МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА Останов К.1, Бобоев Б.Э.2, Уралова О.Б.3, Кулжанов Ж.Н.4 Email: [email protected]

1Останов Курбон - доцент, кафедра теория вероятностей и математической статистики, математический факультет, Самаркандский государственный университет; 2Бобоев Биродар Эшмирзанвич - преподаватель, кафедра точных и естественных наук, академический лицей Самаркандский архитектурно-строительный институт; 3Уралова Озода Бурибоевна - преподаватель, кафедра точных и естественных наук, академический лицей Самаркандский институт ветеринарной медицины, г. Самарканд; 4Кулжанов Жавлон Неъматович - учитель, Средняя школа № 39, Акдарьинский район, Самаркандская область, Республика Узбекистан

Аннотация: в этой статье рассмотрена методика изучения тригонометрических тождеств для произвольных углов треугольника. Многие формулы доказаны на основе тригонометрических формул приведения и с использованием тригонометрических тождеств. Кроме того, некоторые формулы и равенства доказывается с применением формулы (4) и неравенства Буняковского. При доказательстве тригонометрических тождеств использована теорема о выпуклых функциях. Рассмотрена также теорема тангенсов, формулы Мольвейде, а также формулы, выражающие тригонометрические функции углов треугольника через его стороны.

Ключевые слова: соотношение, формула, тождество, неравенство, доказательство, треугольник, угол, круговая схема, равенство, неравенство, функция, квадратное уравнение, выпуклые функции.

METHODS FOR STUDYING TRIGONOMETRIC IDENTITIES FOR ARBITRARY ANGLES OF A TRIANGLE Ostanov K.1, Boboev B.E.2, Uralova O.B.3, Kulzhanov Zh.N.4

1Ostanov Kurbon - Assistant Professor, DEPARTMENT OF PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS, FACULTY OF

MATHEMATICS, SAMARKAND STATE UNIVERSITY; 2Boboev Birodar Eshmirzayevich - Lecturer, DEPARTMENT OF EXACT AND NATURAL SCIENCES, ACADEMIC LYCEUM SAMARKAND ARCHITECTURE AND CIVIL ENGINEERING INSTITUTE; 3Uralova Ozoda Buriboevna - Lecturer, DEPARTMENT OF EXACT AND NATURAL SCIENCES,

ACADEMIC LYCEUM SAMARKAND INSTITUTE OF VETERINARY MEDICINE, SAMARKAND; 4Kulzhanov Javlon Nematovich - Teacher, SECONDARY SCHOOL № 39, AKDARYA DISTRICT, SAMARKAND REGION, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: this article discusses a technique for studying trigonometric identities and inequalities for arbitrary angles of a triangle. Many formulas are proved based on trigonometric reduction formulas and using trigonometric identities. In addition, some formulas and equalities are proved using formula (4) and Bunyakovsky's inequality. In the proof of trigonometric identities, we used the theorem on convex functions. The theorem of tangents, Mollweide's formulas, as well as formulas expressing trigonometric functions of the angles of a triangle through its sides are also considered.

Keywords: relation, formula, identity, inequality, proof, triangle, angle, circular scheme, equality, inequality, function, quadratic equation, convex functions.

УДК 373.5

1. Из соотношения A = 7 — (B + C) на основе формул приведения найдем следующие тождества

sin A = sin(B + C), cos A = — cos(B + C), tgA = —tg(B + C) (1)

Поменяя местами A, B, C по круговой схеме можно найти еще шесть аналогичных формул [1].

A 7 B + C

2. Из соотношения = ---2— на основе формул приведения

найдем следующие тождества

. A . B + C A . B + C A B + C

sin— = sin-, cos— = sin-, tg— = ctg-

2 2 2 2 2 2.

Поменяя местами A, B, C по круговой схеме можно найти еще 6 аналогичных формул.

3. Для косоугольных треугольников имеем tg(A + B + C) = tgAtgB tgC .

Доказательство. tg (A + B + C) =

tgA +tgB +tgC — tgA tgB tgC = 0. 5V ' 1 — tgAtgB — tgB tgC — tgC tgA

Отсюда и вытекает требуемое равенство[2] .

4. Докажем тождество

A B B C C A 1 пл tg—tg— + tg—tg— + tg—tg— = 1 (2) 2 2 2 2 2 2

ABC 7

Доказательство. Так как--\---\--= — ,то

2 2 2 2

,A B C. A B C„ A B

cos(—i---1—) = cos—cos—cos—(1 — tg—tg--

2 2 2 2 2 2 2 2

B C C A —tg—tg——tg—tg—) = 0 2 2 2 2 Отсюда вытекает равенство (2).

