Термокапиллярное движение двух вязких жидкостей в цилиндрической трубе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.516

Термокапиллярное движение двух вязких жидкостей в цилиндрической трубе

Виктор К. Андреев*

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Академгородок, 50/44, Красноярск, 660036,

Россия

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный, 79, Красноярск, 660041,

Россия

Владимир В. Кузнецов^

Институт гидродинамики им. ак. М.А. Лаврентьева СО РАН, Лаврентьева, 15, Новосибирск, 630090,

Россия

Получена 18.06.2010, окончательный вариант 25.08.2010, принята к печати 10.09.2010 Исследовано инвариантное 'решение уравнений движения вязких теплопроводных жидкостей, которое интерпретируется как однонаправленное движение в цилиндрической трубе с общей границей раздела, происходящее под действием термокапиллярных сил. Получены априорные оценки скорости и температуры. Найдено стационарное состояние и показано, что оно является предельным при больших временах. Установлено, что термокапиллярный эффект совместно с кривизной поверхности раздела может порождать возвратные течения. В изображениях по Лапласу получено точное аналитическое решение. Даны примеры численного восстановления полей скоростей в зависимости от геометрических и физических параметров жидкостей.

Ключевые слова: термокапиллярность, инвариантное решение, поверхность раздела, априорные оценки, преобразование Лапласа.

1. Основные уравнения и граничные условия

Уравнения движения вязкой теплопроводной жидкости в отсутствие массовых сил в цилиндрической системе координат г, у, г имеют вид

„2

Г

v г uv г

1

р'

1

рг'

2 Vv - u 4

2 v

u v ^2

v1

wt + uwr +— wv + wwz =--pz + v Aw,

г р

u

1

Ur +---+ - Vv + wz

(1.1)

Qt + U0r + - Qv + wQz = хАв,

*[email protected] [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

r

v

z

r

v

v

r

v

z

0

где и, V, т — проекции вектора скорости на оси т, р, г соответственно; р — давление; в — отклонения температуры от её равновесного значения во; V, р, х — положительные постоянные: кинематическая вязкость, плотность, температуропроводность; Д = д2/дт2 +т-1д/дт+ т-2д/др2 + д2/дг2 — оператор Лапласа.

Система (1.1) допускает двухпараметрическую подгруппу непрерывных преобразований, соответствующую операторам

д/др, д/дг + Ад/дв + Вд/дс — р/(€)д/др,

А, В — постоянные, /€ — произвольная функция [1]. Инвариантное решение следует искать в виде

и = и(т,Ь), V = v(r,t), т = т(т^), р = —р/ (Ь)г + гО(т,Ь),в = Аг + Т (т,Ь).

Из четвертого уравнения системы (1.1) следует, что и(т,Ь) = д(Ь)/т с некоторой функцией д(Ь). Далее положим д(Ь) = 0 и, сверх того, предположим, что и v(r,t) = 0. Тогда первое уравнение из (1.1) показывает, что V есть функция только времени, гО(т,Ь) = и представление решения при наших предположениях таково:

и = 0, V = 0, т = т(т,г), р = —р/ (Ь)г + Р(Ь),в = Аг + Т (т^). (1.2)

Применим решение (1.2) для описания однонаправленного движения двух вязких теплопроводных жидкостей в круглой цилиндрической трубе радиуса Ь. Пусть первая жидкость занимает область 0 ^ т ^ а, |г| < то, а вторая — цилиндрический слой а ^ т ^ Ь, |г| < то, так что (т^) — осевая скорость (у = 1, 2), рз = —рз/ (€)г + V^) — давление, вз = Азг + Т (т,Ь) — распределение температуры. Предположим, что коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела т = а линейно зависит от температуры

ст(в) = сто — ж(в — во), (1.3)

где ж > 0 — температурный коэффициент. На поверхности раздела выполнены следующие условия [2]:

(Р —Т1)п = 2стН п + Угст; (1.4)

Д Д 1-дв1 , дв2

и = И2, в-1 = в2, к1 — = к2 дП , (1.5)

