Восстановление группы по нижнему слою Текст научной статьи по специальности «Математика»

Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2017. Том 2

УДК 512.54

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГРУППЫ ПО НИЖНЕМУ СЛОЮ

И. А. Паращук

Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: [email protected]

Приводятся результаты в классе слойно конечных групп о восстановлении по нижнему слою группы информации о ее верхних слоях.

Ключевые слова: группа, слойно конечная группа, нижний слой.

RESTORING THE GROUP BY THE BOTTOM LAYER

I. A. Parashchuk

Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: [email protected]

The report presents the results in the class of layer finite groups on the reconstruction of information about its upper layers by the lower layer of the group.

Keywords: group, layer finite group, bottom layer.

Определение. Группа называется слойно конечной, если она имеет конечное число элементов каждого порядка.

Это понятие впервые было введено С. Н. Черниковым в работе [1]. Оно появилось в связи с изучением бесконечных локально конечных p-групп в случае, когда центр группы имеет конечный индекс в ней. С. Н. Черников в 1948 году [2] описал строение произвольной группы, в которой бесконечно множество элементов каждого порядка, и в этой работе появился термин слойно конечных групп. Основной результат, описывающий строение слойно конечных групп был получен С. Н. Черниковым в 1948 г. в работе [2].

Слойно конечные группы и почти слойно конечные группы исследовали С. Н. Черников [1; 2], Р. Бэр [3], Х. Х. Мухамеджан [4], Я. Д. Половицкий [5], В. И. Сенашов [6-11].

В докладе приводятся результаты в классе слойно конечных групп о восстановлении по нижнему слою группы информации о ее верхних слоях. Слойно конечную группу не всегда можно однозначно восстановить по нижнему слою. В докладе будут представлены случаи, когда такое представление однозначно.

При доказательстве основных результатов доклада мы опираемся на следующие известные результаты:

Теорема Бэра [3]. Следующие свойства эквивалентны:

а) G - слойно конечная группа;

б) Z(G) - слойно конечен и G / Z(G) - периодическая группа, содержащая для каждого простого р только конечное число р-элементов;

в) существует подгруппа S в центре G такая, что S и G / S - слойно конечные группы.

Теорема 9.1.6. Полная группа является прямым слагаемым любой содержащей её абелевой

группы G. Полная абелева группа G разлагается в прямую сумму подгрупп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел или квазициклическим группам, быть может по простым числам.

Секция «Прикладная математика»

Теорема Шункова. Группа, обладающая только одной инволюцией, является либо локально циклической группой (циклической либо квазициклической), либо обобщенной группой кватернионов (конечной или бесконечной).

Теорема 12.5.2. Конечная р-группа, содержащая только одну подгруппу порядка р, является циклической или обобщенной группой кватернионов.

Дадим несколько определений:

Определение. Группа G называется абелевой, если все ее элементы перестановочны.

Определение. Группа G называется полной или делимой, если для всякого целого числа n > 0 и любого элемента g е G уравнение nx = g имеет в группе G хотя бы одно решение.

Определение. Центром Z(G) группы G называется |x е G|xg = gx,Vg е Gj, т. е. перестановочен с каждым элементом из g .

Определение. Порядком элемента a группы G называют наименьшее целое число m > 0, такое что am = e .

Библиографические ссылки

1. Черников С. Н. К теории бесконечных специальных р-групп // Докл. АН СССР. 1945. Т. 50. С. 71-74.

2. Черников С. Н. О специальных р-группах // Мат. сб. 1950. Т. 27 (69). С. 185-200.

3. Baer R. Finiteness properties of groups // Duke Math. J. 1948. Vol. 15. P. 1021-1032.

4. Мухаммеджан Х. Х. О группах с возрастающим центральным рядом // Мат. сб. 1951. Т. 28 (70). С. 201-218.

5. Половицкий Я. Д. Слойно экстремальные группы // Докл. АН СССР. 1960. Т. 134, № 3. С. 533-535.

6. Сенашов В. И. Взаимоотношения почти слойно конечных групп с близкими классами // Вестник СибГАУ. 2014. № 1. С. 76-79.

7. Сенашов В. И. Почти слойная конечность периодической группы без инволюций // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51, № 11. C. 1529-1533.

8. Сенашов В. И. О группах с сильно вложенной подгруппой, обладающей почти слойно конечной периодической частью // Украин. мат. журн. 2012. Т. 64 (3). С. 384-391.

9. Сенашов В. И. Почти слойная конечность периодической группы без инволюций // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51, № 11. C. 1529-1533.

10. Сенашов В. И. О группах Шункова с сильно вложенной почти слойно конечной подгруппой // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16 (3). С. 234-239.

11. Сенашов В. И. Характеризация слойно конечных групп // Алгебра и логика. 1989. Т. 28, № 6. С. 687-704.

© Паращук И. А., 2017