CC BY
45
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2012, том 55, №3__________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
О.А.Джурахонов
НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ ФУНКЦИЙ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 12.01.2012 г.)
В работе найдены новые точные неравенства между наилучшими приближениями аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами и усреднёнными значениями модулей непрерывности высших порядков граничных значений производных в пространстве Харди Н ,1 < р< 2. Используя найденные неравенства, вычислены точные значения п—поперечников некоторых классов функций, принадлежащих пространству Н2.
Ключевые слова: пространство Харди - наилучшее приближение - модуль непрерывности высших порядков - п-поперечники - неравенство Минковского.
1. Задача вычисления точных значений п -поперечников различных классов аналитических в круге функций в пространствах Харди Нр, 1 < р< оо, Бергмана Вр, 1 < р < оо и некоторых других
банаховых пространствах аналитических функций изучалась, например, в работах [1-11].
Напомним, что аналитическая в круге | 2 |< 1 функция
/О) = Y,ckzk, z = pelt, 0<р<\
k=0
принадлежит пространству Харди Н , 1 < р< оо, если
= lim
Р р-Я-0
( і 2 л"
— Jl/(/*“) Г dt
у27* о
<00, 1 < р < 00,
= sup{|/(z)|:|z|<l}<co, р = со.
Хорошо известно, ЧТО ДЛЯ f(z)<=Hp, 1 < р < со почти всюду на окружности Z 1=1 существуют угловые граничные значения f(t) : = /(в11) <Е , 1 < р < оо, причём в случае р — со предполагается, что f(z) является непрерывной в замкнутом круге | z |< 1 ([12], стр.249-250).
Адрес для корреспонденции: Джурахонов Олимджон Акмалович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
Обозначим через /^г\г) = дг/(рей) I д1г производную Г-го порядка аналитической функции /(г) по аргументу I комплексного переменного г = ре" , то есть
/в0)(Ю =
<нд${£) <Л/{г) сЬ
дt ск Л
и для г > 2, г е N рекуррентно находим
Л(г)(*)= /Г1^)
Под Н{ра, 1 < р < со понимаем класс аналитических в круге | г |<1 функций, для которых
/[Р (г) е Н , 1 < р < со . Структурные свойства функции /(г) е характеризуем скоростью
(г)
_Р,а
убывания к нулю модуля непрерывности т -го порядка
ю»(/а(г)А =8ир Аи(/аМ,-,«)
г-(г)
Н„
:|г/1< / =
вир
V
]_
2л
2ж т
О к=0
\Ур
ск
:\и \<t
У
граничных значений производных (г(вй), задавая эту скорость посредством мажоранты некоторой
усреднённой величины б)т ( ) ,1) р .
В частности, используя специфику гильбертова пространства, для произвольной /(г) е Н2 запишем
(г)
а
СО,
Ч/Г,1)2 = 2"зир |2 <1-С08ЬГ :|»|</ .
Пусть Т’н означает множество алгебраических комплексных полиномов степени < п. Наилучшее приближение функции (г) е Нр, 1 < р < оо множеством Рп , обозначим
Еп(Лр ■= ЕЦ',Тп_1)нр = ^|||/-: рп^(г) е Гп_,
В работе Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова [4] доказано, что для любых л,ге ГХ1 и // е 2 , // > 1, 1 < /? < х справедливо экстремальное равенство
8иР 77
пг-1-Еп(Лр
йг)(л*сот*
I ю1 (/а(г), Ъ)р • [1 + О2 -1) вт цп(\Ж
]_
2'
Р
Н.Айнуллоев [5] доказал, что если в равенстве (1) модуль непрерывности первого порядка 0\ ( 2/ )/; заменить на модуль непрерывности второго порядка (02( 2/ ). то имеет место ра-
венство
пг~1-Е (/)
n\J ' р г~ /<-\\
SUP = (2)
С / \ о ^
| ®2(/а -20/[1 + С“ — 1)sinnnt\dt
'И V J р ___
fa ’(t^COnst
0
Случай /.1 = 1 в равенствах (1) и (2) ранее изучен в работе Л.В.Тайкова [3].
Вопрос о построении наилучшего линейного метода приближения Ьп ( /, 2) для классов функций, изучавшихся в [4,5], рассматривал С.Б.Вакарчук [7], [8]. Он показал, что в соотношениях (1) и (2) величину Еп (Лр, 1 < р < к можно заменить на ||/ — /,л г(./ )|| , 1 где для функции
f (г) е Н, например, в (1) наилучший линейный метод имеет вид
4., (/. Z)=ч, + Ё Iі+(^tkT'[n (1 ■ (5^I)! ]}c‘z"'
тг!{2 цп)
Здесь мы дадим в определенном смысле обобщение равенств (1) и (2) для модулей непрерывности т -го порядка, а именно докажем, что для любых /и,и, геМ, 1 < р < 2, \ / г <с/ < 2, г > 1 и
произвольного Е , // > 1 справедливо неравенство
2 "•/Г1'».£„(/),
sup ---------------
/еЯ7- Гл-/2//и | 1/у
/aw со*»»* j | ®«(/fl(r), 2t\ ■ [1 + (//2 -1) sin fmitft \
(тг/2ц Л ^
<\ | (smt)mq - [\ + (р2 - \)sm ]ut~\dt\ , (3)
где, в случае р — 2 , имеет место знак равенства для /(| ( z ) = 2” G Z/^'*. Из неравенства (3) соответственно при m — q — 1, p — 2nm — 2, q — 1, р — 2 вытекают соотношения (1) и (2).
