CC BY
132. Muchnik An., Semenov A., Ushakov M. Almost periodic sequences // Theor. Comp. Sci. 2003. 304. 1-33.
3. Притыкин Ю.Л. Почти периодичность, конечно-автоматные преобразования и вопросы эффективности // Изв. вузов. Математика. 2010. 1. 74-87.
Поступила в редакцию 27.09.2010
УДК 511
О КВАНДЛАХ С ДВУМЯ ОПЕРАЦИЯМИ
Д. А. Федосеев1
В статье рассматриваются виртуальные квандлы с двумя операциями и связанные с ними инварианты длинных виртуальных узлов. Выполняется построение одного из инвариантов и приводится пример доказательства неэквивалентности двух узлов при помощи этого инварианта.
Ключевые слова: квандл, дистрибутивный группоид, квандл с двумя операциями, длинный виртуальный узел, виртуальный трилистник, инвариант раскрасок.
Virtual quandles with two operations and the corresponding invariants of long virtual knots are discussed. A certain knot invariant is constructed and an example of proof of unequivalency of two knots is presented.
Key words: quandle, distributive grouppoid, biquandle, long virtual knot, virtual trefoil, colourings invariant.
1. Введение. В теории узлов хорошо известна конструкция так называемого дистрибутивного группоида (квандла), позволяющая строить точные инварианты узлов. Напомним, следуя [1], как выполняется построение этого объекта.
Пусть дано конечное множество цветов Г, снабженное операцией о : Г х Г —> Г.
Определение 1. Правильная раскраска диаграммы D ориентированного узла (зацепления) K — это такое сопоставление дугам диаграммы элементов множества Г, что для каждого ее перекрестка переход (имеющий некоторый цвет b), дуга прохода, лежащая справа (имеющая цвет а), и дуга прохода, лежащая слева (цвет с), удовлетворяют соотношению а о b = с.
Заметим здесь, что нам не важна ориентация дуг, которым сопоставлены цвета а и с. Под дугой мы понимаем часть диаграммы от одного прохода до другого.
Наложим теперь на операцию о некоторые условия, выполнение которых будет гарантировать инвариантность количества правильных раскрасок диаграммы относительно движений Рейдемейстера. Непосредственная проверка показывает, что они имеют следующий вид:
а о а = а, У а & Г для инвариантности относительно Qi;
уравнение x о а = b У а, b & Г должно иметь в точности одно решение x & Г, обозначаемое через b/а, для инвариантности относительно Q2;
(а о b) о с = (а о с) о (b о с), У а, b,c & Г для инвариантности относительно Q3.
Всякое множество, снабженное операцией о, удовлетворяющей указанным выше свойствам, называется дистрибутивным группоидом. Из построения следует
Предложение 1. Количество правильных раскрасок элементами фиксированного конечного дистрибутивного группоида является инвариантом узлов (зацеплений).
Заметим далее, что имеется и общий способ задания дистрибутивного группоида при помощи образующих и соотношений. Пусть A — алфавит, иными словами, множество букв. Словом в алфавите A назовем произвольную последовательность, состоящую из букв этого алфавита, а также символов о и /. Определим теперь множество D(A) допустимых слов согласно следующим правилам:
1) всякая буква алфавита A есть допустимое слово;
2) если слова Wi и W2 допустимы, то слова (Wi) о (W2) и (Wi)/(W2) допустимы;
3) иных допустимых слов не существует.
1 Федосеев Денис Александрович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Рис. 1
Для краткости записи в дальнейшем будем опускать скобки в тех случаях, когда смысл слова понятен из контекста. Рассмотрим теперь множество соотношений R = {ra = sa\ra, sa Е D(A)}. Введем отношение эквивалентности для множества D(A), предполагая, что Wi = W2, если и только если существует цепочка преобразований, начинающаяся словом Wi и заканчивающаяся словом W2, построенная по следующим правилам:
1) x о x & x;
2) (x о y)/y & x;
3) (x/y) о y & x;
4) (x о y) о z & (x о z) о (y о z);
5) ri & si.
Множество таких классов эквивалентности и будет, очевидно, дистрибутивным группоидом по отношению к операции о.
