О некоторых классах нелинейных интегральных уравнений с некомпактными операторами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968.4

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕКОМПАКТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

X. А. Хачатрян

Институт математики НАН Армении,

Армения, 375019, Ереван, пр-т Маршала Баграмяна, 24/5.

E-mail: khach82@rambler .ru

Работа посвящена исследованию некоторых классов нелинейных интегральных уравнений с некомпактными операторами типа Гаммерштейна—Немыцкого. Указанный класс уравнений не только представляет теоретический интерес, но и имеет непосредственное применение в кинетической теории газов. Доказываются теоремы существования положительных решений в различных функциональных пространствах.

Ключевые слова: интегральное уравнение типа Гаммерштейна—Немыцкого, условие консервативности, условие Каратеодори, монотонность, уравнение Винера—Хопфа.

Рассмотрим класс нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштей-на—Немыцкого

[■+ оо

<р(х) = / К(х, t)H(t, <p(t))dt + А{х, х^О, (1)

J о

относительно искомой вещественной и измеримой функции ip(x), где К(х, t) — определённая на R+xR+ (R+ = [0, +оо)) измеримая и неотрицательная функция, удовлетворяющая условию консервативности

г+оо

esssup / K(x,t)dt = 1;

ik€R+ J 0

H(t,z) и А(х, т) —определённые на R+ х R (R = (—оо;+оо)) измеримые и вещественнозначные функции, удовлетворяющие условию критичности

H(t, 0) =0, Vt € R+, A(x, 0) = 0, Vie R+.

Последнее условие означает, что ip(x) = 0 является решением уравнения (1).

Уравнение (1) не только представляет теоретический интерес, но и имеет применение в кинетической теории газа, а именно в задаче о течении разреженного газа в полупространстве, ограниченном твёрдой стенкой (задача Крамерса) (см.[1-3]).

В случае, когда H(t, z) = z, А(х, т) = у(х) — F(x, г), у € L2(R+), a F(x, т) удовлетворяет условию Гёльдера—Липшица по второму аргументу и монотонно убывает по г, причём ядро K(x,t) зависит от разности своих аргументов, уравнение (1) рассмотрено в [4]. В этой работе при некоторых дополнительных условиях на К доказано существование решения в пространстве L2(R+).

Хачатур Агавардович Хачатрян (д.ф.-м.н.), старший научный сотрудник, отдел методов математической физики.

Отметим также, что в частном случае А(х,т) = 0 уравнение (1) при различных ограничениях на функции Н и К исследовано в работах [5-12]. В указанных работах в основном доказаны теоремы существования положительных и ограниченных (в некоторых случаях — линейно растущих) решений.

В настоящей работе, путём наложения на функции Н и А существенно разных условий, доказывается существование положительных решений в

пространствах £^(М+) = {/ € £оо(М+), Нт /(ж) = 0} и 1у1(М+) П Ь^0(М+).

Небезынтересно отметить также, что построенные решения имеют естественный физический смысл (см. [3]).

Формулировка основных результатов. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть К$(х) ^ 0, х € М — некоторая измеримая функция, для которой

а 0 ^ К(х,Ь) ^ Ко(х — £),\/(ж,£) € М+ х М+, причём сходимость последнего интеграла в (2) понимается в смысле абсолютной сходимости. Пусть существуют числа г/ > 0 и г/о € (0, г]) такие, что выполняются следующие условия:

a) функции Н(£, г) и А(х, т) удовлетворяют условию Каратеодори, по второму аргументу на множестве М+ х [0, г/];

b) Н(1;,г) возрастает по г на [0, г?] при каждом фиксированном £ € М+, а А(х,т) возрастает по т на [0, г?] при каждом фиксированном х € М+;

c) имеют место следующие неравенства:

Тогда уравнение (1) имеет положительное решение из пространства

Для изложения следующих результатов нам понадобятся некоторые обозначения и вспомогательные факты из линейной теории консервативных интегральных уравнений Винера—Хопфа.

