О малых возмущениях термокапиллярного стационарного двухслойного течения в плоском слое с подвижной границей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5.013.4

О малых возмущениях термокапиллярного стационарного двухслойного течения в плоском слое с подвижной границей

Виктор К. Андреев* Виктория Б. Бекежанова^

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Академгородок, 50/44, Красноярск, 660036

Россия

Получена 17.02.2011, окончательный вариант 25.04.2011, принята к печати 10.05.2011 Изучается задача о плоском однонаправленном двухслойном течении вязкой теплопроводной жидкости в условиях невесомости. В системе возможна ситуация, когда течение возникает только под действием сил Марангони и движения одной из стенок канала. Исследована устойчивость данного режима в линейном приближении. Кризис течения может быть вызван тепловыми колебательными или монотонными волнами.

Ключевые слова: поверхность раздела, неизотермичное течение, нейтральная кривая.

Введение

Впервые задача об однонаправленных двухслойных течениях, где источниками движения вязких жидкостей являлись сила тяжести и термокапиллярный эффект, была рассмотрена в [1]. Для жидкостей с постоянными плотностями (модель Навье-Стокса) в предположении о линейной зависимости температуры от продольной координаты построены профили скоростей в слоях. Они оказались, в общем случае, квадратичными по поперечной координате. Были подробно изучены характеристики полученных решений. Исторически первые работы по устойчивости двухслойных течений в областях различной геометрии (см. [2-8]) касались только вязких изотермических жидкостей. Течение под действием градиента давления двух несмешивающихся жидкостей в трубе исследовалось в [2]. Оказалось, что данная задача имеет множество решений, соответствующих произвольно заданным формам поверхности раздела. Здесь же изучена устойчивость этих решений. Для концентрической конфигурации устойчивым является “положение”, когда более вязкая жидкость располагается во внутренней части трубы. Линейный анализ показал, что решающим фактором в этом случае является величина ее объемного расхода. Существенный результат был получен в [3], где рассматривалось совместное течение Куэтта-Пуазейля в горизонтальном канале жидкостей равных плотностей, но с разными вязкостями. Было установлено, что длинноволновая неустойчивость может развиваться при любом ненулевом суммарном расходе, когда жидкости занимают области равных объемов. В [4] изучалась устойчивость параллельного течения двух стратифицированных, однородных, несмешивающихся жидкостей с постоянным поверхностным натяжением. Показано, что к данной задаче, в условиях, когда система горизонтально ориентирована, а внешними границами являются твердые стенки (возможно подвижные), применимо преобразование Сквайра. Таким образом, наиболее опасными

* andr@icm. krasn. ru

t [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

являются плоские возмущения. Причем имеет место симметрия, указывающая на независимость характеристик от направления движения стенок. Результаты УШ были обобщены в [5, 6]. В первой из указанных работ исследовалась устойчивость плоского течения Пуазей-ля в трехслойной системе двух жидкостей, когда одна из жидкостей занимает центральную область. Оказалось, что в случае, когда более вязкая жидкость занимает центральную область, течение всегда будет устойчивым. Если же внутреннюю область занимает жидкость с меньшей вязкостью, так называемые пальцевидные течения, то имеет место абсолютная неустойчивость. Авторы [6] рассмотрели случай, когда жидкости с разными плотностями занимают слои произвольной толщины. При этом расчеты проводились и в области коротких волн. Устойчивость двухслойного течения с осевой симметрией в вертикальной трубе относительно длинноволновых возмущений изучалась в [7]. Для течений, формирующихся под действием сил гравитации и приложенного градиента давления, рассмотрен случай, когда жидкости имеют разные плотности, а их прочие физические характеристики совпадают. При близких плотностях на устойчивость влияет направление градиента давления и расположение жидкостей: устойчивыми будут течения, направленные вниз, в системе с более легкой жидкостью в центре. Восходящие течения (направленные вверх относительно силы тяжести) будут устойчивыми, если внутреннюю область занимает более тяжелая жидкость. Также приведены результаты для других значений отношения плотностей. В фундаментальной работе [8] приводятся результаты решения задачи об устойчивости двухслойного течения изотермических жидкостей в наклонном канале. В длинноволновом приближении определяются механизмы, порождающие неустойчивость. Для возмущений с произвольной длиной волны исследуется влияние линейных размеров канала и величины деформации поверхности раздела на устойчивость. Проводится сравнение полученного решения с известными решениями частных задач. В [9] методом малых возмущений исследовалась устойчивость плоского двухслойного течения вязкой теплопроводной жидкости в горизонтальном канале, на стенках которого задано линейное распределение температуры. Установлено, что появление неустойчивостей обусловлено различием определяющих параметров (толщин слоев, условий подогрева, вязких и теплопроводных свойств жидкостей). В поле массовых сил все возмущения монотонны, а в условиях невесомости имеет место колебательная термокапиллярная неустойчивость. Аналогичная задача для течений в наклонном канале относительно плоских возмущений рассмотрена в [10]. При совместном действии массовых и термокапиллярных сил обнаружены различные типы неустойчивости. В системе возможна неустойчивость гидродинамического характера, связанная с образованием вихрей на границах областей с возвратным течением, и термокапиллярная. На основе численных расчетов показано, что при любых углах отклонения системы от горизонтали появляются колебательные возмущения.

