Неустойчивость равновесного состояния двух бинарных смесей с общей поверхностью раздела и одной свободной границей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.59

Неустойчивость равновесного состояния двух бинарных смесей с общей поверхностью раздела и одной свободной границей

Марина В.Ефимова*

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Академгородок 50/44, Красноярск, 660036,

Россия

Получена 18.03.2009, окончательный вариант 14.04.2009, принята к печати 30.04.2009 Исследована устойчивость равновесного состояния двух бинарных смесей относительно произвольных возмущений. Численно, методом ортогонализации, получена зависимость комплексного декремента от волнового числа. Показано, что для недеформируемых поверхностей раздела при увеличении числа Марангони область неустойчивости также увеличивается. Определены области устойчивости системы с ростом термодиффузионных эффектов на поверхностях раздела. Ключевые слова: поверхностное натяжение, число Марангони, устойчивость, термодиффузия.

1. Основные предположения и уравнения

Рассмотрим совместное движение двух жидких сред в областях Qj (j = 1, 2) при отсутствии массовых сил. Предполагается, что в каждой из жидкостей имеется растворенное вещество определенной концентрации. Тогда движение описывается системой уравнений при x £ Qj:

Ujt + Uj y uj + — y pj = VjAuj; (1.1)

Pj

div и^- =0; (1.2)

j + Uj •yj = XjA0j; (1.3)

Cjt + Uj • yCj = dj △ ^Cj + aj , (1.4)

где Uj (x,t) — вектор скорости, pj — отклонение давления от гидростатического, 0j — температура, Cj — концентрация. Сформулируем, следуя [1, 2] (в [1] рассмотрен лишь случай стационарного течения и Cj = 0), условия на поверхности раздела жидкостей Г1:

Ui = U2; (1.5)

U • n = Vin; (1.6)

0i = 02, Ci = AC2; (1.7)

(P2 - Pi)n = 2aiHin + y 11 ai; (1.8)

k2 дП - ki dn = 0; (1.9)

on on

(3C2 + 80Л d ÍBCi + 30Л d2 + a2 —— = di —- + a.i—— . (1.10)

on on on on

* e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Здесь n — единичный вектор нормали к Г1, направленный из Q1 в Q2, Vin — скорость перемещения поверхности раздела Г1 в направлении n, Pj = — pj E + 2pj Vj Dj — тензоры напряжений, E — единичный тензор, H1 — средняя кривизна поверхности Г1 (H 1 > 0, если Г1 выпукла наружу области Q1), V11 = V — (n • v)n — поверхностный градиент, kj — коэффициенты теплопроводности. Через u и в обозначены величины вектора скорости и температур обеих жидкостей на Г1, попарно совпадающие в силу (1.5), (1.7), во втором равенстве (1.7) Л — постоянная равновесия Генри.

Считается, что область Q1 контактирует с твердым неподвижным телом. В этом случае на поверхности тела ставится условие прилипания

u1 =0. (1.11)

Кроме того, будем считать, что температура в точках твердой границы является заданной:

в1 = вю. (1.12)

Через твердую поверхность нет потока вещества, поэтому

дс1 , дв1 n (Л

ИП + = 0. (1.13)

На свободной поверхности Г2 должны быть выполнены динамическое и кинематическое условия

(Pgas — P2)n + 2^2 V2D(u2)n = 2а H2 П + VnCT2i (1.14)

U2 • n = V>n. (1.15)

В (1.14) pgas —давление в газе — известная функция, V2n — скорость перемещения свободной границы в направлении n.

Условие теплообмена смеси с газом запишется так:

дв2

k2 дП + в(в2 — egas)= Q, X G Г2, (1.16)

где k2 = const — коэффициент теплопроводности, в > 0 — постоянный коэффициент межфазного теплообмена, egas — температура газа, Q — заданный внешний поток тепла. Еще одно условие — отсутствие потока вещества через свободную поверхность Г2:

дс2 дв2

un+а2 un = °. (1л7)

В этом случае не учитываются процессы адсорбции-десорбции на свободной поверхности. Зависимость поверхностного натяжения от температуры и концентрации линейная:

CTj(в, с) = а0 — œj(с — с0) — œ?T(в — в0), œj = const < 0, œ?T = const > 0

где сто > 0, œT > 0, — постоянные, а со, во — концентрации и температуры в некоторой точке поверхности раздела или свободной границы. Соотношения (1.1)—(1.17) следует дополнить начальными условиями

Qi = Q°0, Ui(x,0)= u0(x), в4(х,0) = в°(х), q(x,0) = с0(х), x G Q°0. (1.18)

В настоящей работе исследуется устойчивость равновесия системы двух бинарных смесей с общей поверхностью раздела. Граница раздела сред у = 0 предполагается плоской и недеформируемой. Система ограничена твердой стенкой у = —/ и имеет недеформируемую свободную границу у = /. Считается, что данная конфигурация находится в покое: и, = 0,

3 = 1, 2.

