Об одной задаче сопряжения для одного класса уравнений составного и гиперболического типов четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

 Синергия. 2018. № 5

Фундаментальные и прикладные

исследования по приоритетным

направлениям развития науки и

техники

УДК 517.956.6

З.М. Бекмаматов

f ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ СОСТАВНОГО И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПОВ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

Баткенский государственный университет

i Аннотация: Методами теории уравнений смешанного и смешанно-составного типов установлена однозначная разрешимость задачи сопряжения для одного класса уравнения составного и гиперболического типов четвертого порядка. Получено представление решение задачи L в областях D и D в явном виде.

t < Ключевые слова: задачи сопряжения, краевые условия, условия сопряжения, составные и гиперболические уравнения, функции Гринаи Римана, уравнение Фредгольма, уравнение Вольтера.

о J UDC 517.956.6

'2 Z.M. Bekmamatov

1 I Д ABOUT ONE PROBLEM OF INTERFACE FOR ONE CLASS OF THE EQUATIONS OF COMPOUND AND HYPERBOLIC TYPES OF THE FOURTH ORDER

Batken State University Abstract:The methods of the theory of equations of mixed and mixed-composite type of the unique solvability of the conjugation problem for a class of equations of hyperbolic and composite fourth order.A representation of the solution of the problem L in the domains d and d2 isobtained in the explicit form. Keywords: problems of conjugation, edge condition, condition of 67

conjugation, function of Green and Riemann, equation of Fredholm, the equations of Wolter.

I. Постановка задачи. Пусть D - область, ограниченная полукругом |z| < 1(z = x + iy, y > 0) с контуром у и линиями AAX : x = —1, AB ■ У = —1, : x = 1;

A(—1;0), B(1;0); Д = D о (y > 0), D2 = D о (y < 0). Общую точку касания прямой y = 1 с полукругом обозначим через M (0,1); O - начало координат. Рассмотрим следующую задачу: Задача L . Найти функцию

u(x,y) е C(D) оC3(D) оC3(Д) о[С4+0(Д) uC2+2(Д) u uC1+3(D2)], удовлетворяющую в области Д уравнению

и + м = 0,

xxxx xxyy '

(1)

и краевым условиям:

"« У= 0, * еу,(2)

uOM = /l(У), (3) uLM = /2(y), 0 < y <1,

а также удовлетворяющую в области D2 уравнению

u„„„, + aunt + bu, + см = 0,

xyyy xyy xy x ?

и краевым условиям:

(4) (5)

u(—1, y) = p(y), —1 < y < 0,

u( x,—1) = (x),

(6)

(7)

ыу (х,-1) = щ (х), -1 < х < 1, (8)

где а, Ь, с -заданные вещественные числа; (у) и /2 (у) -заданные дважды непрерывно дифференцируемые функции, причем

/1(0) = /2(0) = /г( Ю) = Л(Ю) = 0; (9) <р( у (х) и (х) - заданные вещественные функции, удовлетворяющие следующим условиям гладкости и условиям согласования:

<р(у) е С3 [-1,0], ^(х) е С3 [-1,1], ^(х) е С2 [-1,1],

р(—1) = ^(—1), ср'(—1) = ^2(—1).

(10)

В силу постановки задачи Ь введём следующие условия сопряжения:

и(х, +0) = и(х, -0) = т(х), и (х, +0) = и (х, -0) = у(х),

у у (11) иуу (х, +0) = иуу (х, -0) = и(х), -1 < х < 1,

где т(х), Кх), /л(х) - пока неизвестные функции,

причем г(-1) = <(0), у(—1) = <'(0).

В работе методами теории уравнений смешанного и смешанно-составного типов [5; 8; 15] изучена однозначной разрешимости задачи Ь. Исследование краевых задач для отдельных классов уравнений смешанно- гиперболического и параболо-гиперболического типов четвертого порядков рассмотрены в работах [11; 14; 22]. Настоящая работа является развитием работ [1; 5; 17].

При решении задачи Ь в начале находим функции т(х), у(х), ц(х), а после она расщепляется на следующие самостоятельные вспомогательные задачи.

