Фазовое пространство уравнений Корпусова-Плетнера-Свешникова на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 10, № 6, 2005

ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО УРАВНЕНИЙ КОРПУСОВА - ПЛЕТНЕРА - СВЕШНИКОВА

НА ГРАФЕ

Г. А. Свиридюк Челябинский государственный университет, Россия e-mail: [email protected]

В. В. ШЕМЕТОВА Магнитогорский государственный университет, Россия e-mail: [email protected]

Initial-boundary-value problem for the equation (A — A)ut = aAu + ^div(uVu) is considered on the graph. This problem simulates quasistationary processes in the medium representing some cylindrical semiconductors which are arbitrarily interconnected. The phase space of this problem is described.

Введение

Уравнение

(A — A)ut = aAu + в div(uVu) (0.1)

моделирует квазистационарные процессы в токопроводящих средах без дисперсии [1]. Нас интересует случай, когда среда представляет собой несколько цилиндрических полупроводников, соединенных между собой в произвольном порядке. В этом случае, как показано в [2], многомерное, вообще говоря, уравнение (0.1) можно редуцировать к одномерным, определенным на некотором графе.

Пусть G = G(V; E) — конечный связный ориентированный граф, где V = {V} — множество вершин, а E = {Ej} — множество дуг, причем каждая дуга Ej имеет длину lj > 0 и ширину dj > 0. На графе G рассмотрим задачу с краевыми

uj(0,t) = uk(lk,t), Ej, Ek e Ea(Vi) U Еш(Vi), (0.2)

y^ dj Ujx(0,t) — dk Ukx(lk ,t) = 0 (0.3)

Ej&Ea(Vi) Ek eE- (Vi)

и начальными

uj(x, 0) = u0j(x), x e (0,lj) (0.4)

условиями для уравнений

(Auj — Ujxx)t = aujxx + e(uj Ujx) x. (0.5)

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2005.

Здесь через Eа(ш)(У{) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине V¿. Условие (0.2) требует, чтобы решения были непрерывными на вершинах графа, а условие (0.3) — аналог условия Кирхгофа — в случае, когда граф G состоит из единственной нециклической дуги, превращается в условие Неймана.

Начально-краевые задачи для уравнений в частных производных, заданных на графе, начали изучать сравнительно недавно [3, 4]. К настоящему времени аспекты, в которых изучаются эти уравнения, становятся все более разнообразными [2, 5]. Дело дошло до уравнений соболевского типа на графах [6]. Нашей целью является развитие метода, изложенного в [6], в данной ситуации. Этот метод заключается в редукции задачи (0.2)-(0.5) к задаче Коши

u( 0) = uo (0.6)

для полулинейного уравнения соболевского типа

LU = Mu + N (u) (0.7)

и последующего изучения фазового пространства уравнения (0.7).

Уравнения соболевского типа составляют обширную область математики. О прогрессе в этой области можно судить по монографиям [7-10]. В отличие от упомянутых работ наш подход заключается в использовании метода фазового пространства, базирующегося на теории относительно a-ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп операторов. Детально этот подход изложен в [11] для линейных уравнений соболевского типа.

Статья кроме вводной части содержит четыре раздела и список литературы. Первый раздел носит пропедевтический характер, в нем собраны сведения из [11], адаптированные к нашей ситуации. Во втором разделе приводятся результаты о разрешимости задачи Коши (0.6), (0.7), основанные на результатах работы [12]. В третьем разделе проводится редукция задачи (0.2)-(0.5) к задаче (0.6), (0.7). Четвертый раздел посвящен основному результату статьи — описанию фазового пространства задачи (0.2)-(0.5).

Здесь условимся о следующем. Все рассмотрения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако при рассмотрении "спектральных" вопросов вводится их естественная комплексификация. Все контуры ориентированы движением "против часовой стрелки" и ограничивают область, лежащую "слева" при таком движении. Символами I и O обозначены "единичный" и "нулевой" операторы, области определения которых ясны из контекста.

1. Относительно а-ограниченные операторы

Пусть U и F — банаховы пространства, операторы L, M Е L(U;F) (т.е. линейны и непрерывны). Введем в рассмотрение L-резольвентное множество pL(M) = (^ Е C : (^L — M)-1 Е L(F;U)} и L-спектр aL(M) = C\pL(M) оператора M. Нетрудно показать, что множество pL(M) всегда открыто, поэтому L-спектр оператора M всегда замкнут.

