О некоторых свойствах классов конечных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ КЛАССОВ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

М.А. Корпачева, Л.В. Грищенкова, М.В. Кирюшина

Рассматриваются только конечные группы. Пусть X - некоторый непустой класс групп. Отображение 9. выделяющее в каждой группе G^X некоторую непустую систему 9(G) ее подгрупп, называется подгрупповым X-функтором (подгрупповым функтором на X), если (9(G))9=9(G9) для любого изоморфизма ф каждой группы G ^X. В настоящей работе изучаются некоторые свойства классов конечных групп. Ключевые слова: конечная группа, класс групп, подгрупповой функтор, произведение классов групп.

После выхода в 1963 году знаменитой работы Гашюца "Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen" началось интенсивное развитие теории классов конечных групп. Следует отметить, что первоначально они играли лишь вспомогательную роль. В дальнейшем по мере необходимости стали исследоваться и сами классы. При этом для приложений особенно полезными оказались формации и классы Фиттинга. Напомним, что классом групп называется совокупность групп, содержащая со всякой своей группой и все группы, изоморфные ей.

Подгрупповые функторы, то есть согласованные с изоморфизмами групп функции, выделяющие в группах некоторые системы подгрупп, первоначально рассматривались в контексте теории радикалов колец. В теории конечных групп первоначально понятие подгруппового функтора использовалось в основном для обобщения конкретных теоретико-групповых объектов в направлении выделения и аксиоматизации их ключевых свойств. Позже исследования показали, что метод подгрупповых функторов является удобным средством изучения классов групп. Существенное продвижение в решении отмеченных задач сделано в работе С.Ф. Каморникова и М.В. Селькина «Подгрупповые функторы в теории классов конечных групп». В книге С.Ф. Каморникова, М.В. Селькина

[4] приведена классификация подгрупповых функторов и разработаны связи подгрупповых функторов с различными классами групп.

В дальнейшем привлечение аппарата подгрупповых функторов позволило охарактеризовать ряд классов конечных групп и решить ряд открытых вопросов, связанных с исследованием внутреннего строения групп. Целью данной работы является изучение свойства т-замкнутых классов групп и некоторых классов групп, индуцированных подгрупповыми функторами.

Рассматриваются только конечные группы. Определения и обозначения, не приведенные в работе, можно найти в [4,6].

Пусть X - некоторый непустой класс групп, 9 - отображение, ставящее в соответствие каждой группе G из X некоторую систему 9(G) ее подгрупп. 9 называется подгрупповым X-функтором (подгрупповым функтором на X), если для любой группы G ^X и любого изоморфизма ф группы G выполняется равенство (9(G)^=9(G^. Подгрупповой X-функтор называется подгрупповым функтором, если X=G - класс всех конечных групп. Подгрупповой функтор 9 называется регулярным, если выполняются два условия: 1) из того, что NDG и M^9(G), следует, что MN/N^9(G/N); 2) из того, что M/Ns9(G/N), следует, что M^9(G). Гашюцовым произведением классов групп X и F называется класс групп XF=(G | 3NDG, NGX, G/N^F). Класс групп F называется т-замкнутым, если из G^F всегда следует, что t(G)3% где т - некоторый подгрупповой функтор.

Класс групп F называется формацией, если выполняются два условия: 1) из G^F и NDG всегда следует, что G/N^F; 2) из G/A^F и G/B^F всегда следует, что G/AOB^F. В монографии

[5] рассмотрен класс FT=(G^F | t(G)^F), где F - класс групп, т - регулярный подгрупповой функтор. Очевидно, что класс F1" является т-замкнутым.

В следующих теоремах рассмотрены некоторые свойства классов групп данного строения.

Теорема 1. Пусть F - класс групп, т - регулярный подгрупповой функтор. Тогда NpF^NpF)\

Доказательство. Пусть G^NpF\ Тогда, по определению гашюцова произведения классов групп, 3NDG такая, что N ^Np и G/N Значит, по заданию класса имеем G/N ^F, !(G/N) 9F Из того, что NDG, N^Np и G/N^F следует, что G^NpF.

Покажем, что Пусть M^r(G). Так как N^Np, то MflN^Np. В силу регулярности

подгруппового функтора т из Mer(G) следует, что MN/N^r(G/N). Значит, из ^G/N)^ заключаем, что MN/NDM/(MnN)eF. Тогда M^NpF и GG(NpF)\ Тем самым мы показали, что N^^N^)! Теорема доказана.