Сопоставим теперь каждому узлу К дистрибутивный группоид. При этом будем руководствоваться следующими правилами: сопоставим дугам диаграммы узла K разные буквы и возьмем их множество в качестве алфавита, а элементы множества соотношений R примут вид a о b = c в каждом перекрестке диаграммы, где a,b,c — дуги, инцидентные данному перекрестку, как показано на рис. 1. Далее построение производится по приведенной выше схеме. Дистрибутивный группоид, поставленный в соответствие узлу, является "почти полным" его инвариантом. Однако для приложений этот инвариант не очень удобен, поскольку обычно достаточно трудно понять, являются ли группоиды, соответствующие двум узлам, изоморфными или же нет.
Рассмотрим теперь виртуальный узел. Для него также можно построить конструкцию, аналогичную дистрибутивному группоиду. Это позволит получить достаточно мощные инварианты виртуальных узлов. Соответствующий объект будет называться виртуальным группоидом. Построение производится следующим образом.
Назовем длинной дугой диаграммы класс эквивалентности дуг, являющихся ориентированными отрезками кривой от одного прохода до другого. (Таким образом "внутри" длинной дуги могут находиться переходы и виртуальные перекрестки.) Вновь сопоставим длинным дугам образующие xi, причем если три дуги ai1, ai2, ai3 инцидентны одному перекрестку, так что ai2 образует переход, то выпишем соотношение ai1 о ai2 = ai3 (рис. 2).
Определение 2. Дистрибутивный группоид (по Кауфману) — это формальный дистрибутивный группоид, порожденный ai для всех i, профакторизованный по соотношениям, указанным выше, во всех классических перекрестках.
Рис. 2 Такая конструкция, однако же, хотя и дает некоторый инвариант виртуальных уз-
лов (зацеплений), имеет определенные недостатки, в частности нетривиальность виртуального трилистника распознать не удается. Виртуальный группоид является обобщением дистрибутивного группоида, представляющим собой гораздо более мощный инвариант виртуальных узлов (подробнее см. [2]). Введем более строгое определение.
Определение 3. Виртуальный группоид — это дистрибутивный группоид (M, о), снабженный унарной операцией f, причем она обратима и f (a) о f (b) = f (a о b) У a, b Е M.
Инвариант Q(L), где L — диаграмма узла K, строится теперь следующим образом. Будем работать с правильной диаграммой L (т.е. с диаграммой, не имеющей циклических длинных дуг; если исходная диаграмма L не была правильной, ее можно легко "подправить" движениями Рейдемейстера, причем если две неправильные диаграммы эквивалентны, то их "подправленные" версии будут эквивалентны в классе правильных диаграмм). Рассмотрим все дуги ai,i = l,...,n, этой диаграммы. Пусть X(L') — множество слов, полученных индуктивно при помощи операций о, /, f, f-1. Для построения квандла Q(L') профакторизуем это множество по следующим отношениям эквивалентности.
Сначала для всяких трех элементов X(L1) отождествим следующие пары слов:
1) f-1(f (a)) & f (f-1(a)) & a;
2) (a о b)/b & a;
3) (a/b) о b & a;
4) a о a & a;
5) (a о b) о c & (a о c) о (b о c);
6) f (a о b) & f (a) о f (b).
Таким образом, получен свободный виртуальный группоид с образующими ai,...,an. Дальнейшая факторизация будет проходить с учетом структуры диаграммы L': в классических перекрестках поступим,
как и в классическом случае, а в каждом виртуальном перекрестке проведем факторизацию согласно следующим соотношениям (рис. 3):
1) ап = / {ап);
2) аз3 = /(а]4)■
Предложение 2. Виртуальный группоид Q(L) является инвариантом виртуальных узлов (зацеплений).
Подробное доказательство этого факта дано в [3].
До сих пор все классические перекрестки были "равноправны" между собой, равно как и виртуальные. Предположим теперь, что у нас есть способ разделить классические перекрестки на два типа, общий для всех диаграмм узлов рассматриваемого типа. Рис. 3 В таком случае мы можем построить множество теперь уже с двумя операциями (М, о,*) и провести построение дистрибутивного группоида, снабженного этими двумя операциями. Таким образом можно получить более сильный инвариант, нежели построенные ранее. Хороший пример такого рода объекта можно построить на основе длинных виртуальных узлов.
