CC BY
100
303(3)
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2000
УДК 512.64
А.М.СУХОТИН
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ
В статье геометрическими методами найдены оценки рангов суммы и произведений линейных операторов, из которых получены, в частности, известные неравенства Сильвестра и Фробениуса (разд. 2). Перестановочность матриц в произведении рассмотрена в разд. 3. В разд. 4 сформулировано и доказано обобщение теоремы Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений на матричные уравнения. Разд. 1 содержит новые формулировку и доказательство теоремы о базисном миноре матрицы.
1. Базисной подматрицей матрицы А = (а'/) называют всякую г х г-матрицу, составленную из
строк (столбцов) некоторого её базисного минора. Ниже символом (п, к) = (А) обозначаем размер (А) матрицы А, имеющей п строк и к столбцов ((п, к) -матрицы А).
Теорема 1.1 (О базисном миноре). Для всякой (п, к) -матрицы А = (а'у) ранга г существует
/
эквивалентная ей клеточная матрица Н =
V
частности, единичная (г, г) -матрица, а Н\, Н\ , Н\ суть нулевые матрицы соответствующих размеров (см. [1, стр. 71]).
Доказательством теоремы является алгоритм в четыре шага элементарных преобразований матрицы А в матрицу //(см. [1, стр. 39-41, 139-142], [8, стр. 50], ср. [3, стр. 29-33]).
1-й шаг. Заменяем подматрицу Л | матрицы А базисной подматрицей В\; А&В. (Если
с!еЫ1*0,то А = В.)
2-й шаг. Заменой в матрице В строк по формулам
2.1) если Щ* 0,то 1Ч=ЬЧ,& ели Щ = 0,то V = Ьч+к ,к = тах{5: Ь$£ * 0},
Н\ яП
Н\ Hi)
, где Н\ - диагональная невырожденная, в
К
1
2.2) Lp* =LP"-L4-!-, q = \,r, pq=q + \,n, Ья
преобразуем подматрицу В] в верхнетреугольную подматрицу С/; а подматрицу В\ - в нулевую
подматрицу С 2. В « С =>А « С.
3-й шаг. Заменой в матрице С строк по формулам
с!'Г4
lr-P4=Lr-p4_Lr-4^ 0 = 0,1-2, p4=q + l,r-1, с
преобразуем подматрицу С J в диагональную подматрицу F1. F » С =>А « F .
4-й шаг. Заменой в матрице F столбцов по формулам
Г . — _
fp„ = fP4 ~ F4 -¡^>1 = = r + \Jc
Jq
преобразуем подматрицу F { в нулевую подматрицу
Подматрица Н\ матрицы H является нулевой матрицей, иначе бы rank H и, следовательно, ранг матрицы А были бы больше г.
Замечание 1.1. Если базисная подматрица матрицы А неизвестна или неизвестен ранг матрицы А, то шаги 1 и 2 включаем в цикл по индексу q.
Матрицу Я называют приведённой (канонической (см. [1, стр. 77]), если подматрица Н\ будет единичной) матрицей матрицы А или её приведённой (соответственно, канонической) формой. Приведённую матрицу Я матрицы А будем обозначать символом "А.
Следствие 1.1 Теоремы 1.1. Небазисные ряды (столбцы и строки) матрицы А являются линейными комбинациями соответственных рядов базисной подматрицы матрицы А (в приведённой форме А эти линейные комбинации являются тривиальными).
Следствие 1.2 Теоремы 1.1. Для каждой квадратной матрицы А справедливо равенство: ёе^^^аеК А) ■ (-1)°, где ст - количество транспозиций в алгоритме доказательства Теоремы 1.1.
