Однопараметрическое семейство положительных решений для одного класса дискретных нелинейных уравнений Гаммерштейна-Вольтерра Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 8. № 1 (2016). С. 15-21.

УДК 517.957

ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ СЕМЕЙСТВО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ДИСКРЕТНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГАММЕРШТЕЙНА-ВОЛЬТЕРРА

Э.О. АЗИЗЯН, Х.А. ХАЧАТРЯН

Аннотация. В настоящей работе исследуется класс дискретных нелинейных уравнений Гаммерштейна-Вольтерра в закритическом случае. Доказывается существование однопараметрического семейства положительных решений в пространстве 1\. Описывается множество параметров. Устанавливается монотонная зависимость каждого решения как по параметру, так и по соответствующему индексу.

Ключевые слова: условие закритичности, итерации, монотонность, однопараметри-ческое семейство решений.

Mathematics Subject Classification: 45GXX, 45G05

1. Введение

Работа посвящена исследованию следующего класса нелинейных дискретных уравнений Гаммерштейна-Вольтерра:

те

хп = ^^ a,j-nhj (xj ), п = 0,1, 2,... (1.1)

j=n

относительно искомого бесконечного вектора

х = (Х0,Х1,... ,хп,.. .)т, (1.2)

где Т — знак транспонирования.

В системе (1.1) последовательность элементов {ak }&=0 удовлетворяет следующим условиям:

• ак > 0, к = 0,1,2,..., а0 = 0, (1.3)

те

• у, = ак < (1.4)

к=0

• (условие закритичности) ^ > 1. (1.5) Относительно последовательности измеримых и веществозначных функций {hj(и)}°=0

будем предполагать выполнение условия «критичности»:

hj (0) = 0, j = 0,1, 2,.... (1.6)

Система (1.1), кроме самостоятельного математического интереса, возникает в дискретных задачах нелинейной теории переноса излучения в спектральных линиях (см. [1]).

E.O. Azizyan, Kh.A. Khaohatryan, One-parametric family of positive solutions for a class of nonlinear discrete Hammerstein-Volterra equations. © Азизян Э.О., Хачатрян Х.А. 2016.

Работа выполнена при финансовой поддержки ГКН МОН РА в рамках научного проекта № SCS 15Т-1А033.

Поступила 31 августа 2015 г.

Кроме того, система (1.1) является дискретным аналогом нелинейного интегрального уравнения в свертках Гаммерштейна-Вольтерра:

те

/(ж) = / у(г - х)н(*)№> х ^ о, (1.7)

X

которое возникает в самых различных областях естествознания, в частности, в физической кинетике (кинетическая теория газов), в эконометрике (теория распределения дохода в однопродуктовой экономике), в биологии (в детерменистических моделях пространственного распространения эпидемии или благоприятного гена среди популяции вдоль линии с различными нелинейностями в генетических моделях) (см. [2]-[5]). Исследованию нелинейных дискретных уравнений Гаммерштейна-Вольтерра различных типов посвящено немало интересных работ (см. [6]-[9] и ссылки в них). Например, в работах [6]-[7] исследована следующая нелинейная дискретная система Гаммерштейна:

те

Уп = ^2 апз¿3 (Уз) + 9п, П е Н, (1.8)

3 = 1

где

(0) = 0, 3 е Н,

причем

(¡з(у) - &(у))(и - V) ^ С;(и - V)2, 3 е Н, при некотором Cf > 0, в предположении

• ^о < 1

и ^о- наименьшее положительное число, удовлетворяющее следующему неравенству:

\\М\ь,г < Vо(Ау,у), у е к,т.

Здесь 12 т—некоторое весовое пространство бесконечных векторов, а А — (лп])гте=1. В работе [8] исследована следующая дискретная система Гаммерштейна-Вольтерра:

п

хп — ^ аПуНу(х^), п е Н, (1.9)

j=n-N0

относительно бесконечного вектора х — (х0,х1,... ,хп,.. .)т. При определенных ограничениях на {ащ}сте^=1 и {Н(и)}те=1 в этой работе доказано существование периодических решений.

Вопросы линеаризации для общих нелинейных дискретных уравнений Вольтерра обсуждались в работе [9].

Следует отметить, что условие (1.6) в определенном смысле затрудняет ситуацию, ибо из (1.6) сразу следует, что тождественно нулевой вектор удовлетворяет системе (1.1). Здесь возникают следующие вопросы:

1) При каких ограничениях на {Н^(и)}те=0 система (1.1), кроме тривиального решения, имеет покомпонентно положительное решение?

2) Из какого пространства решение?

3) Обладает ли свойством единственности построенное решение в определенном классе бесконечных векторов с положительными координатами?