Когда мы работаем с длинными виртуальными узлами, необходимо учитывать следующие два факта.
1. Имеются две начальная и конечная дуги (некомпактные) длинного виртуального узла, причем соответствующие им элементы группоида по построению инвариантны, т.е. если имеются группоид М и его элементы а, Ь, отвечающие начальной и конечной дугам узла соответственно, то всякий гомоморфизм группоидов данного узла (М, а, Ь) ^ (М', а', Ь') будет переводить а в а', Ь в Ь.
2. Классические перекрестки диаграммы можно разбить на два класса: такие, где проход предшествует переходу (согласно ориентации узла), и, напротив, где переход предшествует проходу.
Определим теперь длинный виртуальный группоид.
Определение 4. Длинный виртуальный группоид — это множество М с операциями о, *, / 0 и / * (где /0 — обратная к о, а / * — обратная к * операции), а также унарной операцией /, причем (М, о, /) — виртуальный группоид, согласно предыдущему определению, (М, *, /) — виртуальный группоид и соответственно выполнены следующие соотношения:
1) (а о Ь)/0Ь = (а/0Ь) о Ь = (а* Ь)/*Ь = (а/*Ь) *Ь = а Уа,Ь € М;
2) (а о Ь) • с = (а • с) о (Ь • с) Vа, Ь,с € М, где о и • — некоторые операции из списка о, *, /0, /*;
3) /(а о Ь) = /(а) о /(Ь) Va, Ь € М, где о — некоторая операция из списка о, *;
4) /(/-1(а)) = /-1(/(а)) = а Va € М.
Кроме того, выполнены "странные соотношения":
5) х о (а о Ь) = х о (а*Ь) Vx, а,Ь € М;
6) х о (а/0Ь) = х о (а/*Ь) Vx, а,Ь € М;
здесь также о — некоторая операция из списка о, *, /0, /*.
Пусть теперь дана диаграмма К длинного виртуального узла. Построим по ней группоид, являющийся инвариантом узла. Для этого прежде всего построим свободный длинный группоид — группоид, формально порожденный операциями о, *, /0, /* и профакторизованный по указанным выше соотношениям. После этого произведем факторизацию в перекрестках: в виртуальных в соответствии со сказанным выше о виртуальных группоидах, а в классических факторизуем по соотношению, включающему о или * в зависимости от того, является ли данный перекресток ранним проходом или переходом (согласно ориентации узла). Отдельно зафиксируем элементы а и Ь, отвечающие начальной и конечной дугам нашего длинного узла. Тем самым построен объект, являющийся инвариантом длинных виртуальных узлов.
Заметим, что подобное усиление классического группоида можно строить в любом случае, когда есть возможность рассматривать два типа классических перекрестков.
2. Построение длинного виртуального группоида. Мы будем строить группоид исходя из следующего соображения: если имеется некоторая группа, для которой коммутатор двух элементов не всегда лежит в центре группы, но существует такое натуральное число п, что для любых двух элементов из группы а, Ь коммутатор [а,Ьп] лежит в центре группы (но не всегда тривиален), то в качестве элементов группоида можно брать элементы этой группы, в качестве операции о — сопряжение (а о Ь = ЬаЬ-1), а в качестве операции * — сопряжение с элементом в степени п + 1 (а*Ь = Ьп+1аЬ-(п+1)). Выполнение аксиом группоида проверяется в этом случае непосредственно.
Перейдем к построению искомого объекта. Нам потребуется группа, элементы которой станут элементами группоида. Для ее определения воспользуемся графом Кэлли.