При указанных выше условиях задача (1.1)—(1.18) о термодиффузионном равновесии с поверхностью раздела имеет решение

д — в (01О — вд)

10 :

и = 0, р, =сош1, в1 = к1 + № +1) (у + 11) + в

- = О—ШЗгЪ + и + Ьо- (119)

д — в (вю — вд) , д — в (вю — вд)

С1 = — *1 + вЫ* + I) а1 У + С0' С2 = — к1 + в/2 (к + I) а2кУ + С0-

В (1.19) / = /1//2, к = к1 /к2; со — концентрация на границе раздела. Замечание 1. ПАВ на поверхности у = 0 отсутствует, а в законе Генри С2 = Ас1 постоянная А полагается, без ограничения общности, равной единице.

2. Задача о малых возмущениях

Для изучения устойчивости равновесного состояния двух слоев жидкостей (1.19) воспользуемся уравнениями малых возмущений, полученными в общем виде в [3]. В данном случае линеаризованная задача для возмущения скорости, давления, температуры и концентрации в каждой из областей имеет вид

и,т + ^ УР, = ^ ЛИ,; (2.1)

и, =0; (2.2)

X2 Т,т + V, е, = ЛТ,; (2.3)

К,т — V- V, е, = ^ Л(К, + Рг, Т,). (2.4) V2 V2

Граничные условия на недеформируемой поверхности раздела п = у// = 0 сводятся в этом случае к следующим (влиянием поверхностной вязкости пренебрегаем, так как она обычно очень мала):

и2 = 1/ии V) =0, V1 =0, К2 = аК1; (2.5)

Т2 = РгТь Т2п = кРгТщ; (2.6)

и2п + — ^(и^ + ^) = —М^ — ЯпС^; (2.7)

дК2 + р 5Т2 (дК1 + р дТЛ (28)

-К--+ Рг'2^~ = --+ Рг 1 ^ . (2.8)

дп дп \ дп дп /

Граничные условия на твердой стенке:

дс дТ

и1 =0, Т1 =0, Vl =0, —1 + Рп =0, п = —1, (2.9)

дп дп

На свободной границе при п =1 имеем

V = 0, U2n = -M2T25 - Sr2C25,

(2.10)

T2n + Вйа = 0, K2n + РГ2Т2П = 0.

Соотношения (2.1)—(2.10) приведены в безразмерной форме. Использованы следующие единицы измерения расстояния, времени, скорости, давления, температуры и концентрации соответственно:

! ll j pjj (Q - 0(010 - вд))vj (Q - в(01О - вд))g3- . = 1

' V2 ' /' l2 ' (ki + ei2(k + l))xj ' (ki + №(k +l)) ' j ' .

Введены обозначения

1 k vi ai xi Pi

£i = 1—7" , £2 = -¡—г , v = —, a = —, x = —, P = —, k +1 k + 1 V2 «2 X2 P2

Vj Vj

Sj = -p — число Шмидта , Prj = — — число Прандтля ,

Xj

i-

j (ki + в12 (k + 1))P2V2X2

gj l(Q - в(вю - вд )) M, = -—^———:-—--— - число Марангони ,

_ ^a2l(Q - в(вю - вд))

(ki + ei2(k + 1))P2V22

Sr, = —- -—-- число Соре.

Решение краевой задачи (2.1)—(2.10) ищем в виде нормальных волн

(и, V, Р, Т, К) = (и(п), V(п), р(п), Т(п), к(п)) ехр(*а£ - *Ст), (2.11)

где а — волновое число, С — комплексный декремент. Для амплитуд нормальных возмущений получаем спектральную задачу

Uj + (V2- «J U - Pj-ia = 0, V,'' + ( —iC - Vj - Pj = 0,

iaU, + Vj = 0, (2.12) j + (Xj ¿C - a^ Tj - Vj = 0, Kj' + (j iC - a2) Kj + Prj (j - a2Tj) + dj Vj £j = 0;

П = -1: Ui =0, Vi =0, Ti =0, + Pri =0; (2.13)

j

П = 0: U2 = vUb V2 =0, V =0, K2 = aK,

T P T dT2 , p 3Ti T2 = PrTi, —— = kPr——, dn dn

U2n + ¿aV2 — pv2(Ui n + iaVi) = —MiiaT2 — Sr i«aK2,

dK + P,,dT2 = da (dK + Pr i^I ;

(2.14)

dn dn \ dn dn

П = 1 : V2 =0, = —M2 iaT2 — Sr2«aC2,

(2.15)

T2n + B«T2 = 0, K2n + Pr2 T2n = 0. Для неустойчивости в первом приближении состояния равновесия (1.19) необходимо и достаточно, чтобы хотя бы для одного собственного значения было выполнено условие Im C > 0.