Пусть С}{х) —определённая на множестве К измеримая функция, для которой £о и £1 являются первыми положительными корнями уравнений С,)(х) = = х и С2(х) = 2х соответственно, причём 2^1 < {о, Я возрастает на отрезке [0,£о] и € С[0,{о]- В качестве функции можно рассматривать одну из следующих:

0 ^ Я(£, г) ^ г, \/(£, г) € М+ х [0, Т]\, А(х,рт(х)) ^ рщ{х), А(х, г]) ^ рг,(х), Ух € М+,

(3)

где

Ь1(Ж+)ПЬ0оо(Ж+).

Теорема 2. Пусть существует функция К*(х) ^ 0, х € М, К*(—х) =

/+оо

К*{т)с1т = 1, для которой 0 ^ К(ж,£) ^ К*{х — £),

-СЮ

V(ж, £) € М+ х М+.

Пусть выполняются следующие условия: г\) функции Н(Ь,г) и А(х,т) удовлетворяют условиям а) и Ъ) теоремы 1 на множестве М+ х [0,{о];

г2) 0 ^ #(М) ^ {о - <2(£о - г), V(^, г) € М+ х [0, £0]; (4)

*з) существует число г/о € (0, {о) такое, что выполняются неравенства: А(х,р*т(х)) ^ р*0(ж), А{х,^о) < р|0(ж), (5)

где

г+оо

р|(ж) = 5 К*(1;)сИ, ё > 0.

</ Ж

Тогда уравнение (1) имеет положительное решение из пространства Ь0оо(М+).

Теперь наряду с уравнением (1) рассмотрим следующее однородное уравнение Винера—Хопфа:

г+оо

5(ж) = / К(ж — £)5(£)(Й, ж ^ 0, (6)

Jo

с начальным условием

*5(0) = 1, (7)

где

/+оо

к(ж)^ж = 1, (8)

-сю

/*+со . _ гсо

/ |ж|-?.К'(ж)^ж < +оо, j = 1,2,3, /о = ------- < +оо. (9)

•)—оо А"(ж)

Из результатов работы [13] следует, что задача (6), (7) имеет положительное решение следующей структуры:

5(ж) = аж + <?(ж), (10)

/+о°

х2К(х)с1х, а 0 ^ д € £оо(М+) — известная функция

-СЮ

Хопфа.

Введём обозначения для формулировки нижеследующей теоремы 3:

1) с = - тах("а/о,2гоа, евввир <?(ж)\ где го = [ а ' ж€К+ ' Л)

(г ос г ОС \

/ K(t)dt---------- / tK(t)dtj , ж € М+, 5 > 0 — некоторое

Jx х Л J х J

число, а Л > с.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть ядро K(x,t) задаётся посредством следующей формулы:

K(x,t) = К(х — t) ^ ^ ^, (ж,£)еМ+хМ+, А ^ с.

Предположим, что существуют числа rj > 0 и 770 (0, rf) такие, что функции H(t,z) и А(х,т) удовлетворяют условиям а), Ъ) и условию (3) теоремы 1. Тогда, если А{х, Ф^0) ^ Ф^0(ж), A(x,rj) ^ Ф^(ж), то уравнение (1) имеет положительное решение из L^0(R+).

Примеры функций Н и А. Примеры функций Н и А для теоремы 1:

1Н) H{t, z) = Н0(г)ф^, Н0 € С(М+), 0 < H0{t) < 1, t € М+, р > 1, 2 € R+;

U) А(ж,т) = pvo+vi(x)T +

Г + р,71(ж)

Примеры функций Н и А для теоремы 2:

2Н) я (*,г) = ffo(t)(е°~~z)r> р>!;

so

СИ"2 Tji

2а) А(х,т) = pv0+т(х)-—■----2, а ^ 1 + —, {о ^ a(r?o +r?i), r?0,r?i > 0.