где р — тензоры напряжений. Для решения (1.2) они имеют вид

—рз 0 р з т з г

рз =1 0 — р з 0

\ Рз тзг 0 — рз

Рз = рз из,

Н — средняя кривизна поверхности раздела, Уг = п — п(п • V) — поверхностный градиент, кз — коэффициенты теплопроводности смеси и жидкости. Учитывая равенства п = (1, 0,0), Н = ст/(2а), выводим, что соотношение (1.4) эквивалентно двум при т = а:

ст дст

р1 — р2 = - , — Р2-Ш2Т = т— . (1.6)

а дг

Первое из них есть формула Лапласа: разность давлений на криволинейной поверхности уравновешивается капиллярными силами. Второе означает, что разность касательных напряжений уравновешивается термокапиллярными силами — изменением поверхностного натяжения вдоль границы раздела.

Легко видеть, что равенства (1.5) приводят при г = а к следующим граничным условиям:

^М), Г1(а,г)= Т2(а,г), к!дТ1(а,1) = к2 дТ2(а,1) , (1.7)

дг дг

и, кроме того,

А1 = А2 = -А, А > 0. (1.8)

В свою очередь, из (1.6) с учетом (1.2), (1.3) и (1.8) получаем

Ь

Ь(г) = рЬ(ь) + — ,

Р2а

= А(г) - 1 [ас - ®(Т1(а, г) - 0о)],

а

(1.9)

Ь = &А, р = Р1 /р2\ Р1"Ш1Г (а, г) - р2™2г (а, г) = Ь. (1.10)

Граничные условия на твердой стенке при г = Ь таковы:

ю2(ь,г)=0, Т2(ь,г) = 0. (1.11)

На оси симметрии ставятся условия ограниченности

Н(0,г)| < то, |Т1(0,г)| < то. (1.12)

Выпишем уравнения на искомые функции (г, г), Т(г, г). Для этого надо учесть представление (1.2) решения системы (1.1):

= (г) + иАт^т + 1 wjЛ ; (1.13)

Т^г = Xj ^тт + 1 ^ + Awj. (1.14)

В (1.13)—(1.14) при ] = 1 переменная г изменяется в пределах от 0 до а, а при ] = 2 — а <г <Ь. Таким образом, надо решить задачу (1.13)—(1.14) с граничными условиями (1.7), (1.10)—(1.12) и начальными условиями

wj (г, 0)=0, ^ (г, 0) = 0. (1.15)

При этом давление восстанавливается по формулам

р (г,г) = ^ / (г)г + Dj (г),

причем функции fl(г), /2(г) и 1*1 (г), ^2(г) связаны равенствами (1.9) и должны задаваться Ш и х»1(г).

Замечание 1. При г = 0 в силу первого начального условия (1.15) граничное условие (1.10) терпит разрыв первого рода.

Движение двух вязких теплопроводных жидкостей под действием только перепада давления (Ь = 0) в трубе изучено в [3, 4]. Здесь будет рассмотрен случай, когда отсутствует градиент давления во второй жидкости: /2 = 0. Из первого условия (1.9) следует, что /1 = -Ь/р1а = -жА/р1а, т. е. термокапиллярные силы создают градиент давления в первой жидкости. Это связано с тем, что кривизна здесь не равна нулю, и это приведет к интересным следствиям.

2. Стационарное решение

Для такого решения все искомые функции не зависят от времени; обозначим их через w°(r), T0(r). Кроме того, D 1 (t) = D° = const. Выпишем соответствующую краевую задачу: при 0 < r < a

при a < r < b

..он

„о/

fO.

w 1" + - w 1' = ; r V1

о

rpOll . 1 rp O' A O.

Ti + -Ti = — wi; r Xi

|w0(0)| < TO, |TiO(0)| < to;

On

vO"

1 0'

- w° = 0;

r

O A ,

2=- --w.

