О локальной и глобальной выпуклости регулярных областей в Rn Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

О локальной и глобальной выпуклости регулярных областей в Rn

Зиновьев Б.С., канд. физ.-мат. наук, Соколов А.Б., ст. преп., Елкина Г.М., доц.

Предлагается подход к изложению условий выпуклости регулярных областей в Rn на основе понятия опорной гиперплоскости. Вводится класс квазивыпуклых функций, более широкий, чем класс выпуклых функций.

Ключевые слова: гиперплоскость, регулярные области, квадратичная форма, локальный экстремум.

Оп local and global convexity of regular domains in Rn

Zinov'yev B.S. cand. phys.-math. sci., Sokolov A.B., Yolkina G.M.

A new approach to introducing the conditions of the convexity of regular domains in Rn is given. The approach is based on the conception of the supporting hyperplane. A class ov quasi-convex functions is introduced; this class is wider than the well-known class of the convex functions.

Key words: hyperplane, regular domains, quadratic form, local extremum.

Обозначим через < a,в >= a1e1 +... + an en

скалярное произведение векторов a(a1...an) и в^.-в).

Определение. Гиперплоскость

П= {х :< с, х >=Х} называют опорной (локально

опорной) в граничной точке х0 множества G, если для всех х е G (некоторой окрестности и(х0) точки х0) выполняется неравенство

{х :< c,х ><^,< c,х0 >=Ц (х е G о U(х0)) .

Определение. Область D с Rn называют выпуклой (локально выпуклой), если для каждой граничной точки х0 е dD существует опорная (локально опорная) гиперплоскость.

Определение. Область D с Rn называют строго выпуклой (локально строго выпуклой), если для каждой граничной точки х0 edD существует опорная (локально опорная) гиперплоскость, имеющая с границей области dD только одну общую точку х0.

Теорема 1. Локально выпуклая (строго локально выпуклая) область D с Rn является и выпуклой (строго выпуклой) областью.

Определение. Область D = {х: ф(х) < 0} называют регулярной, если существует функция ф(х) е C(2) в окрестности границы U (dD) и gradф ф 0 на dD.

Теорема 2. Пусть область D = {х е Rn^(х) < 0} регулярная и такова, что

для каждой граничной точки х0 е dD квадра-

. / 0 ~\ д2ф (х0) _

тичная форма ю(ф,х°,a) => ———-a-.a, >0

jl дх^хУ '

для касательных векторов a = (a1.an), опре-

деленных условием < grad ф, a >= 0, a ф 0. Тогда область D строго выпукла.

Определение. Действительную функцию ф( х) е C(2) называют выпуклой в области D, если в этой области выполняется неравен-

ство ю(ф, х, а) = ^

d2ф(х )

/, j=1 9х/ dxJ Обозначим

I = { а є Rn,< grad ф(х0),а >=

aj aj > 0 для V а є Rn .

через

П(х0) = { а є Rn,< grad ф(x0),a >= 0},

8(x, A) = inf |x - y| ,(y є A) расстояние от точки x

до множества A с Rn .

Теорема 3. Область D є Rn выпукла, если функция - ln(8( x, dD)) выпукла в пограничной полосе D о U(dD), где U {dD)- некоторая окрестность границы dD.

Доказательство можно построить аналогично доказательству псевдовыпуклости в [1]. Теорема 4([2]). Пусть область

D = {xєRn :ф^)<о} такова, что фєСв окрестности D , grad фФ 0 на dD. Тогда область D выпукла тогда и только тогда, когда для каждой точки x0 є dD ю(ф,x0,а) > 0 для всех а є П(x0).

Доказательство имеется в [2], при этом используются идеи из [3]. Отметим также, что для псевдовыпуклых областей в Сп аналогичное условие было получено Бремерманом в 1959 г.

Теорема 5. Знак формы ю(ф,x0,а) для векторов а є П(x0) инвариантен относительно функции ф, задающей регулярную область

D = {x : ф(x) < 0}.

і

Для теорем 2 и 4 рассмотрим случай двух переменных.

Теорема 6. Для того чтобы регулярная

область D = {x є R2,ф(xbx2)}< 0 была строго

выпуклой, достаточно, чтобы всюду на dD выполнялось неравенство (grad фФ 0 на dD)

А(ф) > 0 , где А(ф) = -

0 дф дф

дx1 дx2

дф д2ф ф 2 СО

дx1 дx12 дХ2дХ1

дф ф 2 СО ф 2 СО

дx2 дx1дx2 2 2

Теорема 7. Для того чтобы регулярная область й = {х є R2,ф(хьх2)< о} была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы всюду на

дй А(ф) > 0 .

Пример 1. й = {х є R2: х2 + х22 < і},

ф( Хі,Х2)

А(ф) = 8(х12 + х22) > 0, х ф 0. Поэтому эта область строго выпукла.

Пример 2.

й = {х є R2 : х11/2 + х21/2 < і} х1 > 0, х2 > 0,

А(ф) = -

1

1

1

< 0.

1^д/х1х2 [х2,,1х~1 Х1Л/Х2 Поэтому область й не является выпуклой.

Рассмотрим случай, когда

ф( Х1, ..., Хп) = хп - Ч (Х1,..., хп-1).