\Т + Pm\x)r Щ

Примеры Н и А для теоремы 3:

Зя) примеры 1я и 2я удовлетворяют всем условиям теоремы 3 для функции H(t,z); ^

3А) А(х,т) = Ф^0+Ч1(ж)^ + ф г?0,г?1 > 0, г? ^ щ + щ.

Доказательство основных результатов. Сначала проведём доказательство теоремы 2 (теорема 1 доказывается аналогичными рассуждениями). Наряду с уравнением (1) рассмотрим вспомогательное нелинейное уравнение Гаммер-штейновского типа

рос

Ф(ж) = / К*{х-^{ Ф(*))сЙ, ж€М+, (11)

Jo

относительно искомой функции Ф(ж), где функция С,) обладает вышеприведенными свойствами. Из результатов работы [8] следует, что уравнение (11) имеет положительное монотонно возрастающее и ограниченное решение Ф (ж), причём Нт Ф(ж) = {о-

Ж—)>С©

Убедимся, ЧТО

Со - Ф(ж) ^ р*0(ж), ж ^ 0. (12)

Действительно, из (11), с учётом свойств ядра К* и функции С,) имеем

рос

Со - Ф(ж) = Со - / к*{х- t)Q{4>{t))dt =

Jo

РОС РОС

= Со / К*(т)йт + / K*{x-t){^o-Q{^{t)))dt^ р\0{х)^ р*щ{х).

Jx Jo

Теперь для уравнения (1) рассмотрим следующие итерации:

РОС

<Рп+l(x)= / K{x,t)H{t,Lpn{t))dt+A{x,Lpn{x)),Lpo{x) = р*{х), п € N0. (13) Jo

Сперва по индукции докажем, что

<£>га(ж) возрастает по п. (14)

В силу условия (5) имеем

<pi(ж) ^ А(ж,<р0(ж)) = А(х,р*0(х)) ^ р*0(ж) = <ро(х),

Г" ОС РОС

(pi(x) ^ / K(x,t)H(t,£0)dt + А(х,£о) ^ {о / K*{x-t)dt + p\0(ж)=Со-

Jo Jo

Предполагая, что {о ^ <Лг(ж) ^ ПРИ некотором п € N, из (13) с учётом

монотонности функций Н и А получим

РОС

<Pn+l(x) > / K{x,t)H{t,tpn-i{t))dt +A{x,tpn-i{x)) =tpn{x)

Jo

и

РОС

<Pn+l(x) ^ / К*(ж-г)#(г,£0)еЙ + Жж>Со) ^Co-

Jo

Теперь убедимся в справедливости следующего неравенства:

<£п(ж) ^ Со - Ф(ж), п£ No, ж G R+. (15)

Действительно, при п = 0 неравенство (15) сразу следует из (12). Пусть <Рп(%) ^ Со — Ф(ж) при некотором п € N. Тогда с учётом (4), (5) из (13) будем иметь:

РОС

<Рп+ 1(ж) ^ / K*(x-t)H(t,£o-'I^(x))dt + A(x,£o)^

J о

РОС

к*(х-$(£о-<2(Ф&))№ + Р(0(х) =

Уо

РОС

= Со - / К*(ж - *)<Э(Ф(*))£Й = Со - Ф(ж).

J о

Следовательно, из (14) и (15) получаем поточечную сходимость последовательности {<Лг(ж)}^о: 1™ ^п{х) = <£>(ж), причём

Ti—у ОС

о < P*vo(x) < ^(ж) < Со - Ф(ж) € L°oc(R+), ж€М+. (16)

185

По теореме Б. Леви (см. [141), функция ш(х) удовлетворяет уравнению (1). Из (16) следует, что ц) € Ь^0(М+). □

Замечание. Из приведённых рассуждений с учётом результатов работы [8] можем утверждать, что результаты теоремы 2 остаются в силе, если вместо чётности ядра К* потребовать выполнение неравенства

Г° 1

J К*(т)(1т ^

Теперь докажем теорему 3. Как известно, при условиях (8), (9) имеют место следующие факты (см. [9]):

ГОО 4- I Л

I К(х= ж€М+ (17)

И

Ф^(ж) ^ 0, при 5 > О, А ^ с, х € М+. (18)

Ниже мы существенным образом будем использовать соотношение (17) и неравенство (18). Введём следующие последовательные приближения:

РОС

<Рп+Лх)= К(х, (рп(1;))сИ + А(х, <рп(х)), (19)

J о

<р0(х) = Г]~ пеМ0,жеМ+,

ах + А а

где 5(ж) задаётся согласно формуле (10).