Задача 1. Найти функцию и(х,у) еС2(Д)о[С4+0(Д)^С2+2(Д)],

удовлетворяющую в области Д уравнению (1), краевые условия(2)-(4) и условию

^ (х, +0) = т"(х), -1 < х < 1. (12) Задача 2. Найти функцию и(х, у) е С1(Д) ° С1+3(Д), удовлетворяющую в области Д уравнению (5), краевые условия (6)-(8) и условию

и(х, -0) = т(х), -1 < х < 1. (13) Известно [2], что любое регулярное решение уравнения (1) в области Д даётся формулой

и(х, у) = щ (х, у) + хЛ( у) + ш( у),

где м0 (х, у) - регулярное решение уравнения

мхх + М- = о (14)

в области Д, а Му) и &(у) - произвольные дважды непрерывно

дифференцируемые функции, причем без ограничения общности предположить, что удовлетворяют условиям

Л(0) = Л(1) = ш(0) = ш(1) = 0. II. Решение задачи 1. Введём обозначение п^ = w(x, у). Тогда из уравнения (1) относительно функции м(х, у) получим уравнение (14).Следовательно решение задачи 1 сводиться к решению задачи Дирихле относительно функции м(х, у) для уравнения (14) с краевыми условиями

М = 0,

М , = т"(о), -1 < х < 1,

\о=0 \ ?

решение которой дается формулой [5]:

1 1

1

у

М(х у) = - [

77" •>

К -1

т ' (г )йг = Ф хх (х, у), (15)

(г - х)2 + у2 (1 - гх)2 + г2 у1 где Ф (х, у) - гармоническая функция в области Д.

Подставляя в (15) м = п^ и дважды интегрируя по х в пределах от 0 до х, а также учитывая условия (3) и (4), решение задачи 1 в области Д представим в виде

п( х, у) = Ф( х, у) + х^( у) + Д( у), (16)

где

у) = Ш-Ф(0, у), ^(у) = /(у)-Ф(0, у). III. Соотношение, полученное из области Д .Введём обозначение

ихх + иу = у\ (х у) е Д (17)

где г(х, у) -новая неизвестная функция. Тогда, из уравнения (1) для функции г(х, у) получаем уравнение

гхх(х у) = 0 (х у) е Д^

общее решение, которого имеет вид:

г( х у) = у) + g2( у\ (18) где g (у), g2 (у) -произвольные непрерывные функции.

Из краевых условий (3), (4), и учитывая (15) в силу обозначения (17),нетрудно получить следующие условия

<0, у) = Ф"х (0, у)+/'(у), г'х (0, у) = Ф! (0, у)+/2(у), 0 < у < 1. Используя эти условия из (18) найдем неизвестные функции

&( у) = ф (0, У)+/( У), (19)

gl (у) = Ф1 (0, у)+/Ту), 0 < у < 1.

Подставляя эти значения в (18) найдем

г( х, у) = х (Ф 1 (0, у) + /"(у)) + Ф '„ (0, у) + / (у) - ^ (х, у), где ^ (х, у) -уже известная функция, и представляет собой правую часть уравнения (17). Таким образом, перепишем уравнение (17) в виде

ихх + иуу = 20 (X уХ (^ у) е Д.

(20)

В уравнение (1) переходя к пределу при у ^ 0, имеем соотношение полученное

из области Д

г( IV )

(х) + Vя (х) = 0.

Дважды интегрируя по х будем иметь

т'(х) + /и(х) = а • х + /, (21) где а и / - произвольные вещественные постоянные.

IV. Представление решения задачи Гурса. Рассмотрим эту задачу как задачу 3, заключающаяся в определение решение уравнения (5), удовлетворяющее условиям (6) и (11).

Обозначим 3 = их . Тогда из (5) для функции 3(х, у) получим уравнение

&ш + а3у + Ь3у + с3 = 0.

(22)

Пусть характеристическое уравнение

к3 + ак2 + Ьк + с = 0

имеет простые корни к (р = 1,3) .Тогда общее решение уравнения (22) представим в виде

3( х, у) = С (х)ек1у + С2 (х)ек2у + С3 (х)екзу, (23)

где С (х) (р = 1,3) - произвольные вещественные функции.

Для определения С (х) используем условие (11). Для этого принимая во внимание, что 3 = их и условие (6), затем интегрируя (23) по х в пределах от -1 до х будем иметь

и(х, у) = А (х)еку + А (х)ек2 + А3 (х)екз у + < у), (24)

где

х

Ар (х) = { Ср №, Ар (-1) = 0, р = 1Д

Далее, подставляя (24) в условие (11) получаем

А (х) + А (х) + А (х) = т( х) - <(0), кхА (х) + к2А (х) + к3А (х) = у( х) - <(0),

(25)

к2 А (х)+к2 А (х)+к2 А (х) = м(х) - < (0).

