О НЕКОТОРЫХ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ И ОТРЕЗКАХ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия АлтГУ. Математика и механика. 2021. № 1 (117) УДК 514.112.3

О некоторых замечательных точках и отрезках в треугольнике

Ю.Н. Мальцев1, А.С. Монастырева2

1Алтайский государственный педагогический университет (Барнаул, Россия) 2Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)

On Some Remarkable Points and Line Segments in Triangles

Yu.N. Maltsev1, A.S. Monastyreva2

1Altai State Pedagogical University (Barnaul, Russia) 2Altai State University (Barnaul, Russia)

Пусть ra, rF rc — радиусы, а OA, Off OC — центры окружностей, касающихся в вершинах треугольника описанной окружности и противоположной стороны этого треугольника. В работе [Andrica D., Marinescu D.S. New interpolation inequalities to Euler's R>2 // Forum Geometricorum. 2017. Vol. 17] доказано,

что — < — + — +1 < 2. В статье [Isaev I., Maltsev Yu.,

R ra rb Гс r

Monastyreva A. On some relations in geometry of a triangle // Journal of Classical Geometry. 2018. Vol. 4] данные неравенства обобщены следующим образом:

Let r, r,, r be the radii, and OA, O„, O_ the cena b c ABC

ters of tangent circles at the vertices to the circumcircle of a triangle ABC and to the opposite sides. In the paper [Andrica D., Marinescu D.S. New interpolation inequalities to Euler's R>2 // Forum Geometricorum. 2017.

Vol. 17], the authors proved that — < — + — + — < —.

R ra rb rc r

In the paper [Isaev I., Maltsev Yu., Monastyreva A. On some relations in geometry of a triangle // Journal of Classical Geometry. 2018. Vol. 4], it is given the following generalization of these inequalities:

1112 1

1 1 1

1

R

+ — . В настоящей работе мы вычис---1---1— = —Ъ — . In that paper, we find the area

Га ГЬ Гс R Г

of the triangle OAOBOC (see Theorem 1). We prove some relations for the numbers R-r, R-r,, R-r, where R is the circum-

a b c

radius of a triangle ABC. Namely, we find the expressions

лили площадь треугольника OAOBOC (см. Теорему 1). Кроме того, доказали ряд соотношений для чисел R-ra, R-re R-r, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Вычислили величины

1

1

1

1

1

1

R - к R - к R - к

R - к R - r R - к

через

b c a b

параметры p, R и r (см. Теорему 2). Дали оценку этим выражениям (см. Теорему 3). Наконец, используя результаты работы [Maltsev Yu., Monastyreva A. On some relations for a triangle // International Journal of Geometry. 2019. Vol. 8 (1)], нашли выражение величины (1-cos(ae))(1-cos(e-y))(1-cos(a-y)) через параметры p, R, r, что позволило нам дать новое доказательство фундаментального неравенства треугольника (см. Следствие 2).

Ключевые слова: треугольник, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности, полупериметр, замечательная точка.

and--1---1--

R - r R - r, R - r R - r R - r R - r

abc abc

by means by the parameters p, R and r (see Theorem 2). We estimate these values (see Theorem 3). Finally, using the results of paper [Maltsev Yu., Monastyreva A. On some relations for a triangle // International Journal of Geometry. 2019. Vol. 8 (1)] and representing the expression of (l-cos(aP))(l-cos(P-y))(l-cos(a-y)) by means of p, R, r, we prove new proof of the fundamental triangle inequality (see Corollary 2).

Key words: triangle, circumradius, inradius, semiperimeter, remarkable point.

DOI: 10.14258/izvasu(2021)1-18

Введение. Пусть R,r,p — радиусы описанной и вписанной окружностей, а также полупериметр треугольника ABC, O a — центр окружности, касающейся в вершине A окружности, описанной около треугольника ABC, и стороны BC. Обозначим через ra = AOa радиус этой

Вписанныйтреугольник ABC

окружности, AB = c, AC = b, BC = a, zCAB = а,

a + b + c

zABC = в, zBCA = y,P = + + , O —

центр окружности, описанной около треугольника ABC (см. рис.). Аналогично можно определить гь ,rc ,Ob , Oc . Пусть также S (д ABC) — площадь треугольника ABC. В работе [1] доказано, что

4 1112

— <--1---1--< -.