В терминах разд. 1 содержание метода Гаусса решения системы линейных уравнений (СЛУ) имеет следующую формулировку: приведение матрицы А расширенной матрицы {А\ВЩ) СЛУ к канонической её форме. При этом матрица СЛУ переходит в эквивалентную ей матрицу
( цщ=
Е\Н\ В\ ~ \ S| 1
Hl Вг s2J'
(1.1)
где Е - единичная (г, г) -матрица, а Н\ и Н\ являются нуль-матрицами, если они существуют. Если столбец В2 * (0), то СЛУ не совместна. При В2 = (0) число d = k-r , то есть число столбцов
подматрицы Н\, равное числу свободных переменных в СЛУ, определяет размерность пространства решений СЛУ. Элементы контрольного столбца Б равны суммам элементов соответствующей строки матрицы (А\В) .
Замечание 1.2. Линейными операциями только над строками расширенной матрицы (A\B\L) СЛУ эта матрица приводится лишь к виду
GE S,
0 В2 z2
(1.2)
где матрица GE =
\Gq
°l G '
и сумма r = r\+t<2+ —Y гц порядков единичных матриц
0
ч
Ers определяет ранг матрицы А, а число d, равное сумме столбцов матриц Gb..., Gq+\, то есть числу свободных переменных в СЛУ, определяет размерность пространства решений СЛУ. Из представления расширенной матрицы (A\B\L) СЛУ в виде (1.1) или (1.2) очевидно не только утверждение теоремы Кронекера - Капелли об условии совместности СЛУ, но и приведённое выше заключение о размерности пространства решений СЛУ.
При r-n-k (А\В)& (е\в), и единственное решение СЛУ имеет вид Х= В.
Отметим, что матричная запись СЛУ представляет собою частный случай двучленного матричного уравнения
АХ = В, (1.3)
в котором (Х) = (В) = (п, 1). Оценка ранга возможного матричного решения X для более общего двучленного матричного уравнения [1, стр. 73]
АХВ = С, (1.3')
где (А) = (т,п), {Х) = (п, р), (B) = (p,q) и, следовательно, (C)=(m,q), дана в [1] (см. там же формулу (44) и далее) в следующий форме:
rankC < rankX < rankC + п + р - гапЫ - rank5 . (1.4)
В [3, стр. 29-33, теор. 3.1.1] показано, что для каждой (п, к)-матрицы А существуют две невырожденные ортогональные матрицы: (п,п) -матрица Q и {к, к)-матрица Р, такие, что QAP 4 = *А или, что то же самое,
A = Q-\'A)P. (1.5)
Доказательство Теоремы 3.1.1 в [3] состоит из представления соответствующих преобразований Q и Р цепочками подходящих двумерных вращений, а Теорема 3.1.1 называется «теоремой об ортогональном конгруэнтном приведении прямоугольной матрицы ранга г к блочному виду с невырожденной квадратной г х r-клеткой и остальными нулевыми блоками».
Матрицы А и В называются подобными, если существует невырожденная матрица Т, такая, что В = ТАТ~\ множество матриц СА= {ТАТ~\ VT, det 7V 0} называется [5, стр. 29] классом сопряжённости матрицы А.
Замечание 1.3. Добавление к прямоугольной матрице нулевых столбцов (строк) не меняет ранга матрицы. Не нарушая общности рассуждений, ниже мы будем рассматривать только квадратные матрицы и определяемые ими (в конкретном базисе) линейные операторы в R„.
2. В этом разд. и ниже мы считаем рассматриваемые операторы в R„ по умолчанию линейными. Ранг произведения двух операторов в R„ определяет точно
Теорема 2.1. Ранг г оператора С=ВА определяется следующим равенством:
г = rank ВА = rank A-d (KI(B,A)), (2.1)
где d= d(KI(B,A)) обозначает размерность пересечения кег ВС\\тА ядра оператора В и образа оператора А соответственно.
Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть действие оператора В на R„ как на линейной оболочке образа 1ш А оператора А и его дополнения в Rn.
Так как d > 0, то из (2.1) следует, что г < rank А и rank ВА = rank А при d = 0. A rank В А = rank В лишь при следующем условии: Rn = (\тА, кегВ). Обозначим символом В(Е) значение оператора В на подпространстве Е. Из условия В( Im А ) с В( Rn ) мы получим оценку: г < rank В. Поэтому rankBA < min{ гапкЛ, rank В } (см. [1, стр. 22]).
