема 23 доказана.

5. Оценки числа перестановочно упорядоченных множеств

5.1. Введение и основные понятия

Определение 18. Частично упорядоченное множество М называется перестановочно упорядоченным, если порядок на нём есть пересечение двух линейных порядков.

Рассмотрим теперь некоторую перестановку п элементов 1, 2,... ,п (иначе говоря, п Е Бп). Определим понятие к-разбиваемости.

Определение 19. Пусть для перестановки п Е Бп найдётся последовательность натуральных чисел 1 ^ г1 ^ 12 ^ • • • ^ %к таких, что п(г1) ^ п(г2) ^ • • • ^ п(гк). Тогда перестановка п(1)п(2)... п(п) называется к-разбивае-мой.

Пример 1. Количество не 3-разбиваемых перестановок в группе Бп есть п-е 'число Каталана и равно ^^"+1)1.

Предложение 9. Если слово является к-разбиваемым, то для любого т < к оно также является т-разбиваемым.

Далее нам потребуется определение диаграммы Юнга.

Определение 20. (Стандартной) диаграммой Юнга порядка п называется таблица, в ячейках которой написаны п различных натуральных чисел, причём суммы чисел в каждой строке и каждом столбце возрастают•,, между числами нет пустых ячеек и есть элемент, который содержится и в первой строке, и в первом столбце.

Определение 21. Диаграмма Юнга называется диаграммой формы р = (р1,р2,... ,рт), если у неё т строк и г-я строка имеет длину р^

Формы диаграмм Юнга пробегают все возможные разбиения на циклы элементов симметрической группы Бп. Любой класс сопряженности группы Бп задается некоторым разбиением на циклы. Каждому классу сопряженности группы соответствует некоторое ее неприводимое представление. Следовательно, форма диаграммы Юнга соответствует неприводимому представлению группы Бп.

Пронумеруем все клетки диаграммы Юнга формы р числами от 1 до п. Пусть — количество клеток диаграммы Юнга, расположенных

• либо в одной строке, либо в одном столбце с клеткой с номером к,

• находящихся не левее или не выше клетки с номером к.

Тогда число диаграмм Юнга формы р и равная ему размерность соответствующего неприводимого представления группы Бп, вычисляются по "формуле крю-

п!

ков

П Н

к=1

В работе [55] приведена биекция между перестановками п чисел 1, 2,... ,п и заполненных теми же числами парами диаграмм Юнга (Р^). Эта биекция и ее следствия будут разобраны в главе 5.3.

В нашей работе мы доказываем следующие результаты:

Теорема 25 ([33]). (п) — количество не (к + 1)-разбиваемых перестановок п Е Бп — не больше, чем ((к—щ2.

Теорема 26. ек(п) — количество п-элементных перестановочно упорядоченных множеств с максимальной антицепью длины к — не больше, чем

ШШ{ (к!)2 , ((п-к)!)2 }.

Следствие 7. Пусть Г является множеством слов алфавита из I букв с введённым на них лексикографическим порядком. Назовём полилинейным слово, все буквы которого различны. Назовём слово к-разбиваемым, если в нём найдутся к непересекающихся подслов, идущих в порядке лексикографического убывания. Тогда количество полилинейных слов длины п (п ^ I), не являющихся (к + 1)-разбиваемыми, не больше, 'чем ^^Пщ^Щ2.

Оценка в теореме 25 улучшает полученную в работе [53]. Следует сказать, что оценка на ^ (п) в работе [53] была получена для доказательства теоремы Регева, вопрос же о ее точности не ставился. Оценка в работе [53] доказывается с помощью теоремы Дилуорса. Применение теоремы Дилуорса в некоторых других задачах комбинаторики слов описано в работе [47].

В работе [48] доказывается, что для для определенной функции К(п) = о( 1п п) и числа к ^ К(п) = о( 1п п) верна асимптотическая оценка (п) =

к2п-о(п)

Для получения производящей функции в работе [52] введено следующее понятие:

Определение 22. Обобщённой диаграммой Юнга формы (р1,р2,.. .рт), где р1 ^ р2 ^ • • • ^ Рт ^ 1, называется массив У положительных чисел у^, где 1 ^ 3 ^ р%, 1 ^ г ^ т, такой, что числа в его строках не убывают,, а в столбцах возрастают.

Еще требуются двухстрочные массивы следующего типа.

Определение 23. Набор пар положительных чисел (и1,у1), (и2,у2),..., (-иN) такой,, что пары (ик,Ук) расположены в неубывающем лексикографическом порядке, называется набором типа а(М).

В работе [52] устанавливается биекция между наборами типа а(М) и парами (Р, Q) обобщенных диаграмм Юнга порядка N (т. е. состоящих из N ячеек). Кроме того, существует взаимно-однозначное соответствие между рассматриваемыми наборами и матрицами, в которых число в ячейке из г-ой строки и 3-го столбца равно количеству пар (г,3) в наборе. В работе [49] на основании функций Шура в\, которые также являются производящими функциями для обобщенных диаграмм Юнга, строится производящая функция для ^ (п). Однако сложность построения явной формулы для ^к (п) растет экспоненциально

по к. К примеру Ып) = 2 Е( к)(п.

5.2. Алгебраические обобщения

В 1950 году Шпехт ([57]) поставил проблему существования бесконечно базируемого многообразия ассоциативных алгебр над полем характеристики 0. Решение проблемы Шпехта для нематричного случая представлено в докторской

диссертации В. Н. Латышева [54]. Рассуждения В. Н. Латышева основывались на применении техники частично упорядоченных множеств. А. Р. Кемер ([51]) доказал, что каждое многообразие ассоциативных алгебр конечно базируемо, тем самым решив проблему Шпехта.

Первые примеры бесконечно базируемых ассоциативных колец были получены А. Я. Беловым ([46]), А. В. Гришиным ([50]) и В. В. Щиголевым ([56]).

После решения проблемы Шпехта в случае характеристики 0 актуален вопрос, поставленный Латышевым.

Введем некоторый порядок на словах алгебры над полем. Назовем обструкцией полилинейное слово, которое

• является уменьшаемым (т. е. является комбинацией меньших слов);

• не имеет уменьшаемых подслов;

• не является изотонным образом уменьшаемого слова меньшей длины.

Вопрос 4 (Латышев). Верно ли, что количество обструкций для полилинейного Т-идеала конечно?

Из проблемы Латышева вытекает полилинейный случай проблемы конечной базируемости для алгебр над полем конечной характеристики. Наиболее важной обструкцией является обструкция хпхп-1 ...х1, ее изотонные образы составляют множество не п-разбиваемых слов.

В связи с этими вопросами возникает проблема:

Вопрос 5. Перечислить количество полилинейных слов, отвечающих данному конечному набору обструкций. Доказать элементарность соответствующей производящей функции.

5.3. Доказательство основных результатов

Лемма 20 ([55]). Существует взаимооднозначное соответствие между перестановками п Е Бп и парами (Р, Q) стандартных диаграмм Юнга, заполненных числами от 1 до п и такими, что гформа Р совпадает с формой Q.

Доказательство. Пусть п = х1х2.. .хп. Построим по ней пару диаграмм Юнга (Р, Q). Сначала построим диаграмму Р.

Определим операцию Б — х, где Б — диаграмма Юнга, х — натуральное число, не равное ни одному из чисел в диаграмме Б.

1. Если х не меньше самого правого числа в первой строке Б (если в ней нет чисел, то будем считать, что х больше любого из них), то добавляем х в конец первой строки диаграммы Б. Полученная диаграмма Б — х.

2. Если найдется большее, чем х, число в первой строке Б, то пусть у — наименьшее число в первой строке, такое что у > х. Тогда заменим у на х. Далее проводим с у и второй строкой те же действия, что проводили с х и первой строкой.

3. Продолжаем этот процесс строка за строкой, пока какое-нибудь число не будет добавлено в конец строки.

Из построения Б — х получаем, что вновь полученная таблица будет диаграммой Юнга.