Рассмотрим квадрат 8 х 8, состоящий из меньших квадратиков. Образующими группы будут отрезки от одного узла этой решетки до соседнего. Образующих будет две: обозначим горизонтальный отрезок (образующую) буквой а, а вертикальный — буквой Ь. На горизонталях и вертикалях зададим ориентацию (тем самым ориентированными станут и образующие): пусть самая нижняя горизонталь будет направле-
на слева направо, самая левая — снизу вверх; ориентация остальных горизонталей и вертикалей может быть получена чередованием: вторая снизу будет направлена справа налево, вторая слева — сверху вниз и так далее. Теперь, склеив верх и низ квадрата, а также его левую и правую стороны, получим тор с нанесенной на него сеткой (заметим здесь, что направления крайних горизонталей и крайних вертикалей совпадают между собой, поэтому такая склейка корректна). Мы получили группу, элементы которой суть пути от одного узла сетки до другого, согласованные с ориентацией линий сетки, представляющие собой произведение образующих, причем все пути от одного узла до другого будем считать эквивалентными. Иными словами, это группа с образующими а, Ь, соотношениями а8 = 1, Ь8 = 1 и дополнительной структурой, описываемой чередованием ориентаций линий сетки на торе. Обозначим полученную группу через С.
Покажем теперь, что для построенной группы верно свойство, описанное в начале пункта, при п = 2,
^ гч —1—1 2—1 —2
т.е. найдутся х, у Е С, такие, что хух 1у 1 не лежит в центре группы, а ху2х 1у 2 лежит в центре для любых х, у Е С, причем существуют х, у Е С, такие, что ху2х-1у-2 = 1. Здесь через х-1 обозначен путь, соответствующий элементу х, но пройденный "в обратном направлении" (т.е. если х — путь от узла а до узла в, проходящий по ребрам хг, то х-1 — путь от узла в до узла а, проходящий по тем же ребрам, но в обратном порядке).
Лемма. Имеют место следующие утверждения:
1) существуют такие х, у Е С, что [х,у] Е 2 (С);
2) для всяких х,у Е С [х,у2] Е 2 (С), но существуют х, у Е С, для которых ху2х-1у-2 = 1, где [•, •] обозначает коммутатор, а 2(С) — центр группы С.
Доказательство. 1) Рассмотрим коммутатор двух образующих а и Ь. Рассмотрим два пути ааЬа-1 Ь-1 и аЬа-1Ь-1а, начинающиеся из левого нижнего угла квадрата (точки с координатами (0, 0)), и покажем, что они не приводят в один и тот же узел сетки (другими словами, соответствующие элементы группы не равны между собой).
Действительно, несложно видеть, что первый путь даст нам точку с координатами (3, 2), а второй — с координатами (3, —2) = (3, 6) = (3, 2). Первый пункт леммы тем самым доказан.
2) Заметим прежде всего, что всякий элемент группы можно записать как акЬ1 — сдвиг на несколько узлов по горизонтали, а затем по вертикали. Значит, доказательство этого пункта сводится к доказательству факта, что элемент вида (акЬ1)(агЬ)2(акЬ1 )-1(агЬ^)-2 коммутирует со всеми элементами группы, но не всегда тривиален.
Естественным образом имеем
(а* Ь1 )(аЬ )2(ак Ь1 )-1 (аг V )-2 = ,
где знаки определяются количеством совершенных перед этим сдвигов по другой образующей, а точнее, четностью этого количества: именно она показывает, на горизонтали или вертикали какого направления мы находимся в данный момент. В таблице показана зависимость степеней а и Ь от четности чисел г, ], к, I. Здесь 0 означает четность соответствующего показателя степени, 1 — нечетность.
Итак, видно, что существуют четыре комбинации четности показателей степеней г, ], к, I, при которых коммутатор нетривиален. В этом случае он представляет собой сдвиг на четыре узла по вертикали или горизонтали. Поскольку рассматриваемая решетка после склеивания имеет восемь узлов по горизонтали и по вертикали, сдвиг на четыре узла коммутирует с любым элементом группы, что и доказывает лемму. ■
Теперь можно сконструировать сам группоид. В качестве элементов группоида ("цветов") возьмем элементы группы С. Операции выберем следующим образом: а о Ь = ЬаЬ-1, а*Ь = Ь3аЬ-3; функцию / определим так: / (а) = аЬ, / (Ь) = Ь, У а Е С/(а-1) = / (а)-1; У а, в Е С/(ав) = / (а)/(в), иными словами, в каждом пути каждое вхождение вертикальной образующей не меняется, а ко всякой горизонтальной добавляется смещение по вертикали.
Полученная конструкция явным образом удовлетворяет всем аксиомам длинного виртуального группоида, а значит, по общей теореме дает инварианты длинных виртуальных узлов.