Решая систему (25) относительно А (х), находим

4( х) =

т - <(0) 1 1 у-<(0) к2 к3

ц-< (0) к2 к2

А

х)=

1

т-<(0) к у - <(0)

к2 ц-< (0)

А

(26)

-1

1

4( x) =

1 1

т-р(0) k2 v-p'(0) k22 /-((0)

А

Д =

1 1 1 kl k2 k3 kl k2 k3

-определитель Вандермонда.

Далее, подставляя (26) в (24) и выделяя неизвестные функции т(x),v(x) и /и(x), имеем

u(x, y) = Б, (т(x) - (Р(0)) + B2(v(x) - р'(0)) + Б3 (/(x) - р"(0)), (27)

),

= 1 a,/1y + a2pek2y + a3/зУ), alp -

вполне

определенные

где вр = (

постоянные (I, р = 1,3).

V. Соотношение, полученное из области Д. Для того, чтобы получить соотношения между функциями т(х), у(х) е /л(х) из (27) найдем

щ = В%т(х) - р(0)) + &Мх) - р'(0)) + В%(М(х) - р'' (0)), (28)

где

В% = арк/1 у + а2рк2ек2У + азркзвкзу, р = 13.

Подставляя значения и(х, у) и и (х, у) из (27) и (28) в краевые условия (7) и (8) соответственно, получаем соотношения полученные из области Д :

Вю(т(х) - р(0)) + В20(у(х) - р' (0)) + Вз0(р(х) - р'(0)) = ¥,(х),

(29)

В1 (т( х) - Р(0)) + В200 (у( х) - р' (0)) + В300 (р( х) - р' (0)) = щ2 (х),

где

Вр0 = а1 ре+ а2ре^ + а3реВр1 = а1 рк1е+ а2рк2е^ + а3рк3еР = 13 .

Перепишем (29) в виде системы уравнений относительно у(х) -р'(0) и

И( х) -р' (0)

В20(у(х)-р' (0)) + В30(М(х)-р\0)) = ¥,(х) - Вю(т(х)-р(0)),

(30)

В21{у(х) - р' (0)) + В31(М(х) - р' (0)) = ¥,( х) - Вп(т(х) - р(0)).

Пусть

А 0 =

D D

Б20 Б30 Б21 Б31

* 0. (31)

Тогда система уравнений (30) имеет единственное решение, которое имеет вид у(х) = ±-{¥х(х)В21 -у2(х)ВЪ0 + (В30Ви -ВМТх)-р(0)))-р'(0),

(32)

1

/(x) = — (B2oW2 (x) - B2lWl (x) - (Б20Би - Б,0Б21 )(т(x) - Р(0))) - Р'' (0). А0

Теперь, подставляя т( x), которое являетсярешение краевой задачи т(-1) = т(1) = 0 для уравнения (21)

1

т( x) = J G (x, t)/(t)dt + h(x), (33)

в правую часть второе уравнение (32) получим интегральное уравнение

относительно функции н( x)

1

H( x) = н0 (x) + J N (x, t) ß(t )dt, (34) -i

где

i

h(x) = J G(x, t)z0 (t, 0)dt; G(x, t) -функция Грина, z0 (x, 0) = ax + ß,

-i

N(x, t) = --1 (ß2oВЦ - BioB2i )• G(x, t), A o

Ho (x) = - (B20ВЦ - BioB21 )(h(x) - q(0)) + (B^2 (x) - (x)) - q''(0). A0 Ao

Если выполняется условие

2max|N(x, t)| < 1 , (35)

-1<x<1 -1<t<1

то интегральное уравнение Фредгольма второго рода (34)имеет единствен- ное решение. Определив н( x) из (34), и подставляя её значение в правую часть (33) находим т(x). Далее, подставляя т(x) в условия т(0) = / (0), т'(0) = /2 (0) определяем a e ß. После этого из первого уравнения (32) найдем v(x), и тем самым решение задачи 2.

VI. Решение задачи L в области Д. После определения т(x) решение задачи L в области Д определяется как решение задачи 1. Из пункта 2 нетрудно видеть, что сперва задача 1 сведётся к задаче Дирихле для функции с краевыми условиями (2) , (12), а затем после двукратного интегрирова-ния с учетом условий (3) и (4) получена формула (16), которая даёт решение задачи L в области Д.