Аналогично, используя условие (2.1), мы получаем равенство
rank СБА = rank A-d (KI(B,A)) - d (KI(C, ВА)), (2.2)
дающее точную оценку ранга произведения трёх операторов А, В и С (ср. оценку (1.4) ранга решения матричного уравнения (1.3')).
Из равенств (2.1) и (2.2) мы получаем для произвольных линейных операторов в Rn три следующие утверждения как следствия и обобщение соответственно:
Утверждение 2.1. d(KI(CB, A))=d(KI(B,A)) + d (KI(C,BA)).
Утверждение 2.2. Для любых операторов АиВ справедлива следующая оценка их рангов:
гапЫ<гапк£ + с/(£/(Я,Л)). (2.3)
Утверждение 2.3. Ранг произведения SR...CBA операторов А, В, ..., R, S определяется следующим равенством:
rank SR СБА = rank A-d (KI(B,A)) - d (KI(CBA))-----d (KI(S, R-A)).
Для другого доказательства (2.3) достаточно представить образ Im А подпространством линейной оболочкой ядра кег В оператора В и его дополнения в Rn, рассмотрев при этом все возможные случаи: 1) Im А с кег В, 2) Im А пкег В = 0 и 3) К1(В,А) с Im А.
Как следствие, из (2.1) с учётом очевидного неравенства d(KI(B,A))< п - rank5 мы получаем ещё одно утверждение (неравенство Сильвестра [1, стр. 73]):
rankB + rank А-п < rankBA < min{rank/l,rankB}. (2.4)
Из равенств (2.1), (2.2) и условия d(KK(C,BA))> 0 получим как следствие и известное (см. [11, стр. 25]) неравенство Фробениуса:
rank + rank ВС < rank В +rankABC. (2.5)
Действительно, из (2.1) и (2.2) получаем два условия:
rank АВ + rank ВС = rank В + rank С -d (К1{А, В)) - d (К1(В, С)), rankfi + rank ABC =rank5 + rankC -d(Kl(B,C))-d(Kl(A,BC)), сравнение правых частей которых с учётом очевидного для любых операторов А, В я С неравенства d(KI(A,BC)) <d(KI(A,B)) даёт доказываемое.
Для произвольных операторов А и В мы получаем из Теоремы 2.1 как следствие равенство (ср. [4, стр. 116, упр. 8])
rank АВ = rank A +rankВ + d(KK(B, А))-п- d(KIK(B,B,A)), (2.6)
где п = dim Rn, число d(KIK(B,BA)) есть размерность пересечения подпространств кег В, Im В и кег A, a d(KK(B,A)) - размерность пересечения ядер кег А и кег В.
Аналогичным образом точная оценка ранга произведения ABC трёх операторов А, В и С получается из (2.2) ещё и в виде следующего ниже равенства (ср. [4, стр. 116, упр. 9]):
rankCBA = rankA+rankB+rankC+d(KK(B,A))+d(KK(C,BA))-2n. (2.5')
Тривиальную оценку |rank Л - rank < гапк(Л +В) < min{«, rank А + rank 5} ранга суммы А +В линейных операторов А и В в Rn можно улучшить аналогично следующим образом (ср. [4, стр. 116, упр. 7]).
Теорема 2.2. Ранги операторов А, В иА+В, действующих в R„, связаны условиями | rank А - rank В\ < d{KI{B,A)) + d(KI(A, В)) + rank А + rank В -- d(KI(B,A)n Im В) - d(KI(A,B)nImA)~ d(L(A) n Im B) - d(L(B) n Im A), гапк(Л +B) < rank A + rank В - d(Im A n Im B) < n, где L(A) и L(B) суть линейные оболочки подпространств Im A, ker Л и Im В, ker В соответственно, a d{E) означает, как и выше, размерность подпространства Е.
В доказательстве Теоремы 2.3 использованы, в частности, неравенство (2.3) и очевидные неравенства 0 < rank А - d(L(B) г» Im А) и 0 < rank В - d(L(A) n Im В).