Следует подчеркнуть, что по дистрибутивному группоиду строится несколько различных инвариантов виртуальных узлов. Во-первых, это собственно дистрибутивный группоид, сопоставленный узлу, как описано выше. Это мощный инвариант, но достаточно сложно проверяемый: непросто проверить, изоморфны два группоида или нет. Во-вторых, это инвариант раскрасок при помощи построенного группои-
г 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
к 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
а 0 -4г 0 0 0 0 0 0 0 —4г 0 0 0 0 0 0
Ъ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Рис. 4
да — число сопоставлений элементов нашего объекта О дугам диаграммы согласно описанным правилам. Наконец, можно выделить такой инвариант: если зафиксировать "цвет" начальной некомпактной дуги длинного виртуального узла (согласно ориентации), то множество допустимых цветов конечной некомпактной дуги этого узла будет инвариантно относительно обобщенных движений Рейдемейстера. Более того, сильным инвариантом является "матрица раскрасок", состоящая из всевозможных допустимых комбинаций цветов начальной и конечной некомпактных дуг длинного виртуального узла.
3. Применение построенного группоида. Используем построенный объект для доказательства неэквивалентности некоторых длинных виртуальных узлов.
К примеру, докажем, что правый и левый длинные виртуальные трилистники, представленные на рис. 4 и 5 соответственно, неэквивалентны. Обозначим дуги первого узла через а^, а второго узла — через Ь^. Пусть входные дуги обоих узлов имеют цвет а. Изучим, какие цвета могут иметь выходные дуги узлов при раскрашивании по указанным в предыдущем разделе правилам. Рассмотрим первый узел. Несложно видеть, что здесь цвета всех дуг определяются однозначно. Имеют место следующие равенства: а1 = а, а2 = аЬ-1, а3 = а2Ь-1 а-1, а4 = (аЬ)2а-1, а5 = аЬ2.
Для доказательства неэквивалентности этих двух узлов достаточно показать, что выходная дуга второго узла не может быть окрашена цветом аЬ2.
Предположим противное: пусть Ь§ = а§ = аЬ2. Тогда = аЬ, Ь1 = а, а для прочих дуг имеют место соотношения Ь2 * Ь4 = а, Ь4 * Ь5 = Ьз, Ь2 = /(Ь3). Отсюда получаем следующее равенство: (аЬ)-3а(аЬ)3 = (аЬ3)3аЬ(аЬ3)-3. Однако путь, стоящий в левой части равенства, оканчивается в точке с координатами (7, 6), если начинать отсчет от левого нижнего угла квадрата, а правый — в точке с координатами (7, 4). Значит, наше предположение неверно и узлы различны.
В заключение заметим, что Д. М. Афанасьев в работе [4] привел бесконечную серию длинных виртуальных узлов, определяемых числом К = 2к + I, причем предложенный им инвариант (обобщенный полином Александера от двух переменных) различает эти узлы при разных значениях константы К. При помощи построенного в настоящей статье квандла удается различать узлы этой серии с одним и тем же значением константы К.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект № 10—01-00748-а), программ "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-3224.2010.1), "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект 2.1.1.3704), "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (госконтракты 02.740.11.5213 и 14.740.11.0794).
Рис. 5
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Joyce D. A classifying invariant of knots, the knot quandle //J. Pure and Appl. Algebra. 1982. 23, N 1. 37-65.
2. Kauffman L.H., Manturov V.O. Virtual biquandles // Fund. Math. 2005. 188. 103-146.
3. Мантуров В.О. Теория узлов. М.: РХД, 2005.
4. Афанасьев Д.М. On generalization of Alexander polynomial for long virtual knots // arXiv: math.GT/0906.4245v1 2009.
Поступила в редакцию 20.10.2010
УДК 511.984
О СПЕКТРЕ ОПЕРАТОРА ЯКОБИ С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО РАСТУЩИМИ
МАТРИЧНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
И. А. Шейпак1
Рассматривается класс матриц Якоби с быстрорастущими матричными элементами. В пространстве квадратично суммируемых с некоторым весом последовательностей этой матрице отвечает симметрический оператор. Доказывается, что задача на собственные
1 Шейпак Игорь Анатольевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