В настоящей работе изучается задача о плоском стационарном двухслойном течении вязкой жидкости при совместном действии градиента давления и сил Марангони в условиях невесомости. Плоский слой ограничен твердыми стенками, одна из которых может двигаться. На внешних границах поддерживаются линейные распределения температур. Задача допускает решение типа Остроумова-Бириха. Меняя скорость движения стенки, градиенты давления и температуры, можно получать различные режимы течений. Методом линеаризации исследована устойчивость течения, сформированного только под действием термокапиллярных сил и движения твердой стенки, в отсутствие градиента давления. Найдено асимптотическое поведение комплексного декремента в длинноволновой области для неде-формируемой поверхности раздела. Получены аналитические представления собственных функций в случае плоских возмущений. Показано, что кризис вызывается тепловой модой, при этом неустойчивость может иметь как колебательный (следствие несамосопряженно-сти спектральной задачи), так и монотонный характер. Тип наиболее опасных возмущений зависит от длины волны.

1. Основное течение

Рассматривается совместное стационарное течение двух несмешивающихся вязких жидкостей в плоском слое при отсутствии силы тяжести, см. рис. 1.

Рис. l. Схема области течения

Жидкости имеют постоянные плотности рj, кинематические вязкости Vj (динамические вязкости ^ = Vj /рj), коэффициенты теплопроводностей kj и занимают слои 0 ^ х ^ Л-1, — Л-2 ^ х ^ 0 соответственно. Твердая стенка х = — Л-2 неподвижна, а стенка х = Л-1 может двигаться с постоянной скоростью На стенках задано линейное распределение температур вj = Аг + Т^, А, То — постоянные. Вдоль границы раздела х = 0 действуют касательные силы, причем поверхностное натяжение линейно зависит от температуры: а(0) = а0 — ж(0 — 0°), а0 > 0, ж > 0, 0° — постоянные.

Предположим, что течение является однонаправленным и вектор скорости имеет вид и = (0,° Wj (х)). Тогда поля скоростей Wj (х), температур вj (х, г) = Аг + Т (х) и давлений Pj (х, г) будут определяться по формулам из [11] и после некоторых вычислений получим

Wi =

vi

+ (v — h°)n

м^. + v

h(м + h) Л.(м + h)

+ M(n — 1) + Re(hn + м)

м + h

wo =

vo

ho 1 h3

о м(v — ho)n n +

h(мh + v)

v (м + h) v^ + h)

vM(n + 1) мvRe(n + 1)

h(м + h) Л.(м + h)

(l.l)

где a = ah3/2v2, M = vi — число Марангони, Re = wiohi/vi — число Рейнольдса,

v = vi/v2, h = hi/h2, ^ = ^1/^2; П = x/hi для wi и n = x/h-2 для W2.

Поля давлений pj являются линейными

Pj = pj az + b, b = const, (1.2)

так что a — безразмерный градиент давления.