Пусть Р = (■ ■ ■ ((х1 — х2) — х3) • • • — хп) Тогда Р является диаграммой Юнга и соответствует перестановке п. Пусть диаграмма Q получается из диаграммы Р путем замены хг на г для всех г от 1 до п. Тогда Q также является диаграммой Юнга.

Далее в работе [55] показывается, что приведенное построение пар диаграмм Юнга (Р, Q) по перестановкам п £ Бп взаимнооднозначно. □

Из алгоритма, приведенного в доказательстве леммы 20 следует

Лемма 21 ([55]). Количество строк в диаграмме Р равно длине максимальной убывающей подпоследовательности символов в п = х1х2 ■ ■

п

Приступим теперь непосредственно к доказательству теоремы 25.

Рассмотрим перестановку п = х1х2 ■ ■ ^хп. Она не (к + 1)-разбиваема тогда и только тогда, когда в соответствующих ей диаграммах Р и Q не больше к строк.

Покрасим числа от 1 до п в к цветов произвольным образом. Таких раскрасок кп. Рассмотрим теперь таблицы (не Юнга!), построенные следующим образом. Теперь для каждого г от 1 до к поместим в г-ю строку строимой таблицы числа г-го цвета в возрастающем порядке так, чтобы наименьшее число в строке стояло в первом столбце и между числами в одной строке не было пустых ячеек (но целиком пустые строки быть могут). Назовем полученные таблицы таблицами типа в(п,к). Между раскрасками в к цветов чисел от 1 до п и таблицами типа в(п, к) есть естественная биекция, следовательно, таблиц типа в(п,к) будет ровно кп. Заметим, что любая диаграмма Юнга, заполненная числами от 1 до п с не более, чем к строками, будет таблицей типа в(п, к). Будем считать, что таблицы А и В типа в(п,к) эквивалентны (А ^^ В), если одну из другой можно получить при помощи перестановки строк. Тогда если в таблице типа в(п, к) не больше одной пустой строки, то в соответствующем классе эквивалентности будет ровно к! элементов. Так как в диаграммах Юнга числа в столбцах строго упорядочены по возрастанию, то в каждом классе эквивалентности таблиц типа в(п, к) будет не более одной диаграммы Юнга. Если в диаграмме Юнга ровно к строк, то в соответствующей таблице типа в(п,к) не будет пустых строк. Следовательно, диаграмм Юнга, заполненных числами от 1 до п и имеющих ровно к строк, не больше, чем к~т.

Если в диаграмме Юнга к строк, то в ней не больше, чем (п — к +1) столбец. Раскрасим числа от 1 до п в (п — к + 1) цвет. Рассмотрим теперь таблицы (не Юнга!), построенные следующим образом. Теперь для каждого г от 1 до (п — к + 1) поместим в г-й столбец строимой таблицы числа г-го цвета в возрастающем порядке так, чтобы наименьшее число в столбце стояло в первой строке и между числами в одном столбце не было пустых ячеек (но целиком пустые стобцы быть могут). Назовем полученные таблицы таблицами типа Ашша(п, к). Между раскрасками в (п — к + 1) цветов чисел от 1 до п и таблицами типа Ашша(п, к) есть естественная биекция, следовательно, таблиц типа Ашша(п, к) будет ровно кп. Заметим, что любая диаграмма Юнга, заполненная числами от 1 до п с к строками, будет таблицей типа Ашша(п,к). Будем считать, что таблицы А и В типа Ашша(п, к) эквивалентны (А шшаВ), если одну из другой можно получить при помощи перестановки столбцов. Пусть в таблице А ровно Ь ненулевых столбцов. Всего таблиц типа Ашша(п, к) с Ь ненулевыми строками будет не более, чем таблиц типа Ашша(п, п — Ь +1), т. е. не более Ьп. В классе эквивалентности таблицы типа Ашша(п, к) с Ь непустых столбцов будет (шш{Ь + 1,п — к + 1})! элементов. При этом таблиц с (п — к) или (п — к + 1) столбцов будет не более (п — к + 1)п ив каждом классе эквивалентности среди них будет (п — к + 1)! элементов. Так как в диаграммах Юнга числа в строках строго упорядочены по возрастанию, то в каждом классе эквивалентности таблиц типа Ашша(п, к) будет не более одной диаграммы Юнга. Следовательно, среди таблиц типа Ашша(п, к) будет не более

(п — к + 1)п п—-1 Ьп (п — к + 1)п

+ Е

(п — к + 1)! Ь^ (п — к)!

диаграмм Юнга.

Значит, пар диаграмм Юнга, в каждой из которых по к строк, не больше, чем

. ((п — к + 1)2п к2п 1

шш \ -,- .

\ ((п — к)!)2 , (к!)2}

Следовательно, существует не больше

. ¡ (п — к + 1)2п к2п \ Ш \ ((п — к)!)2 , Щ2}

шш

перестановок п £ Бп с длиной максимальной убывающей подпоследовательности ровно к.

Каждая перестановка соответствует с точностью до изоморфизма паре линейных порядков из п элементов. Порядок в перестановочно упорядоченном множестве есть пересечение двух линейных порядков. Так как у каждой пары линейных порядков ровно одно их пересечение, то по леммам 20 и 21 количество перестановочно упорядоченных множеств порядка п с максимальной антицепью

длины к не больше, чем

. { (п — к + 1)2п к2п } ШШ\ ((п — к)!)2 , (кО2/.

Тем самым теорема 26 доказана.

Замечание 6. Отметим, что по перестановочно упорядоченному множеству не всегда можно определить, какой именно парой линейных порядков оно порождено. Например, рассмотрим множество {рг}1==1 с порядком (р1 > р2 > р3,р4 > р5 > ••• > р8,р9 > ••• > р15). Оно могло быть порождено:

• парой линейных порядков с соотношениями (р3 > р4,р8 > р9) и (рз < 1М,р8 < рд),

• парой линейных порядков с соотношениями (р3 > рд ,р15 > р1) и (рз < рд,р15 < р1).

Эти 2 пары линейных порядков не изоморфны друг другу.

Оценим Дд (п) — количество диаграмм Юнга, заполненных числами от 1 до п и имеющих не больше к строк.

Лемма 22. Верно неравенство Дк(п) ^ (—)..

Доказательство. Как показывалось ранее, если в таблице типа в(п, к) не больше одной пустой строки, то в соответствующем классе эквивалентности будет ровно к! элементов. Следовательно, диаграмм Юнга, заполненных числами от 1 до п и имеющих либо (к — 1), либо к строк, не больше . Значит, для

к < 3 лемма доказана. Пусть она доказана для к < г. Тогда для к = г имеем к—2

Дк (п) ^ кк +Е (—у ^ (к—Щ. □

г=1

Значит, пар диаграмм Юнга порядка п, в каждой из которых по ^ к строк, не больше, чем ((¡—г).. Следовательно, по леммам 20 и 21 количество не (к +

1) -разбиваемых перестановок п Е Бп меньше тттгггуг)1!. Тем самым теорема 25 доказана.

Выведем из теоремы 25 следствие 7. Для каждого набора букв аг1 ,аг2,..., агп количество не (к + 1) -разбиваемых полилинейных слов длины п, составленных из этого набора букв, не больше, чем ((¡—г).. Каждому полилинейному слову

отвечает ровно один набор из п букв. Так как наборов из п букв ровно (п), то количество не (к + 1) -разбиваемых полилинейных слов длины п не больше, чем п\(1—п)^-уу)2. Тем самым, следствие 7 доказано.

5.4. Обобщенные диаграммы Юнга и их производящие функции

Лемма 23 ([52]). Существует взаимооднозначное соответствие между наборами типа а(Ы) и парами (Р, Q) обобщённых диаграмм Юнга порядка N у которых форма Р совпадает с формой Q.