X2

wO(b)=0, T°(b) = 0;

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

причем согласно (1.9)

(a) — p 2 wO (a) = h, w<O(a) = wO(a), TO (a) = TO (a), ki TO' (a) = k 2T2° ' (a),

fO h ээА

pia pia

DO = DO + - [a° — *(TO (a) — 0o)]

(2.7)

(2.8) (2.9)

Общие решения систем (2.1)-(2.5) легко находятся (учтены условия ограниченности (2.3))

„2

fOr2

w° = Ci — fi r

4vi

TO

— AiO^ — + C2, w° = Сз lnr + С

ХЛ 4 64viJ

rriO _ A

T 2 =--

X2

Car2 u^C4r2

+ C5 ln r + Сб

с постоянными С,..., С6. Учитывая граничные условия (2.6), (2.7), находим представления для стационарного решения

w°(e) = Vt, м

l(e2 — i) — p in a ' P b

e —, 0 < e < 1,

a

(e) = — ^мini 1 <e<ь/

2a

b

2

el 8

t°(e)=AaPiM i1 e2—l8+pe2inь+px[ a) — pinь—px[ i—inь) — 8 +

+

a k a

px[ 1 — 2in -J +2 [1+4p in -

a

ы Ь

0 < e < 1,

(2.10)

1

1

r

O

w

a

2

Т2°(С) =

АаРг1М 8

РХ

ю - +(а

2 п

+

РХ\ 1 - 21п ь ) +

ка + 2 - + 1П Ь

ч а«

1 < « < Ь/а

где М = жАа2 / (^1^1) - число Марангони, Рг1 = 1/1 /х1 - число Прандтля первой жидкости, р = ^1/^2, X = Х1/Х2. Отметим некоторую особенность поля скоростей т°(«). Если Ь < аехр(1/2р), тогда для «* = [1 + 2р 1п(а/Ь)]1/2 > 0 функция обращается в ноль: т°(«*) = 0, т. е. скорость меняет знак при « £ (0,1). Для Ь ^ аехр(1/2р) всегда т°(«) ^ 0 (рис. 1). Таким образом, эффект Марангони формирует не только обычное термокапиллярное течение, но и возвратное течение в области « £ (0,«*). Это связано с ненулевой кривизной поверхности раздела. Поэтому отбрасывание первого граничного условия в (1.6), как это делается во многих работах (см. обзор [5]), является грубой ошибкой и приводит к совершенно иному результату. Именно в рассматриваемой конфигурации в области 0 ^ г ^ а будет постоянный профиль скорости т1 = -^1рМ(2а)-11п(а/Ь).

Заметим, что расход в первой жидкости равен нулю, если геометрические и физические параметры связаны соотношением Ь = а ехр(1/4р).

Рис. 1. Структура стационарного течения

3. Нестационарное движение

Можно видеть, что сопряженная задача (1.13), (1.14), (1.7), (1.10)-(1.12), (1.15) решается последовательно: сначала определяются поля скоростей Wj(г, г), а затем и возмущения температур Т(г, г).

Для скоростей имеем задачу

( 1 А ®А . .

т1г = т1тт +— т1т--, 0 ^ г < а; (3.1)

V г ) р1а

т1 (г, 0)=0, |т1 (0,г)| < то; (3.2)

т2г = ^2 ^т2тт + 1 , а <г < Ь; (3.3)

т2(г, 0)=0, т2(Ь,г) = 0; (3.4)

т1(а,г)= т2(а,г), (а,г) - ^^т(а, г)=жА. (3.5)

Естественно поставить вопрос о сходимости решения задачи (3.1)-(3.5) к стационарному решению из (2.10). Для этого введем новые функции

Vj(г, г) = т°(г) - Wj(г, г), (3.6)

которые являются решением уже однородной задачи (3.1)-(3.5), но с ненулевыми начальными данными

v1 (г, 0) = т°(г) (0 < г < а); v2(г, 0) = т°(г) (а < г < Ь).

(3.7)

Замечание 2. Второе граничное условие (3.5) будет однородным только для г > 0. При г = 0 его правая часть равна ж А, см. замечание 1.