Имеет место следующее утверждение
Теорема 1. Для любой функции f(z)&H^a, \ <р<2 при всех m,n, г <Е N, \I г <q<2, г > 1 и 0 <11 < л / 2/7 справедливо неравенство
о
Еп(ЛР^
и
|«/Г.20г 1 +
С \2
п
у 2 пи
■ л! . , вт— }-ш 2и
1/д
2 т-пг
и
{(втиО"9- 1 +
/ \2 71
-1
\1/« '
(4)
\2 Пи ;
_ -п и(г)
■ , . вт— \т 2 и
При р — 2, равенство в (4) реализуется на функции /0(г) = гп еН2а. Из теоремы 1 вытекает следующее
Следствие 1. Для любой функции /(V) еН^а, 1 < р <2 при всех
Р->а
\/ г <q<2, г> 2 справедливо неравенство
Бир
2". /Г1'* •£„(/),
Г 7Т/п ]
/<(/Г.20гЛ
I
<
1 Г ^ + 1
1/(?
(5)
в котором верхнюю грань при р = 2 реализует функция /0 (г) = г” е .
Из соотношения (5) при ш = </ = 1, р — 2 следует результат работы [3].
2. Пусть Ф( /), / > 0 есть произвольная возрастающая непрерывная функция такая, что Ф(0) = 0. Используя Ф(У) в качестве мажоранты, определим для 0 < и < я / 2 следующий класс аналитических функций
та®)ф}=
" (и ч.1/д '
•/(2)еЯ«: кс/Г.г/),. 1 /2 1\ • 1 + (// -1)8111 — Ж < Ф(и)
и 2м
где ш, г е М, 1 / г < </ < 2, г > 1 и //е1, //>1 - произвольное фиксированное число.
Теорема 1 позволяет получить точную оценку наилучшего приближения класса () подпро-
странством полиномов 'Рп_] заданной размерности п :
(>С (ф). ) = ШЕ, (Л : / е >С > =
/ \
= 2~т-гГ-Ф — 1 / г <Ч <2, г> 1, (6)
где
Ц,пл
1
О
О
и
Верхнюю грань в равенстве (6) реализует функция
№) = 2~т -пг Ф
ґ \ Л
поскольку
^2 /лп у
Г \ Л
■3.
3. Под с!п(9Л,Н2), Ьп(9Л,Н2), с!"(9Л,Н2), Лп(ЭЛ,Н2), лп(9Л,Н2) понимаем соответственно колмогоровский, бернштейновский, гельфандовский, линейный и проекционный и -поперечники выпуклого центрально-симметричного компакта М в банаховом пространстве Н2 (см., например, [7,8,10,12]). Указанные п -поперечники монотонны по п и в гильбертовом пространстве И2 удовлетворяют соотношения [12,13]
Ь„(Ш,Н2) < ап(т,н2) < л„(т,н2) = л„( ш,х) = ппт,н2).
Обозначим
(этх), ={зіпх,если 0<х<л’/2; 1, если х>л/2}.
Теорема 2. Если с заданным /и>\ и при любых 0 < V < л 12,и — л!2/лп, т,й,геК, 1 /г <q <2, г> 1 мажоранта Ф(л) удовлетворяет ограничению
V / ^ \чт
ЛІ
эт-
о V
2 /ли
\ + {ц — 1) БШ
2\
ич ск\ <
<
эт-
лі 2/ли
х qm
ПІ
\ + {/Л — 1) БІП---------
2 и
11/е
сН
(7)
то справедливы равенства
&№г'(Ф,М),НЛ = 2-™-п-'-Ф
У 2 /лп у
■Л
м*п,д
(8)
Здесь 8п{-) любой из поперечников с/п(•), Ьп(•), б/"(-), Яи(-) или ^„(О-5 частности, при /и = \ из (8) следует, что
даїї(фд.?).дг =2
, Г = + 1
тд+1
1/д
■п~г+1'4 Ф —
где Г( р) - гамма-функция Эйлера.
о
-га
2
Анализируем теперь условие (7), полагая Ф(и) = иа, и выясним значения а — а{/7), для которых оно выполняется. С этой целью запишем неравенство (7) в эквивалентной форме
Паи.