Определение 1.1. Оператор M называется спектрально ограниченным относительно оператора L (короче, (L, a)-ограниченным), если

За Е R+ fy Е C (Ы > а) ^ (^ Е pL(M)).

Если существует оператор Ь-1 £ Я), то оператор М (Ь, а)-ограничен точно тогда, когда ограничен оператор Ь-1М (или, что то же самое, оператор МЬ-1). Если существует оператор М-1 £ Я), а оператор Ь компактен, то оператор М не будет (Ь,а)-ограниченным.

Пусть рь(М) = 0, тогда имеют смысл соответственно правая и левая

Е^(М) = (цЬ - М)-1Ь, Ь%(М) = Ь(цЬ - М)-1

Ь-резольвенты оператора М. Если оператор М(Ь, а)-ограничен, то, выбрав контур Г = {ц £ С : |ц| = г > а}, можно построить интегралы типа Данфорда — Тейлора

Р = (2пгУ J (М)йц, Я = (2пгУ J Ь%(М)йц. г г

Лемма. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Тогда операторы Р £ £(Я) и Я £ С($) — проекторы.

Положим кег Р = Я0,1ш Р = Я1, кегЯ = 1шЯ = З4, а через Ьк(Мк) обозначим сужение оператора Ь(М) на подпространство Як, к = 0,1. Теорема 1.1. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Тогда: (г) операторы Ьк, Мк £ С(Як; ), к = 0,1; (гг) существуют операторы М-1 £ Я°),Ь-1 £ С(^1;Я1).

Построим операторы Н = М°-1Ь0 £ £(Я°) и 5 = Ь-1М1 £ ¿(Я1).

Пусть оператор М(Ь, а)-ограничен. Тогда в силу теоремы 1.1 уравнение (0.7) можно расщепить на два уравнения:

Них0 = и° + М-1 (I - Я)N(и), (1.1)

и1 = Би1 + Ь-1ЯN (и), (1.2)

где и1 = Ри, и° = и - и1.

Следствие. В условиях теоремы 1.1 при всех ц £ рь(М) имеет место равенство

те те

(цЬ - М)-1 = - цкНкМ°-1(1 - Я)+ Ц-кБк-1Ь-1Я. к=0 к=1

Определение 1.2. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Для Ь-резольвенты (цЬ-М)-1 оператора М точка то называется:

(г) устранимой особой точкой, если Н = О;

(гг) полюсом порядка р, если Нр = О и Нр+1 = О;

(ггг) существенно особой точкой в оставшемся случае.

В дальнейшем условимся устранимую особую точку называть полюсом порядка нуль. Немного отходя от стандарта, вектор р £ кег Ь\{0} будем называть собственным вектором. Упорядоченное множество {р1, р2,...} будем называть цепочкой М-присоединенных векторов собственного вектора ( 0, если

Ьрд+1 = Мря, д = 0,1,...

Цепочка может быть бесконечной, в частности, она может быть заполнена нулями, если кегЬ П кег М = {0}. Однако она обязательно конечна, если в ней существует вектор рч

такой, что € 1ш Ь. Мощность конечной цепочки будем называть ее длиной. Линейная оболочка собственных и М-присоединенных векторов называется М-корневым линеалом оператора Ь. Замкнутый М-корневой линеал называется М-корневым пространством.

Теорема 1.2. Пусть Ь — фредгольмов оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(г) оператор М(Ь, а)-ограничен, причем то — полюс порядкар € (0}иМ Ь-резольвенты оператора М;

(гг) ни один собственный вектор оператора Ь не имеет цепочки М-присоединенных векторов длиной больше р € {0} и N.

2. Квазистационарные траектории

Пусть Я и 5 — банаховы пространства, операторы Ь, М € £(Я; 50, N € С^(Я; 5). Рассмотрим задачу Коши

и(0) = ио (2.1)

для полулинейного уравнения соболевского типа

Ьй = Ми + N (и). (2.2)

Вектор-функцию и € Сте((—Т,Т);Я), удовлетворяющую уравнению (2.2) при некотором Т € назовем решением этого уравнения. Решение и = и(£) уравнения (2.2) называется решением задачи (2.1), (2.2), если оно удовлетворяет условию (2.1) при некотором и0 € Я.

