О мощностях слоев групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2017. Том 2

УДК 512.54

О МОЩНОСТЯХ СЛОЕВ ГРУПП

Д. К. Белов

Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79

E-mail: [email protected]

Исследованы функции мощности слоев для полных слойно конечных групп.

Ключевые слова: группа, слой, мощность слоя, порядок.

ON THE POWERS OF LAYERS OF GROUPS

D. K. Belov

Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: [email protected]

In this article we study the power functions of layers for complete layer-finite groups.

Keywords: group, layer, power of layer, order.

Ранее С. Н. Черниковым исследовались бесконечные слойно конечные группы, которые впервые появились в его работах сначала без названия, а затем в его последующих публикациях за ними закрепилось название слойно конечных групп. Мы будем исследовать мощности слоев в некоторых слойно конечных группах, где слоем называется множество всех элементов группы одного порядка.

Наиболее интенсивные исследования свойств слойно конечных групп проводили в 40-50-х годах С. Н. Черников, Р. Бэр, X. X. Мухаммеджан. К концу 50-х годов основные свойства были уже получены и опубликованы в различных журналах. В таком виде они оставались до 1980 г., когда появилась монография С. Н. Черникова [1]. Свойства слойно конечных и почти слойно конечных групп рассматриваются в работах [2-9].

Определение. Мощностью слоя называют количество элементов данного слоя. В качестве примера рассмотрим некоторые слойно конечные группы.

Найдем мощности слоев группы C „ , где p - простое число. В группе C „ один элемент

p p

порядка 1, p -1 элемент порядка p, p2 - p элементов порядка p2,...,pn - pn 1 элементов по-

n

рядка p ,...

График функции мощности слоев группы C „ представляет собой прямую с уравнением:

p

p -1

y = x-, x > p.

p

Найдем мощности слоев группы C гл х-хC гл . В этой группе один элемент порядка 1,

p__р

m

m i 2m m 2 mn m( n—1)

p -1 элемент порядка p, p - p элементов порядка p ,...,p - p K ' элементов порядка pn,...

Секция «Прикладная математика»

График функции мощности слоев группы С „ х---хС „ представляет собой кривую

р р

m

с уравнением:

mPm -1 У = ,x > P,

где m - число квазициклических групп в прямом разложении группы C х х • - х C х .

v p__р

m

Найдем мощности слоев группы C „ х C „ , где p < q . У этой группы на 1-слое один эле-

p q

мент, на pq -слое pq - p - q -1 элемент, на p2q -слое p2q - p2 - pq + p элементов, так как весь p2q -слой из группы C Хх C х содержится в циклической группе порядка p2q, чтобы посчитать

р J qJ

его мощность, надо убрать из этой группы элементы остальных порядков, то есть Р , pq, р,

1 2 22 22 2222 q, 1, на pq -слое pq - q - pq + q элементов, на p q -слое p q - p q - pq + pq элементов,

n n n n-1 n-1 n n n-1 n n-1

на p q -слое p q - p - p q + p элементов, на pq -слое pq - pq - q + q элементов,

на pnqn-1 -слое pnqn-1 - pnqn-2 - pn-1qn-1 + + pn-1qn-2 элементов, на pn-1qn -слое

pn-iqn - pn-iqn-1 - pn-2qn + ^^qn- элементов, на pnqn -слое pnqn - pnqn-1 - pn-1qn + pn~1qn~1 элементов.

График функции мощности слоев группы C „ х C „ представляет собой прямую с уравне-

p q

нием:

(p - 1)(q -1)

У = xIL-¿12-L, x > pq.

pq

В докладе представлены функции мощности слоев для произвольных слойно конечных групп.

Библиографические ссылки

1. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. М. : Наука, 1980.

384 с.

2. Сенашов В. И. Слойно конечные группы. Новосибирск : Наука, 1993. 158 с.

3. Черников С. Н. Бесконечные слойно конечные группы // Мат. сб. 1948. Т. 22, № 64. С. 101-133.

4. Сенашов В. И., Шунков В. П. Почти слойная конечность периодической части группы без инволюций // Дискретная математика. 2003. T. 15, № 3. C. 91-104.

5. Сенашов В. И. Группы с условием минимальности для не почти слойно конечных подгрупп // Украинский мат. журн. 1991. Т. 43, № 7-8. С. 1002-1008.

6. Сенашов В. И. Достаточные условия почти слойной конечности группы // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51, № 4. С. 472-485.

7. Сенашов В. И. О группах с сильно вложенной подгруппой, обладающей почти слойно конечной периодической частью // Укр. мат. журн. Т. 64, № 3. 2012. С. 384-391.

8. Сенашов В. И. Почти слойно конечные группы. LAP Lambert Academic Publishing, 2013.

106 с.

9. Сенашов В. И. Почти слойная конечность периодической группы без инволюций // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51, № 11. C. 1529-1533.

© Белов Д. К., 2017