Следствие 1.1. Пусть F - формация, причем NpF9F Если т - регулярный подгрупповой

функтор, то NpFт=(NpF)т.

Доказательство. По теореме 1, (1).

Покажем, что (^)т9рТ. Пусть Ge(NpF)т. Тогда G6NpF и Так как G6NpF,

то ЭДИЮ такая, что и G/NeF. Покажем, что т^/Д)9\ Пусть М/Де^/Д). Так как т -

регулярный подгрупповой функтор, то М^т^). Значит, По условию F - формация. Тогда

М/Д^ и, следовательно, т^/Д)9\ По заданию класса Fт заключаем, что G/N£Fт. Таким образом, из N□G, и G/NeFт (следует, что GeNpFт. Значит, (^)т9^т (2).

Из (1) и (2) следует, что Следствие доказано.

В [4] на множестве F(X) всех подгрупповых Х-функторов была введена операция умножения. Пусть 01 и 02 - подгрупповые Х-функторы, причем 02 - Х-замкнутый подгрупповой Х-функтор, т.е. 0^)9Х, для любой Х-группы G. Подгрупповой Х-функтор 0, сопоставляющий каждой группе G£X множество ее подгрупп 0^)={К | К^^Н), Н^02^)}, называется произведением подгрупповых Х-функторов 01 и 02, и обозначается 01°02.

На множестве подгрупповых Х-функторов следующим образом вводится бинарное отношение «<»: 01<02 тогда и только тогда, когда 01^)902^) для любой группы G£X.

Одним из важных видов подгрупповых функторов являются транзитивные подгрупповые Х-функторы. Подгрупповой функтор 0 называется транзитивным, если для любой группы G из Ке0(Н) и Не0^) всегда следует, что Ке0^).

Лемма 1. Пусть Х^П - наследственный класс групп, 01 - регулярный подгрупповой X-функтор, 02 - транзитивный подгрупповой Х-функтор, причем 01<02. Тогда 01°02<02°01.

Доказательство. Отметим, что в силу наследственности класса групп Х имеем Х^Х для любой подгруппы Х любой Х-группы G.

Пусть G£X, А^01°02^). Покажем, что А^02°01^). Поскольку А^01°02^), то существует Ве02^) такая, что Ае01(в). В силу того, что 01<02 имеем 01(В)Щ02(В) и Ае01(В)Щ02(в). Из того, что В^02^) и транзитивности подгруппового Х-функтора 02 следует, что 02(В)902^). Тогда Ае02(В)902^). Далее, в силу регулярности подгруппового Х-функтора 01, имеем G£01(G). Поэтому из А^02^), G£01(G), следует, по определению произведения подгрупповых функторов, что Ае02°0^). Таким образом, 0^0^)9)^0^). Тем самым показано, что 01°02<02°01. Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть F - класс групп, т - регулярный транзитивный подгрупповой функтор, 0 - регулярный подгрупповой функтор, причем 0<т. Тогда Fт°e=(Fт)e.

Доказательство. I. Покажем, что Fт°e9(Fт)e. Пусть G£Fт°e. Тогда G£F и т°0^)9\ Покажем, что G£(Fт)e. Для этого достаточно показать, что G£Fт и 0^)9'т.

1) Покажем, что G£Fт. Пусть А^т^). Так как 0 - регулярный подгрупповой функтор, то G£0(G). Значит, Ает°0^). Из т°0^)9 имеем А^ и, значит, т^)9\ Таким образом, G£Fт.

2) Покажем, что 0^)9'т. Пусть Так как т - регулярный подгрупповой функтор, то Ger(G). Из и Ger(G) следует, что Х^0°т^). По лемме 1, 0°т<т°0.

Значит, Хег°0^)9 (1).

Далее, покажем, что т(Х)9\ Пусть Yeг(X). Из следует, что Yeг°0(G)9F. Значит,

т(Х)9 (2).

Из (1)-(2) следует, что 0^)9т.

Из 1)-2) следует, что G£(Fт)e и, следовательно, Fт°e9(Fт)e.

II. Покажем, что Пусть Не(Рт)0. Тогда Н^т и 0(Н)9т. Это означает, что НО7,

т(Н)9 и 0(Н)9'т. Покажем, что Н^т°0. Для этого достаточно показать, что т°0(Н)9\ Пусть М^т°0(Н). По определению произведения подгрупповых функторов следует, что ЗД^0(Н) такая, что Мег(Ч). Так как 0(Н)9т, то Значит, и т(Д)9\ Из Мет(Д) заключаем, что М^.