Доказательство. Определим операцию Б ^ х, где Б — обобщенная диаграмма Юнга, х — натуральное число, так же, как в доказательстве леммы 20. Сопоставим некоторому набору типа a(N) из пар (п1,у1), (п2,у2),... (пн,ун) диаграмму Юнга Р = (... ((^1 ^ у2) ^ у3) • • • ^ ). Пусть диаграмма Q получается из диаграммы Р путем замены уг на пг для всех г от 1 до N. Тогда Q также является диаграммой Юнга.

Далее в работе [52] показывается, что приведенное построение пар обобщенных диаграмм Юнга (Р, Q) по наборам типа а взаимнооднозначно. □

Обозначения 13. Перестановка п Е Бп является набором типа а(п) из пар (1,п(1)),..., (п,п(п)).

Симметрические функции.

Здесь и далее считаем, что множество индексов при переменных симметрический функций является множеством натуральных чисел.

Напомним несколько понятий из теории симметрических функций. Полная симметрическая функция Нп равна Нп = ^ хг1 хг2 .. .хгп.

Пусть А — набор (А1, Л2,... ,\к) для некоторого натурального к. Пусть также к

|А| = ^ Аг. Набор А называется разбиением, если А1 ^ А2 ^ • • • ^ Лк.

г=1

Функция Шура Бх равна Бл = ¿еЬ(кл,+'-г.

°° 2 '

В работе [49]

определяются функции Ьг = ^ пХ(п+г)! и ик = ¿е1(6|г—л) .

п=0

Также вводится функция Як(х,у) как Як(х,у) = ^ вл(х)вл(у), где сумма

к

берется по всем разбиениям на не более чем к частей. Тогда коэффициент при

х1х2 ... хпу1.. .уп в функции Як (х, у) равен £к (п). Из этого в [49] выводится, что

2п

ик = Е £к (п) Щ* .

п=0

Количество полилинейных слов длины п над /-буквенным алфавитом (п ^ /), в каждом из которых не найдется последовательности из (к + 1) буквы в порядке лексикографического убывания есть (1п) £к (п).

6. Дальнейшее улучшение оценок высоты

Представленная вниманию читателя техника, возможно, позволяет улучшить полученную в данную работе оценку, но при этом она останется только

субэкспоненциальной. Для получения полиномиальной оценки, если она существует, требуются новые идеи и методы.

В главах 2 и 3 подслова большого слова используются прежде всего в качестве множества независимых элементов, а не набора тесно связанных друг с другом слов. Далее используется то, что буквы внутри подслов раскрашены. При учете раскраски только первых букв подслов получается экспоненциальная оценка. При рассмотрении раскраски всех букв подслов опять получается экспонента. Данный факт имеет место из-за построения иерархической системы подслов. Не исключено, что подробное рассмотрение приведенной связи подслов вкупе с изложенным выше решением позволит улучшить полученную оценку вплоть до полиномиальной.

В работе получены оценки на высоту, линейные по числу образующих I. На самом деле точные оценки на высоту также линейны по I. Следовательно, если какие-либо оценки будут доказаны для случая I = 2, то с помощью перекодировки образующих можно получить общий случай. Модельный пример применения механизма перекодировки можно найти в секции 4.4. Заметим, что в этой секции оценки изначально доказываются не для конкретного числа образующих, а для конкретного базиса Ширшова.

Представляется перспективным перевод основных понятий доказательства теоремы Ширшова на язык графов. По написанному выше, можно считать, что у нас две образующие: 0 и 1. Рассмотрим некоторое очень длинное не п-разбиваемое слово Ш с ракрашенными в соответствии с теоремой Дилуорса позициями (см., например, подсекцию 2.1.2). Теперь возьмем подслово и слова Ш, достаточно большое для того, что если мы возьмем подслово V слова Ш, в два раза большее и по длине и, в свою очередь, содержащее и как подслово, то число цветов позиций, встречающихся в V, примерно равно аналогичному числу в и. Рассмотрим теперь бинарное корневое дерево. Отметим у каждой невисячей вершины левого сына как 0, а правого — как 1. Корневую вершину никак отмечать не будем. Пусть глубина дерева крайне мала по сравнению с длиной слова и. Заметим, что для любого натурального к любое слово над бинарным алфавитом длины к может быть представлено как путь длины к, начинающийся из корня рассмотренного бинарного графа.

Теперь для каждого подслова слова и длины к рассмотрим в графе соответствующий путь и покрасим этот путь в цвет первой позиции соответствующего к-начала. Естественно, некоторые ребра будут покрашены по несколько раз. Полученная картина — слишком пестрая, чтобы сделать какие-либо выводы. Поэтому для каждого цвета оставим самый левый путь этого цвета. Назовем полученную структуру деревом подслов (сравните это дерево с наборами Вр(г) из подсекции 2.2.2). Так как и — подслово слова Ш, можно представить себе его как "окно" определенной длины, положенное на слово Ш. Теперь будем двигать это окно вправо шагом в одну позицию. На каждом шаге будем перерисовывать дерево позиций. Назовем изменение дерева позиций при движении окна вправо эволюцией дерева подслов. Пусть в слове Ш нет периодов длины п,

то есть рассматриваем так называемый ниль-случай. Если взять к = п, то по лемме 3 при сдвиге окна на п2 позиций дерево позиций точно изменится. Если дерево позиций хорошо сбалансировано, то есть мало групп цветов, имеющих длинную общую часть пути, то дерево довольно быстро эволюционирует, более того, количество изменений в нем будет ограничено полиномом. Однако если дерево подслов не сбалансировано, то некоторые ветки дерева "перегружаются" цветами. В подсчете того, до какой степени ветки могут быть перегружены цветами, быть может, кроется получение полиномиальной оценки на высоту.

Рассмотренный выше граф одинаково применим как для оценки индекса нильпотентности, так и для оценки существенной высоты. Ниже построен граф, который можно построить на периодических подсловах при оценке существенной высоты. Пусть Ь — длина периода.

Пусть слово Ш не п-разбиваемо. Как и прежде, рассмотрим некоторое множество попарно непересекающихся несравнимых подслов слова Ш вида гт, где т > 2п, г — ¿-буквенное нециклическое слово. Будем называть элементы этого множества представителями, имея в виду, что эти элементы являются представителями различных классов эквивалентности по сильной сравнимости. Пусть набралось Ь таких представителей. Пронумеруем их всех в порядке положения в слове Ш (первое — ближе всех к началу слова) числами от 1 до ¿.В каждом выбранном представителе в качестве подслов содержатся ровно Ь различное Ь-буквенное слово.

Введем порядок на этих словах следующим образом: и -< V, если

• и лексикографически меньше V;

• представитель, содержащий и левее представителя, содержащего V.

Из не сильной п-разбиваемости получаем, что максимальное возможное число попарно несравнимых элементов равно Ь. По теореме Дилуорса существует разбиение рассматриваемых Ь-буквенных слов на Ь цепь. Раскрасим слова в Ь цвет в соответствии с их принадлежностью к цепям. Раскрасим позиции, с которых начинаются слова, в те же цвета, что и соответствующие слова.

Напомним, что слово-цикл и — слово и со всеми его сдвигами по циклу.

Рассмотрим ориентированный граф О с вершинами вида (к, г), где 0 < к < п и 0 < г ^ ¡. Первая координата обозначает цвет, а вторая — букву.

Ребро с некоторым весом З выходит из (к1,г1) в (к2,г2), если

• для некоторых г3, г4, ■ ■ ■ , г^ в З-ом представителе содержится слово-цикл г^2 • • • г4;

• позиции, на которых стоят буквы г1, г2 раскрашены в цвета к1, к2 соответственно.

Таким образом, граф О состоит из ориентированных циклов длины Ь. Теперь нам требуется найти показатель, который бы строго монотонно рос с появлением каждого нового представителя при движении от начала к концу слова Ж

Можно заметить, что как и в случае дерева подслов, мы естественным образом столкнулись с понятием эволюции графов. Только в данном случае "окно" может "растягиваться", то есть его левый край остается на месте, а правый движется вправо. Разбалансировка же выражается также — в длинных путях, которые по очереди входят в разные циклы длины ¿. Отметим, что конструкция графа С близка к конструкции графов Рози. Обзор тематики графов Рози можно найти в [26].