Температуры в слоях таковы:

_i _ Ahi M

hi + Pr^ a

4

n’ (v — h°)n'

12 + 6h(м + h)

3

(м^. + v )no

2Л.(м + h)

+

+

м + h

Re

ПЗ _ 1 +

6 2 / м + h

Aho

7- + Pro

ho

h3

n4 м(v — ho)n3

12 + 6v(м + h)

^ m(m — мв*)( £ — £

h(м + h) 7 V 6 2

h(мh + v )n° 2v (м + h)

+ klin + lo

h

м

i

o

v a

o

voa

_

o

с постоянными /1 и /2 (к = ^1/^2)

Л ( Гю - ?20

/1

к + Л

—2Ие(3я + Л)] —:

А^1

РГ2

+

Рп

12(я + Л)

[а(Л2 + 4^ + БяЛ) + 4М—

угт (^^ + Б^Л + 9^Л2)+4^(М — ^Ие) Л2

12Л2(я + Л)

1 ГкТю + ЛГ20 кЛРг1 г ,2

/2 = ГЩ АЛ +12(М + Л)[а(Л + ^ + БяЛ) + 4М—

(1.4)

—2Ие(3я + Л)] +

Л2 РГ2

12(я + Л)

угт (я-^ + Б^Л + 9яЛ2) + 4^(М — ^Ие) Л2

Впервые стационарное конвективное течение вида (1.1) —(1.4) (при другом обезразмери-вании) было рассмотрено в [12], см. также [13].

Из (1.1) следует, что течения в слоях возникают под действием перепада давлений, термокапиллярных сил и движения твердой стенки. Меняя параметры а, М, Ие, можно описывать различные режимы течения.

В данной работе предполагается, что в первом слое задан расход жидкости (газа)

а 1

Ш1 = J М1(ж) йж,

Тогда безразмерный градиент давления определяется из (1.5) в виде

_ 3Л[(Л + 2я)Ие — М] — 6Л(я + Л)ш1^—1

Л2 + 4яЛ + 3^

Далее, потребуем условия замкнутости течения во втором слое, т. е.

О

/и'2 (ж) ,ь = “•

(1.5)

(1.6)

(1.7)

— Но

откуда

и а(я^ + 3яЛ2 + 4^Л) М

3яЛ2 + я

Если одновременно выполнены (1.6), (1.7), то

1

Ие*

яЛ2 + 2^Л +

(V — Л2) м + (я^ + 3яЛ2 + 4^Л)ш1

^1

(1.8)

3Л2

М

2(яЛ2 + 2^ + яv) V Vl

Таким образом, задавая скорость движения стенки ж = Л-1 специальным образом (адю = Ие^!^!), можно добиться нулевого объемного расхода во втором слое. Заметим также, что можно подобрать градиент температуры А так, чтобы а* = 0. Это будет при М = 2ят-1^1 (А = 2я1т1/жЛ2), тогда Ие* = 2ш1/у1. Если сразу в формулах (1.1) —(1.4) положить а = 0 (движение только под действием термокапиллярных сил и твердой стенки), то при Ие = М/я второй слой вообще остается в покое, и>2 = 0, а в первом ^1 = ^1Мп)/(Л1я).

Для системы трансформаторное масло (первая жидкость) — муравьиная кислота (вторая жидкость) физические постоянные таковы:

кг кг

я1 = 15, 9 • 10—3 --, я2 = 1,452 • 10—3

мс

мс

0

22 м м н

= 1, 85 • 10—5 — , ^ = 1, 2 • 10—6 — , ж = 3, 75 • 10—2 - .

с с м С

Поэтому для Л1 = 0, 02м, Л2 = 0,04м, т1 = 184, 88 • 10 6м2/с и А = 2°С/м находим Ие* « 56 и размерная скорость стенки адю = И,е^1 /Л-1 « 0,051м/с.

