О мифах, связанных с некоторыми математическими понятиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

[2, с. 450]. В этой заметке предлагается более удобная схема построения кривой х = х(к), У = у (к) без предварительного вычерчивания графиков функций х = х(к),у = у (к). Схема изложена на примере

1 1

х = ^^2, У

к - к2 У к - к3

1. Найдена область изменения параметра к (пересечение областей определения функций х(к) и у (к).

2. Найдены интервалы монотонности абсциссы х = х(к), у = у (к).

3. Исследовано поведение абсциссы и ординаты на границах их интервалов монотонности.

4. Найдены асимптоты.

5. Определены интервалы выпуклости кривой.

6. Результаты исследования сведены в таблицу.

7. Построена кривая.

8. Полученную кривую для контроля сравниваем с изображением, полученным с помощью Мар1е 9.5, изображения совпадают.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. М.: Высшая школа, 1970. 590 е.

2. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу (предел, непрерывность, дифференцируемость). М.: Наука, 1984. 592 с.

Абдрахматов Валий Габдрауфович Уфимский государственный авиационный технический ун-т Россия, Уфа e-mail: [email protected]

Рыкова Юлия Маратовна Уфимский государственный авиационный технический ун-т Россия, Уфа e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 8 мая 2007 г.

О МИФАХ, СВЯЗАННЫХ С НЕКОТОРЫМИ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ПОНЯТИЯМИ

© В. Г. Абдрахманов, Ю. Н. Смолин

Многолетний опыт преподавания математики в вузе показывает, что некоторые понятия, в частности математической индукции, определителя квадратной матрицы и другие, обрастают многочисленными мифами. От частого употребления того или иного понятия

мы перестаем вдумываться в него, глаз постепенно «замыливается», возникают неточности, которые постепенно становятся привычными, в конечном итоге подменяя собой это понятие. Так, в некоторых книгах читаем: «принцип наименьшего элемента равносилен аксиоме математической индукции» [1, с. 43], «определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю» [2, с. 41] (хотя определитель — это число и потому не имеет строк) и так далее. Конечно, все это отнюдь не способствует усвоению студентами излагаемого материала.

Приведем некоторые рекомендации по преодолению указанных мифов.

1. Утверждение о равносильности принципа наименьшего элемента и аксиомы математической индукции, по-видимому, возникло из теоремы о существовании натурального числа р — 1, предшествующего данному (см. [1, с. 43]), хотя она сама доказывается на основе аксиомы математической индукции. Любопытно, что это утверждение попало в Госстандарт по «Числовым системам» [3].

На самом деле принцип наименьшего элемента эквивалентен принципу полной (возвратной) индукции.

2. Некорректное обращение с терминологией в разделе «Матрицы и определители» обусловлено стремлением преподавателя лаконично изложить материал. Что касается свойств определителей, то здесь изложение можно без труда сделать и лаконичным и в то же время корректным. Например, можно сказать «Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю» или «Разложение определителя матрицы по ее первой строке» и тому подобное. Иначе обстоит дело, когда мы переходим к понятию ранга матрицы. Здесь объективно возникают сложности при попытке лаконичного и одновременно корректного изложения материала. Например, выражение «базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы» пришлось бы сформулировать как «подматрица, определителем которой является базисный минор, находится в левом верхнем углу матрицы» (согласитесь, что такую формулировку лаконичной не назовешь). Как видим, неудобства формулировок связаны с понятием минора матрицы.

Нам представляется, что эту ситуацию можно радикально изменить, отказавшись от самого понятия минора матрицы, тем более что студенты путают понятия минора элемента и минора матрицы. Вместо этого можно пользоваться известным понятием подматрицы (или субматрицы). При этом ранг матрицы следует понимать как наивысший порядок ее невырожденных (квадратных) подматриц. Разумеется, теорема о базисном миноре теперь должна называться теоремой о базисной подматрице.

Заметим, что такой подход позволяет корректно и кратко изложить и другие вопросы (элементарные преобразования матриц, теорему Кронекера-Капелли и так далее). Правда, понятие минора матрицы используется в теореме Лапласа, но без нее можно обойтись, поскольку в курсе алгебры она нужна только для доказательства утверждения об определителе произведения матриц. Последнее же можно доказать (причем более доступно) с помощью элементарных матриц [4, с. 236].

3. Чаще всего в книгах по линейной алгебре элементарными преобразованиями матрицы называются три:

умножение строки на отличное от нуля число,

прибавление к строке другой строки,

перестановка строк (то же для столбцов).

Однако элементарными (то есть простейшими,) преобразованиями достаточно назвать первые два, так как все нужные преобразования получаются их последовательным применением:

прибавление к г—й строке к—й строки, умноженной на число Л = 0 (иногда это действие также считают элементарным преобразованием), есть результат умножения к—й строки на

Л, прибавления ее к і—й строке и умножения к—й строки на .

перестановка і—й и к—й строк есть результат прибавления к і—й строке к—й, умноженной на —1, прибавления получившейся строки к к—й строке, прибавления к новой і—й строке новой к—й строки, умноженной на —1, умножение получившейся і—й строки на —1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ, 1963.

3. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Государствен-

ные требования к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника педвуза по специальности «математика с дополнительной специализацией информатика». М., 2000.

4. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.

Абдрахманов Валий Габдрауфович Уфимский государственный авиационный технический ун-т Россия, Уфа e-mail: [email protected]

Смолин Юрий Николаевич Магнитогорский государственный ун-т Россия, Магнитогорск e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.

ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРЫ 3 РОДА

С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

© В. Г. Абдрахманов, Ю. Н. Смолин

По-видимому, интегральные уравнения 3 рода Фредгольма первым изучал Е. Пикар в своей работе «Sur les equations integrales de troisieme espece», опубликованной в 1910 году. Дальнейшие результаты по этой тематике для вольтерровских уравнений были получены немногими авторами [1,2]. Мы применили методику первого из них для рассмотрения интегральных уравнений Вольтерры 3 рода с запаздыванием.

Введем банахово пространство функций ф : [0,5] ^ R :

= {ф : V(i\t) = t1-iUi(t),i = 0,1,..., k},

где Ui — измеримые и ограниченные в существенном на [0,5] функции,

НфН = max\\Ui(t)\\bx. i