CC BY
8
Владикавказский математический журнал 2012, Том 14, Выпуск 2, С. 57-66
УДК 517.968.22+517.968.4
О НЕТРИВИАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ГАММЕРШТЕЙНА - ВОЛЬТЕРРА
Х. А. Хачатрян, С. А. Григорян
В настоящей заметке исследуется вопрос о существовании однопараметрического семейства положительных и ограниченных решений для одного класса нелинейных однородных интегральных уравнений типа Гаммерштейна — Вольтерра. Указанный класс уравнений имеет важное применение в кинетической теории газов.
Ключевые слова: уравнение типа Гаммерштейна — Вольтерра, факторизация, последовательные приближения, ядро.
1. Введение и основная теорема
Введем в рассмотрение следующее нелинейное интегральное уравнение:
со
/(х) = J V(х,Ь)С(Ь,/(£)) х £ М+ = [0, +го), (1)
X
относительно искомой вещественной и измеримой функции /(х).
В уравнении (1) V(х,£) — определенная на Ж+ х Ж+ измеримая функция, которая имеет следующую структуру:
Ь
V(х, *) = у а(г, в)е-“(^)(*-х) йа(8)е{г — х), (2)
а
где а(£,в) — определенная на множестве М+ х [а, 6) (0 ^ а < Ь ^ +го) измеримая функция, причем
еяя ш£ а(£,в) = в> 0, (3)
(£,з)€М+ х [а,Ь)
Ь
еяявира(Ь,в) = а0(в) < +то, в £ [а, Ь), / а0(в) йт(в) < 2@. (4)
J
а
В (2) т(в) — монотонно неубывающая функция на [а, Ь), причем
Ь
т(Ь) — т(а) = J йт(в) = 1, (5)
2012 Хачатрян Х. А., Григорян С. А.
а в(т) — функция Хевисайда, т. е.
"(т)={I1: т ? 0 (б)
В уравнении (1) С(Ь,т) — определенная на Ж+ х Ж измеримая функция, имеющая следующую структуру:
С(г,т )= т — ш(Ь,т), (7)
где ш(Ь, т) — определенная на Ж+ х Ж измеримая функция, причем
(a) существует число А > 0 такое, что ш(Ь, т) ^ 0, когда (Ь, т) £ Ж+ х [А, +го) и
ш(Ь, т) | по т на [А, +го) при каждом фиксированном Ь £ Ж+;
(b) ш(Ь,т) удовлетворяет условию Каратеодори на множестве Ж+ х [А, +го), т. е. при
каждом фиксированном т £ [А, +го) ш(Ь, т) измерима по Ь £ Ж+, и при почти всех Ь £ Ж+ она непрерывна по т на [А, +го). Это условие коротко запишем в следующем виде: ш £ Caratr(Ж+ х [А, +го));
(c) существует неотрицательная функция ш £ £1 (ж+) п с0(ж+), Ш | по г на [А, +го), т1(сш) = /о°°хсш(х) ^х < такая, что ш(Ь, г) ^ ш(Ь + г), (Ь, г) £ Ж+ х [А, +го).
Изучение уравнения (1) (с условиями (2)—(7) и (а)—(с)), кроме самостоятельного теоретического интереса, представляет собой также известный интерес в физической кинетике, а именно, в кинетической теории газов. Уравнением (1) описывается задача
о течении газа со скольжением вдоль плоской твердой стенки, где роль функции /(х) играет среднемассовая скорость газа (см. [1-3]).
Когда С(Ь, т) = т, а функция а(Ь, в) удовлетворяет е88 8ир(^5)бК+х[а;ь) а(Ь, в) < 2в и (3), уравнение (1) было исследовано в работе автора [4].
В настоящей заметке доказывается следующая
Теорема 1. При выполнении условий (2)-(5), (7) и (а)-(с), уравнение (1) обладает однопараметричесим семейством положительных и ограниченных решений |/7 (х)}7бд, где множество параметров А задается согласно следующей формуле:
А = [тах(6, 70), +го), (8)
6 = в88 8ирхбК+ ^(х), а ^(х) — положительное и ограниченное решение уравнения
С°
^(х) = 2 Ш(х + А) ^ У V(х,Ь)^(Ь) ^Ь, х £ Ж+. (9)
X
Через 70 ^ А обозначено некоторое фиксированное число, для которого
Ш(7о) < То• (10)
Более того, если 71,72 £ А, 71 >72, — произвольные числа, то
/71 (х) — /72 (х) ^ 2(71 — 72^ х £ (11)
Примечание. Существование числа 7о сразу вытекает из основных свойств функ-
О
ции ш.