Докажем, что выполняются следующие утверждения:

1) <рп(ж) убывает по щ

2) <Рп(ж) ^ ФЧо(ж)> и € М0, ж € М+.

В силу (17) и свойств функций Н и А из (19) будем иметь

/о ж + А V аЬ + \а

< п — Ф'ЧтЛ —

а(х + А) Уо

^ г? — Ф7?(ж)-------------г- / К(х — £)5(£)сЙ + Фч(ж) =

775(4) , ,

V---—г~ = <Ро(х).

ах + А а

С другой стороны,

Ых) = „ _ лЩ- = ч-1 Г К(х, =

^ 1 ' аж + Аа ' а.)0 4 + А

= Ф*(ж) + [ К(х,1)(г]----------^ Ф*(ж) ^ Фвд(ж), ибо А ^ с.

Уд V &Т Л&/

Следовательно, ^р\{х) ^ Л(ж, у?о(ж)) ^ Жж>Ф^о(ж)) ^ Ф??о(ж)’ ж е

186

Предполагая, что <рп(%) ^ <Рп-\{х) и <рп(х) ^ Ф^0(ж) при некотором п € М, из (19) получим (рп+ \{х) ^ <Рп(%) и <Рп+1(%) ^ Ф^0(ж)- Таким образом, последовательность функций {<Рп(х)}??=п имеет предел при п —> оо: Ит <рп(х) =

П—)>00

= <~р(х), причём этот предел (в силу теоремы Б. Леви) удовлетворяет уравнению (1) и соотношениям

О ^ Ф^0(ж) ^ <р(х) ^Г]------------------^(ж) ^ х g ]g>+_ ^20)

clcc | Хй

Так как A ^ esssup q(x)/a, выполняется 0 ^ г] — ax+\a ^ ax+Xa 0’ тогда

ж€К+ х^оо

из (20) следует, что ip € L^0(R+). □

Автор выражает благодарность проф. А. X. Хачатряну за полезные замечания.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Н. Б. Енгибарян, А. X. Хачатрян, “Вопросы нелинейной теории динамики разреженного газа”// Матем. моделирование, 2004. Т. 16, №1. С. 67-74. [N. В. Engibaryan, A. Kh. Khachatryan, “On nonlinear theory dynamics of dilute gas” // Matem. Mod., 2004. Vol. 16, no. 1. Pp. 67-74].

2. C. Cercignani, Theory and application of the Boltzmann equation. Edinburg, London: Scottish Academic Press, 1975. 415 pp.; русск. пер.: К. Черчиньяни, Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978. 495 с.

3. А. X. Хачатрян, X. А. Хачатрян, “Качественные различия решений для одной модели уравнения Больцмана в линейном и нелинейном случаях”// ТМФ, 2012. Т. 172, №3. С. 497-504; англ. пер.: A. Kh. Khachatryan, Kh. A. Khachatryan, “Qualitative difference between solutions for a model of the Boltzmann equation in the linear and nonlinear cases” // Theoret. and Math. Phys., 2012. Vol. 172, no. 3. Pp. 1315-1320.

4. P. S. Milojevic, “A global description of solutions to nonlinear perturbations of the Wiener-Hopf integral equations” // Electronic Journal of Differential Equations (EJDE), 2006. Vol. 2006, 51. 14 pp.

