CC BY
7
УДК 512.54
СРАВНЕНИЕ СВОЙСТВ СЛОЙНО КОНЕЧНЫХ И ПОЧТИ СЛОЙНО КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Д. С. Ершова1, В. И. Сенашов2
1Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: [email protected] 2Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]
Работа посвящена изучению взаимоотношений классов групп с условиями конечности. Условия конечности накладываются на количество элементов данного порядка в группе, на порядки ее элементов, на мощность классов сопряженных элементов. В работе приводятся примеры групп, разделяющие класс почти слойно конечных групп и близкие к нему классы групп: слойно конечные группы, периодические группы, черниковские группы, локально нормальные группы и группы с конечными классами сопряженных элементов. Устанавливаются свойства взаимоотношений рассматриваемых классов групп. В частности, доказывается совпадение классов почти слойно конечных групп и черниковских групп в классе примарных групп. Результаты статьи найдут применение при изучении бесконечных групп с условиями конечности.
Ключевые слова: группа, слойно конечный радикал, инволюция, слойная конечность.
COMPARISON OF THE PROPERTIES OF LAYER FINITE AND ALMOST
LAYER FINITE GROUPS
D. S. Ershovai, V. I. Senashov2
1Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: [email protected] 2Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Academgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]
This paper is devoted to the study of the relationships between classes of groups with finiteness conditions. Finiteness conditions superimpose limitations on a number of elements of a certain order in a group, on the order of its elements and on the cardinality of conjugate classes. The paper provides examples of groups that share class of almost layer-finite groups and those close to that class of groups: layer-finite groups, periodic groups, Chernikov's groups, locally normal groups and the groups with the finite classes of conjugate elements. We establish the properties of the relationships of the considered classes of groups. In particular, we prove the coincidence of the classes of almost layer-finite groups and Chernikov's groups in the class of primary groups. Our results will be used in the study of infinite groups with finiteness conditions.
Keywords: group, layer-finite radical, involution, layer-finiteness.
Работа посвящена изучению двух близких по определению классов групп: слойно конечных и почти слойно конечных. На самом деле, это кажущаяся близость: пропасть, разделяющая эти классы включает в себя бесконечное множество групп.
Секция «Прикладная математика»
В середине прошлого века понятие слойно конечной группы зародилось в школе С. Н. Черникова.
Определение. Группа называется слойно конечной, если она имеет конечное число элементов каждого порядка.
Это понятие впервые было введено С. Н. Черниковым в работе [1]. Оно появилось в связи с изучением бесконечных локально конечных р-групп в случае, когда центр группы имеет конечный индекс в ней. С. Н. Черников в 1948 году [2] описал строение произвольной группы, в которой бесконечно множество элементов каждого порядка, и в этой работе появился термин слойно конечных групп.
Новый класс групп стал интенсивно исследоваться в работах С. Н. Черникова, Р. Бэра, Х. Х. Мухамеджана, Я. Д. Половицкого. Основной результат, описывающий строение слойно конечных групп был получен С. Н. Черниковым в 1948 г. в работе [2]. В нем говорится, что группа тогда и только тогда слойно конечна, когда ее можно представить в виде произведения двух поэлементно перестановочных подгрупп, из которых первая является слойно конечной полной абелевой группой, а вторая - слойно конечной группой с конечными силовскими подгруппами.
Как указал С. Н. Черников в математической энциклопедии, слойно конечные группы оказались наиболее изученными среди групп с конечными классами сопряженных элементов. В почти слойно конечных группах классы сопряженных элементов не обязаны быть конечными.
Определение. Почти слойно конечная группа - это группа, являющаяся расширением слой-но конечной группы при помощи конечной группы.
Результаты по слойно конечным и почти слойно конечным группам можно найти в работах [3-16].
Почти слойно конечные группы представляют собой существенно более широкий класс групп, чем слойно конечные группы, в него, в частности, входят все черниковские группы. Чер-никовские группы не обязательно являются слойно конечными.
Напомним, что группа называется черниковской, если она либо конечна, либо является конечным расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп.
В докладе проанализированы результаты для слойно конечных и почти слойно конечных групп. Найдены результаты по слойно конечным группам для которых есть аналоги в классе почти слойно конечных групп. Для некоторых результатов не имеющих аналогов в почти слойно конечных группах доказаны соответствующие результаты. Доказаны новые свойства слойно конечных групп аналогичные результатам по почти слойно конечным группам.
Библиографические ссылки
1. Черников С. Н. К теории бесконечных специальных р-групп // Докл. АН СССР. 1945. Т. 50. С. 71-74.
2. Черников С. Н. О специальных р-группах // Мат. сб. 1950. Т. 27(69). С. 185-200.
3. Черников С. Н. О группах с конечными классами сопряженных элементов // Докл. АН СССР. 1957. Т. 114. С. 1177-1179.
4. Черников С. Н. О слойно конечных группах // Мат. сб. 1958. Т. 45(87). С. 415-416.
5. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. М.: Наука, 1980. 384 с.
6. Baer R. Finiteness properties of groups // Duke Math. J. 1948. Vol. 15. P. 1021-1032.
7. Мухаммеджан Х. Х. О группах с возрастающим центральным рядом // Мат. сб. 1951. Т. 28 (70), С. 201-218.
8. Половицкий Я. Д. Слойно экстремальные группы // Докл. АН СССР. 1960. Т. 134, № 3. С. 533-535.
9. Сенашов В. И. Слойно конечные группы. Новосибирск : Наука, 1993. 158 с.
10. Сенашов В. И. Взаимоотношения почти слойно конечных групп с близкими классами // Вестник СибГАУ. 2014. № 1. С. 76-79.
11. Сенашов В. И. Почти слойно конечные группы. LAP Lambert Academic Publishing, 2013. 106 с.
12. Сенашов В. И. Почти слойная конечность периодической группы без инволюций // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51, № 11. С. 1529-1533.
13. Сенашов В. И. О группах с сильно вложенной подгруппой, обладающей почти слойно конечной периодической частью // Укр. мат. журн. 2012. Т. 64 (3). С. 384-391.
14. Сенашов В. И. Почти слойная конечность периодической группы без инволюций // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51, № 11. С. 1529-1533.
15. Сенашов В. И. О группах Шункова с сильно вложенной почти слойно конечной подгруппой // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16 (3). С. 234-239.
16. Сенашов В. И. Характеризация слойно конечных групп // Алгебра и логика. 1989. Т. 28, № 6. С. 687-704.
© Ершова Д. С., Сенашов В. И., 2017