Легко показать, что для начально-краевой задачи на функции Vj (г, г) справедливо интегральное тождество — закон изменения кинетической энергии —

— (Р1 ¿г { 2

то2? ¿г + — 1 + 2

гги2 ¿г \ +

а Ь

гv1т ¿г + ^2

¿г

0, г > 0, М1п- , г = 0.

(3.8)

При выводе (3.8) учтены условия (3.2), (3.4), (3.5), (3.7) и равенство

avl(a, 0) [рlVlт (а, 0) - р2V2т (а, 0)] = жАат°(а) =--М1п ( -ц ].

Последнее следует из замечания 2 и (2.10). Нам понадобится следующая

Лемма 1. Имеет место неравенство

гv'2 ¿г +

¿г ^ М°

п\т ¿г + Р2

¿г

(3.9)

с постоянной М°, являющейся решением вариационной задачи

М° = вир

го\ ¿г +

¿г

п\т ¿г + Р2

¿г

где V С №2(г;0,а)х№2 (г; а,Ь), при/чем для v1, v2 выполнены граничные условия (3.2), (3.4), (3.5) (в последнем жА = 0).

Доказательство леммы см. в [6].

Обозначая через Е(г) "кинетическую энергию" слоев

Е(г) = 2

Р1

ГV2 ¿г + Р2

ги2 ¿г

Ь

а

°

°

а

а

Ь

Ь

а

а

°

°

а

а

Ь

а

°

а

Ь

а

°

а

Ь

а

°

а

и используя (3.9), приходим к неравенству

dE

— + 2SE < h(t), dt

(3.10)

где 6 = М-1 шт^-1, р-1), к^) — правая часть соотношения (3.8). Заметим, что к^) является суммируемой неотрицательной функцией и интеграл от нее просто равен нулю. Применяя к (3.10) неравенство Гронуолла [7], получим

Е(^ < Е(0) с-ш, (3.11)

где в силу начальных условий (3.7)

E(0) = 2

p1

r(w1O)2 dr + p2

r(w°) dr

v?M2

it,2 a 1 , a 1 \ p2p2

16 \Pi{P Xn Ь + 2 P'n Ь + *) + Ppp

b\2 , a , 2 a

- — 1 + 2 i^ — 2in2 -a) b b

Таким образом, 'решение задачи (3.1) —(3.5) согласно замене (3.6) и оценке (3.11) стремится к стационарному решению равномерно по т € [0, а] и т € [а, Ь] при t ^ то в нормах пространств Ь2(т;0,а) и Ь2(т; а,Ь) соответственно.

Для функций Т(т,Ь) имеем начально-краевую задачу с уже известными т з(т,Ь):

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

где Т0(т) — стационарное решение задачи (3.12)-(3.16), определяемое формулами из (2.10). Тогда функции N з будут решением задачи вида (3.12)-(3.16) с начальными данными

Tit = X^Tirr + rTirJ + Awi(r,t), 0 < r < a; Ti(r, 0)=0, |Ti(0,t)| < to;

T2t = X2 ^T2rr + 1 T2^j + Aw2(r,t), a < r < b;

T2(r, 0)=0, T2(b,t)=0;

Ti(a,t) = T2(a,t), kiTir (a,t) = k2T2r (a,t). Вновь произведем замену

Nj (r,t)= T0(r) — Tj (r,t),

Nj(r, 0) = T0(r), j = 1, 2,

(3.18)

а правые части уравнений (3.12) и (3.14) надо заменить на А[т1(т, ^—т0^)], соответственно, А[т2(т^) — т0(т)]. Так как Хз = ^/(р^с^) (сз- — коэффициенты удельных теплоемкостей жидкостей), то из задачи для N з(т,Ь) получим интегральное равенство, аналогичное (3.8),

dEi ~dt~

+k1

rN(r dr + k2

= A

pici

rNi(wi — w°) dr + P2C2

rN2r dr

rN2 (w2 — w°) dr

(3.19)

b

a

O

a

b

a

O

a

b

a

O

a

где

Е1(г) = 2

Р1С1

гМг ¿г + Р2С2

гм^ ¿г

(3.20)