R ra rb rc r

(1)

В статье [2] неравенства (1) обобщены следующим образом:

1112 1

- + - + - = - + - • (2) Га П Гс R Г

В статье [2] найдены также некоторые интересные

соотношения и неравенства для чисел га,гс. В

работе [3] доказано, что числа га ,гь ,гс являются

корнями уравнения третьей степени

x3 - R •

p4 + p2(20Rr + 18r2) + (4R + r)r3

(p2 + r(2R + r))2

+

(R + 2r)16p2 rR2

16p2 r2 R3

= 0.

(p2 + r(2R + r))2 (p2 + r(2R + r))2

Из этого результата следует, что существует треугольник ABC, для которого не существует невырожденного треугольника с длинами сторон, равными ra ,rb ,Гс.

В настоящей работе рассматривается треугольник O a Ob Oc (его вершины O a, O в ,Oc мы считаем замечательными точками треугольника ABC), вычислена его площадь (через параметры R, r,p), а также найдены некоторые соотношения для чисел OOa = R — ra, OOb = R — гь, OOc = R—rc. В заключение работы доказано, что (1 — cos(a — в ))(1 — cos(a — y ))(1 — cos(e — Y)) = 4R(R — 2r)3 — (p2 — (2R2 + 10Rr — r2 ))2

8R4

Из

этого соотношения следует новое доказательство фундаментального неравенства треугольника (см. [4-6]).

1. Некоторые вспомогательные результаты. В работе [1] доказано, что

ra =

pr

a cos2

Следовательно,

OOa = R — ra = R —

=R

в — Y'

pr

в — Y

abc

a(1 + cos^ — Y))

4R

=R

=R

bc

2R(1 + cos^ — Y)) 4R2 sin в sin y

= R 1

2R(1 + cos^ — Y)) 2 sin в sin Y

(1 + cos^ — Y))

=R

1 cos а

(1 + cos^ — Y))

Тем самым доказана

Лемма 1. Для любого треугольника ABC справедливо равенство

R ra = R

(1 — cos а) (1 + cos^ — Y)).

Справедливы также следующие утверждения. Лемма 2 (см. [3]). Для любого треугольника ABC справедливы равенства:

1. cos^ — Y) + cos(a — y) + cos^ — а) = 2Rr — 2R2

p2 + r2

2R2

x2+ 2. cos^ — Y) cos(a — y) + cos^ — Y) cos^ — а) + + cos(a — y) cos^ — а) = _ p2(R + 6r) — 4R3 — 16R2r — 11 Rr2 — 2r3

;

3. cos(а — в) cos^ — y) cos^ — Y) = = (p4 — p2(6R2 + 8Rr — 2r2) + 8R4+ +24R3r + 22R2r2 + 8Rr3 + r4) /8R4. Лемма 3 (см. [4]). Для любого треугольника ABC справедливы равенства:

pr

1. sin а • sin в • sin y =

2R2'

2 pr

2. sin 2а + sin 2в + sin 2y = -=pr;

R2

r + R

3. cos а + cos в + cos y =

R

4. cos а • cos в • cos y =

p2 — (2R + r)2 4R2

5. cos в cos y + cos а cos в + cos а cos y = _ p2 + r2 — 4R2 4R2 .

2

a cos

2

Лемма 4. Для любого треугольника ABC справедливо равенство

(1 + cos(e - 7))(1 + cos(a - Y))(1 + cos(a - в)) =

_ (p2 + r(2R + r))2

= 8R4 '

Доказательство. Согласно лемме 2 имеем,

По лемме 3 имеем, что

A = 1 - ^ + p

+ r2 - 4R2

R

4R2

p2 - (2R + r)2 _ r2

4R2 = 2R2'

что

Лемма доказана.