Интересно также получить оценки на высоту алгебры над множеством слов степени не выше сложности алгебры (в англоязычной литературе PI-degree). В работе [13] получены экспоненциальные оценки, а для слов, не являющихся линейной комбинацией лексикографически меньших, в работе [41] получены надэкспоненциальные оценки.

Приложение 1. Комбинаторика слов

1. Проблема Куроша-Левицкого для конечно порожденных

• ниль-алгебр конечного ниль-индекса

• алгебр конечного индекса

Теорема Ширшова о высоте. Множество всех не п-разбиваемых слов в конечно порожденной алгебре с допустимым полиномиальным тождеством имеет ограниченную высоту Н над множеством слов степени не выше п — 1 .

Литература: [2, 13, 40].

2. Определение. Ассоциативное слово называется правильным, если оно лексикографически больше любого своего циклического сдвига.

Неассоциативное слово называется правильным, если оно правильное в ассоциативном смысле и

• если [и] = [[у][и>]], то V и V — правильные слова,

• если [и] = [[у^У^]^], то у2 ^ V

Теорема Ширшова. В правильном в ассоциативном смысле слове существует единственный способ расставить Лиевы скобки так, чтобы полученное слово было правильным в неассоциативном смысле.

Правильные слова образуют базис свободной алгебры Ли.

Литература: [13, 40, 10, 14].

3. Определение. Назовем слово и полуправильным, если любой его конец либо лексикографически меньше и, либо является началом и.

Теорема. Любое бесконечное слово над конечным алфавитом содержит подслово /д/, где / — полуправильное, а д — правильное (возможно, пустое) слово.

Литература: [13], [14].

4. Теорема Ван дер Вардена. Пусть п и к — натуральные числа, последовательность натуральных чисел разбита на к множеств. Тогда найдется число /(п, к) такое, что среди первых /(п, к) натуральных чисел найдется арифметическая прогрессия длины п из одного множества.

Многомерное обобщение для фигур и гомотетии с положительным коэффициентом.

Литература: [62, 63].

5. Построение фрактала Рози с помощью чисел Трибоначчи. Литература: [77].

6. Теорема. Слово от п букв избегаемо тогда и только тогда, когда ни одно из его значений не является подсловом Zn.

Литература: [14, 58, 65].

7. Определение. Группа удовлетворяет условию О'(Х), когда общая часть любых двух порождающих соотношений меньше, чем А, умноженное на длину любого из них.

Лемма Гриндлингера. В карте, удовлетворяющей условию С'( 1), найдется клетка, большая часть границы которой лежит на границе карты.

Алгебраическая формулировка с группами и соотношениями.

Литература: [58, 64].

8. Теорема Регева. Если алгебры А и В удовлетворяют полиномиальному тождеству, то алгебра А В также удовлетворяет полиномиальному тождеству.

Литература: [66, 53].

9. Биекция между словами и парами диаграмм Юнга. Литература: [55, 52].

10. Определение. рш (п) — количество подслов длины п в слове ,ш.

Слово называется уравновешенным, если в любых двух его подсловах одинаковой длины количество единиц различается не больше, чем на 1.

Теорема. Эквивалетность трех определений слов Штурма:

• Р- (п) = п +1

• — уравновешенное непериодичное слово

• — механическое слово с иррациональным углом наклона

Литература: [26, 67].

Приложение 2. Алгоритмические методы в теории колец

1. Приведенные ниже факты отдельно доказывались для е- и Lie- алгебр, но доказательства и формулировки для различных типов алгебр похожи, поэтому ниже приведена попытка объединения формулировок.

А.И. Ширшов ввел и доказал следующие понятия и теоремы:

Определение Слова длины 1 назовем П-правильными (П = K,AK,Lie) словами и произвольно упорядочим. Считая, что П-правильные слова, длина которых меньше n, n > 1, уже определены и упорядочены каким-то способом так, что слова меньшей длины предшествуют словам большей длины, назовем слово w длины n П-правильным, если

(a) w = uv, где u, v — П-правильные слова;

(b) u ^ v при П = K и u > v при П = AK, Lie;

(c) (Только для П = Lie) если u = uiu2, то u ^ v.

Теорема 1. Правильные слова образуют базис свободной П-алгебры.

Теорема 2. Всякая подалгебра свободной П-алгебры свободна.

Проблема тождества для П-алгебр. Существует ли алгоритм, который для произвольного конечного множества S и произвольного элемента а из П-алгебры позволяет выяснить, принадлежит ли а идеалу {S).

Теорема о тождестве 1. Пусть S — некоторое фиксированное множество элементов свободной П-алгебры E. Тогда существует алгоритм, позволяющий за конечное число шагов определить, принадлежит ли произвольный элемент t Е E идеалу (S).

Следствие. Существует алгоритм, решающий проблему тождества для алгебр Ли с одним определяющим соотношением.

Теорема о тождестве 2. Существует алгоритм, решающий проблему тождества для алгебр Ли с однородными множествами определяющих соотношений.

Теорема о свободе. Пусть E0 — П-алгебра с множеством порождающих R и одним опредлеяющим соотношением s = 0, в левую часть которого входит образующий аа. Тогда подалгебра E0, порожденная в алгебре E0 множеством R \ аа, свободна.

Литература: [6, 7, 10, 11, 12, 13].

2. Определение. Группа удовлетворяет условию C"(A), когда общая часть любых двух порождающих соотношений меньше, чем A, умноженное на длину любого из них.

Лемма Гриндлингера. В карте, удовлетворяющей условию C'(|), найдется клетка, большая часть границы которой лежит на границе карты.

Алгебраическая формулировка с группами и соотношениями.

Алгоритм Дена - Гриндлингера определения тривиальности группового слова в группе с конечным числом соотношений.

Литература: [58, 64].

3. Diamond-lemma. Пусть M — ЧУМ, в котором любая убывающая цепь — конечна.

Определение. Отношение Чёрча-Россера: x ^ у, если у x и y есть общий потомок. Представим M в виде графа Ньюмана с множеством ребер R. Тройка (M, ^,R) называется схемой симплификации. Следующие условия эквивалентны:

(a) M — обладает свойством каноничности (т.е. у каждого m £ M нормальная форма единственна).

(b) Отношение Черча-Россера — транзитивно.

(c) Выполняется условие локального слияния ("у любых двух братье есть общий потомок").

(d) В любой компоненте связности лежит ровно один минимальный элемент.

(e) (x ^ у, т.е. между x и у есть неориентированный путь) ^^ (x ^^ у).

Определение. Введем на мономах X* линейный порядок < такой, что для любого монома z £ X* имеет место x < у ^ xz < yz. Базис Грёбнера-Ширшова некоторого идеала I < k{X) — это конечное множество полиномов G, порождающее идеал I, причем старший моном h любого полинома h £ I делится на некоторый старший моном д полинома из базиса Гребнера-Ширшова.

Элемент h обладает H-представлением относительно системы порождающих G, если в представлении h = aiuigivi любой моном Ui§ivi не больше, чем h.

Определим для полинома f £ k(X) его supp(f) — упорядоченное множество составляющих его мономов. Тогда лексикографический порядок на суппортах полиномов индуцирует частичный порядок ^supp на полиномах k(X).

Теорема. Следующие условия эквивалентны.

(a) G — базис Гребнера-Ширшова I.

(b) Любой элемент I редуцируется относительно G к нулю.

(с) Любой к £ I обладает Н-представлением относительно О. (ё) Схема (к{Х), ^зирр, Ко) обладает свойством каноничности.

Литература: [68, 69, 70].