п ^2 п-1 з2х

_ д ф х-"' д I

Тогда > ------------а,а-, = -> ---------------

дх ■ дх ■ дх х •

I, 1=1 дх1 дх1 I, 1=1 дх!х1

п Д п-1

■ aaj,

V^. ai = 0 «У—a,- = an

U dxi ' U ^ ' n

(для n = 2 имеем x2 - f(x1) = ф(x1,x2)), дф = df ; d ф = 1

df

dx1 д2ф

dx1 дx■, d 2f

д x12

д 2ф dx1dx2

д 2ф

d x12 д x2

= 0,

= 0

и тогда А(ф) = -

df

df

dx1

d 2f

dx1 dx1

1 С

d 2f

dx 2

А(ф) =

-d 2f dx12

> 0

d 2f dx12

< 0.

Таким образом, можно сформулировать следующие теоремы.

Теорема 8. Пусть в некоторой окрестности точки М0 возможного локального экстремума функция у = I(х), х е Rn , дважды непрерывно дифференцируема. Тогда, если в этой точке имеет место квадратичное неравенство

/хлл0- Л д2Ч(М0) „ к

ю(Ч,М ,а) = > —-—-а,а, < 0 для любых век-

11 дх1дх1 1

торов а ф 0, то в этой точке функция имеет локальный максимум.

Если ю(Ч, М0, а) > 0 для У а ф 0, то в этой точке функция имеет локальный минимум.

Отметим, что эта теорема известна в ТФМП, так как второй дифференциал d 2Ч есть

п д^Ч

квадратичная форма d2Ч = > — dХjdХl

д, 1=1 дх1дх1 дифференциалов dxk, к = 1,2,...,п .

Теорема 9. Для того чтобы дважды дифференцируемая функция у = Ч(х) в точке локального экстремума М0 имела локальный максимум (минимум), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности и(М0) выполнялось неравенство ю(Ч, М0, а) < 0 (ю(Ч, М0, а) > 0) для любых векторов а е Rn .

Для случая функции у = I (х), х е R1 имеет место следующая теорема.

Теорема 10. Для того чтобы функция

у = I(х) е С(2) в точке возможного локального

экстремума М0 имела локальный максимум (минимум), необходимо и достаточно, чтобы в

некоторой окрестности d 2Ч (М 0)

неравенство

<0

U(M ) выполнялось

( d 2f (M)

dx2

>0

Отметим, что в этих теоремах пришлось «выйти» в окрестность стационарной точки.

Далее рассмотрим аналитическое условие гиперплоскости. Поставим следующую задачу: охарактеризовать гиперповерхность {ф(х) = 0}, х є Rn , на которую наложены условия:

І д2ф(х) = 0 ¿5=1 дхідхі '

І дф а=0 (*)

і=1 дхі

для любых а є Rn , т. е. а є П(х) в любой точке гиперповерхности.

Решением задачи является следующая теорема.

Теорема 11. Регулярная гиперповерхность {ф(х) = 0} в Rn будет гиперплоскостью

тогда и только тогда, когда для любой ее точки будут справедливы условия (*).

Мы знаем два доказательства этой теоремы. Для х є R2 имеет место следующая теорема.

Теорема 12. Для того чтобы регулярная гиперповерхность й = {х є R2, ф( х1, х2) < 0} была

гиперплоскостью, необходимо и достаточно, чтобы всюду на ней А(ф) = 0 .

Рассмотрим поверхности уровня выпуклой функции С = ^(х1,х2 ...,хп) или

ф(х^...,хп) = —С + /"(х1,..., хп) = 0. Это уравнение задает поверхность в пространстве Rn, которая ограничивает область й = {х є Rn,ф(х) < 0}. Эта область будет выпуклой, так как на дй выполня-

п ^2 п ~>2г

Ед ф V"' д і Л

-----а-.а-, = І -----а,а, > 0

дх .¿у і і ¿—і дх -дх- і і

і,,=1 дхі дхі і,,=1 ¿Хі дхі

для У а є Rn (см. теорему 4).

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 13. Поверхность уровня выпуклой функции ограничивает выпуклую область. Введем более широкий класс квазивыпуклых функций, для которых данное свойство также имеет место.

Определение. Функция у = і(х), х є Rn , і(х) є С(2) называется квазивыпуклой в й, если

в области й выполняется неравенство юі,М0,а) > 0 для векторов а єП(М).

Теорема 14. Выпуклая функция является квазивыпуклой функцией.

Учитывая теорему 4, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 15. Поверхность уровня квази-выпуклой функции ограничивает выпуклую область.

Верна следующая обратная теорема.

Теорема 16. Если поверхность уровня некоторой функции класса С(2) ограничивает выпуклую область, то это квазивыпуклая функция.

Таким образом, выпуклость областей, ограниченных поверхностями уровня функций класса і(х) є С(2), является геометрическим характеристическим свойством квазивыпуклых функций.

Список литературы

1. Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных. - М.: Наука, 1964.

2. Аронов А.М., Зиновьев Б.С. Об аналитических условиях обычной и линейной выпуклости областей с гладкими границами // Изв. вузов. Математика. - 1974. - №8 (147). - С. 11-15.

3. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. - М.: Мир, 1968.

Зиновьев Борис Сергеевич,

Ивановский государственный энергетический университет,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики,

телефон (4932) 26-97-62.

Соколов Александр Борисович,

Ивановский государственный энергетический университет, старший преподаватель кафедры высшей математики, телефон (4932) 26-97-62.

Елкина Галина Михайловна,

Ивановский государственный энергетический университет, доцент кафедры высшей математики, телефон (4932) 26-97-62.