2. Малые возмущения и система амплитудных уравнений

Пусть Иj, Pj, Tj — возмущения основного течения (1.1) —(1.4), а Д — возмущение поверхности раздела ж = 0 (отклонение этой поверхности по нормали). Линеаризованный вариант задачи о малых возмущениях движений вязкой теплопроводной жидкости с границей раздела в общем случае получен в [14], см. также монографию [15]. Для течения (1.1) —(1.4) система уравнений малых возмущений в безразмерных переменных примет вид

где е = (0,0,1), Д = д2/дп2 + д2/д£2 + д2/д£2; при 3 = 1 0 < п < 1, при 3 = 2 0 < п < 0. На твердых стенках при п =1

где штрих означает дифференцирование по переменной п, Д(£, С,т) — отклонение поверхности раздела по нормали от ее невозмущенного значения п = 0, в = Т10/Т20 — отношение температур твердых стенок, к = к1/к2 — отношение коэффициентов теплопроводностей жидкостей, ^"е = <7°Л1/р1^2 — число Вебера.

И 1т + ^И^ + ^1 ^е — —^Р1 + ДИ1, Но И2т + ^2И2^ + ЦЦ^е = —УР2 + ДИ2, Ujn + Vj'^ + WjZ = 0, 3 = 1, 2,

Т1т + ^1Т1С + И1 • ^в1 = рГ1 ДTl•

Н2 Т2т + ^2Т2^ + И2 • Ув2 = рГ2 ДТ2,

(2.1)

И1 =0, Т1 = 0;

(2.2)

(2.3)

вТ1 — Т2 = (вв1 — Лв2 )Д,

(2.4)

Метод нормальных мод непосредственно не применим к системе (2.1)-(2.4) из-за наличия члена Ше — М#і(1,С). Считаем, что поверхностное натяжение оо мало изменяется в пределах длины волны возмущения, т. е.

Л < Ше/М,

(2.5)

см. по этому поводу [15]. Тогда можно аппроксимировать выражение Ше — М в1 (1, С) просто как Ше.

В предположении (2.5) ищем решение задачи (2.1) —(2.4) в виде нормальных волн

(и ,Д) —(и,- (п),р (п),Т (п),Д(п))ехр[І(аі с + «2Є — Ст)],

(2.6)

где С — комплексный декремент, С = Сг + гС*. Значения параметров задачи, для которых С* < 0, соответствуют области устойчивости. Подстановка (2.6) в (2.1) —(2.4) приводит к спектральной задаче относительно параметра С:

г(аі^і — С )^і — —Рі + Ш"і, Ь — ——^ — (аі + ^2),

і!

^п2

при 0 < п < 1;

*(аіи>і — С )Уі — —*«2Рі + ЬУі,

І(аіи>і — С )^і + и^Ці — —Іаі Рі + Ь^і, иі + *«2^і + Іаі ^і — 0,

і(аі^і — С)Ті + ві^і + 0іс^і — р- ЬТі

І ^аіи>2 — С^ и — —Р2 + Ь^2,

І ^аі^2 — 02 С^ У2 — —І«2Р2 + Ь^2,

І ^аі^2 — -^2 ^ ^2 + ^2^2 — —ІаіР2 + Ь^2,

и2 + Іа2 V + Іаі ^2 — 0,

при —1 < п < 0;

і ^аі^2 — -^2 С^ Т2 + ^2^2 + ^2с^2 — рг“ ЬТ2 иі(1) — Уі(1) — ^і(1)— Ті(1)—0,

и2(—1) — ^2(—1) — ^(—1) — Т2(—1) — 0;

на поверхности раздела п — 0

І(аі^і — С )Д — иі, >і — ^2, — у,,

а а

V ^і — ^2 — ГV аді — ац) д, вт — т2 — (вві — ав2)д,

а \а /

т / мт /

т— а т

ав? —

ші

+ Іаі

^вв

іС

Рі — і Р2 + 2( и2 — иі

а2

а

р^2

а3

ав

2 С

д,

2іаі ( аді---2 ад2 ) — (а2 + а2)Ше

д,

Уі + Іа2иі--------2 (У/ + Іа2^2) — — іа2М(Ті — віД),

р^ 2

а2 а3

+ Іаі^і--------2 (^2 + Іаі^2) + І —2 ^ І Д — — Іа іМ(Ті — в/ Д)

р^

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

а

а

3. Длинноволновые возмущения

Рассмотрим сначала возмущения, распространяющиеся только вдоль слоев: а = 0, Ух = У2 =0. Для недеформируемой поверхности раздела (^е = то) динамическое граничное условие в (2.10) дает Д = 0 и комплексный декремент С остается только в амплитудных уравнениях (2.7), (2.8). Положим с учетом уравнения сохранения массы

и

а?и2 + ..., Ш = «1^/ + ..., р = Р° + а1р/ + ..., Т = Т° + аіТ/ + ..., С = С0 + аіС1 + ...

