О нетеровости и индексе одного класса двумерных сингулярных интегральных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №1_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.968.2

Г.Джангибеков, М.Ч.Чоршанбиева

О НЕТЕРОВОСТИ И ИНДЕКСЕ ОДНОГО КЛАССА ДВУМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Р.Раджабовым 12.11.2013 г.)

В работе установлены эффективные необходимые и достаточные условия нетеровости интегральных операторов A в Lp (D), (рассматриваемом над полем вещественных чисел), 1 < p < да и получены формулы для вычисления индекса.

Ключевые слова: нетеровость оператора - индекс оператора - операторная матрица - двумерные сингулярные интегральные операторы.

Пусть D - ограниченная область комплексной плоскости, граница Г которой состоит из конечного числа простых замкнутых кривых Ляпунова, не пересекающихся между собой, / - тождественный оператор, т - целое число, a(z), b(z), c(z), d(z) - непрерывные в D = D U Г комплекс-нозначные функции. В пространстве Lp (D), 1 < p <да рассмотрим следующий сингулярный интегральный оператор

A = a( z) I + b( z)K + c( z)Sn + d (z)YmK, (1)

где

__-.\m -2im0

(Kf)( z) = f (z), (Smf)( z) = (~1Lm IT- f (C)dsc

ж D \C- z \

Sm = KSmK = S-m ,

m > n > 1, черта над функцией означает переход к комплексно-сопряжённым значениям,

0 = arg(£ — z) . При m = n, оператор (1) включается в класс операторов, изученных в работе [1], для

которых получены необходимые и достаточные условия нетеровости в Lp (D), 1 < p < да и формулы

для вычисления индекса. Случай b( z) = 0, n = —1 изучен в работе [2].

Прежде всего, аналогично [3], устанавливаем, что оператор A будет нетеровым тогда и только тогда, когда нетеровым является

U =

fa( z) I + c( z)Sn b( z) I+d ( z)SrЛ

b(z)I+d(z)Sm a(z)I+c(z)S,

n

Адрес для корреспонденции: Чоршанбиева Майрам Чоршанбиевна. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

f-Л m

в Lp (D), 1 < p . Поскольку символ оператора Sm (см [4]) равен — (a = a + ia2 Ф 0), то,

согласно [5], для нетеровости операторной матрицы U необходимо, чтобы detGA(z, t) Ф 0 для всех z е D, 11| = 1, где GA(z, t) - матрица символ оператора A (см.[6], гл. VI.4 )

U z) + c( Z)T b( z) + d ( z)r ]

Ga (z; t) =--- - .

A —z)+d(z)}m a(z) + c(z)tn ^

Непосредственным вычислением получим

detGA (z, t) = | a(z) + c(z)tn | 2 -1 b(z) + d(z)tm | 2 Ф 0 (2)

---1 (h a

для Vz е D, 111 = 1, гдеt = e = —. Вводя обозначения

a

Д( z) =| a(z) |2 -1 b(z) |2, A2(z) =| d(z) |2 -1 c(z) |2, перепишем неравенство (2) в виде

A(z) -Д (z) - 2Re(bdtm - actn) Ф 0 (3)

Заметим, что если неравенство (3) выполнено для всех z е D,| 11 = 1, то тогда Д (z) - Д2 (z) Ф 0 для Vz е D, ибо тригонометрический полином

P2m(р) = 2Re(b(z)d(z)e2 -a(z)c(z)e2)

свободного члена не имеет и поэтому обязательно обращается в нуль при некотором р : р е [0,2п\ Введём обозначения

M = max Re(bdtm - act"),

lt=i

-m = min Re(bdtm - act").

l t i=i

Очевидно, что неравенство (3) равносильно двум условиям

\ (z) - Д2 (z) > 2M(z), Vz е D,

\ (z) - Д2 (z) < —2m(z), Vz е D,

где M(z) > 0, m(z) < 0.

Лемма 1. Матрица GA(z, t) - невырождена для всех z е D и 111 = 1 тогда и только тогда, когда выполнено одно из двух неравенств

| Aj(z) | > Х(z) + ^2(z) + Д(Z)A2(Z), (4)

| Д2(z) | > X(z) + 4x2(.z) + Z)A2(Z) (5)

для всех z е D, где

\M(z), если A (z) > 0

z( z) = i ;

lm(z), если Д < 0, j = 1,2.