Преобразование Т(А)=НАН~Х матрицы А линейного оператора Л при замене е = еН базиса е в Rn не является самым общим преобразованием матрицы (ср. с доказательством Теоремы 1.1 или с равенством (1.5)). Поэтому линейный оператор А называется оператором простой структуры (как в [1]) или диагонализуемым (как в [11]), или полупростым (см. [5, стр. 29]), если матрица А этого оператора имеет в некотором базисе диагональную форму: А ~ D. В условиях Теоремы 3.1.1 из [3] для матрицы диагонализуемого оператора матрицы Q и Р должны (с учётом Замечания 1.3) совпадать. Матрицу Я, диагонализующую матрицу А оператора А, мы называем диагонализующей матрицей для оператора А (для матрицы А). В [1, стр. 80] матрица Я называется фундаментальной для А, в [3, стр. 62] - трансформирующей для А.
Очевидно, что для диагональных матриц D иD (detD* 0) справедливо равенство DDD~] =D. Если матрица D является матрицей перестановок, то есть каждые её строка и столбец содержат по одному ненулевому элементу d = 1, или мономиальной (d^ 0), то матрица DDD~X отличается от матрицы D лишь порядком диагональных элементов. Поэтому приведённая матрица для матрицы А находится с точностью до порядка её диагональных элементов, а диагонализующая матрица для неё определяется с точностью до умножения на матрицу перестановок и обратную для неё слева и справа соответственно. Базис R„, в котором матрица диагонализуемого оператора имеет диагональную форму, назовём собственным для оператора А базисом. Пусть, например, у некоторого
fa Ь\ _ 1 i , аЪ * 0, будет
V2Ь 2а J
диагонализующей для матрицы А. При а2 -2 и Ъ2 - 0,25 собственный базис для оператора А бу-
[+5
дет ортонормированным и "А =НАН ] = , где 5 = 0,125 л/2 (q + 8р).
Очевидно, что образ Im А диагонализуемого оператора А и его ядро ker Л пересекаются по ноль-вектору (см. [2, стр. 117]), из чего следует, что образ Im А диагонализуемого оператора/! в Rn является подмножеством прообраза 1т~'(Л), а одномерные инвариантные подпространства этого оператора определяются собственными векторами еч, q = l, г, г = rank А, входящими в собственный базис (точнее сказать, нетривиальной линейной комбинацией собственных векторов, соответствующих данному собственному значению оператора А [1, стр. 79]. Поэтому линейный оператор диагонализуем, если его собственные значения различны. Однако это условие не является необходимым. Тривиальный пример даёт тождественный оператор. Необходимое и достаточное условие диагонализуемости оператора А имеет несколько эквивалентных форм: 1) оператор А имеет п линейно независимых собственных векторов [1, стр. 80], 2) геометрическая кратность ка-
(0 р
оператора А матрица А{р, q) = , тогда ортогональная матрица Я =
ждого собственного значения А., оператора А совпадает с его алгебраической кратностью [6, стр. 58], 3) жорданова матрица оператора/! диагональна [1, стр. 144], 4) все элементарные делители матрицы оператора^ линейны [1, стр. 144], 5) инвариантные множители матрицы этого оператора имеют лишь простые корни [2, стр. 238].
Вектор х называется присоединённым вектором первого порядка оператора А, соответствующим собственному значению X, если вектор у = (А-ХЕ)х является собственным вектором оператора А. Введём для оператора А более общее, чем диагонализуемость, понятие (ср. [8, стр. 83], см. [2, стр. 213-214], [7, стр. 243-244]):
Определение 2.1. Линейный оператор А назовём приводимым, если его ядро кег А и образ Im А пересекаются по ноль-вектору.
Очевидно, что образ Im А приводимого оператора Л и его ядро ken4 в R„ взаимно дополнительны, а диагонализуемый оператор А является приводимым. Линейный оператор А приводим (см. [2, стр. 215]) тогда и только тогда, когда этот оператор не имеет присоединённых векторов первого порядка, соответствующих нулевому собственному значению. Также очевидно, что для оператора А понятия приводимости и диагонализуемости тождественны лишь тогда, когда rank А < 1.