(3.1)

при ^ 0. После подстановки (3.1) в (2.1)-(2.10) задача для Т,0(п) и С0 отделяется и имеет вид

кв2 0// кв2 0 0

Т0" + гс0РпТ10 = 0, о < п < 1;

н н

т2" + V *С0РГ2Т20 =0, -1 < п < 0;

н2

кв

Т1(1) = Т2(-1) = о, 0Т0(О) = Т20(0), — Т10/(0) = Т20/(0)

(3.2)

(3.3)

(уравнения (3.2) записаны в самосопряженной форме для граничных условий (3.3)). Легко показывается, что ^С° > 0, т. е. 1тС° < 0 и длинноволновые возмущения монотонно затухают. На самом деле, с точностью до мультипликативной постоянной

Т1°(п)=8тш(1 — п), ш2 = *С0Рг1 > 0,

к . (л/х \ / у/х

---- сов ш віп І —— шп + віп ш соя I —— шп

.а/Х V Н ) \ Н

(3.4)

где ш есть положительный корень уравнения

: ^х а + к ./ тх

віп ш сов | ш +------------------сов ш віп ш

н ) Д V д

0.

(3.5)

Уравнение (3.5) имеет счетное число корней и С° = С° = —г^П/Ргх, п = 1, 2,...; в частности, при к = ^/х находим = пп(1 + к/Л.)-1. В табл. 1 приведены значения первых трех корней для системы жидкостей трансформаторное масло-муравьиная кислота (х = 4, 59 • 10-3).

Таблица 1

н ш1 ш2 шз н ш1 ш2 шз

10-4 10-2 0,1 4, 64 • 10-3 0,452 1,65 9, 27 • 10-3 0,898 4,21 0,088 1,31 5,144 1 102 104 2,364 3,129 3,141 5,137 6,257 6,283 8,116 9,386 9,424

Приведем еще выражения для Ш]0, Ш2, которые понадобятся для нахождения первого приближения С1 комплексного декремента (ш = шп). Для этого необходимо решить краевую задачу

, .2

т2/ _ „•тл/1

и>

Рг1

ш11// + — ш1 = ір0,

2

Ш1// + V ш- Ш = *Р20,

2 Н2 Рг1 2 2

0 < п < 1; —1 < п < 0,

с граничными условиями

^1(1) = и2(1) = 0, ж!(-1) = ц2(-1) = 0, и2(0) = и2(0) = 0, ^(0) = Iж/(0), ^!(0) - Р4 ^(0) = -ШТ°(0).

(3.7)

Отметим, что в задаче (3.6), (3.7) наряду с Ж/, Ц2 неизвестными являются и постоянные Р°, Р20. После некоторых вычислений получим

Ж

^2!

ш2

гРгх Н2Р2°

Й1 СОБ

2

аэ соб —

а/Рг! '

ш V

п + а2 Б1П

Н л/РТ!

п + а4 81П -

а/Рг!

ш V

п + 1

н ^/Рг!

п +1

(3.8)

и2

Рг!/2Р0

ах Б1П

а/Рг! '

п + а2

1 — СОБ

а/Рг!

Ц2

НэРгЭ/2Р2° ( (ш ги~

Vэ/2.э |аэ ^^ рТ! ^ + а4

V

1 - СШ| н V рТ! п

со

+ ТрГТ п

со

+ Н V РГ! п

Р?

Мш б1п ш

ТРГ!