Замечание. Отметим, что в теореме существования положительность и ограниченность решения ^(х) уравнения (9) не предполагаются, а осуществляются в ходе доказательства. Более того, устанавливается, что ^ £ £1 (Ж+) П Со(Ж+).
2. Доказательство теоремы
2.1. Соответствующее линейное однородное уравнение и класс определенных интегральных операторов типа Вольтерра. Рассмотрим следующее линейное однородное интегральное уравнение типа Вольтерра:
^>(х) = У V(х,і)^>(і) гіі, х Є Ж+, (12)
относительно искомой функции ^(х), где ядро V(х,Ь) задается согласно формуле (2). Из условий (3) и (5) сразу следует, что ядро V(х,Ь) ^ 0, (х,Ь) £ Ж+ х Ж+, удовлетворяет условию субстохастичности
С°
евв вир / V(х,Ь) ^х = 1. (13)
*6К+ J о
Обозначим через П класс следующих интегральных операторов типа Вольтерра: V) £ П, если
С°
(V/)(х) = У V(х,Ь)/(Ь)^, х £ Ж+, / £ ^1 (Ж+), (14)
X
причем
со
О _1_ _1_ О Г О
V(х,Ь) ^ 0, (х,Ь) £ Ж+ х Ж+, ^) = евв вир / V(х,Ь) ^х < +го. (15)
*ек+ J о
Уравнение (12) запишем в операторном виде
(I — У)р = 0, (16)
где I — единичный оператор, а V — интегральный оператор Вольтерра с ядром (2).
Из (13) и (2) непосредственно следует, что V £ П.
Рассмотрим следующую задачу факторизации: для заданного оператора V £ П (с ядром (2)) найти такой интегральный оператор IV £ П, чтобы
I — У=(! — Ц/)(! — Т^), (17)
где и £ П, который имеет следующую простую структуру:
С°
(и/)(х) = РI е-в(*-х)/(Ь) ^, х £ Ж+, / £ Е. (18)
X
Здесь Е — одно из пространств £1(Ж+) или £°(Ж+).
Факторизация (17) понимается, как равенство операторов, действующих в Е.
2.2. Изучение факторизации (17). Раскрывая скобки в (17), получим
Т^ = V — Ц7 + Ц7 V, (19)
оо
где, переходя от операторных равенств к равенству соответствующих ядер, будем иметь
Т
W (ж, т) = V (ж, т) - и (ж, т) + У и (ж, ^ (4, т) ^, (ж, т) € Ж+ х К+. (20)
X
Здесь
и (ж, т )= ве-в(т-х)д(т - ж), (ж, т) € Ж+ х Ж+, (21)
а W(ж, т) — ядро искомого оператора V € П.
Прямой проверкой можно убедиться, что уравнению (20) удовлетворяет следующая функция:
ь
V(ж, т) = у (а(т, «) - в)в-“(т’5)(т-х) ^(в)0(т - ж). (22)
а
Учитывая условие (3), будем иметь:
V(ж, т) ^ 0, (ж, т) € М+ х Ж+. (23)
С другой стороны, из (3) и (4) следует, что для ядра V(ж,т) выполняется (15). Следовательно, V € П. Теперь докажем, что уравнение (20) имеет единственное решение в следующем классе функций:
д = {V(ж,т) ^ 0, (ж,т) € Ж+ х Ж+, ) < +^}. (24)
Определение числа ^ в (15). Пусть VI, W2 € д — два разных решения уравнения (20). Тогда в силу линейности (20) их разность ДW = VI - W2 будет удовлетворять соответствующему однородному уравнению:
Т
ДW(ж,т) = У и(ж,^)ДW (4,т) ^. (25)
X
Так как ^(ДW) < +го, то из (25) будем иметь
т т т
/|ДИ' (ж_г ^ «/ Iи (;,т м*.
0 0 х
изменяя порядок интегрирования (с учетом теоремы Фубини [5]), получим
т т т
У | ДW(ж,т) | ^ж ^ У | ДW(4, т) | ^ — У е-в*| ДW(4,т) | ^,
0 0 0
откуда сразу следует, что ДW(4, т) = 0 почти всюду в Ж+ х М+. Тем самым доказана единственность решения уравнения (20) в классе д. Следовательно, факторизация (17)
единственна в классе интегральных операторов из П, причем ядро оператора V € П
задается согласно (22).