Имеет место следующее:

Теорема. Пусть выполнены условия (10), (31) и (35). Тогда решение задачи L существует, оно единственно и определяется в областях Д и Д по формулам (16) и (27) соответственно.

Выводы. Доказано существование единственности решения задачи L в области Д и дано явное представление решения.

Пример.

1. Постановка задачи. Пусть Д - область, ограниченная полукругом |z| < 1(z = x + iy, y > 0) с контуром у и линиями AAX : x = -1, AB : У = -1, ВВ : x = 1; A(-1;0), В(1;0); Д = Д о (у > 0), Д = Д о (у < 0). Обозначим через M (0,1) общую точку касания прямая у = 1 с полуокружностью; O - начало координат.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача E. Найти функцию

и(х, у) е С(Д) о C3 (Д) о C2 (Д) о [C4+0 (Д) u C2+2 (Д) u C1+3 (Д2)], удовлетворяющую в области Д уравнению

и + и = 0, (36)

xxxx xxyy ' \ У

и краевым условиям

|у= 0, (x, у) е у, (37) Иом = у2(У-1), 0 < у < 1, (38)

"x\oM = у (У -1), (39)

а также удовлетворяющую в области Д уравнению

и — 3и + 3и — и = 0,

хууу хуу ху X 1

(40)

и краевым условиям:

и(—1, у) = у2, — 1 < у < 0, (41)

и(х,—1) = х2, иу(х, —1) = 2х, —1 <х < 1, (42)

Легко заметить, что условия согласования задачи Е выполняются. В силу постановки задачи Е введём следующие условия сопряжения: и(х,+0) = и(х,—0) = т(х), и (х,+0) = и (х,—0) = у(х),

иу (х,+0) = иу (х,—0) = Жх), (43) где т(х), у(х), ж(х) - пока неизвестные функции.

Решения задачи Е расщепляется на следующие самостоятельные вспомогательные задачи.

Задача 1. Найти функцию и(х, у) е С 2( Д ) п [С4+0( Д ) и С2+2(Д )], удовлетворяющую в области Д уравнению (36), краевым условиям (37)-(39) и условию

и„

\ЛЕ

= т''(х), — 1 < х < 1. (44)

Задача 2. Найти функцию и(х,у) е С:(Д) пС1+3(Д) , удовлетворяющую в области Д уравнению (40), краевым условиям (41), (42) и условию

и(х, —0) = т(х), — 1 < х < 1.

(45)

В начале считая функцию т(х) известным, решим задачу 1, а после находим функции т(х), у(х), и /и(х) .

2. Решение задачи 1. Легко заметить, что задача1 относительно функции н'(х,у) = и^ с краевыми условиями (37) и (44) представляет собой задачу Дирихле в

полукруге |г| < 1 для уравнения Лапласа wxx + = 0, и её решение даётся формулой [5]

1

х у) = -1

тг *

1

1

т"а)Ж. (46)

(г — х)2 + у2 (1 — ¿х)2 + г2 у2 Отсюда, дважды интегрируя (46) по х в пределах от 0 до х, и учитывая краевые условия (38),(39),получим решение задачи 1 в области Д

х и 1

и(х у) = ^ \

0 I 0

1

1

1(г — р)2 + у 2

(1 — Р )2 + г2 у2

+ ху2 (у2 — 1) + у 2( у — 1).

т''(г уг (47)

dр +

3. Соотношение, полученное из области Д. Дифференцируя формулу (47)

дважды по х и дважды по у , затем сложив их находим

ихх + иуу = 2(6 у2 —1) х + 6 у — 2.

(48)

Переходя в (48) к пределу при у ^ +0, будем иметь соотношение, полученное из области Д

т' (х) + ж( х) = —2( х +1). (49) 4. Представление решения задачи Гурса. Рассмотрим задачу Гурса как задачу 3, заключающаяся в определение решения уравнения (40) и условиям (41), (43).Обозначив через 3 = их, уравнение (40) перепишем в виде

3 — 33 + 33 —3 = 0

ууу уу у

(50)

характеристическое уравнение к3 — 3к2 + 3к — 1 = 0, которого имеет один

трехкратный корень к = 1.

Общее решение уравнения (50) представим в виде

3(х, у) = (С1 (х) + С2 (х) у + С3 (х) у 2 , (51)

где С (х) (р = 1,3) -произвольные вещественные функции.