2 Рз

Поскольку из (3.11) ¡^з - w0\\l2 < ^/— Е(0) е гг, то правая часть (3.19) допускает оценку сверху

2Ау/Ё(0)тах(7С1, УС2)

Р1С1

1/2

гМ'( ¿г) +

А Р2С2

V 2

гм| ¿г

1/2п

е-гг <

< ^л/2 Ау/ГЕ(0) тах(^С1, Е1(г) е"

гг

так как л/ж + ^/у ^ -у/2(ж + у) для неотрицательных ж, у. Используя лемму 1, приходим к неравенству

(3.21)

¿г

¿1 = М° 1 тт

11

-1 к1 к2 М° тт | — , —

ЧР1С1 Р2С2) \Х1 Х2

¿ = ^л/2^Е(0)тах(^СГ, ^С2).

Из (3.21) получим оценку

, е-гг + ---

уещ ^ |61 - 6|

(е-гг - е-г1г), ¿1 = 6,

|

¿г + У/Е1(0)) е-гг, ¿1 = 6,

(3.22)

откуда и следует, что возмущения температур равномерно по г при г ^ то стремятся к их стационарным значениям в пространствах Ь2(г;0,а), Ь2(г; а,Ь) соответственно. В (3.22)

Е1(0) = 2

Р1С1

г(Т1°)2 ¿г + Р2С2

г(Т2°)2 ¿г

Вычисление Е1(0) не представляет труда, см. формулы (2.10) для Т°(г). Однако конечное выражение является громоздким и здесь не приводится.

Замечание 3. На самом деле, используя методы работы [4], можно доказать сходимость решения задач (3.1) —(3.5) и (3.12) —(3.16) к стационарным решениям при г ^ то в равномерной метрике пространств С[0, а] и С[а,Ь]. При этом сходимость остается экспоненциальной, с меньшим, вообще говоря, показателем для т1(г,г), Т1(г,г).

4. Решение в изображениях по Лапласу

Поскольку начально-краевые задачи (3.1)-(3.5) и (3.12)-(3.16) являются линейными, применим к ним преобразование Лапласа [8]. Будем обозначать "волной" такое преобразо-

вание:

1(г,р) =

е-ргг(г,г) ¿г.

Ь

а

°

а

Ь

а

2

°

а

Ь

а

°

а

°

Из (3.1)-(3.5) получим краевую задачу для изображений й^ (г,р):

1

/ ■*■ Р ~ жА

й- +— й---й- =-, 0 ^ г < а;

г V- - —

Р1 ар \й\(0,р)| < то;

1 р

йо +— —2--й2 =0, а < г ^ Ь;

Г V2

йо(Ь,р) = 0;

жА

й-(а,р) = й2(а,р), р1й1(а,р) — ро—'о (а,р) = -,

р

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

где "штрих" означает дифференцирование по г.

Общие решения уравнений (4.1), (4.3) удобно представить в виде (для й- учтено условие ограниченности (4.2))

. ж^А

й-(г,р) =--2

р-ар2

1 — О110[ , /V- г

(4.6)

С21о[\1 - г) + С3Ко(<1 - г

й' (г, р) = -'

р-ар2 I \\ V' ) \ \ V'

Постоянные С-, С2, Сз находятся из оставшихся граничных условий (4.4), (4.5)

0

С- = 1

С3 = ~т 3 1

0 1о(г) Ко(г)

1 —1о(у) —Ко(у)

^ —1-(у) К-(у) V V

0 1о(г) 0

1о(х) —1о(у) 1 ±Ь(х) —1-(у) ^

\ V Л/v

С = 1

1о(х)

1-

1о(х)

0 Ко(г)

1 —Ко(у)

рх К- (у)

ш Ко(г)

—1о(у) —Ко(у)

—Ну) К-(у)

(4.7)

где х = ау/р/й-, у = ау/р/й2, г = Ьу/р/^.