4. Теорема (Морс-Туэ, [72, 73]). Пусть X = {а,Ъ}, X* — множество слов над алфавитом X, подстановка ф задана соотношениями ф(а) = аЪ, ф(Ъ) = Ъа. Тогда если слово V £ X* — бескубное, то и ф('ш) — бескубное.

Теорема (Туэ—1, [72]). Пусть X = {а,Ъ,с}, X* — множество слов над алфавитом X, подстановка ф задана соотношениями ф(а) = аЪсаЪ, ф(Ъ) = асаЪсЪ, ф(с) = асЪсасЪ. Тогда если слово V £ X* — бесквадратное, то и ф('ш) — бесквадратное.

Теорема (Туэ—2). Пусть Ь и N — алфавиты, N * — множество слов над алфавитом N, для подстановки ф : Ь ^ N * выполнены следующие условия:

(a) если длина V не больше 3, то ф(^>) — бесквадратное;

(b) если а, Ъ — буквы алфавита Ь, а ф(а) — подслово ф(Ъ), то а = Ъ.

Тогда если слово V £ Ь* — бесквадратное, то и ф(^>) — бесквадратное.

Теорема (Крошмор, [76]). Пусть Ь и N — алфавиты, N * — множество слов над алфавитом N, ф : Ь ^ N * — подстановка, М — наибольший размер образа буквы алфавита Ь при подстановке ф, т — наименьший размер образа буквы Ь при той же подстановке, к = тах{3,1 + [(М — 3)/т]}. Тогда подстановка ф — бесквадратная в том и только в том случае, когда для любого бесквадратного слова V длины ^ к слово ф(^>) будет бесквадратным.

Литература: [58, 72, 73, 74, 75, 76].

5. Определение. Алгебра А называется мономиальной, если в ней есть базис определяющих соотношений вида с = 0, где с — слово от образующих алгебры.

Конечным автоматом (КА) с алфавитом X входных символов называется ориентированный граф, в котором выделено два (возможно пересекающиеся) множества вершин, называемых начальными и финальными (конечными) и каждое ребро помечено буквой из конечного алфавита X. Язык Ь называется регулярным или автоматным, если существует конечный автомат, допускающий слова из множества Ь и только их.

Автомат называется детерминированным, если (а) начальная вершина ровно одна;

(b) из любой его вершины не может выходить более одного ребра, помеченного одной и той же буквой;

(c) нет ребер, помеченных пустой цепочкой.

Предложение. для всякого недетерминированного КА существует детерминированный КА, допускающий то же самое множество слов.

Определение. Алгебра А называется автоматной, если множество ее ненулевых слов от образующих А является регулярным языком.

Предложение. Конечно определенная мономиальная алгебра является автоматной.

Определение. Функция роста Ул(п) алгебры А — это размерность пространства, порожденного словами длины не выше п.

Если следующий предел существует, то его значение называется размерностью Гельфанда-Кириллова алгебры А и обозначается СК(А):

Ы(УА(п)) п^ж 1п(п)

СК (А) = Иш

Пусть Ашша(А) — минимальный детерминированный граф автоматной алгебры А. Назовем вершину графа циклической, если существует путь, начинающийся и заканчивающийся в этой вершине. Назовем вершину дважды циклической, если существуют два различных пути, начинающихся и заканчивающихся в этой вершине и не проходящих ни через одну другую вершину дважды.

Пусть граф Ашша не имеет дважды циклических вершин. Назовем цепью подграф графа Ашша, состоящий из последовательности ребер, в которой конец предыдущего ребра является началом следующего, и никакая вершина не встречается дважды. Назовем простым графом подграф графа Ашша, состоящий из конечного числа циклов, занумерованных числами 1, 2,... причем пары соседних циклов с номерами г, г + 1 соединены ровно одной цепью, направленной от г-го к (г + 1)-му циклу. В первый цикл может входить одна цепь, и из последнего также может выходить одна цепь.

Теорема (Уфнаровский). Пусть А — автоматная алгебра, Ашша(А) — ее минимальный детерминированный граф.

(a) Если Ашша(А) имеет вершину, принадлежащую двум различным циклам, то А имеет экспоненциальную функцию роста.

(b) Если Ашша(А) не имеет дважды циклических вершин, то А имеет степенную функцию роста. Степень роста (размерность Гельфанда-Кириллова) равна количеству циклов в максимальном простом подграфе, содержащемся в Ашша(А).

Теорема. Пусть граф автоматной мономиальной алгебры А не имеет вершин, принадлежащих двум циклам. Тогда А вкладывается в алгебру матриц над полем.

Следствие. Пусть А — автоматная мономиальная алгебра, Атта(А) — ее минимальный детерминированный граф. Тогда следующие уловия эквивалентны:

(a) Атта(А) не имеет дважды циклических вершин;

(b) алгебра А имеет степенной рост;

(c) алгебра А имеет не экспоненциальный рост; (ё) алгебра А представима матрицами над полем; (е) в А выполняется полиномиальное тождество.

Литература: [13, 58, 14, 78, 79].

Предметный указатель

Н-представление, 108

п-разбиение в хвостовом смысле, 70

Алгебра

автоматная, 110 мономиальная, 109 Автомат

детерминированный, 109 конечный, 109 Базис

Гребнера-Ширшова, 108 Ширшова, 61, 62 состоящий из слов, 62 Даймонд-лемма, 108 Дерево подслов, 102 Диаграмма Юнга обобщенная, 96 стандартная, 95 Эволюция дерева подслов, 102 Функция роста алгебры, 61, 110 Граф

Ньюмана, 108 подслов, 102 большой длины, 89, 103 длины два, 86 длины три, 87 Индекс

алгебры, 59 нильпотентности, 58 Класс нильпотентности, 58 Лемма

Гриндлингера, 106, 108 о процессе, 73 основная для ниль-случая, 74 для общего случая, 78 Множество

перестановочно упорядоченное, 94 Ниль-индекс, 58 Отношение Черча-Россера, 108 Проблема

Бернсайда для ассоциативных алгебр, 58 для групп, 57 Куроша, 59, 105 тождества, 107 Размерность

Гельфанда-Кириллова, 61, 110 Слова

к-хвост, 69 к-начало, 69 хвост, 69, 72 несравнимые, 69 сравнимые сильно, 76 Слово

(п, -сократимое, 70 п-разбиваемое, 63 сильно, 76

в хвостовом смысле, 70 в обычном смысле, 70 -цикл, 76, 86, 103 Штурма, 106 Зимина, 106 циклическое, 76 нециклическое, 76 полилинейное, 64 полуправильное, 105 правильное, 105, 107 уравновешенное, 106 Свойство

каноничности, 108 Теорема

Амицура-Левицкого, 68 Дилуорса, 63, 73, 77, 96 Капланского, 59 Крошмора, 58, 109 Морса-Туэ, 57, 109 Регева, 64, 106

Ширшова для алгебр Ли, 105 Ширшова о высоте, 60, 105

Туэ, 58, 109 Уфнаровского, 110 Ван дер Вардена, 105 о свободе, 107 Тождество

стандартное, 60, 68 Вершина графа

циклическая, 110

дважды, 110 финальная, 109 конечная, 109 начальная, 109 Высота

алгебры, 61 множества, 61 слова, 80

существенная, 61, 63 выборочная большая, 84 малая, 84 множества, 84

Язык

автоматный, 109 регулярный, 109

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Burnside W. On an unsettled question in the theory of discontinuous groups // Quart. J. Math. 1902. Vol. 33. P. 230-238.

2. Курош А. Г. Проблемы теории колец, связанные с проблемой Бeрнсайда о периодических группах // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1941. Т. 5, вып. 3. C. 233-240.

3. Kaplansky I. On a problem of Kurosch and Jacobson // Bull. AMer. Math. Soc. 1946. Vol. 52. P. 496-500.

4. Levitzki J. On a problem of A. Kurosch // Bull. AMer. Math. Soc. 1946. Vol. 52. P. 1033-1035.

5. Dilworth R. P. A Decomposition Theorem for Partially Ordered Sets // Annals of Mathematics. 1950. Vol. 51(1). P. 161-166.