Далее, с учетом 3 = их и условие (41), интегрируя (51) по х от -1 до х получим

и(х У) = (§1(х) + §2 (х)У+§3(х)У )еУ + У , (52)

где

§р (х) = |Ср (г)Л. (р = 1,3), причем §р (-1) = 0.

-1

Подставляя (52) в условие (43), последовательно находим §р (х) через функции т(х), у(х) и /(х), т.е.,

§ (х) = т(х), § (х) + §2 (х) = К(х), (х) + 2§2 (х) + 2§3 (х) + 2 = /(х). Решая эту систему относительно § (х) получим

§1(х) = т(х) §2(х) = К(х)-т(x), §3(х) = 1 /(х) -1 +1 т(х) -К(х).

Таким образомрешение задачи Гурса для уравнения (50) запишем в виде

и(х, у) = (т(х)(1 - У +1У2) + К( х)( у - у2) + (I К(х) -1) у2 ^еу + у 2. (53)

5. Соотношение, полученное из области Д. Подставляя значения и(х, у) и и (х, у) из (53) в краевые условия (42) соответственно получаем соотношения:

5 1

— т(х) - 2к(х) + — /(х) -1 = (х - 1)е,

(54)

— т(х) -~у(.х) -~К(х) +1 = 2(хе +1).

Отсюда, исключив к(х), имеем

т(х) + 5/(х) = 2(х2 - 8х -1)е. (55) Далее, исключив /(х) из (49) и (55) будем иметь

т"(х) -1 т(х) = -2(х2 - 8х - 1)е - 2(х +1). (56)

Решая уравнения (56) при краевых условиях т(-1) = т(1) = 0 получим

1

т( х) = 10( х, г) • ¥ (г )Ж, (57)

где

¥ (г) = --(г2 - 8г - 1)е - 2(г +1)

^ (х, г) = <

5П

45 , х +1 , г -1

--5П—рг- • 5П—р^,

А л/5 л/5 л/5

л/5

5П

л/5

, г +1 , х -1

• • sh—рт-,

л/5 л/5

-1 < х < г,

- функция Грина.

г < х < 1,

х

2

Теперь, подставляя т(х) из (57) в (55) будем определять /(х), а затем из (54) находим у(х), и тем самым решение задачи 2.

6. Решение задачи Е в области Д. После определения т(х) решение задачи Е в области Д определяется как решение задачи 1. Нетрудно видеть, что решение задачи 1 сведена к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа относительно функции с краевыми условиями (37) и (44), а затем после двукратного интегрирования по х в пределах от 0 до х с учетом условия (38),(39) решение задачи Е в области Д представимо в виде

i(x, y) = -— [[ (x - t)arctg-—- +—ln

У 2

Л.2

У2 + (t - -)

2A

t2 + У2

л

t —

y)

t

arctg— + У

1

Ту I

л

(58)

xarctg-

1 - tx 1

+ — ln ty 2t

(ty) + (1 -tx) i+(t—)2

2Л

л

t tУ.

1

л

arctg — T(t)dt + xy2 (y2 -1) + y2(y -1).

ty)

Следовательно, решение задачи E в области Д даётся формулой (58), а в области Д- формулой (53), где т(x), v(x), ¿и(x) определяются формулами (57), (54) и (55) соответственно.

Список литературы

1. Babaev S., Bekmamatov Z. A boundary value problem for an equation of composite and hyperbolic types of the fourth order with an interface line of on the plane/ V International Scientific Conference "Asymptotical, Topological and Computer Methods in Mathematics" devoted to the 85 anniversary of Academician M. Imanaliev. Kyrgyzstan, Bishkek, 2016.

2. Gertner I., Tishin P., Vrublevskii V., Kolmakov Y., Sazonov A., Zvyagina E. Neoproterozoic alkaline igneous rocks, carbonatites and gold deposits of the yenisei ridge, central siberia: evidence of mantle plume activity and late collision shear tectonics associated with orogenic gold mineralization // Resource Geology. 2011. Т. 61. № 4. С. 316-343.

3. Krishan A.L., Troshkina E.A., Rimshin V.I., Rahmanov V.A., Kurbatov V.L. Load-bearing capacity of short concrete-filled steel tube columns of circular cross section // Research Journal of Pharmaceutical, Biological and Chemical Sciences. 2016. Т. 7. № 3. С. 2518-2529.