4) Или существует однопараметрическое семейство положительных решений?

5) Если существует однопараметрическое семейство решений, то какую структуру имеет соответствующее множество параметров?

В настоящей заметке при определенных ограничениях относительно последовательности функций {Н^(и)}те=0 доказывается существование однопараметрического семейства покомпонентно положительных решений. Устанавливается, что каждое решение из этого

семейства принадлежит пространству 11. Описывается множество параметров. Устанавливается также монотонная зависимость каждого решения как по параметру, так и по соответствующему индексу. В конце работы приведены частные примеры последовательности функций {hj(w)}j=o, удовлетворяющие условиям сформулированной теоремы. Следует отметить, что сформулированная теорема носит конструктивный характер, ибо в доказательстве этой теоремы, кроме соответствующих априорных оценок, применяется метод последовательных приближений.

Также отметим, что методы, разработанные в работе, позволяют успешно продолжить исследования для построения однопараметрического семейства положительных решений в L\(0, то) соответствующего нелинейного интегрального уравнения (1.7).

2. Формулировка теоремы

Прежде чем сформулируем основной результат настоящей работы, введем некоторые обозначения.

Рассмотрим следующую функцию, определенную на отрезке [0,1] :

те

х(р) = ^ akpk, р е [0,1], (2.1)

к=0

где {ак}fc=0- удовлетворяет условиям (1.3)-(1.5). Из (1.3)-(1.5) следует

• х(0) = а® = 0, Х(1) = 1, X е С[0,1], (2.2)

• Х(Р) t по р на [0,1]. (2.3) Следовательно, существует единственное число р0 > 0 такое, что х(р0) = 1. Зафиксируем это число и сделаем следующие предположения относительно

Uj (u) = hj (и) — и, j = 0,1, 2,... : (2.4)

I) пусть существует число а > 0 такое, что при каждом фиксированном j е N U {0} функции Uj(и) t по и на [ар30,

II) Uj е С (üj), где üj = [ар0, +то), j = 0,1, 2,...,

III) существует sup Uj(и) = Tj, j = 0,1, 2,... , где {rj}°=0 — последовательность поло-

мка

жительных чисел, удовлетворяющих условию:

те

^ j'W < (2.5)

3=0

IV) Wj (и) > 0, и е üj, j = 0,1, 2,.... Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть последовательность {ак}£=0 удовлетворяет условиям (1.3) —(1.5), а {uj(w)}j=0 обладает свойствами (2.4) и I) — IV). Тогда система (1.1) имеет, однопараметрическое семейство покомпонентно положительных решений {х,у}7еП, х-у = (х0,-у, х1,1,..., хПу1,.. .)Т, причем

1) х1 е h, V7 е П = [а, +то),

2) если 71,72 е П и 71 >72, то справедливы оценки снизу:

Хпт — Хп,12 > (71 — Ъ)Ро, Vn е N U {0}, (2.6)

3) если существует натуральное число N0 такое, что при всяком фиксированном и > 0

uJ+i(u) ^ ш,(и), j = N0.N0 + 1,^0 + 2,..., (2.7)

то

xn+i,j < хЩ1, п = N0,N0 + 1,^0 + 2,..., (2.8)

V7 е П.

3. Доказательство теоремы

Сначала рассмотрим следующую вспомогательную дискретную систему типа Воль-терра:

те

Уп — + ^ а—пУэ, п — 0,1, 2,..., (3.1)

3=п

относительно искомого бесконечного вектора

У —(Уо,У1,...,Уп ...)Т, (3.2)

где

те

хп = ^^ аз-п^з, п — 0,1, 2,.... (3.3)

3=П

Умножим обе части системы (3.1) на р-п (п е N и {0}), и после обозначений

Уп = РопУп, = Р-п2п, ьп = р%Оп, п — 0,1, 2,.... (3.4)

относительно у* — (у*, у*,... ,у*п .. .)т приходим к следующей системе:

Уп — < + ^ Ъ3-пу**, п — 0,1, 2,.... (3.5)

3=п

Так как х(р0) — 1, то из (3.4) сразу следует, что

те

^ Ьп — 1. (3.6)

Ниже убедимся, что

-"п

п=0

• г* е ь, Z* — (г*0,г**,...,г*п .. ) , (3.7)

те

• ^ пг*п < +ж. (3.8)

п=0

Заметим, что (3.7) очевидным образом следует из (3.8). Поэтому достаточно доказать (3.8). При любом N е Н, учитывая (3.4) и (2.5), оценим частичную сумму ряда (3.8):

N N те N те N N

Х^* — X ^Х а—п ^ X X а— — X X а—

3=0 3=0 г= ¿=0 i=j ¿=0

N те N г те N

+X X а—1р-гп — Xа— + X а— ^

j=0 г=М+1 i=0 j=0 г=М+1 j=0

N г те г N г те г

^ X^ X+ X ^ X— X^ Xат + X ^ Xат ^

г=0 ]=0 í=N+1 j=0 г=0 т=0 i=N+1 т=0

<

(М те \ те

г=0 г=М+1 ) i=0

Поскольку N е Н- произвольное, а г*п > 0, п е Н и {0}, то из полученной оценки следует (3.8).