Лемма 7 (см. [4]). Для любого треугольника ABC справедливы равенства:

r

(1 + cos(ß - 7))(1 + cos(a - Y))(1 + cos(a - ß)) =

= 1 + (cos(ß - y) + cos(a - y) + cos(ß - a))+

+ (cos(ß - y) cos(a - y) + cos(ß - y) cos(ß - a)+

+ cos(a - y) cos(ß - a))+

+ cos(a - ß) cos(a - y) cos(ß - y) =

p2 + r2 + 2Rr - 2R2 1 + --^-+

, • a ■ ß ■ Y 1. sin — • sin — • sin — „ , 2 2 2 4R

0 -2 a - 2 ß , - 2 ß - 2 Y . - 2 a - 2 Y 2. sin —■ sin —■ + sin —■ sin — + sin — sin —

ß . 2 Y 2- 2 — 2sin 2 p2 + r2 - 8Rr

= 16R2 '

a ß Y P

3. ctg 2 + ctg 2 + ctg 2 = r'

+

+

2R2

p2(R + 6r) - 4R3 - 16R2r - 11Rr2 - 2r3 4R3

+ (p4 - P2(6R2 + 8Rr - 2r2) + 8R4+ +24R3r + 22R2r2 + 8Rr3 + r4) /8R4 =

(p2 + r(2R + r))2

4.

11

+ —

1 p2 + r2 + 4Rr

. . + —— = --;

sin a sin ß sin y 2pr

p2 - r2 - 4Rr

2pr

8R4

Лемма доказана.

Лемма 5. Для любого треугольника ABC справедливо равенство

(1—cos а)(1—cos в) cos y+(1—cos a)(1—cos y) cos в+

p2 — 8Rr — 5r2

5. ctg а + ctg ß + ctg y =

6. sin а + sin ß + sin y = p.

R

Далее справедлива следующая лемма. Лемма 8. Для любого треугольника ABC справедливы равенства:

1 1 1 1. -- + ^-Ö +

2.

1 - cos a 1 - cos ß

p2 + r2 - 8Rr

2Т2 ;

a a sin 2ß + sin 2y -- = 2ctg- + —--.

R — rn 2 1 — cos a

1 - cos y

+ (1 - cosß)(1 - cos y) cos a ■

4R2

Доказательство. По лемме 7 имеем, что 111

Доказательство. Левая часть доказываемого равенства равна

(cos а + cos в + cos y) + 3 cos a cos в cos y— — 2(cos a cos в + cos a cos y + cos в cos y) =

+

+

R + r p2 - (2R + r)2 2 p

+ r2 — 4R2

R

4R2

4R2

p2 - 8Rr - 5r2 4R2

1 - cos a 1 - cos ß 1 - cos y

1 I 1 1 1

2 1 щ +

•2 a - 2 ß , - 2 a - 2 Y . - 2 ß ■ 2 Y

sin — sin--+ sin — sin--+ sin — sin —

2 2 2 2 2 2 _

o • 2 a -2 ß -2 Y 2 sin — sin — sin — 2 2 2

1 p2 + r2 - 8Rr p2 + r2 - 8Rr

Лемма доказана.

Лемма 6. Для любого треугольника ABC справедливо равенство

2

16R2

2r2

16R2

Далее по лемме 1 получаем, что

(1 — cos a)(1 — cos в)(1 — cos y) = •

2R2

Доказательство. Левая часть доказываемого равенства равна

1 — (cos a + cos в + cos y)+

+ (cos a cos в + cos a cos y + cos в cos y) —

— cos a cos в cos y = A

2R sin a

R - ra R(1 - cos a)

(1 +cos(ß - y))

2 sin a ^2 sin a cos(ß - y)

1 cos a

1 cos a

2 ctg a + 2sin(ß + Y) sin(ß - Y) 2 1 cos a

a sin 2ß + sin 2y

= 2ctgö + —i-•

2 1 cos a

Лемма доказана.

2

r

2

a

2. Основные результаты. Теперь приступим к доказательству основных результатов настоящей работы. Справедлива следующая

Теорема 1. Для треугольника ABC справедлива формула:

жл П по ) S 2Д2(р2 - 8Rr - 3r2) S(AOaObПс) = S • (p2 + r(2R + r))2 '

где S = S(aABC) — площадь треугольника ABC.

Доказательство. Справедливо равенство: S(AOAOB ОС ) = S (AOOAOB )+S (AOOAOC )± ± S(AOObOc) = (R - ra)2(R - ГЬ) sin 27+ + sin sin 2«

2

2

в зависимости от того, будут ли все углы треП П

угольника ABC меньше — или, например, а > —. По лемме 1 имеем, что

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть треугольник ABC является прямоугольным.. Тогда

S (AOaOB OC ) = S

R

t2(2t2 - 2t - 1) (2t2 + 3t + 1)2 '

где t = - > т/2 + 1 и S = S(aABC) - площадь r

треугольника ABC.