Жорданову матрицу J А оператора/! можно представить (см.[1, стр. 143], [5, стр. 29]) суммой двух матриц: J A=J(EA) + J(H А), где J(EA) - прямая сумма соответствующих одноблочных скалярных А,а-матриц (равенство Я.а = в общем случае не исключено), а матрица J(HA) - квазидиагональная матрица, у которой размеры каждого блока Н-Ка соответствуют размерам ^-подматрицы матрицы J(Ea) и каждый блок содержит ненулевые элементы (единицы) лишь в первой над-диагонали. Поэтому жорданова клетка приводимого оператора, соответствующая его нулевому собственному значению , является нулевой подматрицей, а недиагонализуемый оператор А может быть неприводимым лишь тогда, когда число ноль является собственным значением этого оператора
кратности а >2. Например, матрица А(р, q) =
/Р9Л 00
, где pq Ф 0, диагонализуема, так как X = 0 явля-
ется собственным значением матрица А(р, д) кратности с = 1. Действительно, 1т А = ((1, 0) кег А = у(-р, q)~x и 1т А г\ кег А = 0. Менее очевиден следующий
'ИГ
-i
Пример 2.1. Пусть матрица А оператора А в базисе (е) имеет вид
V
111 111
, тогда А.1,2 = 0 (ст0 = 2),
Л-з = 3, 1тА= Г(1, 1, 1) ker А = v(l, 0,-1) 1 + м( 0, 1,-1) Легко видеть, что Im А и кег А пересекаются по ноль-вектору, то есть оператор А приводим и, так как rank А = 1, он и диагонализуем.
'0 0 0^
Действительно, матрица А подобна диагональной: JA:
ч
000 003
у
для матрицы А (диагонализующая) матрица Т =
\
-а -Ъ с а-с Ь-с с ■с с с
Отметим ещё, что преобразующая
при всех значениях а, Ь, с удовле-
творяет (см. [1, стр. 149] уравнению AT- TJA = 0.
Для приводимого оператора А мы получаем из (2.6), как следствие, равенство
rank В А = rank А + rank B + d (КК(В, А))-п .
Ядро ker ВА оператора ВА равно линейной оболочке IitT1 А(К1(В,А)) и kerА, а образ Im ВА определяется подпространством В(1тЛ). Поэтому из равенства (2.1) и определения приводимости оператора следует
Теорема 2.3. Произведение ВА операторов А и В приводимо тогда и только тогда, когда выполняется равенство
(ker/1, lm~] А (К1(В,А))) nB(lm А) = 0. (2.7)
Из равенства (2.7) следует, что условие неприводимости оператора ВА имеет следующую форму:
Эа*0:ае В{\.тА) и а е кег Л или ЛаекегЯ. (2.71)
Если оператор В приводим или, в частности, является невырожденным оператором, то в силу (2.7') оператор ВА есть приводимый оператор тогда и только тогда, когда ker А г\В{\тА) = 0 . Отметим еще, что приводимость оператора В А не зависит от приводимости оператора Л. Если же оператор А не вырожден (ker А = 0), то ker ВА = ker В и, следовательно, приводимость оператора В А определяется приводимостью оператора В.
Полагая в равенствах (2.1) или (2.6) А = В, получаем следующие оценки.
Утверждение 2.3. Для произвольного оператора А
rank/L4 = rank А - d(KI{A,A)) < rank А, то есть для приводимого оператора A rank АА = rank А, если же оператор В неприводим, то ранг оператора ВВ удовлетворяет условию
rank ВВ = rank В - d(lK(B,B)) < rank В.
В справедливости первой части Утверждения 2.3 можно убедиться и непосредственно из представления Rn линейной оболочкой ker А и Im А: А{ Rn) = А(ker А Ф А{ R„)).