Таким образом, мы получили, что свободный член г* системы (3.5) и последовательность {Ьп}те=0 удовлетворяют соответственно условиям (3.8),(3.7) и (3.6). Следовательно, из результатов работы [10] (см. стр. 81, лемма 4.8) следует, что система (3.5) имеет покомпонентно положительное решение в пространстве 11.

Из (3.4) следует

Уп — • Уп, п — 0,1, 2,... (3.9)

является решением системы (3.1). Так как у* Е 1\ и р0 Е (0,1), то из (3.9) получаем

У = (Уо,У1,...,Уп,...)Т Е 1\. (3.10)

Теперь для основной системы (1.1) введем в рассмотрение следующие итерации:

= ^ а3-пИ3 (х{™]), х^ = п = 0,1, 2,..., т = 0,1, 2,..., 7 Е П. (3.11)

3=п

Индукцией по т докажем, что

А) х<$ | по т, У7 Е П, Уп Е N и {0},

в) хщ] ^ 1Ро + Уп, Уш Е N и {0}, У7 Е П, Уп Е N и {0}.

Сначала докажем монотонность последовательности {хп$}т=о по т. Действительно, в силу монотонности {шj (и)}°=0 по и на [ар30, ] = 0,1, 2,... , с учетом условия IV)

теоремы, из (3.11) имеем

те те

= У^ ап-п(х^1 + (х^!)) > 7У^ а=

j=n j=n

те

7 ^ агРП+г = ЧРПхЫ = ЧРП = ^.

i=0

Предполагая

Лт) у Лт-1)

ПЦ - ПЦ

при некотором т Е N, п Е N U {0}, 7 Е П и учитывая монотонность Wj(и) по и, из (3.11) получим

Xn,j ) — ^ ] aj-n(Xj^ + Uj (Xj^ )) X^j . j =n

Теперь докажем неравенства В). При т = 0 оно очевидно, ибо yn — 0, п = 0,1, 2,.... Предположим, что В) выполняется при некотором т Е N. Тогда, учитывая I), III) и IV), из (3.11) будем иметь

тете

х[П1+1) ^ ^ aj-n Ыо + yj + Щ (rp0 + yj)) aj-n(lP3o + yj + Щ (7 + yj)) ^

= n = n

те тете

^ aj-n(lP0 + yj + Tj) = ^Yl aj-nPl + Y1 aj-nyj + Zn = lPn + УП.

= n = n = n

Из А) и В) следует, что при каждом фиксированном 7 Е П последовательность бес-

Г (т)т те (т) i (т) (т) (т) \Т

конечных векторов {xj }те=0, xi = (xb,j ,x\j ,...,хЩ ,...)Т имеет предел, когда m ^ <х : lim х^ = , причем предельный вектор в силу условия II) и из того факта,

т^те

что

те

sup У2 üj-n(Xjn + Uj (Xjri)) ^ 7 + sup Уп <

nGNU{0} •_ n€NU{0}

= n

удовлетворяет системе (1.1). Из А) и В), следует также

1РП < хпа ^ >урП + УП, 7 Е П, п Е N U {0}.

Теперь докажем неравенство (2.6). С этой целью сначала индукцией по т убедимся, что если /у\,/у2 Е П, 71 > ^2, то

- — (ъ - Ъ)РП, п = 0,1, 2,..., т = 0,1, 2,.... (3.12)

В случае т — 0- (3.12) выполняется очевидным образом, ибо оно превращается в равенство. Пусть (3.12) выполняется при некотором т е Н. Тогда из монотонности (и) по и на [ар0, ] — 0,1, 2,... и с учетом ^^ > а, г — 1, 2, будем иметь

- х(т+1) = Vа- (х(т) - х(т) + w(х{т))- w(х(т))) > Vа- (х(т) - х(т)s

]=П 3=п

те

> (Ъ аз-пР0 — (Ъ - 12 К • Х(Р0) — (11 - ъ)Ро.

3=п

Устремляя в (3.12) т ^ ж, приходим к (2.6).

Для завершения доказательства теоремы нам осталось убедиться, что при выполнении условия (2.7) следует неравенство (2.8).