Как показывают приведенные ниже два примера, при изучении задачи (2.1), (2.2) могут встретиться следующие трудности. В примере

0 1\ / У \ = / 1 0 \ / y \ / 1

0 0 Д у Д V 0 и у Д —ж

задача (2.1), (2.2) при u = col (y, y), u0 = col (0, 0) неразрешима, а во втором

0 0 Д у) ( 0 1 ) ( y ) Д —ж

имеет два решения — стационарное u(t) = col (0; 0) и u(t) = col (t/2; t2/4).

Для того чтобы обойти эти неприятности, в [12] предложено ограничиться так называемыми квазистационарными траекториями, т.е. теми решениями уравнения (2.2), которые лежат во множестве

M = (u Е U : (I — Q)(Mu + N(u)) = 0}.

Квазистационарными они названы потому, что обобщают понятие стационарной траектории. Здесь Q — проектор из разд. 1, а понятие "лежать" означает, что решение принадлежит множеству M как траектория, но не как точка (т. е. u(t) Е M при каждом t Е (—T; T)). Заметим, что если то — полюс порядка нуль L-резольвенты оператора M, то все решения уравнения (2.2) с необходимостью должны лежать во множестве M, и если u0 Е M, то решение задачи (2.1), (2.2) не существует.

Пусть точка u0 Е M. Назовем множество M банаховым С-многообразием в точке u0 Е M, если существуют окрестности O С M и O1 С U1 точек u0 и u¿ = Pu0 соответственно и существует -диффеоморфизм D : O1 ^ O такой, что D-1 есть сужение

на О проектора Р (см. разд. 1). Немного отходя от стандарта [13, с. 31], назовем пару (Д, О1) картой. Множество М называется банаховым -многообразием, моделируемым пространством Я1, если в каждой своей точке оно имеет карту. Связное банахово многообразие называется простым, если любой его атлас эквивалентен атласу, содержащему единственную карту.

Теорема 2.1. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен, причем то — полюс порядка нуль Ь-резольвенты оператора М, а оператор N € С^(Я; 5). Пусть в точке и0 множество М является банаховым С-многообразием. Тогда для некоторого Т € существует единственное решение и € Сте((-Т, Т); М) задачи (2.1),(2.2).

Доказательство. Обозначим через В'и 1 производную Фреше оператора Д € С^(О1; О) в точке и1 € О1. Очевидно, € ^(Я1;ТиМ), где ТиМ — касательное к М пространство в точке и = Ди1). Подействовав оператором на обе части уравнения (1.2) слева, получим

й = А (и), (2.3)

где оператор А : и ^ В'Ри5Ри + В'РиL-1QN(и), и € О. По построению оператор А € С~(О;ТМ), где

тм = у ТиМ

иео

— касательное расслоение О. Однозначная разрешимость (при некотором Т € К+) задачи (2.1), (2.3) — классический результат [13, с. 80]. Понятно, что полученное таким способом решение и € Сте((-Т, Т); О) является решением задачи (2.1), (2.2). □

3. Постановка задачи

Для редукции задачи (0.2)-(0.5) к задаче (0.6), (0.7) через Ь2(С) обозначим множество

Ь2(С) = {# = , ,....) : 9з € Ь2(0, )}. Множество Ь2(С) является гильбертовым пространством со скалярным произведением

Ь

Е ее 0

Через Я обозначим множество

Я = {и = (и1, и2,... , и,...) : и^ € ^2(0, ^), и выполнено (0.2)}. Множество Я является банаховым пространством с нормой

Ь

ми = X ^ (и?х(х) + и2(х))

Е еЕ 0

В силу теорем вложения Соболева пространство (0,/^-) состоит из абсолютно непрерывных функций, а значит, пространство Я корректно определено, плотно и компактно

вложено в L2(G). Отождествим L2(G) со своим сопряженным, и через F обозначим сопряженное относительно двойственности (•, •) пространство к U. Очевидно, F — банахово пространство, причем вложение U ^ F компактно. Формулами

ij j (Lu, v) = E ji (AUj j + u^jx) dx, (Mu. v) = - E dJ <«* j «* Ъ v € U

Ej ее 0 Ej ее 0

зададим линейные операторы L, M : U ^ F. Введем также в рассмотрение оператор

h

(N (u),v) = - E d„f 0u, jj dx Vu,v € U.