В соответствии с результатами леммы 1, можно доказать, что для оператора A имеется два гомотопических класса, которые можно описать в зависимости от индекса двучлена a + ctn из (2), а именно

т = ind(a(z) + c(z)to = 0 либо т = ind(a(z) + c(z)t) = -n,

|t=1 т=1

при этом, если коэффициенты оператора A удовлетворяют условию (4), то т = 0 , а если выполнено условие (5),то т = -n.

Теорема. Для нетеровости оператора A в пространстве Lp (D), 1 < p < да необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий

| Aj(z) | > Х(z) + ^2(z) + Aj(z)A2(z), Vz е D, (6)

| Д2(z) | > x(z) + z) + z)A2(z), Vz е D,

jJ (bet) + dit)^ a(t)c-t) \m expi(p + 2kn)nФ 0, Vt е Г. (7)

к=1

При этом если выполнено условие (6), то индекс оператора A равен нулю, а если выполнено условие (7), то индекс оператора A равен

к = J 2IndT(b(0 + d(0a(t)c-(t) \m expi(# + 2k^)n-). (8)

k=1

Доказательство. а) Пусть выполнено условие (7). Тогда, как отмечено выше,

ind(a + ct") = -n и выполнено условие (2).

|т|=1

Здесь без ограничения общности будем считать, что

| a(z) + c(z)T" | >| b(z) + d(z)tm | , Vz е D, t еГ.

Тогда двучлен а + с вне единичного круга 1г1= 1 имеет п -кратный полюс г" = —с(| с |>| а |). Пег а

репишем оператор А в виде

А = д11 + Ь К + ^ + й^К, (*)

а Ь й

где 4 = —, Ь = —, й = — . По символу данного оператора построим матрицы с с с

41 + г Ь + й/

Ь+й гт 41+ г"

41 + г" Ь1 + йй'

Ь + йгт 41 + -п

(

О— (0 =

с — 1

где г = —1-, — да<с < да, а коэффициенты 4, Ьх, й зависят от точки г контура Г . Если теперь

с +1

мы покажем, что матрицы О^ (г) факторизуются с нулевыми частными индексами, то из [5] будет следовать, что оператор нетеров в Ьр (Б), 1< р <да. С этой целью для матрицы О^ (г) построим задачу Римана для аналитических в единичном круге 1г1< 1 функций (Ф: (£),Ф2 (£)) :

|ф— (v = (41 + )ф+ (v+(ь + йг )ф + цу

1 )Ф+ (г)+(Ь + йГ )Ф+ (.),

- т (9)

Ф — (г) = (Ь + £)Ф+ (г) + (41 + г" )Ф+ (г),

где Ф+2(г),Ф12 (г) - неизвестные функции точки окружности | г |= 1, аналитически продолжимые по

г соответственно внутри и вне единичного круга.

Займемся решением задачи Римана (9). В первом равенстве системы (9) слева стоят аналитически продолжимая вне единичного круга функция, а справа аналитически продолжимая внутри единичного круга функция с п -кратным полюсом в точке г = 0. По теореме Лиувилля

ф— (о = с + 2

3=

"3+1 103,

с1

ф+ (0) = 1+2"=1°' —ф; (0). (100)

4 +0 4 +0

Поставив значение Ф— (г) во второе равенство системы (9) и учитывая, что

—+(г )

йвгО+А (г) =| 4 + Тп |2 — | \ + йугт f, можно факторизовать в виде —, где ¥+ (г) ^ 0, ¥~ (г) ^ 0 -

¥—(г)

аналитически продолжимые соотвественно внутри и вне единичного круга функции, получим

к

1 ^т

Ф ; С) = ^-У

^п

-У+1

/=1 ^ V ' У

д + "1 г

Р~ (I) I д.

(д, + *)

(10)

Отсюда

Р " (I)

г ГТ

1 >т

V 1 У

Ф— (I) -

^п С

-

/=1 г

д, +

Р + (I) (*+1)

Ф+ (I )•

Правая часть последнего равенства аналитически продолжима внутри единичного круга, а левая часть аналитически продолжима вне единичного круга функций, за исключением точек

^ д,п

I I (Р+2 »

д,п = щ\дЛе п , у =12.....,р=агЕ(-ч!