Сначала докажем, что при выполнении условия (2.7) имеет место

х(+а < х<$, п — 0,1, 2,..., т — 0,1, 2,..., 7 е П. (3.13)

При т — 0 это следует из следующего простого неравенства:

Т(0) — 'УГ)п+1 < лтп — г(0) хп+1,7 — ¡Р0 < ¡Р0 — .

Пусть (3.13) выполняется для некоторого т е Н. Тогда, учитывая (2.7), монотонность (и) по и на [ар0, +ж), ] — 0,1, 2,... , из (3.11) получим

оо оо

хп+1,т xh,~+1 у а3-(п+1)(хзт + ш3(х3т )) 'У ] а3-п(хзГ( + шз(хз,т )

3=п+1 3=п

те те

J2ak(х к+п+1,т + шк+'п+1 (хк+п+1, т)) - X ак(х к+п,

т + Шк+п(х(к+п>1))

к=0 к=0

те

У ак(хк+п+1,т - хк+п,т + шк+п+1 (хкт+п+1,т) - шк+п(хк1пГ1)) — h + h + h,

к=0

где

11 = X/ ак (хк+п+1,1 - Хк+п,-/) < 0 к=0

в силу индукционного предположения,

12 = У ак(^к+п+1(хк+п+1г/) - ^к+п+Лхк+пт,)) < 0, к=0

в силу того, что шз(и) ^ по и на [ар30, j — 0,1, 2,... , и индукционного предположения,

Ь = У ак (Шк+п+1 (4717) - ^к+п (хк++п,у )) < 0 к=0

в силу выполнения условия (2.7). Следовательно,

х(п++И < х^1+1], п — 0, 1,2,..., 1 е П. В обеих частях (3.13) т устремляя к бесконечности, приходим к (2.8). Таким образом, теорема полностью доказана.

В конце работы приведем несколько примеров последовательности {ш^(и)}°те=0, для которых выполняются все условия сформулированной теоремы:

а) (и)— р0 (1 - е-и), ] — 0,1, 2,..., и > 0,

а

b) Wj (u)= Ус> 0, j = 0,1, 2,..., u > 0,

uq

c) W ■(")= n-3--0 Уп> 2 4 = 0,1, 2,..., u > 0,

d) Wj (u)= p0

j = 0,1, 2,..., u > 0.

Авторы выражают благодарность рецензенту за полезные замечания.

1. Енгибарян Н.Б. Об одной задаче нелинейного переноса излучения // Астрофизика. 1966. T. 2, № 4. C. 31-36.

2. Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А. Качественное различие решений для стационарных уравнений Больцмана в линейном и нелинейном случаях // Теоретическая и Математическая Физика. 2014. T. 180, № 2. С. 497-504.

3. J.D. Sargan. The distribution of wealth // Econometrics. 1957. Vol. 25, № 4. P. 568-590.

4. A.Kh.Khachatryan, Kh.A. Khachatryan On the Solvability of a Nonlinear Integro-Differential Equations Arising in the Income Distribution Problem // Comp. Mathematics and Math. Physics. 2010. V.50 , № 10. P. 1702-1711.

5. O. Diekman Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection // J. Math. Biol. 1978. V. 6, № 2. P. 109-130.

6. F. Dedagic, S. Halilovic, E. Barakovic On the solvability of discrete Nonolinear Hammerstein Systems in lp,a Spaces // Mathematica Balkanica, New Series. 2012. Vol. 26, Fasc. 3-4. P. 325333.

7. F. Dedagic On the discrete Nonlinear Hammerstein systems with non-symmetric kernels // Sarajevo Journal of Mathematics. 2009. Vol. 5 (18). P. 279-289.

8. Christopher T.H. Baker, Yihong Song Concerning periodic Solutions to non-linear discrete Volterra equations with finite memory. Applied Math. Group Research. 2007. report, University of Chester, -24 pp.

9. Yihong Song, Christopher T.H. Baker Linearized stability analysis of discrete Volterra equations // Journal Math. Anal. and Appl. 2004. Vol. 294. P. 310-333.

10. Арабаджян Л.Г. Уравнения Винера-Хопфа в консервативном случае и нелинейные уравнения факторизации. Диссертация на соиск. уч. степ. кандидата физ.мат. наук, Ереван, 86- стр.,

Эрмине Оганесовна Азизян,

Армянский национальный аграрный университет, ул. Теряна, 74, 0009, г.Ереван, Армения E-mail: [email protected]

Хачатур Агавардович Хачатрян, Институт математики НАН РА, проспект Маршала Баграмяна, 24/5, 0019, г. Ереван, Армения E-mail: [email protected]

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1981.