Что касается функций Т (г,р) (у = 1,2), то они определяются по формулам

т-^.р'") = - -р^р^

р-ар^

1 +

С-

Рп - 1

1о[*1 -И + —г

0 < г < а;

Т2 (г, р)

1

жА2 р-ар3 [ Рг2 — 1

й2 р~

С21о[<1 - И + СозКо(<1р г

й2

а < г < Ь,

+

(4.8)

+В21о(^ 0 + 0},

где С-, С2, С3 из (4.7), а Б-, Б2, Бз находятся из граничных условий Т2(Ь,р) = 0, Т-(а,р) =

0

х

T2(a,p), kiTir(a,p) = k^T^r(a,p). После некоторых вычислений получим

Hi Io(yi) Ko(yi) 0 Io(zi) Ko(zi)

H VXii(vi) -VXKi(vi)

* = Ai

Io(x) H1 Ko(yi)

0 0 Ko(zi)

kIi(xi) H2 —VXKi(yi)

D3 = -r-

3 Ai

Io(x) Io(yi) Hi

0 Io(zi) 0

kli(xi) /XIi (yi) H2

Ai

Io(xi) Io(yi) Ko(yi) 0 Io(zi) Ko (zi) kli(xi) VXIi(yi) —VXKi(yi)

(4.9)

В (4.8), (4.9) введены следующие обозначения: Prj = Xj/vj, xi = ay/p/Xi, yi = ^VPTx2, Zi = by/p/x2, k = ki/k2, X = Xi/X2,

Hi

1

H

2=

Pr2 — 1 Л/PrT

1

11

+

Pri - 1 Pr2 - 1

+

MPr2

_1 — Pri V/Pri(1 — Pr2).

CiIi(x) +

CiIo(x),

MPr2

V/PiT(Pr2 — 1)

(4.10)

Для упрощения вида Н1, Н2 были использованы граничные условия (4.4), (4.5).

Формулы (4.8)-(4.10) справедливы для чисел Прандтля Рг3 = 1, что обычно выполнено для жидкостей. При Рг3 = 1 вместо (4.8) имеем представления

Ti(r,p) = — Т2(г,р) =

жА2 piap3

жА2

1 — CirIi ^ г + ПЛ(Л г

piap3

^{{l г) +

C2IAJ1 г) — C3KJJ1 г

+

Покажем, что lim pWj (r,p) = wj0(r), где wj(r) определяется формулами (2.10) (для

p^o

Tj(r,p) выкладки являются аналогичными). В силу свойства преобразования Лапласа это влечет за собой предельное соотношение lim Wj(r,t) = w°(r), уже установленное нами в п. 3

с помощью априорных оценок. Действительно, поскольку при малых t Io(t) — 1 + t2/4, K0(t)--ln(t/2), Ii(t) - t/2 + t3/16, Ki(t) - 1/t + 2-it ln(t/2), то при p ^ 0 из (4.7)

1

А---

y

1 +

x2 + z2

—j<p—a

a2p 1 a

Ci ~ 1 — 2Vi U + Mln b

C2 ~ xy ln ( -

2 2^/V У у 2

C3

~ -= xy.

2y/V

Теперь из (4.6) при p ^ 0

pw1 ( г, p)

жАа

2 fe—0 — M in a

= w0(г),

x

p

г

4

жАа а о

рй2 (г, р)----- р = й2(г).

Ь

В силу п. 3 это ожидаемый результат, который хорошо подтверждается путем численного обращения преобразования Лапласа. На рис. 2-5 показана эволюция безразмерных профилей скоростей (£ = г/а, т = й-Ь/а2 — безразмерное время)

,(е,т ) =

2а

' — -ГТ

' 3

и их быстрый выход на стационарный режим

(£,т) (з = 1, 0 < £ < 1; 3 =2, 1 < £ < Ь/а)

2(е2 — 1) — р1па, з = 1;

3 = 2.

Ч Ье

Рис. 2, 3 относятся к случаю толстого слоя с Ь/а = 2, а рис. 4, 5 — к тонкому слою с Ь/а = 1.1. Видно, что интенсивность движения во втором случае в цилиндрическом слое очень мала.