4. Rishina L.A., Vizen E.I., Sosnovskaya L.N., Lodygina T.A., Shibryaeva L.S., Veretennikova A.A., Gilman A.B.The modification of polypropylene structure by low-frequency glow discharge // European Polymer Journal. 1998. Т. 34. № 7. С. 1013-1022.

5. Бекмаматов З.М. О разрешимости задачи сопряжения для одного класса уравнения составного и гиперболического типов четвертого порядка на плоскости // Сборник статьей по материалам XLII международной научно-практической конференции. - Новосибирск, 2016. - C. 87-89.

6. Беляев М.П., Молодцов В.В., Шугаев С.А. Исследование методами имитационного моделирования эксплуатационных свойств соединения // СТИН. 2009. № 8. С. 7-13.

7. Вакуненков В.А., Плоцкий П.В. Методика расчета снижения стоимости строительства и эксплуатации хранилищ теплоаккумулирующего вещества специальных сооружений // Военный инженер. 2017. № 1 (3). С. 7-12.

+

х

8. Валишин Н.Т., Давыдов Н.В. Метод v-функции: некоторые решения прямой задачи динамики в новой постановке // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. 2008. № 1. С. 37-39.

9. Калянов А.Е., Лагунова Ю.А., Шестаков В.С.Прочностной расчет станины и вала дробящего конуса конусной дробилки // Горное оборудование и электромеханика. 2015. № 8 (117). С. 34-40.

10. Кирсанов В.В., Игнаткин И.Ю. Математическая модель рекуперации теплоты в условиях образования инея // Вестник НГИЭИ. 2017. № 6 (73). С. 68-77.

11. Колесников А.А., Осипенко Л.П. Исследование и реализация современного алгоритма факторизации действительных чисел // В сборнике: Сборник научных статей студентов Института информационных технологий и безопасности ФГБОУ ВПО «КубГТУ». Краснодар, 2013. С. 74-78.

12. Кузичкин А.А. Разработка математической модели процесса каталитического риформинга // Вестник НГИЭИ. 2017. № 9 (76). С. 23-28.

13. Липовка Ю.Л. Математическое моделирование систем теплоснабжения с обеспечением устойчивого энергосбережения // Энергосбережение и водоподготовка. 2002. № 1. С. 89-92.

14. Лысенко И.В. Нечеткая оптимизация: новый подход к постановке и решению задач // Труды СПИИРАН. 2004. Т. 1. № 2. С. 90-118.

15. Мастеренко Д.А. Исследование оценок параметров линейной статистической модели по сильно дискретизованным наблюдениям // Вестник МГТУ Станкин. 2012. № 3 (22). С. 89-93.

16. Нечаев Ю.Б., Борисов Д.Н., Пешков И.В. Оценка влияния параметров модуля первичной обработки на работу цифровой антенной решетки // Нелинейный мир. 2010. Т. 8. № 3. С. 151-159.

17. Осмоналиев А.Б. Краевые задачи для гиперболических и смешанных параболо-гиперболических уравнений четвертого порядка / Дис... канд. физ.-мат. наук, 01.01.02.- 0ш-2007.-126с.

18. Соколова И.В. Технология внеклассной работы по математике в V - VI классах на основе личностно ориентированного подхода: автореф. дисс. . канд. пед.наук. - Ростов-на-Дону, 2005. - 22 с.

19. Сопуев А. Краевые задачи для уравнения четвертого порядка и уравнения смешанного типа. Дис. ... докт. физ.-мат. наук, Бишкек, 1996. - 235 с.

20. Тарасов Е.М., Шорохов Н.С. Математическая модель изолирующих стыков рельсовых цепей в виде [а] - параметров // Вестник транспорта Поволжья. 2015. № 2 (50). С. 77-83.

21. Тураева Т.В. Применение метода анализа иерархий при проведении технико-экономического обоснования разработки радиоэлектронных устройств // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2009. № S3. С. 46-48.

22. Федоров Р.В. Автоматизация выбора оптимального метода решения нелинейного уравнения // В сборнике: Математика. Образование 2013. С. 374.

Информация об авторах:

Information about authors:

Бекмаматов З.М.

Старший преподаватель, Баткенский государственный университет, г. Баткен, Кыргызстан

Bekmamatov Z.M.

Senior Lecturer, Batken State University, Batken, Kyrgyzstan