6. Ширшов А. И. Подалгебры свободных лиевых алгебр // Мат. сб. 1953. Т. 33(75), № 2. C. 441-452.

7. Ширшов А. И. Подалгебры свободных коммутативных и свободных антикоммутативных алгебр // Мат. сб. 1954. Т. 34(76), № 1. C. 81-88.

8. Ширшов А. И. О кольцах с тождественными соотношениями // Мат. сб. 1957. Т. 43(85), № 2. C. 277-283.

9. Ширшов А. И. О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах // Мат. сб. 1957. Т. 41(83), № 3. C. 381-394.

10. Ширшов А. И. О свободных адгебрах Ли // Мат. сб. 1958. Т. 45(87), № 2. C. 113-122.

11. Ширшов А. И. Некоторые алгоритмические проблемы для е-алгебр // Сиб. мат. журн. 1962. T. 3, № 1. C. 132-137.

12. Ширшов А. И. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб. мат. журн. 1962. T. 3, № 2. C. 292-296.

13. Belov A. J., Borisenko V. V., Latysev V. N. Monomial Algebras / A. J. Belov, V. V. Borisenko, V. N. Latysev. — NY.: Plenum, 1997.

14. Уфнаровский В. А. Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре // Итоги науки и техн.. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. 1990. № 57. С. 5-177.

15. Пчелинцев С. В. Теорема о высоте для альтернативных алгебр // Мат. сб. 1984. T. 124, № 4. C. 557-567.

16. Мищенко С. П. Вариант теоремы о высоте для алгебр Ли // Мат. заметки. 1990. T. 47, № 4. C. 83-89.

17. Белов А. Я. О базисе Ширшова относительно свободных алгебр сложности n // Мат. сб. 1988. T. 135, № 31. C. 373-384.

18. Kanel-Belov A., Rowen L. H. Computational aspects of polynomial identities / A. Kanel-Belov, L. H. Rowen. Research Notes in Mathematics 9. — Wellesley, MA: AK Peters, Ltd., 2005.

19. Ciocanu Gh. Independence and quasiregularity in algebras. II. // Izv. Akad. Nauk Respub. Moldova Mat. 1997. № 70. P. 70-134.

20. Ciocanu Gh. Local finiteness of algebras // Mat. Issled Moduli, Algebry, Topol. 1988. №105. P. 153-198.

21. Ciocanu Gh., Kozhukhar E. P. Independence and nilpotency in algebras // Izv. Akad. Nauk Respub. Moldova Mat. 1993. № 2. P. 51-95.

22. Ciocanu Gh. Independence and quasiregularity in algebras // Dokl. Akad. Nauk. 1994. Vol. 337, no. 3.

23. Уфнаровский В. А. Теорема о независимости и ее следствия // Мат. сб. 1985. Т. 128(170), № 1(9). C. 124-132.

24. Ufnarovskii V. A., Ciocanu Gh. Nilpotent matrices // Mat. Issled. Algebry, Koltsa i Topologii. 1985. № 85. P. 130-155.

25. Белов А. Я. О рациональности рядов Гильберта относительно свободных алгебр // Успехи мат. наук. 1997. T. 52, № 2. P. 153-154.

26. Lothaire M. Combinatorics of words // Cambridge: Cambridge mathematical library, 1983.

27. Латышев В. Н. Комбинаторные порождающие полилинейных полиномиальных тождеств // Фундам. и прикл. мат. 2006. Т. 12, № 2. С. 101-110.

28. Колотов А. Г. О верхней оценке высоты в конечно порожденных алгебрах с тождествами // Сиб. мат. журн. 1982. T. 23, № 1. С. 187-189.

29. Днестровская тетрадь: оперативно-информац. сборник. 4-е изд., Новосибирск: изд. ин-та мат. СО АН СССР, 1993. — 73 C.

30. Belov A. Ya. Some estimations for nilpotency of nil-algebras over a field of an arbitrary characteristic and height theorem // Commun. Algebra. 1992. Vol. 20, № 10. P. 2919-2922.

31. Drensky V. Free Algebras and PI-algebras: Graduate Course in Algebra // Singapore: Springer-Verlag, 2000.

32. Харитонов М. И. Оценки на структуру кусочной периодичности в теореме Ширшова о высоте // Вестник Московского университета, Серия 1, Математика. Механика. 2013. №1. C. 10-16.

33. Харитонов М. И. Оценки на количество перестановочно упорядоченных множеств // Вестник Московского университета, Серия 1, Математика. Механика. 2015. № 2. В печати.

34. Klein A. A. Indices of nilpotency in a Pi-ring // Archiv der Mathematik. 1985. Vol. 44, № 4. P. 323-329.

35. Klein A. A. Bounds for indices of nilpotency and nility // Archiv der Mathematik. 2000. Vol. 74, № 1. P. 6-10.

36. Procesi C. Rings with polynomial identities // N.Y.: 1973. — 189 p.

37. Белов А. Я. Размерность Гельфанда-Кириллова относительно свободных ассоциативных алгебр // Мат. сб. 2004. Т. 195, № 12. P. 3-26.

38. Кузьмин Е. Н. О теореме Нагаты-Хигмана // Сб. трудов, посвященный 60-летию акад. Илиева. София, 1975 — С. 101-107.

39. Размыслов Ю. П. Тождества алгебр и их представлений. М.: Наука, 1989. 432 с.

40. Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным, первое издание. M.: Современная алгебра. 1978. 438 с.

41. Белов А. Я. Проблемы бернсайдовского типа, теоремы о высоте и о независимости // Фундам. и прикл. мат. 2007. Т. 13, вып. 5. С. 19-79.

42. Lopatin A. A. On the nilpotency degree of the algebra with identity xn = 0 // Journal of Algebra. 2012. № 371. P. 350-366.

43. Чибриков Е. С. О высоте Ширшова конечнопорожденной ассоциативной алгебры, удовлетворяющей тождеству степени четыре // Известия Алтайского государственного университета. 2001. № 1(19). С. 52-56.

44. Харитонов М. И. Двусторонние оценки существенной высоты в теореме Ширшова о высоте // Вестник Московского университета. Серия 1, Математика. Механика. 2012. № 2. C. 20-24.

45. Белов А. Я., Харитонов М. И. Субэкспоненциальные оценки в теореме Ширшова о высоте // Мат. сб. 2012. № 4. С. 81-102.

46. Белов А. Я. О нешпехтовых многообразиях // Фундам. и прикл. мат. 1999. Т. 5, вып. 1. C. 47-66.

47. Белов А. Я., Харитонов М. И. Оценки высоты в смысле Ширшова и на количество фрагментов малого периода // Фундам. и прикл. мат. 2012. Т. 17, вып. 5. C. 21-54.

48. Челноков Г. Р. О нижней оценке количества k+1-разбиваемых перестановок // Модел. и анализ информ. систем. 2007. Т. 14, №4. C. 53-56.

49. Gessel I. M. Symmetric Functions and P-Recursiveness //J. Combin. Theory Ser. A. 1990. Vol. 53. P. 257-285.

50. Гришин А. В. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2 // Фундам. и прикл. мат. 1999. Т. 5, вып. 1. C. 101-118.

51. Кемер А. Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. 1987. T. 26, №5. C. 597-641.

52. Knuth D. E. Permutations, matrices, and generalized Young tableux // Pacific journal of mathematics. 1970. Vol. 34, № 3. P. 709-727.

53. Латышев В. Н. К теореме Регева о тождествах тензорного произведения PI-алгебр // УМН. 1972. Т. 27, №4(166). C. 213-214.

54. Латышев В. Н. Нематричные многообразия ассоциативных алгебр. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977.

55. Schensted C. Longest increasing and decreasing subsequences // Canad. J. Math. 1961. №13. P. 179-191.

56. Щиголев В. В. Примеры бесконечно базируемых T-идеалов // Фундам. и прикл. мат. 1999. Т. 5, вып. 1. C. 307-312.