5. X. А. Хачатрян, “Однопараметрическое семейство решений одного класса нелинейных уравнений типа Гаммерштейна на полуоси” // ДАН, 2009. Т. 429, №5. С. 595-599; англ. пер.: Kh. A. Khachatryan, “One-parameter family of solutions for one class of hammerstein nonlinear equations on a half-line” // Dokl. Math., 2009. Vol. 80, no. 3. Pp. 872-876.

6. R. Precup, Methods in nonlinear integral equations. New York: Springer Verlag, 2007. 232 pp.

7. C. D. Panchal, “Existence theorems for equation of Hammerstein type” // Quart. J. Math., 1984. Vol. 35, no. 3. Pp. 311-319.

8. A. Kh. Khachatryan, Kh. A. Khachatryan, “On an integral equation with monotonic nonlinearity” j j Mem,. Differential and Equations Math. Phys., 2010. Vol. 51. 59-72 pp.

9. X. А. Хачатрян, “Об одном классе интегральных уравнений типа Урысона с сильной нелинейностью”// Изв. РАН. Сер. матем., 2012. Т. 76, №1. С. 173-200; англ. пер.: Kh. A. Khachatryan, “On a class of integral equations of Urysohn type with strong non-linearity” // Izv. Math., 2012. Vol. 76, no. 1. Pp. 163-189.

10. G. Emmanuele, “An existense theorem for Hammerstein integral equations” // Portugaliae Mathematica, 1994. Vol. 51, no. 4. Pp. 607-611.

11. A. X. Хачатрян, X. А. Хачатрян, “Об одном нелинейном интегральном уравнении типа уравнения Гаммерштейна с некомпактным оператором” // Матем. сб., 2010. Т. 201, №4. С. 125-136; англ. пер.: A. Kh. Khachatryan, Kh. A. Khachatryan, “A nonlinear integral equation of Hammerstein type with a noncompact operator” // Sb. Math., 2010. Vol. 201, no. 4. Pp. 595-606.

12. Л. Г. Арабаджян, “О существовании нетривиальных решений некоторых линейных и нелинейных уравнений типа свертки”// Укр. мат. журн, 1989. Т. 41, №12. С. 1587-1595; англ. пер.: L. G. Arabadzhyan, “Existence of nontrivial solutions of some linear and nonlinear equations of convolution type” // Ukrainian Math. J., 1989. Vol. 41, no. 12. Pp. 1359-1367.

13. Л. Г. Арабаджян, H. Б. Енгибарян, “Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения” / Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., Т. 22. М.: ВИНИТИ, 1984. С. 175-244; англ. пер.: L. G. Arabadzhyan, N. В. Engibaryan, “Convolution equations and nonlinear functional equations” // J. Soviet Math., 1987. Vol. 36, no. 6. Pp. 745-791.

14. A. H. Колмогоров, В. С. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с. [А. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elements of the theory of functions and functional analysis. Moscow: Nauka, 1981. 544 pp.]

Поступила в редакцию 04/X/2012; в окончательном варианте — 26/XII/2012.

MSC: 45G10; 45М20, 45L05

ON SOME CLASSES OF NONLINEAR INTEGRAL EQUATIONS WITH NONCOMPACT OPERATORS

Kh. A. Khachatryan

Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Armenia,

24/5, Marshal Baghramyan Ave., Yerevan, Armenia, 375019.

E-mail: khach82@rambler .ru

The work is devoted to the investigation of some classes of nonlinear integral equations of Hammerstein-Nemitski type with noncompact operators. Above mentioned class of equations, beside the theoretical interest has immediately an application in kinetic the-or'y °f gases. The existence theorems for positive solutions in different functional spaces are proved,.

Key words: Hammer stein-Nemitski type integral equation, condition of conseruativity, Caratheodory’s condition, monotonicity, Wiener-Hopf equation.

Original article submitted 04/X/2012; revision submitted 26/XII/2012.

Khachatur A. Khachatryan (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Senior Research Scientist, Dept, of Methods of Mathematical Physics.