л/й (1 + а1)

р (1 + аэ)

а2

Р °

Р2

v2(1 + ах)Мш б1п ш Нэ ТРГ! (1 + аэ)

^ (1 + а1) Р (1 + аэ)

-1

- а2

-1

(3.9)

(3.10)

Постоянные ах,..., а4 определяются формулами

а2

2/Рг1

аэ =

а1 = 1 -

С£2

а/Рг!

ctg

2v/PTT/,

^v/P^!y

-

ш I V / ш I V .

- Ну Рт! С^ 12Н V рТ! ^

(3.11)

ш I V \ 1 ш I V

а4 = С^1 2Н\/йН - 2ну рТ!

ctg 2Н\/ рТ! I -1

где ш = шп есть решение уравнения (3.5).

Можно видеть, что система уравнений для первого приближения будет неоднородной

1Г Т1" + кТ *С°РГ1Т! = ^Н! Рп[г(^1 - С!)Т1° + 01Сж!],

Т1" + Н2 *С°РГ2Т! = РГ2

*( ^2 - Н2 С1 ) Т° + 02СЖ21

(3.12)

с теми же граничными условиями (3.3) для Т1, Т21. Поэтому первая поправка к С° находится из условия разрешимости задачи (3.12), (3.3)

С1 = СП = -*{к^ I[*НТ1°|2 + 01Сж!т1°] ^п+

°

° 1 °

+X/[^ТГ + 02СЖ2!Т2°] ^ I |Т°|2 ^ + Н2 11Т2°|2 ^

о;

о;

э

и;

и;

и;

си

си

1

1

1

°

1

Поскольку Ж°, ТУ"2 — чисто мнимые (см. (3.8)), то С1 — вещественное число (для каждого

ш шп).

Итак,

ш2

С = Сп = -+ а1СП + ... (3.14)

РГ1

4. Спектр возмущений и границы устойчивости

Рассмотрим случай, когда движение жидкости происходит в отсутствие градиента давления (а = 0) только под действием термокапиллярных сил и твердой стенки. Согласно п. 1 в условиях, когда выполнено условие (1.7), при Ие = М/р второй слой находится в состоянии покоя, а в первом реализуется течение Куэтта. Исследуем устойчивость данного режима в предположении о недеформируемости поверхности раздела.

Системы (2.7), (2.8) простыми заменами приводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и интегрируются методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности с ортогонализацией [16]. В случае плоских возмущений («2 = 0, У1 = У2 = 0) в каждой из областей -1 < п < 0 и 0 < п < 1 амплитуды возмущений ищутся в виде линейных комбинаций трех линейно-независимых решений. Коэффициенты решений определяются из условий на поверхности раздела п = 0. Обозначим определитель полученной однородной системы линейных уравнений для коэффициентов через Ф; тогда данная система имеет нетривиальное решение при Ф = 0. Это соотношение позволяет определить спектр комплексных декрементов С и границы устойчивости. Следует отметить, что Ф зависит от параметров задачи Ие, М, тх, ах, V, Н, к, Ргх, Рг2, 0.

Рассматриваемое состояние системы есть суперпозиция термокапиллярной конвекции, порожденной наличием продольного градиента температуры, и сдвигового течения Куэтта, когда жидкость увлекается движущейся границей. Согласно результатам п. 3 целесообразно рассмотреть отдельно возникающие тепловые и гидродинамические моды. Вследствие того, что вынужденная компонента течения (поток Куэтта в первом слое) является устойчивой, можно ожидать, что ее присутствие приведет к стабилизации режима. Этот эффект проявляется на гидродинамической моде неустойчивости. Анализ спектров показывает, что неустойчивость имеет монотонный характер. Типичная структура нейтральных кривых гидродинамических мод неустойчивости в плоскости (а, М) показана на рис. 2а. Области неустойчивости расположены внутри кривых. Отрицательным значениям параметра М соответствует случай охлаждения стенок канала в направлении оси г. При этом, направление движения стенки канала противоположно направлению продольной оси. Видна симметрия относительно оси М = 0, что означает независимость характеристик устойчивости от направления движения стенки.

