Τ-замкнутые подформации ω-веерных формаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

г-ЗАМКНУТЫЕ ПОДФОРМАЦИИ w-ВЕЕРНЫХ ФОРМАЦИЙ

М.А. Корпачева, Ю.А. Левшенкова

Рассматриваются только конечные группы. Пусть X - некоторый непустой класс групп. Отображение в, выделяющее в каждой группе G^X некоторую непустую систему e(G) ее подгрупп, называется подгрупповым X-функтором (подгрупповым функтором на X), если (e(G))(p=e(G(p) для любого изоморфизма ф каждой группы G^X. Пусть т - подгрупповой функтор. Формация F называется т-замкнутой, если из G^F всегда следует, что t(G) OF. В настоящей работе исследуются т-замкнутые подформации ю-веерных формаций конечных групп.

Ключевые слова: конечная группа, формация групп, т-замкнутая формация, ю-веерная формация, подгрупповой функтор.

Характерной особенностью развития алгебры является увеличивающаяся общность рассматриваемых ею структур. Так, в последние годы, важное место в алгебре занимает понятие класса. В теории групп класс представляет собой совокупность групп, содержащую вместе с каждой своей группой G и все группы, изоморфные G. После выхода в 1963 году работы В. Гашюца “Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen” началось интенсивное изучение различных классов конечных групп, ключевую роль среди которых заняли формации групп. Основные положения теории формаций конечных групп представлены в монографии Л.А. Шеметкова [1] и монографии А.Н. Скибы [2].

В 1999 году профессором В.А. Ведерниковым была введена в рассмотрение концепция частичной веерности, которая позволила на языке функций описать все формации конечных групп (см., например, [5-6]). Наличие у исследуемой формации F тех или иных подформаций и их взаимное расположение в F является важной характеристикой этой формации. В данной работе рассмотрены некоторые т-замкнутые подформацияи ю-веерных формаций.

Рассматриваются только конечные группы. Основные определения и обозначения можно найти в [2-5]. Приведем лишь некоторые из них. Пусть □ - множество всех простых чисел, ю - непустое подмножество множества □, Gro - класс всех ю-групп, то есть таких групп G, что n(G) Ою; Gq - класс всех q'-групп, где q'= □ \{q}; Oro(G)=Goro - Gro-радикал группы G. Функции f:to и(ю'}^(формации групп}, g: \Р^{формации групп}, 5:^^{непустые формации Фиттинга} называются соответственно юF-функцией, [HF-функцией и DFR-функцией. Формация F=(G: G/Oro(G) ^f(to'), G/G5(p)^f(p) для всех p^7r(G)rito) называется ю-веерной формацией с ю-спутником f и направлением 5 и обозначается F^F(f,5); формация F=(G: G/G5(P)^g(p) для всех p ^7i(G)) называется веерной формацией со спутником g и направлением 5 и обозначается F=DF(g,5). Через 50 обозначается

направление ю-полной формации, то есть 50(p)=GP' для любого p en.

Пусть ^1 и у2 - произвольные roF-функции (nF-функции, DFR-

функции). Говорят, что ^<у2, если ^1(p)Ç\^2(p) для всех pScöU(ro'} (для всех peü).

Пусть т - отображение, ставящее в соответствие каждой группе G некоторую непустую систему t(G) ее подгрупп. Говорят, что т -подгрупповой функтор, если (t(G))9=t(G9) для любого изоморфизма ф каждой группы G. Подгрупповой функтор т называется регулярным, если выполняются следующие два условия: 1) из того, что N - нормальная подгруппа группы G и Mer(G), следует MN/N er(G/N); 2) из M/Ner(G/N) следует M^t(G).

Формация F называется т-замкнутой, если из GeF всегда следует, что t(G)£F, где т - некоторый подгрупповой функтор.

Пусть 5 - некоторая nFR-функция. Подгрупповой функтор т назовем ю5-радикальным, если т является ю-радикальным, то есть для всякой т-подгруппы N любой группы G (т.е. для всякой Ner(G)) выполняется равенство Oro(G)ON=Oro(N), и т является 5-радикальным, то есть для всякой т-подгруппы N любой группы G G5(P)ON=N5(P) для всех p en.