Ej ее 0

Лемма 3.1. (i) При любых a € R\{°} и в € R оператор M(L, а)-ограничен, причем то — полюс порядка нуль.

(ii) Оператор N € C~(U; F).

Доказательство. Пусть {Ak} — собственные значения оператора Лапласа для данной задачи, занумерованные по невозрастанию с учетом их кратности. Пусть {pk} — соответствующие им собственные функции, ортонормированные в смысле L2(G). Если А € {Ak}, то существует оператор L-1 € L(F; U) и утверждение леммы очевидно.

Пусть А € {Ak}, тогда ker L = span {pi : А = А;}. Возьмем вектор p € ker L\{0}, т.е.

Р = ^2 aiPi'Y^ N > °

л=лг л=лг

Поскольку

Mp = aA ai€ im L, л=л1

т. е. вектор p не имеет M-присоединенных векторов, в силу теоремы 1.2 имеет место утверждение (i) леммы. (ii)

\(М = | - E d,i ,3U, V„W„ dx - ^ dJ ^ Uj,Wj, dx| <

Eh ее 0 Ej ее 0

< \вdj uiVjxWjx dx\ + | dj VjUjxWjx dx\) < (3.1)

Eh ее 0 Ej ее 0

< 1в dj \Uj \ • \vjx\ • \wjx\ dx dj \Vj \ • \Ujx 1 • \wjx\ dx) <

Ej ее 0 Ej ее 0

< eonst||u||U • ||v||U • ||w||U.

Также для производной Фреше N'U оператора N в точке u имеем

h

\(N'(a, b),c) \ = \ - 2p^dj aj bjxj dx\ < eonst||a||u • ||b||u • ||c||H. (3.2)

Ej ее 0

Все остальные производные Фреше порядка п > 2 оператора N в точке и равны нулю. Таким образом, утверждение (11) леммы следует из (3.1), (3.2) и непрерывности вложения ) С С^]. □

Нетрудно видеть, что в данной ситуации ¿-спектр оператора М имеет вид

ЛМ) = (: к е Н\{/ : Л = А,}

[А — Лк

Поэтому можно построить проекторы

г I, а е {Лк}, г I, Л е {Лк},

р = \ I- £<• >Рк, Л е {Лк}, Я = \ I- £<• >Рк, Л е{Ак}.

I Л=Лг I А=Аг

Значит, множество М можно представить в виде

^ и, л е {Лк},

Аналогично этому

М = ^

М \ {и е И : <Ми + N (и), ^к > = 0, Л е {Лк}}.

И1 = Г И, Л е {Лк};

\ {и е И : <и,^к> = 0,Л е {Лк}}.

Очевидно, что в данном случае все решения задачи (0.6), (0.7) являются квазистационарными траекториями и лежат во множестве М. В силу теоремы 2.1 имеет место

Теорема 3.1. Пусть а е К\{0}, в е К ив точке ио множество М является банаховым -многообразием. Тогда для некоторого Т е существует единственное решение и е С~((-Т,Т); М) задачи (0.6),(0.7).

4. Морфология фазового пространства

Перейдем теперь к описанию фазового пространства задачи (0.6), (0.7). Здесь мы рассмотрим ситуацию, когда ядро оператора Ь одномерно. В частности, это имеет место, когда граф состоит из единственной нециклической дуги. В нашей ситуации это означает, что система состоит из единственного уравнения.

Определение 4.1. Множество Р С И называется фазовым пространством уравнения (0.7), если:

(I) любое решение и = и(г) уравнения (0.7) лежит в Р, т.е. и(г) е Р при каждом

г е (-Т,Т);

(II) для любого и0 е Р существует единственное решение задачи (0.6), (0.7).

