О произведениях подгрупповых X-функторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

О ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПОДГРУППОВЫХ X-ФУНКТОРОВ

М.М. Сорокина, М. А. Корпачева

Рассматриваются только конечные группы. Пусть X - некоторый непустой класс групп. Отображение 0, выделяющее в каждой группе GgX некоторую непустую систему 0(G) ее подгрупп, называется подгрупповым X-функтором (подгрупповым функтором на X), если (0(G))9=0(G9) для любого изоморфизма ф каждой группы

GgX. В книге С.Ф. Каморникова, М.В. Селькина «Подгрупповые функторы и классы конечных групп» [1] на множестве всех подгрупповых X-функторов введена операция умножения ◦. В настоящей работе установлены свойства произведений подгрупповых X-функторов.

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, подгрупповой функтор на классе, произведение подгрупповых функторов, решетка.

Теория подгрупповых функторов как самостоятельное направление в рамках теории групп берет свое начало в работах Р. Бэра «Classes of finite groups and their properties» [2] и Б.И. Плоткина «Радикалы в группах, операции на классах групп и радикальные классы» [3]. Особенно интенсивно теория подгрупповых функторов стала развиваться в последние годы, что обусловлено обнаружением тесной связи между подгрупповыми функторами и классами групп, то есть множествами, содержащими вместе с каждой своей группой G и все группы, изоморфные G. Так, например, А.Н. Скибой в монографии «Алгебра формаций» [4] метод подгрупповых функторов применен к изучению свойств локальных формаций, замкнутых относительно систем подгрупп, выделяемых подгрупповыми функторами. В [1] приведена классификация подгрупповых функторов и разработаны связи функторов с различными классами групп. На этом пути были выделены многие важные виды подгрупповых функторов. Приведем определения функторов, рассматриваемых в настоящей работе. Пусть X - непустой класс групп. Подгрупповой X-функтор 0 называется транзитивным, если для любой

X-группы G из того, что KG0(H) и HG0(G)nX, всегда следует, что KG0(G). Подгрупповой X-

функтор 0 называется эпиморфным, если для любых групп A,BGX и любого эпиморфизма ф группы А на группу В выполняется равенство (0(А))ф=0(В). Эпиморфный подгрупповой X-функтор 0 называется регулярным подгрупповым X-функтором (или X-функтором Скибы), если выполняются следующие два условия:

1) для любых групп A,ВeX и любого эпиморфизма ф группы А на группу В справед-

-1

ливо включение (0(В))ф с 0(A);

2) Ge0(G) для любой группы GgX.

Подгрупповой X-функтор 0 называется решеточным, если для любой X-группы G из

H,KG0(G) всегда следует, что HnKG0(G) и <H,K>G0(G). Пусть т - решеточный подгрупповой X-функтор. Подгрупповой X-функтор 0 называется т-идеальным X-функтором, если

для любой X-группы G множество 0(G) является идеалом решетки t(G), то есть 0(G) С t(G) и для любой X-группы G выполняются следующие два условия:

1) если Ae0(G), XGt(G) и XCA, то Xe0(G);

2) если AG 0(G), В G 0(G), то <A,B>G0(G).

Подгрупповой X-функтор 0 называется т-фильтрующим X-функтором, если для любой X-

группы G множество 0(G) является фильтром решетки t(G), то есть 0(G) С t(G) и для любой X-группы G выполняются следующие два условия:

1) если AG0(G), XG^G) и AÇX, то XG0(G);

2) если AG0(G), B Є 0(G), то AnBG0(G) [4].

В книге [i] на множестве F(X) всех подгрупповых X-функторов следующим образом

вводится операция умножения ◦. Пусть 0i и 02 - подгрупповые X-функторы, причем 02 - X-

замкнутый подгрупповой X-функтор, т.е. 02(G)ÇX, для любой X-группы G. Подгрупповой X-

функтор 0, сопоставляющий каждой группе GgX множество 0(G)={K | KG0i(H), где

HG02(G)}, называется произведением подгрупповых X-функторов 0i и 02, и обозначается 0io02. Настоящая работа посвящена исследованию свойств произведений подгрупповых X-

функторов. Напомним, что запись 0i=02 ( 0i<02 ) означает, что 0i(G)=02(G) ( 0i(G)Ç02(G) )

для всех GgX. Обозначения и определения, используемые далее без ссылок, можно найти в [i, 4].

Лемма 1. Пусть X - непустой класс групп, т и 0 - X-замкнутые подгрупповые X-функторы. Если т - регулярный подгрупповой X-функтор, то 0<то0 и 0<0от.

Доказательство. Пусть GgX. Покажем, что 0^)с(то0)^). Пусть KG0(G). В силу регулярности подгруппового X-функтора т, имеем KG^K). Теперь из KG^K) и KG0(G), по определению операции о, получаем KG^o0)(G). Тем самым установлено, что 0<то0.