В монографии [2] рассмотрен класс FT=(GeF | t(G)£F), где F - класс групп, т - регулярный подгрупповой функтор. Очевидно, что класс Ft является т-замкнутым. В следующих теоремах изучаются некоторые т-замкнутые подформации ю-веерных формаций конечных групп.

Теорема 1. Пусть 5 - DFR-функция, причем 50<5, т - регулярный ю5-радикальный подгрупповой функтор. Если F^F(f,5), то Fт=юF(h,5), где h(ю,)=(f(ю,))т, h(p)=(f(p))T для всех рею.

Доказательство. Пусть H^F(h,5), где h - функция, описанная в заключении теоремы. Покажем, что H=Ft.

1. Покажем, что FtQH. Пусть GeFT . Тогда GeF и t(G)3\

а) Покажем, что G/Oro(G) eh^'). Так как GeF, то G/0№(g) ef^'). Пусть

K/Oro(G)er(G/Oro(G)). В силу регулярности функтора т имеем Kec(G)£F. Тогда К/Ою(К)е^ю'). Так как т - ю5-радикальный подгрупповой функтор и KeT(G), то Oro(G)HK=Oro(K). Значит, Oro(G)=Oro(G)HK=Oro(K) и

K/Oro(G)=K/Oro(K)ef^'). Таким образом, T(G/Oœ(G))Si(p'). В силу задания класса (^ю'))т получили, что G/Oro(G)e(f^'))T=h^').

б) Покажем, что G/G5(p)eh(p) для любого pecDHn(G). Пусть pecönn(G)Qö. Значит, h(p)=(f(p))T. Так как GeF, то G/G5(p,ef(p). Покажем, что T(G/G5(P))^f(p). Пусть N/G5(P)eT(G/G5(P)). Тогда NeT(G)£F. Значит, для любого qeoonn(N) N/N5(q)ef(q). По условию, т - ю5-радикальный подгрупповой функтор. Поэтому для Nei(G) справедливо равенство G5(q)nN=N5(q). Тогда G5(q)=G5(q)nN=N5(q) и N/G5(q)=N/N5(q) ef(q) для любого

qe®nn(N).

Пусть р e(^nn(G))\^nn(N)). Так как р e<jonn(G) и GeF, то G/G5(p,ef(p). Значит, f(p)^D. Так как N eGp,Q>(p), то N=N5(P). Тогда G5(P)=G5(P)nN=N5(P)=N и N/G5(P)=N/N= 1 ef(p). Таким образом, T(G/G5(P))^f(p) для любого pe®nn(G). Тем самым мы показали, что G/G5(P)e(f(p))T=h(p) для любого peronn(G).

Из а) и б) следует, что G eH и, значит, FT 31

2. Покажем, что H£Ft. Пусть HeH. Покажем, что HeFT. Для этого достаточно показать, что HeF и t(H)3F.

а) Покажем, что HeF. Так как HeH, то H/Oro(H)eh(®') и H/H5(p)eh(p) для любого pe®nn(H). По заданию h имеем H/Oro(H) eh(®')=(f(®'))T и H/H5(p)eh(p)=(f(p))T для всех pe®. Значит, H/Oro(H)ef(ю') и H/H5(p)ef(p)) для всех pe®nn(H). Следовательно, HeF. Кроме того, T(H/Oro(H))3f(®') и t(H/H5(P)) 3f(p) для всех p e®.

б) Покажем, что t(H)£F. Пусть Aex(H) и peronn(A). Так как т -регулярный подгрупповой функтор, то AH5(p)/H5(p) ei(H/H5(p)) 3f(p) для любого. Тогда AH5(p/H5(p)DA/AnH5(p)=A/As(p)ef(p) для любого pe®nn(A)3 ®nn(H). Далее, из Aex(H) следует, что AOro(H)/Oro(H)ex(H/Oro(H))3f(®'). Тогда AOro(H)/Oro(H)DA/AnOro(H)=A/Oro(A)ef(to'). Таким образом, AeF и

t(H)3F.

Из а)-б) следует, что HeFT и H£Ft.

Значит, H=Ft. Теорема доказана.