57. Specht W. Gesetze in Ringen. I. // Math. Z. 1950. Vol. 52. P. 557-589.

58. Sapir M. V. Combinatorial algebra: syntax and semantics // Springer, 2014.

59. Amitsur S. A., Levitzki J. Minimal identities for algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1950. №2. P. 449-463.

60. Li F., Tzameret I. Matrix dentities and proof complexity lower bounds // 2013.

61. Lopatin A. A., Shestakov I. P. Associative nil-algebras over finite fields // International Journal of Algebra and Computation. 2013. Vol. 23, № 8. P. 18811894.

62. Бугаенко В. О. Обобщенная теорема Ван дер Вардена // Мат. просвещение. Сер. 3. 2006. Вып. 10. С. 151 - 160.

63. Хинчин А. Я. Три жемчужины теории чисел. М.: Наука, 1979.

64. Клячко А. А. Спецкурс по теории групп. 2009.

65. Зимин А. И. Блокирующие множества термов // Мат. сб. 1982. Т. 119(161), № 3(11). C. 363-375.

66. Regev A. Existence of polinomial identities in A B // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 77, № 6. P. 1067-1069.

67. Фрид А. Э. Введение в комбинаторику слов: лекции, 2011.

68. Bergman G. M. The Diamond Lemma for Ring Theory // Advances in mathematics. 1978. Vol. 29. P. 178-218.

69. Beidar K. I., Martindale W. S. III, Mikhalev A. V. Rings with generalized identities // K. I. Beidar, W. S. Martindale III, A. V. Mikhalev. Pure and applied mathematics, 1995.

70. Латышев В. Н. ЕНС Прикладные проблемы алгебры. 2012.

71. Kaplansky I. Rings with a polynomial identity // Bull. Amer. Math. Soc. 1948. Vol. 54. P. 575-580.

72. Thue A. Uber unendliche Zeichenreihen // Norske Vid. Selsk. Skr., I. Mat. Nat. Kl., Christiana. 1906. Vol. 7. P. 1-22.

73. Morse M. Recurrent Geodesics on a Surface of Negative Curvature // Trans. Amer. Math. Soc. 1921. Vol. 22. P. 84-100.

74. Berstel J. Mots sans carre et morphismes iteres // Discrete Math. 1979. Vol. 29. P. 235-244.

75. Berstel J. Sur les mots sans carre definis par un morphisme // Springer-Verlag, 1979.

76. Crochemore M. Sharp characterizations of square-free morphisms // Theoret. Comput. Sci. 1982. Vol. 18. P. 221-226.

77. wiki:en. Rauzy fractal.

78. wiki:ru. Минимальная форма автомата.

79. wiki:ru. Диаграмма состояний (теория автоматов).

REFERENCES

1. Burnside, W. 1902, "On an unsettled question in the theory of discontinuous groups" , Quart. J. Math., vol. 33, pp. 230-238.

2. Kurosch, A. 1941, "Ringtheoretische Probleme, die mit dem Burnsideschen Problem iiber periodische Gruppen in Zusammenhang stehen" , Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., vol. 5, iss. 3, pp. 233-240. (Russian)

3. Kaplansky, I. 1946, "On a problem of Kurosch and Jacobson" , Bull. AMer. Math. Soc., vol. 52., pp. 496-500.

4. Levitzki, J. 1946, "On a problem of A. Kurosch" , Bull. AMer. Math. Soc., vol. 52, pp. 1033-1035.

5. Dilworth, R. P. 1950, "A Decomposition Theorem for Partially Ordered Sets" , Annals of Mathematics., vol. 51(1), pp. 161-166.

6. Shirshov, A. I. 1953, "Subalgebras of free Lie algebras" , Mat. Sb. (N.S.), vol. 33(75), no. 2, pp. 441-452. (Russian)

7. Shirshov, A. I. 1954, "Subalgebras of free commutative and free anticommutative algebras" , Mat. Sb. (N.S.), vol. 34(76), no. 1, pp. 81-88. (Russian)

8. Shirshov, A. I. 1957, "On rings with identity relations" , Mat. Sb. (N.S.), vol. 43(85), no. 2, pp. 277-283. (Russian)

9. Shirshov, A. I. 1957, "On some non-associative null-rings and algebraic algebras" , Mat. Sb. (N.S.), vol. 41(83), no. 3., pp. 381-394. (Russian)

10. Shirshov, A. I. 1958, "On free Lie rings" , Mat. Sb. (N.S.), vol. 45(87), №2, pp. 113-122. (Russian)

11. Shirshov, A. I. 1962, "Nekotorye algoritmicheskie problemy dlja ealgebr" , Sib. Mat. J., vol. 3, №1, pp. 132-137. (Russian)

12. Shirshov, A. I. 1962, "Nekotorye algoritmicheskie problemy dlja algebr Li" , Sib. Mat. J., vol. 3, №2, pp. 292-296. (Russian)

13. Belov, A. J., Borisenko, V. V. & Latysev, V. N. 1997, "Monomial Algebras" , NY.: Plenum.

14. Ufnarovskii, V. A. 1990, "Combinatorial and asymptotic methods in algebra" , Itogi Nauki i Tekhniki, Ser. Sovrem. Probl. Mat. Fund. Napr. № 57, pp. 5-177. (Russian)

15. Pchelintsev, S. V. 1984, "A theorem on height for alternative algebras" , Mat. Sb. (N.S.), vol. 124, № 4, pp. 557-567. (Russian)

16. Mishchenko, S. P. 1990, "A variant of the height theorem for Lie algebras" , Mat. zam,etki., vol. 47, № 4, pp. 83-89. (Russian)

17. Belov, A. Ya. 1988, "On a Shirshov basis of relatively free algebras of complexity n" , Matem.. sb., vol. 135, № 31, pp. 373-384. (Russian)

18. Kanel-Belov, A. & Rowen, L. H. 2005, "Computational aspects of polynomial identities" , Research Notes in Mathematics 9. Wellesley, MA: AK Peters, Ltd.

19. Ciocanu, Gh. 1997, "Independence and quasiregularity in algebras. II." , Izv. Akad. Nauk Respub. Moldova Mat. № 70, pp. 70-134.

20. Ciocanu, Gh. 1988, "Local finiteness of algebras" , Mat. Issled Moduli, Algebry, Topol. №105, pp. 153-198.

21. Ciocanu, Gh. & Kozhukhar, E. P. 1993, "Independence and nilpotency in algebras" , Izv. Akad. Nauk Respub. Moldova Mat. № 2, pp. 51-95.

22. Ciocanu, Gh. 1994, "Independence and quasiregularity in algebras" , Dokl. Akad. Nauk., vol. 337, no. 3.

23. Ufnarovskii, V. A. 1985, "An independence theorem and its consequences" , Mat. Sb. (N.S.), vol. 128(170), no. 1(9), pp. 124-132. (Russian)

24. Ufnarovskii, V. A. & Ciocanu, Gh. 1985, "Nilpotent matrices" , Mat. Issled. Algebry, Koltsa i Topologii. № 85, pp. 130-155.

25. Belov, A. Ya. 1997, "On the rationality of Hilbert series of relatively free algebras" , Russian Math. Surveys., vol. 52, № 2, pp. 153-154. (Russian)

26. Lothaire, M. 1983, "Combinatorics of words" , Cambridge: Cambridge mathematical library.

27. Latyshev, V. N. 2006, "Combinatorial generators of the multilinear polynomial identities" , Fundam. Prikl. Mat., vol. 12, no. 2, pp. 101-110. (Russian)

28. Kolotov, A. G. 1982, "An upper estimate for height in finitely generated algebras with identities" , Sib. Mat. J., vol. 23, № 1, pp. 187-189. (Russian)

29. "Dnestr copy-book: a collection of operative information. Issue 4," , Novosibirsk: Institute of mathematics, SO AN USSR, 1993. — 73 p. (Russian)

30. Belov, A. Ya. 1992, "Some estimations for nilpotency of nil-algebras over a field of an arbitrary characteristic and height theorem" , Commun. Algebra., vol. 20, № 10, pp. 2919-2922.