Рассмотрим асимптотическое поведение амплитудных уравнений при а ^ 0. Положим

Uj = U/ + aU/ + ..., V/ = aVj0 + а2 V/+ ..., Р/ = аР/ + а2Р/ + ...,

Tj = аТ/ + а2Т/ + ..., K = aK0 + a2Kj + ..., C = C0 + aC 1 + ...

Подстановка этих выражений в спектральную задачу (2.12)—(2.15) в нулевом приближении приводит к задаче

uf + ^ *C0U° = 0, Р0' =0; vj

iUj + j = 0;

T°" + ^ iC0Tj0 — £j Wj = 0;

j + V2 iC0K0 + PrjT0'' + Vj0 = 0 j d j j j d j j

(2.16)

с граничными условиями на твердой стенке и свободной поверхности

dK0 „ dT0

+ Pr i^—

dn

dK0 „ dT20

U0 = 0, V0 = 0, Т0 = 0, —+ Pr i ^=0, n = —1; (2.17)

dn dn

U20 = 0, V20 = 0, T20 + BiT20 = 0, —2 + Pr2 —2 =0, n = 1. (2.18)

dn dn

На поверхности раздела n = 0 имеем

U20 = vU0, V20 = 0, V0 = 0, K20 = aK0,

T 0 vT 0 dT0 kvdT0

T = aT = (2.19)

Г0' 2тт0' ~ dK0 „ dT20 , /'dK? „ dT0

U20 — pv 2U0 = 0, —^ + Pr^—2 = da —2 + Pr i

dn dn dn dn

В результате решения задачи (2.16)—(2.19) получаем уравнение для определения начального приближения декремента C, чтобы получить численное решение задачи (2.12)-(2.15): ^ ^

pVVcos cos VC0 — sin sin VC0 = 0.

Например, для системы глицерин (80 %) — 60 %-ый раствор этилового спирта С0 = —0, 336 г. Если, в частности, = 1, то С0 = —г [(п/2 + пп)/(1 + л/^)]2 < 0, то есть

длинноволновые возмущения будут затухать. При решении задачи в первом приближении получаем С1 = 0, а значение С2 = —0, 348 г находится из второго приближения задачи. В силу громоздкости полученное выражение не приводится.

3. Численное решение задачи на собственные значения

Задача (2.12)-(2.15) не допускает аналитического решения при произвольных значениях параметров. При изучении термокапиллярной неустойчивости хорошо зарекомендовал себя метод ортогонализации [4]. Для отыскания численного решения методом ортогонализации приведем систему (2.12)-(2.15) к виду = А", где ) — вектор неизвестных; ) — матрица коэффициентов. Для этого сделаем замену для слоя = { — 1 ^ п ^ 0}:

С = п + 1, и = у 1, и = У2, VI = Уз, Р1 = У4,

' ' (3.1)

Т = У5, Т = У6, К = У7, К = У8;

для слоя ^2 = {0 ^ п ^ 1}:

С =1 — п, = 21, и2 = — ¿2, V = ¿з, Р2 = ¿4,

, , (3.2)

Т2 = 25, Т2 = —¿6, К = 27, К2 = —28.

Исключая У',У'' из второго и третьего уравнения (2.12), получим следующую систему уравнений:

1) для слоя = {0 < С < 1}:

у1 =

у2 = уЗ = у4 = у5 = у6 = у7 = у8 =

с граничными условиями на твердой стенке при £ = 0

У1 = УЗ = У5 = 0, У8 + РГ1У6 = 0.

У2,

/ 2 гС а — ~ I + гаУ4,

—гау1,

гС 2

—гау2 +1 — — а ) Уз,

У6,

а2--'С У5 + £1уз,

Х1

У8,

а2 — т" 'С У7 — -г £1Уз — РГ1 £1Уз--'Су5

«1 / «1 \ Х1

(3.3)

2) для слоя П2 = {0 < Z < 1}:

zi = -Z2,

z2 = zi (a2 — ¿C) + ¿az4, z3 = iazi,

z4 = iaz2 — (¿C — a2)z3, z5 = —ze,

z6 = (a2 — P^C )z5 + £2Z3, z7 = —Z8,

(3.4)

с граничными условиями на свободной поверхности при Z = 0:

Z3 = 0, Z2 + ¿aM2Z5 + iaSr2Z7 = 0, Biz5 — ze = 0, Pr2Ze + Z8 = 0.