Вторую часть Утверждения 3 иллюстрирует при п = 2 в базисе е = (е\е2) оператор В, у которого n fon foo^ ,00,
го Im В = ker В = х в\:
00
00
3. Структура матрицы X, перестановочной с матрицей А, то есть решение матричного уравнения АХ = ХА, описана в [1, стр. 190-194]. Количество линейно независимых матриц, перестановочных с матрицей А, определяется (см. [1, стр. 193]) числом И=пх +3п2 +--- + (2?-1)«г, где п= щ+п2+—ни/ и и, суть степени инвариантных многочленов г5(л) матрицы А. Поэтому при
/ = 1 N = п. Очевидно, что число N равно количеству произвольных элементов матрицы X: N <п , при этом точное равенство имеет место лишь в тривиальном случае (см. [12, стр. 19-20]), когда А = <зЕ - скалярная матрица, в частности нулевая или единичная. Необходимое и достаточное условие коммутативности АВ = ВА произведения АВ матрицы А и заданной матрицы В в координатной форме а*Ъ[ - Ъ\а[ (см. [1, стр. 191]) содержит и2 линейных относительно а; уравнений с определителем Д = 15- ¿/'|, тождественно равным нулю.
Необходимое условие (слабое) перестановочности матриц в произведении АВ получается, как следствие, из Теоремы 2.1 в следующем виде:
АВ = ВА => тпкА-d(KI{В,А)) = гапкB-d{KI{A,B)).
Так как кег АВ = кег5 + 1т"1 В ( К1(А, В)), где 1т"' В (Е) обозначает прообраз подпространства Е оператора В, и так же для оператора
ВА кегЯЛ =(кегЛ ,\т~х А(К1(<В,А))\ то в силу
АВ = ВА => ( кег АВ = кег ВА ) =>
АВ = ВА (кег В, 1пГ' В (К1(А, В))) = ( кег А ,1т"1 А( К1(В, А))). (3.1)
Пусть Як = 1т ВА = 1т АВ = АВ{ Яп ). Для оператора В В{Як) с, Як, ибо В(Як) = В(АВ( Я„ )) = = ВА(В( Яп)) с ВА( Яп ) = Як . Аналогично А( Як) с Як. Так как Як с 1т А и Як с 1т В, то Як с 1т А п 1т В. Очевидно, что для приводимых (в частности, диагонализуемых) операторов А и В при АВ = ВА справедливо точное равенство:
Як=\тАп\тВ. (3.2)
Условие приводимости операторов А и В не является для (3.2) необходимым, как показывает следующий пример. Пусть в Я4 действия неприводимых операторов А и В на векторах базиса определены соответственно условиями:
(е\ ,е2,е3,е4 )->( 0,еие3,е4)и(еие2,е3,еЛ)-»(0,0, е4,0).
Тогда 1т А = (е,, е3,е4), 1т В = (е4) = 1т ВА = (е4) и Як = \тАсл\тВ = (е4).
Так как 1т В А = В(1т А сл 1т 1 В) и 1т АВ=А( 1т В п 1т 1 А), то для перестановочности операторов ЛиЛв произведении АВ необходимое условие имеет ещё и такую геометрическую форму:
Як = 1т ВА = 1т АВ = В( 1т А п 1т"1 В) = А( 1т В п 1т"1 А ). (3.3)
Из условий (3.1) и (3.3) получаем, как следствие, следующее
Утверждение 3.1. Произведение АВ перестановочных операторов А и В является оператором, приводимым тогда и только тогда, когда выполняется любое из двух эквивалентных условий:
В(1т А) п (кег В, 1т"1 В (К1(А, В))) = 0,
А( 1т В) п (кегА ,1т"1 А(К1(В,А))) = 0. Используя правило умножения квазидиагональных матриц (см. [1, стр. 53]) и перестановочность в произведении АВ скалярной матрицы В (см. [12, стр. 19-20]), легко доказать два следующих утверждения.
Утверждение 3.2. Операторы В и А перестановочны, если в некотором базисе в Я„ матрицы этих операторов являются квазидиагональными одной структуры и в каждой паре соответственных блоков по крайней мере один из блоков является скалярной матрицей.