31. Drensky, V. 2000, "Free Algebras and PI-algebras: Graduate Course in Algebra" , Singapore: Springer-Verlag

32. Kharitonov, M. I. 2013, "Estimates of a structure of piece-wise periodicity in Shirshov's height theorem" , Moscow University Mathematics Bulletin, Seriya 1, Matematika. Mekhanika. №1, pp. 10-16. (Russian)

33. Kharitonov, M. I. 2015, "Estimates on the number of partially ordered sets" , Moscow University Mathematics Bulletin, Seriya 1, Matematika. Mekhanika. № 2. In print. (Russian)

34. Klein, A. A. 1985, "Indices of nilpotency in a Pi-ring" , Archiv der Mathematik., vol. 44, № 4, pp. 323-329.

35. Klein, A. A. 2000, "Bounds for indices of nilpotency and nility" , Archiv der Mathematik., vol. 74, № 1, pp. 6-10.

36. Procesi, C. 1973, "Rings with polynomial identities" , N.Y. 189 p.

37. Belov, А. Ya. 2004, "The Gel'fand-Kirillov dimension of relatively free associative algebras" , Sb. Math., vol. 195, no. 12, pp. 3-26. (Russian)

38. Kuzmin, E. N. 1975, "O teoreme Nagaty-Higmana" , Collection of papers dedicated to the 60th anniversary of academician Iliev. Sofia, pp. 101-107. (Russian)

39. Razmyslov, Yu. P. 1989, "Identities of algebras and their representations" , М.: Nauka, 432 p. (Russian)

40. Zhevlakov, K. A., Slinko, A. M., Shestakov, I. P. & Shirshov, A. I. 1978, "Kol'ca, blizkie k associativnym, first edition" , M.: Sovrem,ennaja algebra. (Russian)

41. Belov, А. Ya. 2007, "Burnside-type problems, theorems on height, and independence" , J. Math. Sci., vol. 13, no. 5, pp. 19-79. (Russian)

42. Lopatin, A. A. 2012, "On the nilpotency degree of the algebra with identity xn = 0" , Journal of Algebra. № 371, pp. 350-366.

43. Chibrikov, Ye. S. 2001, "On Shirshov height of a finitely generated associative algebra satisfying an identity of degree four" , Izvestiya Altaiskogo gosudarstven-nogo universiteta. №1(19), pp. 52-56. (Russian)

44. Kharitonov, M. I. 2012, "Estimates of a structure of piece-wise periodicity in Shirshov's height theorem" , Moscow University Mathematics Bulletin, Seriya 1, Matematika. Mekhanika. №2, pp. 20-24. (Russian)

45. Belov, А. Ya. & Kharitonov, М. I. 2012, "Subexponential estimates in Shirshov's theorem on height" , Sb. Math. №4, pp. 81-102. (Russian)

46. Belov, А. Ya. 1999, "On non-Spechtian varieties" , J. Math. Sci., vol. 5, no. 1, pp. 47-66. (Russian)

47. Belov, A. Ya. & Kharitonov, M. I. 2012, "Subexponential estimates in the height theorem and estimates on numbers of periodic parts of small periods" , J. Math. Sci., vol. 17, no. 5, pp. 21-54. (Russian)

48. Chelnokov, G. R. 2007, "On the lower estimate for k+1-nondecomposible permutations " , Model. Anal. Inform,. Sist., vol. 14, №4, pp. 53-56. (Russian)

49. Gessel, I. M. 1990, "Symmetric Functions and P-Recursiveness" , J. Combin. Theory Ser. A., vol. 53, pp. 257-285.

50. Grishin, A. V. 1999, "Examples of T-spaces and T-ideals over a field of characteristic 2 without the finite basis property" , Fundam. Prikl. Mat., vol. 5, no. 1, pp. 101-118. (Russian)

51. Kemer, A. R. 1987, "Konechnaja baziruemost' tozhdestv associativnyh algebr" , Algebra i logika., vol. 26, №5, pp. 597-641. (Russian)

52. Knuth, D. E. 1970, "Permutations, matrices, and generalized Young tableux" , Pacific journal of mathematics., vol. 34, № 3, pp. 709-727.

53. Latyshev, V. N. 1972, "On Regev's theorem on identities in a tensor product of Pi-algebras" , Uspekhi Mat. Nauk., vol. 27, №4(166), pp. 213-214. (Russian)

54. Latyshev, V. N. 1977, "Nonmatrix varieties of associative algebras" , M.: MSU. (Russian)

55. Schensted, C. 1961, "Longest increasing and decreasing subsequences" , Canad. J. Math. №13, pp. 179-191.

56. Shchigolev, V. V. 1999, "Examples of infinitely based T-ideals" , Fundam. Prikl. Mat., vol. 5, no. 1, pp. 307-312. (Russian)

57. Specht, W. 1950, "Gesetze in Ringen. I." , Math. Z, vol. 52, pp. 557-589.

58. Sapir, M. V. 2014, "Combinatorial algebra: syntax and semantics" , Springer.

59. Amitsur, S. A. & Levitzki, J.1950, "Minimal identities for algebras" , Proc. Amer. Math. Soc. №2, pp. 449-463.

60. Li, F. & Tzameret, I. 2013, "Matrix dentities and proof complexity lower bounds."

61. Lopatin, A. A. & Shestakov, I. P. 2013, "Associative nil-algebras over finite fields" , International Journal of Algebra and Computation., vol. 23, № 8, pp. 1881-1894.

62. Bugaenko, V. O. 2006, "Obobshhennaja teorema Van der Vardena" , Mat. Pros., Ser. 3. №10, pp. 151-160. (Russian)

63. Hinchin, A. Ja. 1979, "Tri zhemchuzhiny teorii chisel" , M.: Nauka. (Russian)

64. Klyachko, А. А. 2009, "Special Course on Group Theory" . (Russian)

65. Zimin, А. I. 1982, "Blocking sets of terms", Mat. Sb. (N.S.), vol. 119(161), № 3(11), pp. 363-375. (Russian)

66. Regev, A. 1971, "Existence of polinomial identities in A B" , Bull. Amer. Math. Soc., vol. 77, no. 6, pp. 1067-1069.

67. Frid, А. E. 2011, "Introduction to the combinatorics of words" , Lections (Russian)

68. Bergman, G. M. 1978, "The Diamond Lemma for Ring Theory" , Advances in mathematics., vol. 29, pp. 178-218.

69. Beidar, K. I., Martindale, W. S. III & Mikhalev, A. V. 1995, "Rings with generalized identities" , Pure and applied mathematics.

70. Latyshev, V. N. 2012, "ENS Prikladnye problemy algebry" . (Russian)

71. Kaplansky, I. 1948, "Rings with a polynomial identity" , Bull. Amer. Math. Soc., vol. 54, pp. 575-580.

72. Thue, A. 1906, "Uber unendliche Zeichenreihen" , Norske Vid. Selsk. Skr, I. Mat. Nat. Kl. Christiana., vol. 7, pp. 1-22.

73. Morse, M. 1921, "Recurrent Geodesics on a Surface of Negative Curvature" , Trans. Amer. Math. Soc., vol. 22, pp. 84-100.

74. Berstel, J. 1979, "Mots sans carre et morphismes iteres" , Discrete Math., vol. 29, pp. 235-244.

75. Berstel, J. 1979, "Sur les mots sans carre definis par un morphisme" , SpringerVerlag.

76. Crochemore, M. 1982, "Sharp characterizations of square-free morphisms" , Theoret. Comput. Sci., vol. 18, pp. 221-226.

77. wiki:en. Rauzy fractal.

78. wiki:ru. Minimal'naja forma avtomata.

79. wiki:en. State diagram.

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Поступило 5.12.2014