Таким образом, т°0(Н)9\ Из Нер и т°0(Н)9 следует, что Н^т°0. Тем самым мы показали, что

Из 1-11 следует, что Fт°e=(Fт)e. Теорема доказана.

Подгрупповой функтор т называется радикальным, если для любой группы G, ДНЮ выполняется т(Д)=ДПт^).

Теорема 3. Пусть F, Н - классы групп. Если т - регулярный радикальный подгрупповой функтор, то FтHтc(FH)т.

Доказательство. Пусть G£FтHт. Тогда, по определению гашюцова произведения классов групп, ЭДИЮ такая, что N и G/N Значит, по заданию классов Fт и Н имеем N т(Д) 9 и G/Neн, т^/Д)9Н Таким образом, из N□G, и G/NeH заключаем, что GeFH (1).

Покажем, что т^)9Н. Пусть Н^т^). Из регулярности подгруппового функтора т

следует, что HN/Ner(G/N). Так как x(G/N)£H, то HN/NDH/(HnN)eH. Далее, в силу радикальности подгруппового функтора т имеем HnNeu(G)nN=x(N)9F Тогда из HnNDH, H/(HnN)^H и HnN^F следует, что H^FH. Тем самым мы показали, что x(G)3H (2).

Из (1) и (2) следует, что G^(FH)T и, значит, в силу произвольности группы G, FTHT^FH)T. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть т - регулярный транзитивный подгрупповой функтор и Sn<x. Если F -класс групп, H - т-замкнутый класс групп, причем FH3% то (FH)T^FTH.

Доказательство. Пусть G^(FH)T. Тогда, по заданию класса (FH)T имеем G^FH и x(G)3H3\ Так как G^FH, то по определению гашюцова произведения классов групп, 3NDG такая, что N^F и G/N^H. По условию, Sn<x. Значит, N^r(G) и, в силу транзитивности подгруппового функтора т, получаем x(N)&(G)9F Таким образом, из NGF и x(N)^F следует, что N^FT. Но так как G/N^H, то G^FTH. Тем самым мы показали, что (FH)T^FTH. Теорема доказана.

Следствие 4.1. Пусть х - регулярный радикальный транзитивный подгрупповой функтор и Sn<x. Если F - класс групп, H - х-замкнутый класс групп, причем FHSF, то (FH)T=FTHT.

Only finite groups are considered. Let X be nonempty class of groups. A function 0 mapping each group G from X onto a certain nonempty system 0(G) of its subgroups is called a subgroup X-functor (or else a subgroup functor on X), if (0(G))9=0(G9) for any isomorphism ф of every group G from X. In this paper we study some properties of class of finite groups.

The key words: a finite group, a class of groups, a subgroup functor, a product of class of groups.

Список литературы

1. Курош А.Г. Радикалы колец и алгебр. Матем. сб., Т. 13. 1953. С. 13 - 26.

2. Amitsur S. A general theory of radicals. Amer. J. Math. V. 74. 1952. P. 774 - 786.

3. Amitsur S. A general theory of radicals. Amer. J. Math. V. 76. 1954. P. 100 - 136.

4. С.Ф. Каморников, М.В. Селькин. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Беларуская навука, 2003. 254 с.

5. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука, 1997. 240 с.

6. В.С. Монахов. Введение в теорию конечных групп и их классов. - Гомель, УО ГГУ им. Ф. Скорины, 2003.

7. М.А. Корпачева, Л.В. Грищенкова О произведениях х-замкнутых классах групп // «Алгебра и логика: теория и приложения». Материалы международной конференции, посвященной 80-летию В.П. Шункова. - Красноярск, 2013. С. 74-75.

8. М.А. Корпачева, М.В. Кирюшина О Классах групп, индуцированных подгрупповыми функторами // «Алгебра и логика: теория и приложения». Материалы международной конференции, посвященной 80-летию В.П. Шункова. - Красноярск, 2013. С. 7576.

Об авторах

Корпачева М. А.- кандидат физико-математических наук, доцент Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, makorpachova@mail. ru

Грищенкова Л. В.-магистрант 2 курса магистратуры физико-математического факультета Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского

Кирюшина М. В.-магистрант 1 курса магистратуры физико-математического факультета Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского

ON SOME PROPERTIES ON CLASS A FINITE GROUP M.A. Korpachova, L.V. Grichenkova, M.V. Kiryushina

Bryansk state university, 241036, Bryansk, Bejitskaya, 14, e-mail: [email protected]