Утверждение 3.3. Если в некотором базисе в Яп матрица оператора В является квазидиагональной и каждая р-клетка этой матрицы является <зр-скалярной матрицей (ар ), то матрица перестановочного с оператором В оператора А является в том же базисе квазидиагональной той же структуры.
В [1, стр. 193] доказано более общее утверждение - Теорема 3:
Если две матрицы А и В перестановочны и одна из них, например А, имеет квазидиагональный вид: А = {А 1, А2}, где матрицы А1 и А2 не имеют общих характеристических чисел, то и матрица В имеет такой же квазидиагональный вид.
Следствие Утверждения 3.3. Если у оператора В все его собственные значения различны, то перестановочный с ним оператор А также является оператором простой структуры и их соответственные собственные векторы совпадают (см. [1, стр. 194]).
Диагонализуемая матрица В разлагается (см. [12, стр. 47, Теорема 4]), в прямую сумму скалярных матриц: В=Х\ЕС[ ФА,2Еа2 ®...®ХаЕ„а, где ау - кратность соответствующего собственного значения Ху матрицы 5 и Еау = и. Перестановочная с диагонализуемой матрицей В матрица А имеет в силу Утверждения 3.3 соответствующий квазидиагональный вид:
Л^(а2) = (а*)©(а£ )©...ф(д£). (3.4)
Число ЩА) произвольных элементов ачр матрицы А в .(3.4) определяется, таким образом, равенством ЩА)=о\ +СТ2 +-- + Ста (см. [7, стр. 231]), где сту означает, как и выше, кратность собственного значения А,у матрицы В.
Для матрицы-суммы А\+А2 очевидно в силу дистрибутивности умножения матриц относительно их сложения следующее
Утверждение 3.4. Если матрица В перестановочна с двумя из трёх матриц: А\, А2 и
А = А\ + А2, то она перестановочна и с третьей из этих матриц, в частности
(А\В = ВАиА2В = ВА2)=>(АВ = ВА). (3.5)
Пусть жорданова матрица .1А оператора А представлена (см. разд. 2) суммой двух матриц: 3А = 3(ЕА) +J(HA). Матрица В, перестановочная с каждой из матриц J(EA) и J(HA) квазидиагональной матрицы 3А, перестановочна в силу (3.5) и с самой матрицей JA . Если матрица В является квазидиагональной матрицей такой же структуры, как и матрица 3А, тогда в силу Утверждения 3.2 она перестановочна с матрицей 3(ЕА). Следовательно, справедливо (см.[1, стр. 188], ср. [5, стр. 23-29]) следующее
Утверждение 3.5. Если матрица В является квазидиагональной матрицей той же структуры, что и матрица JA, и перестановочна с матрицей J(HA) из разложения жордановой матрицы JА матрицы А: 3А = J(EA) + J(HA), тогда она перестановочна и с матрицей 3А.
В частности, перестановочная с одноклеточной матрицей J(HA) матрица В является правильной верхней треугольной матрицей (см. [1, стр. 189]).
Матрица S симметрического оператора S симметрична в любом базисе, поэтому жорданова матрица Js такого оператора диагональна (см. [10, стр. 246]), то есть симметрический оператор S является диагонализуемым.
Поэтому с учётом Утверждения 3.3 и равенства (3.4) является очевидным такой факт (ср. [9, стр. 16-17]):
Утверждение 3.6. Симметрические операторы перестановочны тогда и только тогда, когда их произведение является симметрическим оператором.
Справедливость этого утверждения можно получить непосредственно из равенств:
(АВ)Г = ВТАТ = ВА.
В условиях Утверждения 3.6 матричное уравнение Хп = АВ имеет лишь дискретный произвол. Действительно, если Js = {ibs25---sn} ~ жорданова матрица матрицы AB = S, тогда (см. [1,
стр. 199-202]) Jx = {хих2,...хп}, где xi='l[7i .
Для симметрической матрицы S справедливо (ср. [10, стр. 222]) следующее Утверждение 3.7. Класс диагонализующих матриц Тматрицы S содержит п-параметричес-кое множество треугольных матриц L, таких, что справедливо равенство
LSLr = Js.