5. Справедливо равенства [3]

• , • о - ^ , A B C sin A + sin B + sin C = 4cos—cos—cos— =

2 2 2

„ . B + C . C + A . A + B

= 4sin-sin-sin-

222 Доказательство. Для доказательства используем равенства (2)

sin A + sin B + sin C = sin A + sin B + sin( A + B) =

„ . A + B A - B „ A + B . A - B

= 2sin-cos--+ 2cos-sin-=

2 2 2 2

ABC sin A + sin B + sin C = 4cos—cos—cos— =

222

A + B A - B A + B A + B A B

= 2sin-(cos--+ cos-) = 4sin-cos—cos —

2 2 2 2 2 2 6. Докажите тождество

ABC

cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin—sin—sin— (3)

2 2 2

Доказательство.

^ o A + B A - B . 2 C

cos A + cos B + cos C = 2cos-cos--+ (1 - sin —) =

2 2 2

A + B, A - B A + B ,

= 2cos-(cos--cos-) +1 =

2 2 2

A + B . A . B ,

= 4cos-si^—sin—+1

2 2 2 Отсюда и из (2) вытекает искомое тождество (3).

ABC 7. sin A + sin B + sin C = 4sin—sin—cos— (4)

2 2 2

ABC

8. cosA + cos B + cos C = 4cos—cos—sin--1 (5)

2 2 2

9. sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sin A sin B sin C (6)

Здесь использовано тождество 2A + 2B + 2C = 4ж .

10. cos2 A + cos2B + cos2C = -1 - 4cos Acos B cos C (7)

11. sin2 A + sin2 B - sin2 C = 2sin A sinB cosC (8)

12. sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2(1 + cos A cos B cos C) (9) Доказательство. Выражая левую часть как функцию двух аргументов достаточно использовать формулу (7).

Теорема тангенсов [4]. Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов.

Формулы Мольвейде [5] Если a, b, c - длины сторон треугольника ABC; A, B, C -величины его углов, то

Ь-с _ sin±(5-C) a cos^-j4

А-В . А-В

, , cos- , sin-

a + b 2 a - b 2

= ; = C~

sin— cos—

2 2

Это равенство и аналогичные равенства, получаемые перестановкой букв, называются формулами Мольвейде.

Доказательство. Учитывая формулы

, лп . С A - B лп ■ C . A - B

a + b = 4R sin—cos-; a - b = 4R sin—sin-,

2 2 2 2

C C c = 4R cos—sin — 2 2

получим доказываемые формулы.

Список литературы /References

1. БермантА.Ф., ЛюстерникЛ.А. Тригонометрия. Изд. 3-е, стер. М.: Физматгиз, I960. 177 с.

2. Бескин Н.М. Вопросы тригонометрии и её преподавания. М.: Учпедгиз, 1950. 140 с.

3. Кречмар. В.А. Задачник по алгебре. Изд. пятое. М. Наука, 1964. 388 с.

4. Новоселов С.И. Специальный курс тригонометрии. М.: Высшая школа, 1967. 536 с.

5. Худобин А.И. Сборник задач по тригонометрии. М.: Учпедгиз, 1955. 208 с.

НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ В ПЕРИОД ПАНДЕМИИ Расулова З.Д. Email: [email protected]

Расулова Зилола Дурдимуротовна - базовый докторант, кафедра педагогики, педагогический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан

Аннотация: в настоящей статье рассказывается об организации учебного процесса в высших учебных заведениях и достижениях науки в период пандемии. Освещается проделанная работа по организации дистанционного обучения и созданию электронных ресурсов. Приведена информация о формировании у студентов навыков самостоятельной работы и их вовлеченности в исследовательскую работу. Приведена роль педагогических технологий в эффективной организации обучения и даны рекомендации по их адаптации к форме дистанционного обучения.

Ключевые слова: пандемия, дистанционная обучения, образования, наука, онлайн курсы, конференция, вебинар, педагогические технологии.

SCIENCE AND EDUCATION IN THE PANDEMIC PERIOD

Rasulova Z.D.

Rasulova Zilola Durdimurotovna - PhD Student, DEPARTMENT OF PEDAGOGY, FACULTY OF PEDAGOGY, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: in the present paper we describe the organization of the educational process in higher educational institutions and the achievements of science during the pandemic. The work done on organizing distance learning and creating electronic resources is highlighted. Information is provided on the formation of students' skills of independent work and their involvement in research work. The role of pedagogical technologies in the effective organization of training is given and recommendations for their adaptation to the form of distance learning are given. Keywords: pandemic, distance learning, education, science, online courses, conference, webinar, pedagogical technologies.

УДК 37.02

Перед лицом глобальной пандемии COVID-19 новые методы работы и обучения были введены почти во всех странах из-за ежедневного распространения коронавируса, а также