Доказательство. Известно, что для прямоугольного треугольника p = 2R + r (см. [4]), причем числа не являются произвольными, а удовлетворяют неравенству R > (+ 1)r. Действительно, подставив p = 2R + r в фундаментальное неравенство треугольника

(p2 - 2R2 - 10Rr + r2)2 < 4R(R - 2r)3,

приходим к известному R > (V2 + 1)r. Поэтому

неравенству

s(AooaoB ) =

(1 — cos a)(1 — cos в)

= R2

sin 27 R2

+ (1 — cos a)(1 — cos y) cos ¡3+

+(1 — cos в)(1 — cos y) cos a) . По леммам 3-6 имеем, что

s(AoaoB oC ) =

_ 2prR2(p2 — 8Rr — 3r2) _ = (p2 + r(2R + r))2 =

_ 2R2(p2 — 8Rr — 3r2) = ' (p2 + r(2R + r))2 .

s(AoaoB oC ) =

2R2((2R + r)2 — 8Rr — 3r2)

(1+cos(e — 7))(1+cos(a — 7)) 2 2 (1 — cos a)(1 — cos в)(1 + cos(a — в)) sin 27 ' (1 + cos(e — 7))(1 + cos(a — 7))(1 + cos(a — в)'

Обозначим B = (1 + cos(в — Y ))(1 + cos(a — 7))-•(1 + cos(a — в). Заметим, что cos 7

— cos(a + в)' sin 27 = 2 sin7 cos 7. Следовательно, R2 1

S(AOOaOb ) = — • — • (1 — cos a)(1 — cos в)-2B

• (1 — cos7 + cos7 + cos(a — в)) • sin27 = R2

= —— (1 — cos a)(1 — cos в)(1 — cos 7) • sin 27+

2B 2—2

+——(sin a sin в sin 7) • cos 7 (1 — cos a)(1 — cos в). B

Таким образом, получаем

S(AOAOB OC ) = R2

= —— (1 — cos a)(1 — cos в)(1 — cos 7)-2B

• (sin 27 + sin 2в + sin 2a)+

2—2

+——(sin a sin в sin 7 )-((1 — cos a)(1 — cos в) cos 7+ 2

=S

(4R2 + 4Rr + r2 + r(2R + r))2 R2(2R2 — 2Rr — r2)

=S

(2R2 + 3Rr + r2 )2

t2(2t2 — 2t — 1) (2t2 + 3t + 1)2 '

S

R

где t = — > %/2 + 1- Следствие доказано. т

S

В частности, S(AOAOBОс) < — для прямоугольных треугольников.

В работе [2] доказаны некоторые соотношения и неравенства для чисел та,ть,тс. Докажем аналогичные соотношения и неравенства для чисел R — та^ — ть^ — гс. Именно справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Для любого треугольника справедливы равенства:

111

1. --+ ^-+

R — ra R — rb R — Гс

(p2 — (6Rr — r2))2 — 24R2r2 + 16Rr3 ^

R

+

4R3r2

b c

+ ■

R — ть R — тс

= Т?Г • (р2 — ^т + т2).

R2т

Доказательство. Преобразуем левую часть первого равенства из условия теоремы, используя значения т-а+П+тс, тать +т ат с+т ьт с, татьтс через R,p,т (см. [3]). Имеем, что

1

R

+

1

+

1

R — гь R — r,

a

a

(3R2 — 2К(га + гЬ + гс) + (гагЬ + гагс + гЬгс))/ Из теоремы 2 следует, что

(R3-R2(ra +Гь+Гс) + К(ГаГь+ГаГс +ГЬГс )—ГаГЬГс) =

р4 + р2 (20 Rr + 18г2) + r3(4R + г)

= 3R — 2R •

+

(р2 + г(2К + г))2

(R + 2г)16р2К2г

рГГЖГГ))2

R — К2 ■

р4 + р2 (20 Кг + 18г2) + г3(4К + г) (р2 + г(2К + г))2 (К + 2г)16р2 К2г 16р2К3г2

(р2 + г(2К + г))2 — (р2 + г(2К + г))2

(р2 — 6 Кг + г2)2 — 24К2г2 + 16Кг3 = 4К3г2 '