Покажем, что 0^)с(0от)^). Пусть KG0(G). Ввиду регулярности подгруппового X-функтора т, имеем GG^G). Тогда из KG 0(G) и GG^G), по определению операции о, получаем, что KЄ(0от)(G), и значит, 0<0от. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть X - непустой класс групп, т - решеточный X-замкнутый подгрупповой X-функтор, 0 - транзитивный регулярный т-идеальный X-замкнутый подгрупповой X-функтор. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) то0<0 и 0от<0;

2) Если т - регулярный подгрупповой X-функтор, то то0=0от=0.

Доказательство. i) Пусть GgX. Покажем, что (то0)^)^0^). Пусть KG(uo0)(G). Тогда существует HG 0(G) такая, что KG^H). Поскольку т и 0 - X-замкнутые подгрупповые X-функторы, то HgX, KgX. Так как 0 - регулярный подгрупповой X-функтор, то HG0(H). Тогда из HG0(H), KG^H), KÇH, ввиду т-идеальности подгруппового X-функтора 0, следует, что KG0(H). Поскольку HG0(G)nX и 0 - транзитивный подгрупповой X-функтор, то KG0(G). Таким образом, (то0)^)^0^) для всех GgX, и поэтому то0<0.

Покажем, что (0от)^)^0^). Пусть AЄ(0от)(G). Тогда существует BG^G) такая, что

AG0(B), причем A,BGX. Поскольку 0 является регулярным подгрупповым X-функтором, то

GG0(G) и, ввиду т-идеальности 0, из GG0(G), BG^G) и BÇG следует B Є 0(G). Тогда, как и

выше, в силу транзитивности подгруппового X-функтора 0, получаем AG0(G). Тем самым

установлено, что (0от)^)^0^) для всех GgX, и значит, 0от<0.

2) Пусть т - регулярный подгрупповой X-функтор. Тогда по лемме i 0<то0 и 0<0от.

Отсюда, используя утверждение пункта i), получаем то 0=0о т=0. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть X - непустой класс групп, т - транзитивный решеточный X-замкнутый подгрупповой X-функтор, 0 - т-фильтрующий X-замкнутый подгрупповой X-функтор. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) 0от<т и то0<т;

2) Если 0 - регулярный подгрупповой X-функтор, то то0=0от=т.

Доказательство. 1) Пусть GgX. Покажем, что (0от)^)^т^). Пусть AЄ(0от)(G). Тогда существует BG^G^X такая, что AG0(B), AgX. Поскольку 0(B) - фильтр решетки ^B), то 0(B) ст(Б), и значит, AG^B). Тогда из AЄт(B) и BG^G^X, в силу транзитивности подгруппового X-функтора т, получаем AG^G). Тем самым установлено, (0от)^)^т^) для всех GG X, и значит, 0о т< т.

Покажем, что (то0)^)^т^). Пусть KG(ro0)(G). Тогда существует HЄ0(G)ПX такая, что KG^H), KgX. Так как 0(G) - фильтр решетки ^G), то 0(G) ^(G), и значит, HG^G). Поскольку KЄт(H), HЄт(G)пX и т - транзитивный подгрупповой X-функтор, то KG^G). Таким образом, (то0)^)^т^) для всех GgX, и поэтому то0<т.

2) Пусть 0 - регулярный подгрупповой X-функтор. Тогда по лемме 1 т<то0 и т<0от.

Отсюда, используя утверждение пункта i), получаем то 0=0о т=т. Теорема доказана.

Замечание. Для наследственного класса X всякий подгрупповой X-функтор является X-замкнутым. Поэтому в случае, когда X - наследственный класс групп, условие X-замкнутости подгрупповых X-функторов т и 0 в лемме 1 и теоремах 1, 2 можно опустить.

Only finite groups are considered. Let X be non-empty class of groups. A function 0 mapping each group G from X onto a certain non-empty system 0(G) of its subgroups is called a subgroup X-functor (or else a subgroup functor on X), if (0(О))ф=0(Оф) for any isomorphism ф of every group G from X. In the book of S.F. Kamornikov, M.V. Selkin [1] was determined an operation of multiplication ◦ on the set of all subgroup X-functors. In this paper some properties of products of subgroup functors are obtained.

The key words: a finite group, a class of groups, a subgroup functor on a class, a product of subgroup functors, lattice.

Список литературы

1. Каморников С.Ф., Селькин М.М. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Беларуская навука, 2003. 254 с.

2. Baer R. Classes of finite groups and their properties // Collog. Math., 1957. V. 1. P. 115187.

3. Плоткин Б. И. Радикалы в группах, операции на классах групп и радикальные классы // Избранные вопросы алгебры и логики: Сборник, посв. памяти А.И. Мальцева. Новосибирск: Наука, 1973. С. 205-244.

4. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука, 1997. 240 с.

Об авторах

М.М. Сорокина - канд. физ-мат. наук, доц., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, [email protected].

М.А. Корпачева - канд. физ-мат. наук, доц, Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, [email protected].