Рис. 2. Профили скоростей при Ь/а = 2, р = 0, 5, V = 1

5. Затопленная струя

Предположим, что под действием термокапиллярных сил происходит движение цилиндрической струи в неограниченной жидкости. Для решения этой задачи достаточно перейти к пределу при Ь ^ то в формулах (4.6), (4.7). Поскольку при г ^ то (Ь ^ то)

Рис. 3. Профили скоростей при Ь/а = 2, р = 0,1, V =1

Рис. 4. Профили скоростей при Ь/а =1,1, р = 0, 5, V = 1

то после некоторых вычислений приходим к формулам

т1(г,р) = -

жА р1ар2

1

К1(у) + ^К°(у)

^-НАЛ

(5.1)

г

Рис. 5. Профили скоростей при Ь/а = 1,1, р = 0,1, v = 1

W(r,p) = ^^ [xIo(x) - Ii (x)] W-1 Ko(x flr) , Piap2 v v \ \ V2 )

W = Io(x)Ki(y) + Ko(y)h(x). фу

Здесь учтено условие ограниченности: |ü>2(r,p)| < ж при r ^ ж.

Заметим, что есть простое стационарное решение задачи (2.1), (2.3), (2.4), (2.6), (2.7) при Ь = ж

»°<r>==Aa (S - о, "o<r)=0- ^

Оно описывает термокапиллярное течение Пуазейля в струе, окруженной неподвижной теплопроводной жидкостью. Однако течение (5.2) не является предельным при t ^ ж, соответствующим формулам (5.1) нестационарного движения, поскольку не существует пределов lim pjvjj (r, p). Это и неудивительно, так как здесь нет тормозящего влияния твердой стенки.

Таким образом, происходит эволюция затопленной струи с постоянным диаметром сечения 2а под действием перепада давления, определяемого эффектом Марангони. Он же порождает нестационарное движение и окружающей жидкости.

Изображения по Лапласу для Tj (r,t) при Ь = ж могут быть найдены из (4.8), (4.9).

Работа поддержана грантом РФФИ № 08-01-00762 и интеграционным проектом СО РАН № 116.

Список литературы

[1] В.К.Андреев, Ю.А.Гапоненко, Математическое моделирование конвективных течений, Учебное пособие, Красноярск, КрасГУ, 2006.

[2] В.К.Андреев, В.Е.Захватаев, Е.А.Рябицкий, Термокапиллярная неустойчивость, Новосибирск, Наука, 2000.

[3] В.К.Андреев, Свойства решений сопряженной задачи о совместном движении цилиндрических слоев вязких жидкостей, Труды 39-й Всероссийской конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, ИМиМ УрО РАН, 2008, 87-91.

[4] В.К.Андреев, О совместном однонаправленном движении двух вязких теплопроводных жидкостей в трубе, ПМТФ, 51(2010), № 4, 57-71.

[5] В.К.Андреев, Решение Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения, Препринт № 1-10, Красноярск, ИВМ СО РАН, 2010, 1-66.

[6] В.К.Андреев, О неравенстве типа Фридрихса для составных областей, Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика, 1(2008), № 4, 349-370.

[7] О.А.Ладыженская, Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, М., Наука, 1970.

[8] М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат, Методы теории функций комплексного переменного, М., Наука, 1973.

Thermocapillary Motion of Two Viscous Liquids in a Cylindrical Pipe

Victor K. Andreev Vladimir V. Kuznetsov

A study is made of an invariant solution of the equations motion of a viscous heat-conducting fluids, which is treated as unidirectional motion in a circular pipe with a common interface under the action of the thermocapillary force. A priori estimates of the velocity and temperature are obtained,. The steady state is determined and it is shown that, at larger times, this state is the limiting one. It was established that the thermocapillary effect with surface curvature can induce the return flow. Using Laplace transformation properties the exact analytical solution was constructed. Some examples of numerical reconstruction of the velocities fields depending on geometric and physical parameters were considered.

Keywords: thermocapillary, invariant solution, interface, a priori estimates, Laplace transformation.