О свойстве внутрь-продолжаемости представляющих систем экспонент на выпуклых локально замкнутых множествах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 2, С. 36-45

УДК 517.9

О СВОЙСТВЕ ВНУТРЬ-ПРОДОЛЖАЕМОСТИ ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ НА ВЫПУКЛЫХ ЛОКАЛЬНО ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ1

С. Н. Мелихов, З. Момм

Пусть Q — выпуклое локально замкнутое множество в С^; А^) — пространство ростков всех функций, аналитических на Q, с естественной топологией проективного предела. В статье доказаны необходимые и (отдельно) достаточные условия геометрического характера того, что последовательность экспонент является абсолютно представляющей системой в А^).

Ключевые слова: абсолютно представляющая система экспонент, локально замкнутое множество, пространство аналитических функций.

Введение

Пусть Q — выпуклое локально замкнутое подмножество CN, A(Q) — пространство всех функций, голоморфных в некоторой открытой окрестности Q, с естественной топологией проективного предела (детали см. ниже). Частными случаями пространств A(Q) являются пространство Фреше функций, голоморфных в выпуклой области в CN, пространство ростков функций, голоморфных на выпуклом компакте в CN, пространство вещественно аналитических функций на выпуклом открытом подмножестве RN. В настоящей статье мы доказываем необходимые и (отдельно) достаточные условия того, что последовательность экспонент является абсолютно представляющей системой в A(Q). Показано (теорема 8), что необходимым условием того, что система экспонент (e\k)u&M, для которой | lim -jfkj1 = 0 (при условии, что Q обладает базисом окрестностей, состоящим

из областей голоморфности, в случае N > 1), является следующее геометрическое свойство Q: пересечение Q с любой опорной гиперплоскостью к замыканию Q компактно (теорема 8). Отсюда следует, что для открытого подмножества Q С RN в пространстве A(Q) вещественно аналитических функций на Q не существует такой абсолютно представляющей системы экспонент. Для выпуклого компакта K доказаны (теорема 14) достаточные условия геометрического характера (невырожденность и гладкость компакта K в направлениях, связанных с Q), при которых всякая абсолютно представляющая в пространстве Фреше A(int Q + K) система экспонент (едк )kgM, для которой lim Щ = 0,

1 k 1

является также абсолютно представляющей в A(Q) (т. е. исследовано некоторое свойство внутрь-продолжаемости абсолютно представляющей системы экспонент). Ранее теорема 14 была доказана для произвольной выпуклой области Q и выпуклого компакта

© 2008 Мелихов С. Н., Момм З.

1 Работа выполнена при финансо: проект № 07-01-00329-а и Немецкой службы академических обменов (DAAD).

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,

K (без предположения lim ^ = 0) Ю. Ф. Коробейником и А. Ф. Леонтьевым [2] при

1 k1

N = 1 (в статье [2] и введен термин «внутрь-продолжаемость») и А. В. Абаниным [1] при N ^ 1.

1. Локально выпуклые множества и их свойства

Для множества B С CN через conv(B), cl B и int B обозначим выпуклую оболочку, замыкание и внутренность B соответственно. Символы intrB, drB обозначают относительную внутренность и относительную границу B относительно некоторого большего множества (которое определяется из контекста). Полагаем S(z,r) := {w £ CN : |w — z| < r},

N

z £ CN, r > 0; U := S(0,1); (w,t) := £ wktk, |w| := (w,w)1/2, w £ CN.

k=1

Определение. Множество Q в CN называется локально замкнутым, если для любой точки z £ Q существует ее замкнутая окрестность V такая, что пересечение Q П V замкнуто.

Ясно, что любое замкнутое или открытое подмножество CN локально замкнуто. Следующая характеризация выпуклых локально замкнутых множеств установлена в [13, лемма 1.2].

Лемма 1. Пусть множество Q С CN выпукло. Следующие утверждения равносильны:

(i) Q локально замкнуто.

(ii) Q имеет счетную фундаментальную систему компактных подмножеств.

(iii) Q является объединением своей относительной внутренности intr Q и открытой части ш своей относительной границы drQ. Если это так и (Kn)nSN и (шп)ngN — фундаментальные системы компактных подмножеств intr Q и ш соответственно, то Qn := conv(Kn U шп), n £ N, образуют фундаментальную систему компактных подмножеств Q.

Определение. Выпуклое множество Q С CN будем называть строго (соответственно C-строго) выпуклым в drш, если пересечение Q с каждой опорной (соответственно комплексной опорной) гиперплоскостью к cl Q С CN компактно.

Замечание 2. (а) Если int Q = 0, то Q является строго выпуклым (соответственно, C — строго выпуклым) в drш в том и только в том случае, когда всякий прямолинейный интервал в ш относительно компактен в ш (соответственно, всякий прямолинейный интервал в ш, C-аффинная оболочка которого лежит в некоторой опорной гиперплоскости к cl Q, относительно компактен в ш).

(б) Если int Q = 0, то Q С CN строго выпукло в drш тогда и только тогда, когда Q компактно.

(в) Каждое выпуклое множество Q С C является C-строго выпуклым.

(г) Пусть выпуклое множество Q С CN C-строго выпукло в drш. По [12, лемма 3, доказательство теоремы 1.2] Q обладает базисом окрестностей, состоящим из линейно выпуклых открытых множеств, т. е. из открытых множеств, дополнение которых является объединением комплексных гиперплоскостей. Эти множества псевдовыпуклы [11, предложение 4.6.3], а, значит, являются областями голоморфности [6, теорема 4.2.8].

