О непараметрическом управлении динамическими объектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

УДК 62.501

О НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОМ УПРАВЛЕНИИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

О. А. Заболотникова

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

Рассматривается задача управления динамическим объектом при частичной непараметрической неопределенности. Приводятся алгоритм управления и результаты вычислительного эксперимента.

Ключевые слова: непараметрические алгоритмы, априорная информация, управление.

TO NONPARAMETRIC CONTROL OF DYNAMIC OBJECTS

О. А. Zabolotnikova

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: [email protected]

The problem of controlling a dynamic object in conditions of partial nonparametric uncertainty is studied. The control algorithm and results of computational experiments are considered.

Keywords: nonparametric algorithms, a priori information, control.

В современной теории и практике автоматического управления доминируют задачи, которые относятся к классу параметрических. При этом известна структура системы и задан класс моделей, к которому исследуемая система относится. В случае, когда априорной информации недостаточно для построения модели управления, используют непараметрические алгоритмы управления. В настоящей статье рассматривается проблема управления объектом в условиях частичной непараметрической неопределенности, для которых характерно наличие относительно небольшого количества информации, недостаточной для построения параметрических моделей объектов.

Предметом исследования текущей статьи является метод построения модели управления объектом с памятью, используя непараметрический регулятор. В записи модели динамических систем присутствует производная, связывающая прошлое состояние системы с настоящим. Чем большей памятью обладает система, тем больше состояний из прошлого влияют на настоящее, тем большая степень старшей производной используется в записи модели. Пусть объект задается в виде разностного уравнения т-го порядка:

xt = f ( xt-1, xt- 2,..., Xt - m, ut ) :

(1)

контролируемое воздействие; х*(/) - задающее воздействие; £(/) - функция отклонения регулируемой величины х(/) от предписанного значения х*(/); О -анализируемый объект; УУ - устройство управления. Таким образом, имеются наблюдения (хг-, щ, I = 1,5 }, где 5 - объем выборки; измерения осуществляются через интервал времени Д/.

где f - неизвестная функция. Такой вид объекта еще называют объектом с памятью [1].

Рассматривается задача управления, используя непараметрический регулятор с применением обратной связи (рис. 1).

На рис. 1 приняты следующие обозначения: м(/) -входное управляющее воздействие; х(/) -выходная переменная объекта; ц(/) - входное неизвестное, но

Рис. 1. Принцип управления по отклонению (с обратной связью)

Алгоритм управления. Методы и алгоритмы идентификации часто применяют для решения задач управления. Построенная модель используется для регулирования реального объекта с целью обеспечения движения системы по заданной траектории. Следовательно, задачей управления является посредством соответствующего выбора входного воздействия обеспечить желаемое поведение выходного сигнала системы.

Непараметрический алгоритм управления с обратной связью примет вид [2]:

us = u* + Aus

(2)

Решетневскуе чтения. 2014

Из формулы (2) следует, что управляющее воздействие включает две составляющие: первое слагаемое

содержит знание об объекте управления, второе

*

Аих = е(- х5)- отклонение управляемой величины,

компенсируя неточности идентификации и влияние

*

случайных помех. Найдем оценку управления ы5 динамической системы следующим образом:

I ;=иф

Л

п >

(x - X ^

Xt- J лг - J

I; Ф

¿-4=1

/ * * \

П >

(X - X ^

- J лг - J

(3)

лась до 0,049, что и предполагалось при недостающей информации об объекте процесса.

22 1.4 0.6 -020

1it)

где Ф ( ) - ядерная функция; с*,сХ - параметры размытости, обладающие некоторыми условиями сходимости [3].

Вычислительный эксперимент. В качестве исследуемого объекта взято разностное уравнение третьего порядка:

х( = 0,95х,-3 - 2,8х-2 + 2,9х_ + 0,004^. (4)

Пусть А/ = 0,2, входное воздействие и(/) = 0,7$т(20, время исследования процесса - 30, помехи отсутствуют, изучающая добавка Аы( = 0,5(х* - х(). Результаты алгоритма управления при различных желаемых траекториях изображены на рис. 2, 3.

Рис. 2. График желаемой траектории x*(t) и выхода объекта x(t)

Рис. 3. Результат работы регулятора

Среднеквадратическая ошибка данного управления составляет 0,022.

Сравним результат работы алгоритма управления с предыдущим, когда модель объекта является моделью второго порядка, а сам объект - третьего (рис. 4).

Среднеквадратическая ошибка между выходом объекта и выходом модели регулирования увеличи-

Рис. 4. Результат работы регулятора

Среднеквадратическая ошибка полученного выше результата составляет 0,018. Из текущих приведенных примеров можно сделать вывод, что непараметрический регулятор обеспечивает высокое качество управления при отсутствии помех.

Методы решения задач идентификации и управления в настоящее время мало изучены. Составляет трудность поиск подходящей литературы для их изучения. В связи с этим такие задачи часто решаются параметрическими методами, а такие методы «сталкивают» нас с некоторыми осложнениями, а также не всегда получаются желаемые результаты. Решение задач управления систем определяет актуальность данной работы.

В докладе рассмотрены задачи непараметрического управления, приведены алгоритмы управления, а также результаты вычислительных экспериментов, которые показывают эффективность данного алгоритма.

Библиографические ссылки

1. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М. : Физматгиз, 1963. 552 с.

2. Медведев А. В. Теория непараметрических систем. Управление - I // Вестник СибГАУ. Красноярск. 2013. Вып. № 2(48). С. 57-63.

3. Надарая Э. А. Непараметрические оценки плотности вероятности и кривой регрессии. Тбилиси : Изд-во Тбил. ун-а, 1983. 194 с.

References

1. Feldbaum A. A. Osnovy teorii optimalnykh avtomaticheskikh sistem (Fundamentals of the theory of optimal automatic systems). Moskow: Fizmatgiz Publ., 1963, 552 p.

2. Medvedev A. V. (Theory of nonparametric systems. Control-I) // Vestnik SibGAU, Krasnoyarsk, 2013, № 2(48), p. 57-63. (In Russ.)

3. Nadaraya E. A. Neparametricheskie otsenki plotnosti veroyatnosti i krivoj regressii (Non-parametric estimation of the probability density and the regression curve). Tbilisi, Tbil. un-t Publ., 1983, 194 p.

© Заболотникова О. А., 2014

*

U ; =