+

Докажем теперь второе равенство. Используя леммы 3, 7 и 8, получаем, что

Ь с + ^--Ь

К — Га К — ГЬ К — Г с

( а в 7\

= 2(^2+^2+^2) +

+ (sin 2а + sin 2в + sin 27) •

1

+

1

+

1

1 — cos а 1 — cos в 1 — cos 7 sin2а(1+cos а) ^ sin2в(1 + cos в) ^

1 — cos2 а

1 — cos2 в

+

sin27(1 + cos 7) 1 — cos2 7

^р 2рг р2 + г2 — 8Кг г К2 2г2

— 2 ((ctg а + в + 7) -

/ 1 1 1

+ --+ —+ —

\ sin а sin в sin 7

— ^т а + sin в + sin 7) ) =

р (р2 + г2 — 8Кг 2г \ р 2 2

I __I I --/ /V"*2 I /V»2

К2

+ К = <р2—6КгГг2)-

Теорема доказана.

Теорема 3. Для любого треугольника справедливы неравенства: ч 7 К — 2г

1. (К — 2Г) • ^

111

< I -- Г ^- Г

12

■ , ,--<

К — га К — гь К — гс) К

< (К — 2г)

4 К3 + 4К2г — Кг2 — 2г3

а Ь 2. —-+ --+

К3г2 с

<

К — Га К — ГЬ К — Г с

< 12у/3+3^(К — 2Г)(2К — Г).

Кг

Доказательство. В [4] доказано, что 16Кг — 5г2 < р2 < 4К2 + 4Кг + 3г2.

111

+ т;--Ь

+

К — Га К — ГЬ К — Г с

(р2 — (6Кг — г2))2 — 24К2г2 + 16Кг3

4 К3 г

>

>

(16Кг — 5г2 — 6Кг + г2)2 — 24К2г2 + 16Кг3 2 К3 г2

19К2 — 16Кг + 4г2

К3

и, кроме того

>

1

+ ■

1

+

1

12

-->

К — га К — гЬ К — гс К 7К2 — 16Кг + 4г2 _ (К — 2г)(7К — 2г)

К3

Далее,

К3

111

+ т;--Ъ

<

<

К — Га К — Гь К — Г с (4К2 + 4 Кг + 3г2 — 6 Кг + г2)2 — 24К2г2 + 16Кг3 4К3г2

4К4 + 3К2г2 - 4К3г + 4г4

К3г2

1

+

1

+

1

12

, --<

К — гЬ К — гс К

<

К — г,

4К4 + 3К2г2 — 4К3г + 4г4 12 _

КГ2 К =

(К — 2г)(4К3 + 4К2г — Кг2 — 2г3)

= КГ2 .

Докажем теперь второе неравенство. Имеем, что

+

Ь

+

К — Га К — ГЬ К — Г с

2

— 12^3 =

р(р2 — 6Кг+г2)

К2 Г

Следовательно,

111

+ т;--Ь

12

--<

К <

К - Га К - ГЬ К - Гс

3^3(К — 2г)(2К — г)

<

КГ

Теорема доказана.

В лемме 4 найдено выражение величины

(1 + ^(в — 7))(1 + cos(a — 7))(1 + cos(а — в))

через К, p, г. Интересно найти аналогичное выражение для произведения

(1 — cos(в — 7 ))(1 — cos(a — 7 ))(1 — cos(а — в)).

Имеет место следующая теорема:

Теорема 4. Для любого треугольника справедливо равенство

(1 — cos(в — 7 ))(1 — cos(a — 7))(1 — cos(а — в)) =

4К(К — 2г)3 — (р2 — (2К2 + 10Кг — г2))2 8^

2

а

а

с

Доказательство. По лемме 2 имеем, что

(1 - cos(ß - y))(1 - cos(a - y))(1 - cos(a - ß)) = = 1 - (cos(a - ß) + cos(a - y) + cos(ß - y))+ + (cos(a - ß) cos(a - y) + cos(a - ß) cos(ß - y)+ 2(R - 2r) / R2 - 2Rr + 2R2 + 10Rr - r2 < p2 <

Следовательно, оба множителя в этом произведении имеют одинаковый знак или один из них равен нулю. Если они оба неположительные, то

+

+ cos(ß - y) cos(a - y)) -- cos(a - ß) cos(a - y) cos(ß - y) p2 + r2 + 2Rr - 2R2 = 2R2 +

p2(R + 6r) - 4R3 - 16R2r - 11Rr2 - 2r3 4R3

- (p4 - p2(6R2 + sRr - 2r2) + SR4 + 24R3r+

(+22R2r2 + sRr3 + r4) /(SR4

< 2В2 + 10Rr - г2 - 2(В - 2г)/В2-2В.