2.3. Применение факторизации (17) к решению уравнения (12). С учетом факторизации (17) уравнение (12) можно записать в следующем виде:
(I - Ц>)(/ - = 0. (26)
Рассмотрим следующую связанную систему уравнений:
(I - Ц7)Е = 0, (27)
(I - = К (28)
Уравнение (27) принимает следующий вид:
СО
К (ж) = е-в(*-х) К (4) ^, ж £ К+. (29)
X
Заметим, что К (ж) = 1 удовлетворяет уравнению (29). Подставляя это значение в уравнение (28), приходим к следующему неоднородному интегральному уравнению Вольтерра:
СО
^>(ж) = 1 + У Ш(ж,-£)^>(£) ж £ М+. (30)
X
Ниже докажем, что
СО
р = еяя вир / Ш(ж, ■£) ^ < 1. (31)
хбК+ J 0
Действительно из (22) непосредственно следует, что
У И^(ж, £) (М ^ У о;о(5) с?сг(в) — 1 = ро- (32)
0 а
Учитывая (3), получим, что р0 £ [0,1). Следовательно, р ^ р0 < 1.
Итак, (31) доказано. Таким образом из классической теории интегральных уравнений следует, что уравнение (30) имеет единственное и ограниченное решение ^(ж), причем
1 ^ ^(ж) ^ (1 - р)-1 ^ (1 - р0)-1, ж £ М+. (33)
Из оценки (31) сразу следует, что оператор Ш действует в пространстве £О(М+). С другой стороны, таким свойством обладает также оператор и. Следовательно, учиты-
вая (17), можем утверждать, что оператор V также действует в пространстве £О(М+). Таким образом, решение уравнения (30) является также решением уравнения (16).
2.4. Решение соответствующего неоднородного уравнения. Рассмотрим следующее уравнение типа Вольтерра:
СО
^(ж) = 2 Ш(ж + А) + У V(ж, 4)^(4) ^, ж £ М+, (34)
X
относительно искомой функции ^(ж). С использованием факторизации (17) решение уравнения (34) сводится к последовательному решению следующих двух связанных уравнений:
СО
^0(ж) = 2 ш(ж + А) + pJ е-в(*-х)^0(4) ^, ж £ М+, (35)
^(ж) = ^0(ж) ^ У Ш(ж, 4)^(4) ^, ж £ М+. (36)
X
Общее решение уравнения (35) записывается в виде
СО
^0(ж) = 2 Ш(ж + А) + 2^ У Ш(£) ^, ж £ М+. (37)
х+А
Заметим, что из свойств ш следует ограниченность функции ^(ж), более того,
0 < ^0 £ ^1(М+) П С°(М+), (38)
поскольку т1(сш) < +го, ш £ Ь1(Ж+) П С0(Ж+). Теперь займемся решением уравнения (36). Так как р < 1, то уравнение (36) имеет единственное и ограниченное решение
^(ж) ^ ^0(ж), причем так как в88 8ирхбК+ ^0(ж) < +ГО, то
^(ж) ^ ( еяяяир^0(ж) I /(1 - р) = к, ж £ М+.