Следствие 1.1. Пусть 5 - DFR-функция, причем 50<5, т - регулярный 5-радикальный подгрупповой функтор. Если F=DF(f,5), то FT=DF(h,5), где h(p)=(f(p))T для всех p en.

Теорема 2. Пусть 5 - DFR-функция, т - регулярный 5-радикальный подгрупповой функтор, причем 50<5. Если F=®F(f,5), то формация FT является подформацией ю-веерной формации H=®F(h,5), где h(®')=F, h(p)=Np(f(p))T для всех pe®.

Доказательство. Пусть H=®F(h,5), где h - функция, описанная в заключении теоремы. Покажем, что Ft3H.

Пусть GeFT . Тогда GeF и t(G)3F.

Покажем, что G/Oro(G)eh(®'). Действительно, так как GeF, то

G/O®(G)eF=h(®').

Покажем, что G/G5(p)eh(p) для любого pe®nn(G). Пусть pe®nn(G). По условию, G/G5(p)ef(p). Пусть N/G5(p)et(G/Gs(p)). Тогда Nei(G)3F. Значит, для любого qe®nn(N)Q»nn(G) N/N5(q)ef(q). По условию, т - 5-радикальный подгрупповой функтор. Поэтому для Nei(G) справедливо равенство

G5(q)nN=N5(q). Тогда G5(q)=G5(q)nN=N5(q) и N/G5(q)=N/N5(q) ef(q) для любого

qe®nn(N).

Пусть p e(®nn(G))\(®nn(N)). Так как p e®nn(G) и GeF, то G/G5(p)ef(p). Значит, f(p)^D. Так как N eGp'35(p), то N=N5(p). Тогда Gs(p)=G5(p)nN=Ns(p)=N и N/G5(p)=N/N= 1 ef(p). Таким образом, T(G/G5(p))3f(p) для любого pe®nn(G). Тем самым мы показали, что G/G5(p)e(f(p))T3 Np(f(p))T =h(p) для любого

pe®nn(G).

Из а) и б) следует, что GeH и, значит, Ft3H. Теорема доказана. Следствие 2.1. Пусть 5 - DFR-функция, т - регулярный 5-радикальный подгрупповой функтор, причем 50<5. Если F=DF(f,5), то формация FT является подформацией веерной формации H=DF(h,5), где h(p)=Np(f(p))T для всех p eD.

Only finite groups are considered. Let X be nonempty class of groups. A function 0 mapping each group G from X onto a certain nonempty system 0(G) of its subgroups is called a subgroup X-functor (or else a subgroup functor on X), if (0(G))<p=0(G<p) for any isomorphism ф of every group G from X. Let т be a subgroup functor. A formation F is called т-closed if from G^F it follows that t(G) £F. In this paper we study т-closed subformations of œ-fibered formations of finite groups.

The key words: a finite group, a formation of groups, a т-closed formation, a œ-fibered formation, a subgroup functor.

Список литературы

1. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978.

2. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука, 1997.

240 с.

3. В.С. Монахов. Введение в теорию конечных групп и их классов. - Гомель, УО ГГУ им. Ф. Скорины, 2003.

4. С.Ф. Каморников, М.В. Селькин. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Беларуская навука, 2003. 254 с.

5. Ведерников В.А., Сорокина М.М. œ-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки. 2002. Т. 71. Вып. 1. С. 43 - 60.

6. Ведерников В.А. О новых типах œ-веерных формаций конечных групп // Укр. матем. конгресс. Алг. i теор. чисел. Пращ. Киев, 2002. С. 36 - 45.

7. М.А Корпачева, Ю.А. Левшенкова О т-замкнутых подформациях ю-веерных формаций // «Алгебра и логика: теория и приложения». Материалы международной конференции, посвященной 80-летию В.П. Шункова. - Красноярск, 2013. С. 76-77.

Об авторах

Корпачева М. А. - кандидат физико-математических наук, доцент Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, [email protected]

Левшенкова Ю. А. - магистрант 1 курса магистратуры физикоматематического факультета Брянского государственного университета им. ак. И.Г. Петровского

r-CLOSED SUBFORMATIONS OF w-FIBERED FORMATIONS M.A. Korpacheva, J.A. Levshenkova

Bryansk state university, 241036, Bryansk, Bejitskaya, 14, e-mail: [email protected]