где она имеет п -кратный полюс Сп = — —, поэтому из теоремы Лиувилля будет следовать

д1

Р — (I )(ф— (I) — (Ь + ^ 1)) = ^ Ф+, [Сп+2 ^^ ]

то есть

ф—(с) =

(Ь +1)(с+;г=1 С1) 1

д1 +1

гС + у п+2+} ]

р (сГп+2 С - д]п ]

(11)

Поставив выражения для Ф+ (£) в (100), получим

^п

,=1

Ф+ (с) = ^,=1 1 - (¿1 + )

д1 +£п

[ Сп+2 + ^ /=1 С--д ]

р-+ (с)

Функция Ф— (с) в точке с = — имеет п -кратный полюс и его необходимо устранить, для

чего представив

1 " 1

д+тп=П (т—д,п) 1 /=1 1

п

потребуем, чтобы выражение при полюсах 0 = обращались в нуль,то еесть чтобы константы

43"

с,си+1,си+2 (з = 1,2,...,п), удовлетворяли п требованиям:

с

" +2+3

(Ь 1 + й 4" )(с + сп+14зп)

к * 3П(^—)—+4)

3 = 1,2,3,—,п,

' 3" &кпЗ 3" ^

где с,си+1 - свободные константы, с = 0,с = 0,...,си = 0, а на границе Г области Б предполагается, что выполнены неравенства Ь\ + йМ™" * 0, (3 = 1,2,...,"). Заметим, что условия на границе Г можно записать в виде

I- ,т (ф+2 ¡л)

П Ь + й4 4, |те1 " ) * 0, Уг еГ.

3=1

Итак, для функции Ф^2 (0) получили следующие выражения:

Ф— (0) = с +

С"

Ф20)=

(Ьг +0)(с1 + 0) 1

0_

4 +0"

[с + V "+2+3 ]

— 0Г"+2 + 2 0 " 4 ]п

^ -I- с"+1 г с + ^" с"+2+3 ]

с + Iсп+2 + 2,-1 1—4 ]

ф+ (0)= -м"—(Ь1 + й0т)- 3=10 4п

41 +

0"

—+ (0)

4 + — _п_ /"

Ф+(0)=[с"+2+2 ^ ], — (0) 3=1 0 — 43"

Теперь, выбрав сначала = 0, си+1 = 1, а затем = 1, си+1 = 0, найдем элементы матрицы Ф— (0) и

Ф+ (0)

Ф— (0) =

Ь +0т)0" 1 ^ с

0 0 +-2 7

,1

п+2+3

Ь +

1

1

2 т

-2

-"+2+3

V

41 +00 ¥"(0) м 0 — 4" 41 +00 ¥"(0) ^ 00 — 4]п J

с

п

ф+(О =

q +

■- (b + df )

Z- fn jj ±

jj fj

1

F+ (f q +

r-(b2 + df )

j=1 fF + +)

q1+f f c:+2+j F+(f J f - q]n

При этом

detO- (f) =

b 1 + d q

ln

П (gn - gkn)F + (q; )F- (f) к

q 1 + f у c"+2+j F+ (f j- q]n

Ф 0,

detO+ (f) =

b 1 + d q

Jn

П (g^ - gkn)F+ (j )F + (f) к *j

Ф 0, для Vf е D.

Таким образом, при выполнении условия

JJ (¿(Г) + dCO^ a(t)c 1)Г exp+ 2kx)n-) Ф 0, Vt е Г

k=1

мы имеем

или

O- f) = Q+ (f)O+ f)

о: (с) = Ф— (с)(Ф+ (С))-\

Аналогично доказывается, что при условии (12) имеет место представление

о;, (с) = Ф— (с)(Ф+ (С))-\

(12)

(13)

(14)

В полученных для матрицы О^ (с) представлениях (13), (14) первые множители аналитически продолжимы вне единичного круга, а вторые внутри единичного круга, причём их определители нигде в нуль не обращаются, то есть матрицы О^(с) имеют нулевые частные индексы. Следовательно, оператор А нетеров, то есть достаточность граничного условия (7) доказана. Необходимость условия (7) доказывается от противного с помощью локального метода (см. [7]). Теперь остаётся доказать формулу для вычисление индекса (8). Доказательство проведём по методу математической индукции по параметру тп . Пусть в (1) т = п, то есть оператор А из (*) имеет вид