2 ци
\ qm
! + (// — 1) віп
. ПІ
2у
СІІ
<
пі
ї вІП----------
ОІ 2 Vй
дт
1 + (//2 — 1) віп
пї 2 и
йі
\и)
(9)
Сделав замену переменной ? = уг в интеграле, стоящем в числителе, и / = ш в интеграле, стоящем в знаменателе неравенства (9), и положив V / и = X, приводим последнее неравенство к виду
вігі
птх
2ц
qm
А
1 + (//2 — 1) віп
ПТ
ёт
< хда 1, 0 < х < да,
ят
[ БІП---------
оЧ 2;/
(10)
ят
1 + {/и — 1) віп — ght]dт
где //>1, г, /77 є Гхї, \ / г <с/ < 2, г > 1. Обозначив интеграл, стоящий в числителе левой части неравенства (10) через (р„(х,^тц), и интеграл знаменателя через (р(р,іщ) запишем (10) в виде
(рХх,Ц,тд)-(р~1{рі,їщ)<хяа1, 0<х<оо. (11)
Теорема 3. Для того, чтобы неравенство (11) имело место с любым заданным /л>\, г,/иеМ, 1/ г <q<2, г> 1, необходимо и достаточно, чтобы число а = а(у[1) определялось по формуле
1 Ґ , \qrn-1
|*Л вІП — ■
в(/()=і+^.гі_^_
СОБ
2//
1 + (//2 — 1) віп
Ж
віп
о V
Ш
2//
! + (// — 1) БІП
. пі
(12)
сіі
Заметим, что из (12) при /и = 1 и // —> оо следует, что
Г (дт12) + \ у[п у , л ,1
= ^-------77^-------’ 1ипа(^) = уя + -,
Г (дт+ 1/2) д д
откуда при всех ц > 1 для числа гэг = «(//) получаем следующие границы значений
>/*■ Г (дтя/2) + 1 1
------------------<а(ц)< т + — .
д Г (дда + 1)/2 д
Поступило 12.01.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА 1. Бабенко К.И. - Изв.АН СССР, сер.матем, 1958, т. 22, №5, с.631-640.
о
и
0
ит
2
ит
2. Тихомиров В.М. - УМН, 1960, т. 15, №3, с.81-120.
3. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1977, т. 22, №2, с.285-295.
4. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. - Матем.заметки, 1986, т. 40, №3, с.341-351.
5. Айнуллоев Н. Геометрические вопросы теории функции и множеств. - Калинин, 1986, с.91-101.
6. Фарков Ю.А. - УМН, 1990, т. 45. №5, с.197-198.
7. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2002, т. 72, №5, с.665-669.
8. Vakarchuk.S.B. - Прац. Украшський математичний конгресс-2001. Теорiя наближень та гармошчний анатз, секщя 10. - Юев, 2002, с.45-55.
9. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - Матем. заметки, 2000, т. 68, №5, с.796-800.
10. Шабозов М.Ш., Юсупов Г. - ДАН России, 2002, т. 382, №6, с.747-749.
11. Шабозов М.Ш., Умеди Гулходжа. - ДАН России, 2005, т. 403, №5, с.610-613.
12. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory - Berlin: Springer-Verlag, 1985, 291 p.
13. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: Изд. МГУ, 1976, 304 с.
О.А.Ч,урахонов
НАЗДИККУНИИ БЕХ,ТАРИН ВА ЦИМАТИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ ФУНКСИЯ^ОИ ДАР ДАВРАИ ВО^ИДИ АНАЛИТИКИ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола нобаробарихои нави аник байни наздиккунии бехтарини функсияхои дар давраи вохидй аналитикй ба воситаи бисёрузвахои алгебравии комплексй ва кимати миёнаи модулхои бефосилагии тартиби олии киматхои канории хосилахо дар фазои Харди НРЛ < р < 2 ёфта шудаанд. Нобаробарихои ёфташударо истифода бурда, кимати аники
кутрхои синфи функсияхое, ки ба фазои Харди тааллук доранд ёфта шудаанд.
Калима^ои калиди: фазои Харди - наздиккунии беутарин - модули бефосилаги - характеристикаи экстремали - n -цутр^о - нобаробарии Минковский.
O.A.Jurakhonov
ON THE BEST APPROXIMATION AND VALUES OF n-WIDTHS OF SOME ANALYTICAL FUNCTIONS IN UNIT DISK
Tajik National University In this work was founded the new exact unequalities between the best analytical functions with algebraical complex polynomials in the unit disk and the average values of modulus continuity of high order, derivatives of boundary values in space of Hardy Hp ,1 < p <2. Using the founded unequalities were calculated the exact values of n-widths of some class of functions, belonging to the space of H2.
Key words: space Hardy - the best polynomial approximation - modulus of continuity - the extremal characteristic - n-width -Minkowski inequality.