Граничные условия на поверхности раздела С =1 в силу замен (3.1)-(3.2), можно представить в виде

Особенность применения метода ортогонализации к данной задаче заключается в том, что в каждом слое запускается "классический" метод ортогонализации с граничными условиями на левом участке, при достижении правых участков происходит "склеивание" граничных условий. При этом необходимо найти комплексное собственное число задачи C, при котором задача (3.3)—(3.5) имеет нетривиальное решение при заданных прочих параметрах.

Задача решалась для системы глицерин (80 %) — 60 %-ный раствор этилового спирта. Исследовалась устойчивость при различных значениях числа Марангони и числа Соре на поверхности раздела жидких сред, а также изменение области устойчивости при изменении коэффициента Соре на свободной границе системы, при этом термокапиллярный эффект на свободной границе постоянен (в предположении M2 = const). Результаты расчетов представлены на рис. 1-3. Анализируя полученные результаты, приходим к выводу, что область неустойчивости, которая соответствует положительным значениям Cj, при увеличении числа Марангони на поверхности раздела увеличивается (рис. 1).

zi — vyi = 0,

z3 = 0, уз = 0,

—z2 — pv 2y2 + Miiaz5 + Sriiaz7 = 0,

z5 — Pry5 = 0, —z8 — Pr2ze — da(y8 + Priye) = 0,

(3.5)

z7 — ay7 = 0, ze + kPrye = 0.

-- 3

--

1

!

/ | |

1 0.2 0.6 1 а

Рис. 1. Зависимость С\ от волнового числа а в системе глицерин-этиловый спирт (М2 = 60, Бг1 = Бт2 = -10): кривая 1 - М1 = 260, 2 - М1 = 560, 3 - М1 = 960

Зависимость комплексного декремента от волнового числа а при изменении термодиффузионных эффектов показана на рис. 2. Обнаружено, что при фиксированных числах Марангони в случае увеличения числа Соре на поверхности раздела область устойчивости длинноволновых возмущений понижается.

С Л

200 -

-400

Рис. 2. Зависимость С\ от волнового числа а в системе глицерин-этиловый спирт (М1 = 260, М2 = 60, Бт2 = -10): кривая 1 - Бг1 = -100, 2 - Бг1 = -10, 3 - Бг1 = -1

На рис. 3 приведена зависимость комплексного декремента от волнового числа при М1 = 1260, М2 = 160, $Г1 = -10 для случая увеличения числа Соре Бт2 на свободной границе. Численные расчеты показали, что усиление термодиффузионных эффектов на свободной границе приводит к увеличению области длинноволновой устойчивости.

500

500

Рис. 3. Зависимость С от волнового числа а в системе глицерин-этиловый спирт (М1 = 1260, М2 = 160, Бт1 = -10): кривая 1 - Яг2 = -100, 2 - Яг2 = -10, 3 - Яг2 = -1

Работа выполнена при поддержке гранта НШ 2260.2008.1 и интеграционного проекта СО РАН №116 и гранта РФФИ №08-01-00762.

Список литературы

[1] L.G.Napolitano, Plane Marangoni-Poiseulle flow two immiscible fluids, Acta Astronáutica, 7(1980), № 4, 5, 461-478.

[2] В.В.Пухначев, Движение вязкой жидкости со свободными границами, Учебн. пособие, Новосибирск, НГУ, 1989.

[3] В.К.Андреев, Линеаризованная задача о малых возмущениях движения жидкости с поверхностью раздела при наличии эффектов Соре, Сб. тр. сем. "Математическое моделирование в механике Деп. ВИНИТИ № 1999-B99, 12-33.

[4] С.К.Годунов, О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Успехи мат. наук, 16(1961), вып. 3, 171-173.

Instability of an Equilibrium State of Two Binary Mixtures with the General Interface and One Free Boundary

Marina V.Efimova

The stability of an interface of two binary mixtures under any perturbations is investigated.. The dependence of the complex decrement on the wave number is deduced by means of a numerical method of orthogonalization. We show that the area of instability increases for not deformable interfaces at increase of the Marangoni number, too. The areas of stability of a system with growth thermal diffusion effects on an interface are determined.

Keywords: surface tension, Marangoni the number, stability, thermal diffusion.