Для тепловой моды характерна зависимость от соотношения параметров (Н, М) — возможна как стабилизация, так и дестабилизация режима. Нейтральные кривые тепловых мод и их эволюция с изменением Н представлена на рис. 2б. Имеет место неустойчивость, связанная с развитием монотонных (стоячих) тепловых возмущений (сплошные линии) или колебательных (бегущих) гидротепловых волн (штриховые). При этом происходит замыкание области колебательной неустойчивости при малых значениях Н и смена критической моды неустойчивости. Видно, что в длинноволновой области наиболее опасными являются колебательные возмущения, а в коротковолновой — монотонные. Причем, прямые М = ±1494, 26 служат общей асимптотой монотонной неустойчивости для любых значений Н.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 11-01-00283 и Сибирского отделения Российской академии наук, гранты 65, 116.

Рис. 2. Нейтральные кривые а) гидродинамические моды, б) тепловые моды: 1-3 — Н 104,102,1, М1 = М • 103; 4 — Н = 10-4, М2 = М • 104

Список литературы

[1] L.G.Napolitano, Plane Marangoni-Poiseuille flow two immiscible fluids, Acta Astronautica, 7(1980), 461-478.

[2] D.D.Daniel, M.Renardy, Y.Renardy, Instability of the flow of two immiscible liquids with different viscousities in a pipe, J. Fluid. Mech, 141(1983), 309-317.

[3] C.S.Yih, Instability due to viscosity stratification, J. Fluid Mech., 27(1967), 337-352.

[4] T.I.Hesla, F.R.Pranckh, L.Preziosi, Squire’s theorem for two stratified fluids, Phys. Fluids, 29(1986), 2808-2811.

[5] P.T.Than, F.Rosso, D.D.Joseph, Instability of Poiseuille flow of two mmiscible liquids with different viscousities in a channel, Int. J. Eng. Sci., 25(1987), 189-204.

[6] S.G.Yiantsios, B.G.Higgins, Linear stability of plane Poiseuille flow of two superposed fluids, Phys. Fluids, 31(1988), 3225-3238.

[7] M.K.Smith, The axisymmetric long-wave instability of a concentric two-phase pipe flow, Phys. Fluids A, 1(1989), 494-506.

[8] B.S.Tilley, S.H.Davis, S.G.Bankoff, Linear stability theory of two-layer fluid flow in an inclined channel, Phys. Fluids, 1(1994), №12, 3906-3922.

[9] В.Б.Бекежанова, Конвективная неустойчивость течения Марангони-Пуазейля при наличии продольного градиента температуры, ПМТФ, 52(2011), №1, 92-100.

[10] В.К.Андреев, В.Б.Бекежанова, Устойчивость неизотермических жидкостей, Красноярск, Сибирский федеральный университет, 2010.

[11] Р.В.Бирих, О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости, ПМТФ, 7(1966), № 3, 69-72.

[12] И.В.Репин, Стационарные течения двухслойной теплопроводной жидкости в плоском слое, Тр. междунар. конф. "Математические модели и методы их исследования" , Красноярск, КГУ, 2001, 161-165.

[13] В.К.Андреев, Решение Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения, Препринт № 1-10, Красноярск, ИВМ СО РАН, 2010, 68 с.

[14] В.К.Андреев, Малые возмущения термокапиллярного течения жидкости с поверхностью раздела, Тр. сем. "Математическое моделирование в механике", Красноярск, ИВМ СО РАН, 1997, 27-40. (Деп. ВИНИТИ 12.02.97, № 446-1397.)

[15] В.К.Андреев, В.Е.Захватаев, Е.А.Рябицкий, Термокапиллярная неустойчивость, Новосибирск, Наука, 2000.

[16] С.К.Годунов, О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Успехи мат. наук, 11(1961), № 3, 171-174.

On Small Perturbations of Thermocapillary Stationary Two-layer Flow in Plane Layer with Movable Boundary

Viktor K. Andreev Viktoriya B. Bekezhanova

Problem on plane unidirectional two-layer flow of viscous heat-conducting fluid in microgravity is studied. There is a situation in which the flow is generated by Marangoni forces and motion of one of channel’s walls only. Using the linearization, method the stability of the regime is investigated.. The flow crisis is induced by thermal oscillatory or monotonic waves for different wavenumber.

Keywords: interface, nonisothermal flow, neutral curve.