Это означает, что R — 2г = 0 и исходный треугольник является правильным [4]. В этом случае неравенство (4) очевидно. Если оба множители положительны, то

_ 4R(R - 2г)3 - (р2 - (2R2 + 10Вг - г2))2

= 8В .

Теорема доказана.

Из теоремы 4 мы получаем новое доказательство так называемого фундаментального неравенства треугольника.

Следствие 2 (фундаментальное неравенство треугольника [4]). Для любого треугольника справедливо неравенство

2R2 + 10Rг - г2 - 2(В - 2г)\/R2 - 2Rr < р2 < < 2R2 + 10Вг - г2 + 2(В - 2г)/В2 - 2Rг.

Следствие доказано.

Заметим, что равенство в одном из неравенств (4) возникает в случае, если исходный треугольник является равнобедренным. В работе [5] доказано, что

2R2 + 10Rг - г2 - 2(В - 2г)\[в2-Жг < р2 < < 2R2 + 10Вг - г2 + 2(В - 2г) д/В2-2В. (4)

Доказательство. Действительно, левая часть равенства (3) неотрицательна. Поэтому правая часть тоже неотрицательна, то есть

4В(В - 2г)3 - (р2 - (2В2 + 10Вг - г2))2 = = (2(В - 2г)/В2 - 2Вг + 2В2 + 10Вг - г2 - р2) • • (р2 + 2(В - 2г)/В2 - 2Вг -

-(2В2 + 10Вг - г2)) > 0.

2R2+10Rr-r2-2(R-2r)cos p^R2 - 2Rr < p2 < < 2R2 + 10Rr - r2 + 2(R - 2r) vR2 - 2Rr cos p,

где p = min {|a - ß\, \a - y\, \ß - y|}, а в работе [6]

, (2R2 + 10Rr - r2) - p2

доказано, что cos (Á1ON) = --. —,

V 7 2(R - 2r)VR2 - 2Rr где исходный треугольник ABC не является правильным, 1 — центр вписанной окружности, O — центр описанной окружности, а N — точка Нагеля треугольника ABC. Другие доказательства фундаментального неравенства треугольника можно посмотреть в [7-10].

Авторы выражают благодарность рецензенту за внимательное прочтение рукописи статьи и полезные замечания.

Библиографический список

1. Andrica D., Marinescu D.S. New interpolation inequalities to Euler's R > 2r // Forum Geometricorum. 2017. Vol. 17.

2. Isaev I., Maltsev Yu., Monastyreva A. On some relations in geometry of a triangle // Journal of Classical Geometry. 2018. Vol. 4.

3. Maltsev Yu., Monastyreva A. On some relations for a triangle // International Journal of Geometry. 2019. Vol. 8(1).

4. Soltan V., Maidman S. Identities and inequalities in a triangle. Kishinev, 1982 (in Russian).

5. Wu S. A sharpened version of the fundamental triangle inequality // Mathematical Inequalities and Applications. 2008. Vol. 11(3).

6. Andrica D., Barbu C., Piscoran L. The geometric proof to a sharp version of Blundon's inequalities // Journal of Mathematical Inequalities. 2017. Vol. 17(4).

7. Bottema O., Djordjevic R., Janic R., Mitrinovic D., Vasic P. Geometric Inequalities. Groningan, 1969.

8. Mitrinovic D. Recent Advances in Geometric Inequalities. Netherlands, Dordrecht, 1989.

9. Blundon W. On cirtain polynomial associated with a triangle // Math. Mag. 1963. Vol. 36.

10. Blundon W. Inequalities associated with a triangle // Canadian Math.Bull. 1965. Vol. 8.