V хбК+ )'
(39)
Убедимся, что при произвольном 7 £ А функция ^>7(ж) = 7^(ж) (где ^(ж) — решение
уравнения (12), а А задается согласно (8)) удовлетворяет неравенству
^7(ж) ^ ^(ж), ж £ М+. (40)
Действительно, поскольку ^(ж) ^ 1 (см. формулу (33)), то, учитывая (8) и тот факт,
что 5 = в88 8ирхбК+ ^(ж), будем иметь
^>7(ж) ^ 7 ^ тах(5,70) ^ 5 ^ ^(ж), ж £ М+. (41)
2.5. Некоторые обобщения однородных и неоднородных уравнений (12)
и (34). Рассмотрим функцию
= 1 - *» + »><»>>, х 6 К+, 7 £ Д. (42)
^7 (ж)
Из определения множества А вытекают следующие легко проверяемые свойства функции А7 (ж) :
0 < 1 _ Цто) ^ ^ ^ ж е 7 е д; (43)
70
Пт А7 (ж) = 1, причем равномерно по 7. (44)
Теперь рассмотрим следующее интегральное уравнение Вольтерра:
СО
Ф1 (ж) = 2 Ш(ж + ^>7(ж)) + А7(ж) У V(ж,-^7(4) ^, ж £ М+, (45)
х
относительно искомой функции ?/>7(ж). Поскольку
Ш(ж + ^>7(ж)) ^ Ш(ж + 7) ^ Ш(ж + 70) ^ Ш(ж + А), (46)
то для уравнения (45), рассматривая простые итерации
СО
^+1(ж) = 2 ш(ж + ^7(ж)) + А7(ж) У V(ж,'£)'(/>7(4) ^, (ж) = 0, п = 0,1,2,..., (47)
х
и учитывая (43), (46), легко можно убедиться, что существует
Пт ^7(ж) = ?/>7(ж) ^ ^(ж), 7 £ А, ж £ М+, (48)
причем предельная функция ^7(ж) по теореме Б. Леви [5] будет удовлетворять уравнению (45). Заметим, что
о -
У7(ж) = 2^>7(ж) - ?/>7(ж), ж £ М+, (49)
удовлетворяет однородному уравнению
СО
У7(ж) = А7(ж) У V(ж,-£)У7 (4) ^, ж £ М+. (50)
х
Кроме того, так как ^7 (ж) ^ ^(ж), то с учетом (48) имеем
о
У7(ж) ^ ^>7(ж), 7 £ А, ж £ М+. (51)
С помощью последовательных приближений
СО
УП7+1(ж) = А7(ж) У V(ж^У7(4) ^, У07(ж) = 2^7(ж), п = 0,1, 2,..., ж £ М+, (52)
х
можно убедиться, что
о
У7(ж) | по п, У7(ж) ^ У7(ж), п = 0,1,2,..., (53)
У7(ж) ^ 2А7(ж)^>7(ж), п = 1, 2, 3,... (54)
Следовательно, существует предел последовательности |У,7 (ж)}О почти всюду на (0, +го):
Пт У7(ж) = У7(ж), и этот предел удовлетворяет уравнению (50). Более того,
О
^>7(ж) ^ У7(ж) ^ У7(ж) ^ 2А7(ж)^7(ж), ж £ М+, 7 £ А. (55)
Прямой проверкой можно убедиться, что тогда функция
^7(ж) = > 0 (56)
А^ (ж )
удовлетворяет уравнению
СО
(ж) = У V(ж,і)А7(і)^7(і) гіі, ж Є Ж+, (57)
и цепочке неравенств:
о
А ^ 70 ^ 7 ^ ^7(ж) ^ У7(ж) ^ (ж) ^ %7(ж) ^ 2^>7(ж), ж £ М+, 7 £ А. (58)
2.6. Решение основного уравнения (1). Введем в рассмотрение следующие последовательные приближения:
СО
/п^+1(ж) = У VМК/п(4) - ш(/(4))) й4,
х
/0 (ж) = 2^>7(ж), п = 0,1,2,..., 7 £ А, ж £ М+.
(59)
10 — ^'г^\
Индукцией по п доказываются следующие факты:
/п (ж) I по п, 7 £ А, (60)
если 71,72 £ А, 71 > 72, то /71 - /72 ^ 2(71 - 72)^>, (61)
/7 (ж) ^ %7 (ж), п = 0,1,2,..., 7 £ А, ж £ М+. (62)
Сперва докажем (62). В случае п = 0 неравенство (62) очевидно, ибо справедлива
/П1
формула (58). Пусть /П(ж) ^ %7(ж) при некотором п £ N. Тогда, учитывая (а), (с), (58)
и (59), будем иметь
СО СО
/п+1(ж) ^У V(ж,4)(%7(4) - ш(4, %7(4))) ^ ^У V(ж,4)(%7(4) - ш(4 + %7(4))) ^
хх
СО СО
^ У V (ж,4)(%7 (4) - + ^7 (4))) ^ = J V (ж,4)(%7 (4) - (1 - А7 (4))^7 (4))
хх
СО
^ V(ж,4)(%7(4) - (1 - А7(4))%7(4)) ^ = %7(ж).
х
Теперь докажем (60). Так как ш(4, ^7(4)) ^ ш(4, А) ^ 0, то из (59) получим
СО
/7(ж) = У V(ж,*)(2<р7(4) - ш(*,<р7(4))) ^ < 2^7(ж) = /07(ж).
