Дефект треугольника Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дефект треугольника Каибханов К. Э.1, Ершов В. В.2

1Каибханов Карахан Эйбханович /КаМапоу Karahan Eibhanovich - кандидат физико-математических наук, доцент; 2Ершов Виталий Владимирович /Е^^у Vitaliy Vladimirovich - старший преподаватель,

кафедра высшей математики, Институт компьютерных технологий и информационной безопасности Южного федерального университета,

г. Таганрог

Аннотация: в статье рассматриваются две меры дефекта треугольника, одна из которых связана с радиусами окружностей, другая - с углами треугольника. Доказывается, что они в некотором смысле эквивалентны.

Ключевые слова: дефект треугольника, свойство углов треугольника, вписанная и описанная окружности.

Теорема. Пусть г, Я - радиусы вписанной в треугольник и описанной около него окружностей, а, в, у -углы треугольника, выраженные в радианах, (Х< Р <у. Тогда справедливы неравенства:

а) 1 < —; б) 2—< RapY<^ — •

r 6 3 r Hl 12

Доказательство. Из условия следует

^ ^п г. 0 п п .

0<а< —, 0<В< —, —<у<п• 3 н 2 3 7

Нам понадобится известное равенство, связывающее R, r и углы треугольника [1, с.292],

R 1

r Л ■ а ■ Р ■ у 2 2 2

(1)

а также

Лемма. Пусть 0 < с < —. Тогда для любого t £ (0; С) справедливо неравенство

sin c

t < sin t < t •

Доказательство. Функция f (t) = sin t — t является убывающей [2]: f ' (t) = cos t — 1 < 0; поэтому ma^c f (t) = f (0) = 0 и sint—t < 0 для любого t e (0;c); правая часть неравенства доказана.

Рассмотрим функцию g(t) = tg t — t, t el~0' c 1, где c e| 0- —\. Заметим, что g'(t) = —1--1 > 0;

L ' J L '2) cos21

min^<c g(t) = g(0) = 0, следовательно, g(t) > 0 при t e (0; c) •

Рассмотрим функцию h(t) = —t—, t e (0' c). Аналогично, V 7 sin t V '

h(t) = sint—tcost = cost(tgt—t) > 0,

sin21

sin21

отсюда следует

max0<t<ch(t) = h(c) = -c- и — < —

sin c sin t sin c

. , sin c , sin t >--1

c

при t e (0; c) . Лемма доказана. Из леммы следует

1 <а--1— <— при 0 <а< — >

2 • а~3 3

(2)

sin

1 <Р.

2

Р. * <п при 0<Р< — • 2 2^2 Р 2

sin',, 2

Теперь можно завершить доказательство теоремы. а) Воспользуемся (1):

c

Rap =_a£____£

г л ■ а ■ В ■ у г, ■ а ~ ■ В ■ у

4sm — sm^-sm^ 2sin— 2sm^- sin4-2 2 2 2 2 2

Ijr

__ращаясь к (2), (3) и у *итывая, но ^ < _ < 2 ^И - < у < , ПОЛуЧИМ

. у " 3 sin^T 2

л ^R о ^я я о V2 2

1 <—аВ<---=-2 = —я ■

г 3 2yf2 6

б) Из доказательства леммы следует, что — <-!-— < —¡^— для любого - £ Г а; Ь~\, 0 < а < Ь < — ■

sin а sin - sin Ь L J 2

Это влечет

я 1 _я ку 1 я 1 _ я

~6 ■ я ~"э < 2- • у 2 • я " 2 sin— sin^ sin—

6 2 2

я

при — < у < я, И, пользуясь (2) И (3), получим

3 7

2< Ra//r = 2-—а___В___L< 2. я.я.я^я ■

3 < гаву / В . у <z 3 2J2 2 12 я

2sin— 2sin^ 2sin^ 2V2

2 2 2

Теорема доказана.

Выглядит естественным рассмотреть степень отклонения данного треугольника от равностороннего треугольника. Разумно ввести следующие две меры отклонения (назовем их дефектами треугольника):

и= R и ¡i -_L ,

¡ г ¡2 ~а/3у

где r, R - радиусы описанной около треугольника и вписанной в него окружностей, а, в, у - углы треугольника; чем больше и ц2, тем более треугольник отклоняется от равностороннего. Оказывается, эти дефекты связаны неравенством

2 < ¡<я- ¡ ■

Левое неравенство является хорошо известным, правое, судя по всему, является новым и установлено А. Заславским и К. Каибхановым. Неравенство б) теоремы говорит о том, что эти дефекты связаны неравенствами

2я s¡2 3

— <¡1 <—я ¡2 ■

1

Литература

1. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: учебное пособие. 5 изд. М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. - 640 с.

2. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: АСТ.: Астрель, 2006. - 991с.