Доказательство Утверждения 3.7 можно получить из следующих импликаций: LSL1' =А-> (LSLT )г= АТ LSL1 = Ат -> А = Ат и сравнения количества Ns = 0,5(л2 -п) скалярных уравнений, получаемых из матричного равенства A =D, с количеством NL = 0,5(и2 + п) элементов матрицы L.
4. Обобщением теоремы Кронекера - Капелли о совместности системы линейных неоднородных уравнений является
Теорема 4.1. Матричное уравнение (см. (1.3)) А-Х-С (С* 0) имеет решение лишь приусло-вии rankC < гапЫ . Если гапЫ =rankC, то для всех d, таких, что rank С <d<n, существует решение X ранга d, если же rank С < rank А, то ранг каждого решения Xудовлетворяет неравенству
rankC < ranker< rankC+def^. (4.1)
Когда матрица С является нулевой, то из неравенства (4.1) получим для каждого решения X однородного уравнения А-Х = 0, здесь (0) = (п, п), соответствующую оценку ранга этого решения в виде неравенства 0 <ranL3f < defА или точного равенства rankX = d(KI(A,X)) = def А для общего решения (это очевидное равенство следует и из неравенства (1.4)).
Действительно, условие (4.1) следует непосредственно из неравенства (2.7), равенства (2.1) и очевидного неравенства d(KK(B,A))< def А.
Как непосредственное следствие равенства (2.1) точная оценка ранга каждого решения X уравнения (1.3) получается в следующей форме:
rank X = rank С+ d (KI(A,X)). Структура решения X матричного уравнения (2.3) и более общего уравнения (2.3!) описана в [1, стр. 23, 27, 209-210]. Оценку ранга решения Xуравнения (2.3') можно получить из неравенства Фробениуса (2.5) и равенства (2.1) в следующей форме (ср. неравенство (1.4)):
rank 5 -sB < rankX < rank A + , (4-2)
где
sB = d(KI(X,B)), sA = d(KI(A,X)) и гапкЯ -rankC = s< sB + sA. (4.3)
Действительно, из (4.1) для уравнения АХВ - С следует неравенство rankS -rankC <
< d(KI(A,X)) + d(KI(X,B)).TaK как deLY+ rank B<n+sB и def A + ranker < n+sA, то rank В -sB<
< rank X и rank X < rank A + sa. Из этих неравенств и получаем доказываемое неравенство (4.2).
При s = 0, то есть когда rank В = rankC, из (4.2) и (4.3) получаем, в частности, такую очевид-, ную оценку ранга решения ^уравнения АХВ = С: rank В < rankX < rank А . 21*
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ГантмахерФ. Р. Теория матриц. - 4-е изд., доп. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 552 с.
2. Г е л ь ф а н д М. И. Лекции по линейной алгебре. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. - 280 с.
3. Г о д у н о в С. К. Современные аспекты линейной алгебры. - Новосибирск: Научная книга, 1997. - 390 + XXVI с.
4. КострикинА. И. Введение в алгебру. Основы алгебры: Учебник для вузов. - М.: Физматгиз, 1994. - 320 с.
5. К р а ф т X. Геометрические методы в теории инвариантов: Пер. с нем. - М.: Мир, 1987. - 312 с.
6. К у р о ш А. Г. Курс высшей алгебры. - Изд. 11-е. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. - 431 с.
7. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. - 2-е изд. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 269 с.
8. Маркус М., М и н к X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств: Пер. с англ. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972.-232 с.
9. Попов Ю. И., Столяров А. В. Специальные классы регулярных гиперполос: Учеб. пособие. - Калининград: Калининград«, ун-т, 1992. -80 с.
10. С т р е н г Г. Линейная алгебра и её приложения: Пер. с англ. - М.: Мир, 1980. - 454 с.
11. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. - М.: Мир, 1989. - 655 с.
12. Широков П. А. Тензорное исчисление: Алгебра тензоров. - 2-е изд. - Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1961. -447 с.