х
Предполагая, что /Л"(ж) ^ /^-1(ж), с учетом (а), (62) и /Л"(ж) ^ %7(ж) ^ А в (59) будем
иметь
СО
/,!+1(ж) ^ V- ^ = Я(ж).
х
Индукцией по п убедимся в достоверности (61). При п = 0 это неравенство обращается в равенство. Предположим, что (61) верно в случае п = р и докажем его для п = р +1. Имеем
СО
#+1(ж) - Ур+1(ж) = У V(ж, 4) (/71 (4) - Щ?2 (4)) ^
х
СО
+ У V(ж^^/2 (4)) - ш(4,/г71 (4))) ^ ^ 2(71 - 72)^(ж).
Таким образом, последовательность {/J(x)}°° имеет предел
lim /7 (x) = /7 (x) ^ 2^7 (x), (63)
почти всюду в (0, +то), причем
о
/Y(x) ^ Yy(ж) ^ ^7(ж), x £ R+, y £ A. (64)
Используя (b) и теорему Б. Леви, нетрудно убедиться, что /7(ж) — удовлетворяет уравнению (1). В (61), переходя к пределу при n ^ то, получим
/71 (ж) - /72 (x) ^ 2(yi - 72)<р(ж) ^ 2(yi - Y2),
ибо ^>(x) ^ 1. Поскольку /7 (x) ^ 2^>7 (ж) — 'f/>7 (x) ^ 2^>7 (ж) — ^(x), то для каждой функции /7 (ж) получаем следующую двойную оценку:
2y-^ /7(ж) < у^,
где к — задается посредством (39). Теорема доказана.
В конце работы приведем примеры функций a(t, s) и o(t, т), t £ R+, s £ [a, b), т £ R+.
a) В качестве функции a(t, s) можно рассматривать следующий класс функций: a(t, s) = в + q(t,s), (t, s) £ R+ x [a, b), где 0 ^ q(t, s) — некоторая измеримая функция, для которой
ess sup q(t, s) < в-
(t,s)GR+ x [a,b)
b) Рассмотрим следующий класс функций: w(t,T) = п(т) с0(t + т), (t,T) £ R+ x R, где п(т) — определенная на R измеримая функция, причем n(0) = 0, 0 ^ п(т) ^ 1, т £ [A, +то), n £ C[A, +то) и п(т) | по т на [A, +то).
Авторы выражают благодарность Н. Б. Енгибаряну за обсуждения, а также рецензенту за полезные замечания.
Литература
1. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана.—М.: Мир, 1978.—495 с.
2. Коган М. Н. Динамика разреженного газа.—М.: Наука, 1967.—440 с.
3. Енгибарян Н. Б., Хачатрян А. Х. Вопросы нелинейной теории динамики разреженного газа // Мат. моделирование.—2004.—Т. 16, № 1.—С. 67-74.
4. Хачатрян Х. А. Оценки решения одного интегрального уравнения типа Вольтерра // Ученые Записки ЕрГу. Математика.—2003.—№ 1.—С. 21-26.
5. Колмогоров А. Н., Фомин В. С. Элементы теории функций и функционального анализа.—М.: Наука, 1981.—544 с.
Статья поступила 20 января 2011 г.
ХАЧАТРЯН ХАЧАТУР АгАВАРДОВИЧ Институт математики НАН Армении,
старший научный сотрудник отдела методов математической физики АРМЕНИЯ, 375019, Ереван, пр-т Маршала Баграмяна, 24Б E-mail: [email protected]
ГРИГОРЯН СУРЕН АРШАВИРОВИЧ
Государственный аграрный университет Армении,
ассистент кафедры высшей математики и теоретической механики
АРМЕНИЯ, 375009, Ереван, ул. Теряна, 74
E-mail: [email protected]
ON NONTRIVIAL SOLVABILITY OF A NONLINEAR HAMMERSTEIN-VOLTERRA TYPE INTEGRAL EQUATION
Khachatryan Kh. A., Grigoryan S. A.
The existence is studied of one parametric family of positive bounded solutions for a class of Hammerstein-Volterra type nonlinear homogeneous integral equations. This class of equations has important applications in the kinetic theory of gases.
Key words: Hammerstein-Volterra type equation, factorization, iterative approximation, kernel.