Итак, пусть ker Ь = span{pl}. Пусть и е И, тогда и = ар, + V, V е И1, а е К. Точка и е М точно тогда, когда

-ва2 X ^ Щ(^х)2 - ва X ^ ЩVjx'•Pljx - ва X ^з vj(р^х)2 <^ж-Е ее 0 Е ее 0 е ее 0

-в X VjxVjРз а!ж - ааЛ, = 0. Е ее 0

1;

Преобразуя полученное уравнение, запишем

гз гз гз

У^ р^ ¿х + а(вк ^ ьцр21ц ¿х — ак) + ^^ ^ ь?рц ¿х = 0. (4.1)

2 в к

а 2 иЧ

Ез ее 0

При выполнении условия

Ез ее 0

Ез ее 0

1 з

Г . /- гС V

Ез ее 0

данное уравнение имеет два решения:

2 а ^ I V Рц = в

(4.2)

1

а1

Е ръц ¿х

Ез ее о

а в

" з

Е ць р2 * -

Ез ее 0

у/В

а2 =

Е рЦ ¿х

а в

ч

Ьц р2 ¿х +

ц "ЗГЦ

Ез ее 0

-у/В

ж

где В = I вк Е Ьц р2ц ¿х — акг I — в2к2 Е ь|рц ¿х ^ ¿х. Поэтому для

у е^ ее 0 у е^ ее 0 е^ ее 0

любого ь £ и1, удовлетворяющего (4.1), (4.2), существуют две точки — и1 = а1рг + V и и2 = а2рг + ь, лежащие во множестве М. Обозначим через Я] множество тех точек из и1, которые удовлетворяют (4.1), (4.2). Таким образом, мы построили биективное отображение 5к множества Щ во множество Мк, где 5кV = акрг + ь, Мк = 5к [Я^], к = 1, 2. Для того чтобы показать, что 5к — С^-диффеоморфизм, воспользуемся теоремой о неявной функции. Зафиксируем ь £ Я] и построим отображение

з

Г(а,ь) = а2^ ¿ц [ рЦ ¿х + а(вк ^^ ¿ц [ ьцр2 ¿х — акг) + ^^ ¿ц [ ь2рц ¿х

Е. ее 0 Е е^ Е ее 3

Е ее 0

Е ее 0

Г (а,ь) = 0 и Г'а(а,ь) = 0, значит, 5к — С ^диффеоморфизм. В силу того что Г класса следует, что 5к — С^-диффеоморфизм. Таким образом, справедлива Теорема 4.1. Для любых а, в £ К \ {0} и:

(г) к £ {кк}, фазовым пространством уравнения (0.7) является Я; (гг)\ £ {кк}, фазовое пространство уравнения (0.7) содержит объединение двух компонент М1 и М2 С М.

Заключение

1

2

3

3

В работе описано фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнений Корпусо-ва — Плетнера — Свешникова на графе, т. е. получено множество допустимых начальных

значений, при которых задача (0.2)-(0.5) однозначно разрешима. Исследована структура фазового пространства: оно содержит объединение двух компонент, каждая из которых является простым банаховым C-многообразием. В теореме 4.1, (ii) фазовое пространство лежит на 1-сборке Уитни.

Список литературы

[1] Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г. Квазистационарные процессы в проводящих средах без дисперсии // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2000. Т. 4, № 8. С. 1237-1249.

[2] YANAGIDA E. Stability of nonconstant steady states in reaction-diffusion systems on graphs // Japan J. Induct. Appl. Math. 2001. Vol. 18. P. 25-42.

[3] VON Below J. A maximum principle for semilinear parabolic network equations // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 1991. Vol. 133. P. 37-45.

[4] Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе // Мат. заметки. 1996. Т. 59, № 5. С. 777-780.

[5] Шафаревич А.И. Дифференциальные уравнения на графах, описывающие асимптотические решения уравнений Навье — Стокса, сосредоточенные в малой окрестности кривой // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 8. С. 1119-1130.

[6] Свиридюк Г.А. Уравнения соболевского типа на графах // Неклас. уравн. мат. физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. С. 221-225.

[7] Demidenko G.V., Uspenskii S.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative. N.Y.: Marcel Dekker, Inc., 2003.

[8] Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. N.Y.: Marcel Dekker, Inc., 1999.

[9] Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические операторно-дифференциальные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

[10] Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A., Falaleev M. Lyapunov — Schmidt method in nonlinear analysis and applications. Dordrecht; Harbour: Kluwer Acad. Publ., 2002.

[11] Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht — Boston: VSP, 2003.

[12] Свиридюк Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева // Изв. РАН. Сер. матем. 1993. Т. 57, № 3. С. 192-207.

[13] Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. Волгоград: Платон, 1997.

Поступила в редакцию 10 ноября 2004 г-