А = д( г)1 + ¿( г)К + ^ + г)БтК,

тогда, как показано в работе [8], индекс оператора А равен

т

к = ]Г 2 IndT (b(t) + d (t) ^\ä{f)c~Htym exp ¡(ф + 2k^)n 1

т

k=i

Пусть теперь при m = v указанная формула для индекса оператора А справедлива, то есть имеет место

к = ]Г 2IndT(b(t) + d(t)nfiäit)^11 expi(ф + 2кж)п i

к=1

Покажем, что тогда для оператора А из (*)

A = qi( z) I + bi( z)K + Sn + di( z)Sn+K справедлива формула (8). Представим оператор А из (*) в виде

A - qi(z)I + bi(z)K + Sn + di(z)Sn+vK = = qi( z) I + bi( z)K + (I + di( z)SvK )Sn. (15)

Поскольку \ d(z) i, то, как известно, оператор

T = I - d SvK

в пространстве Zp (D) , (i < p < да) обратим.

Умножив обе части (15) справа на обратимый оператор T, с точностью до вполне непрерывного оператора, получим:

AT, = (I - diSvK)(qj + biK) + (I - diSvK)(I + diSvK)Sn.

Воспользовавшись формулой композиций операторов

S Ä = I - B v + T,

где Bv - обобщённый оператор Бергмана порядка v [1], а T - вполне непрерывный оператор, получим

ATi = (qiI + biK + Sn- qdAK) - b dS -1 d, |2 (I - Bv)Sn.

Оператор в первой скобке справа имеет вид оператора А с параметром v и, следовательно, по предположению индукции его индекс равен:

к = £ 2 IndT (b(t) + d (t) exp i(p + 2kx)n

к=i

Построив теперь семейство нетеровых операторов

TÄ = (qiI + biK + Sn -qdiSvK) - Ädi(biSv + di(I -Bv))S,

где 0 < Я < 1, мы сопоставим оператору AT нетеревый оператор

A = q^i+ь1К+S" - qxdx SK

с индексом к из (8). Формула для индекса доказана.

б). Пусть теперь выполнено условие (6) теоремы. Тогда по схеме пункта а) доказывается,что

матрицы-символы Q^ (t), безусловно, факторизуются с нулевыми частными индексами. В этом случае оператор А обратим.

Замечание 1. Если в операторе (1) n > m > 1, то достаточно от оператора A перейти к оператору AK:

AK = bI + aK + dS + cS K.

S m n

Поступило 12.11.2013 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Джангибеков Г. - ДАН СССР, 1990, т. 313, №3, с. 541-545.

2. Джангибеков Г., Бакоева М. - Вестник Хорогского университета, 2006, серия 1, №7, с.16-23.

3. Векуа Н.П. - Системы сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука,1970, 379 с.

4. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. - М.: Физматгиз, 1962, 254 с.

5. Duduchava R. - J. Operator Theory, 1984. v.11. pp. 41-76.

6. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. - М.: Высшая школа, 1977.

7. Симоненко Н.Б. - Изв. АН СССР. сер.мат., 1965, т.29, №4, с. 567-580.

8. Бойматов К.Х., Джангибеков Г. - Успехи математических наук, 1988, т.43, в.8, с.171-172.

Г.Джангибеков, М.Ч.Чоршанбиева ОИДИ НЕТЕРОВЙ БУДАН ВА ИНДЕКСИ ЯК СИНФИ ОПЕРАТОРИ ИНТЕГРАЛИИ СИНГУЛЯРИИ ДУЧЕНАКА

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола шартхои зарурй ва кифоягии эфектноки нетеровии оператори A дар Lp (D), (дар майдони ададх,ои хдкикй дидабаромадашуда) 1 < p < да ёфта шуда, формула барои хисоб-кунии индекси оператор х,осил карда шудааст.

Калима^ои калиди: нетерови будани оператор - индекси оператор - матрисаи операторы - оператори интегралии сингулярии дученака.

G.Jangibekov, .Ch.Chorshanbieva ON THE NOETHER AND THE INDEX OF A CLASS OF TWO-DIMENSIONAL

SINGULAR INTEGRAL OPERATORS

Tajik National University The purpose of this article is to establish an effective necessary and sufficient conditions and Noetherian operator A in Lp (D), (considered over the field) 1 < p < » and getting the formula for the calculation of the index.

Key words: Noetherian - the index of operator - operator matrix - two-dimensional singular integral operators.