Лемма 3. Выпуклое локально замкнутое множество Q С CN строго выпукло в drш тогда и только тогда, когда семейство CN (Q) всех открытых выпуклых окрестностей Q является базисом окрестностей Q.

< Пусть П С CN — открытая окрестность Q. Покажем, что существует По £ CN(Q) такое, что Q С По С П. Если внутренность Q пуста, то в силу строгой выпуклости Q в drш множество Q компактно. В этом случае существование такого По очевидно.

Пусть внутренность Q непуста. Для каждого z £ dQ выберем опорную гиперплоскость Rz к cl Q в z и обозначим через Pz открытое полупространство с границей Rz, содержащее int Q. Для n £ N положим dn := dist(wn, дП) > 0. Для z £ wn\wn-1 (ш0 := 0) пусть Az := Pz + dnU, где U — открытый единичный шар в CN. Для z £ (dQ)\w пусть Az := Pz. Из строгой выпуклости Q в дгш следует, что Q С Az для любого z £ dQ.

Положим далее П := Р| Az и По := int П. Поскольку П С (int Q) U I (J (wn + dnU)

zeOQ VneN

то выпуклая область По содержится в П. Покажем, что Q С По.

Очевидно, int Q С По. Пусть z € wn\wn-i для некоторого n € N. Как и в [12, лемма 1 в доказательстве теоремы 1.2]; при этом заменяем «комплексную опорную гиперплоскость» на «действительную опорную гиперплоскость», существует m > n такое, что

cm : = inf dist(z,Rw) > 0 и поэтому tm : = min{dm,cm} > 0. Отсюда следует, что w€(dQ)\o>m

z + tmU С П0 и, значит, z € П0.

Заметим вначале, что, если N = 1 и Q — некомпактный интервал в R, CN(Q) не является базисом окрестностей Q. (Например, пусть Q = (a,b), где —то < a < b ^ +то. Область П := {z € C : | Imz| < (Re z — a)2 и Rez > a} — окрестность Q. Так как для каждой точки t € П, для которой Im t = 0, найдется точка w € Q, достаточно близкая к a и такая, что отрезок [w, t] не содержится в П, то не существует выпуклой окрестности Q, содержащейся в П.)

Предположим теперь, что Q не является строго выпуклым в дгш. Тогда существует опорная гиперплоскость P к cl Q такая, что пересечение P с Q содержит прямолинейный интервал /, не являющийся относительно компактным в P П Q. После ортогонального преобразования пространства R2N = CN мы можем предположить, что P — гиперплоскость {x € R2N : xi = 0}, интервал / содержится в прямой {x € R2N : xi = Ж3 = ... = X2N = 0} и Q лежит в полупространстве {x € R2N : xi ^ 0}. Положим /i := Q П (R/). Интервал /i не является компактным на прямой R/.

По замечанию, с которого мы начали доказательство достаточности, /i не обладает базисом окрестностей, состоящим из выпуклых областей в плоскости Ci := {x € R2N : x3 = ... = x2N = 0}. Выберем в Ci открытую окрестность D множества /i такую, что не существует открытой выпуклой окрестности V интервала Д в Ci, для которой V С D. Найдется окрестность П множества Q в R2N такая, что П П Ci = D. По выбору D ни одна область G € CN(Q) не содержится в П. Достаточность доказана. >

2. Пространство функций, аналитических на выпуклом локально замкнутом множестве. Оператор представления

Обозначения. В дальнейшем Q С CN — выпуклое локально замкнутое множество с фундаментальной системой (Qn)neN компактных множеств в Q. Без ограничения общности можно считать, что Q n С Qn+i и Qn выпукло для любого n € N. Через (wn)ngN обозначим фундаментальную систему компактных подмножеств ш = Q П дг Q.

Для каждого выпуклого множества D С CN через Hd мы обозначаем опорную функцию D, т. е. HD(z) := sup Re(z, w), z € CN. Положим Hn := Hqu, n € N.

weD

Для любых n,m € N En,m := A^(Qn + —U) обозначает пространство всех ограниченных аналитических в Qn + —U функций, снабженное топологией sup-нормы. Введем

пространство А(фп) = итбМ Еп,т всех функций, аналитических в некоторой открытой окрестности фп, п £ Н, и снабдим его естественной топологией индуктивного предела. Через А(ф) обозначим векторное пространство всех функций, аналитических в некоторой открытой окрестности ф. Так как выполняется равенство А(ф) = Р|пбМ А(фп) (см., например, [12, с. 63]), мы можем ввести в А(ф) топологию проективного предела: А(ф) := proj А(фп). Эта топология не зависит от выбора фундаментальной системы

—п

(фп)пеМ компактных множеств в ф. Если ф открыто, А(ф) является пространством Фре-ше всех аналитических в ф функций.

Замечание 4. (а) Существует другой естественный способ введения топологии в А(ф). Именно, в А(ф) можно ввести топологию ш индуктивного предела шс1 А(П), где

^ пробегает все открытые окрестности ф. Эта топология мажорирует введенную выше топологию проективного предела рг.

По [12, предложение 1.7] следующие утверждения равносильны: (1) топологии т и рг совпадают;

(И) локально выпуклое пространство (А(ф), рг) ультраборнологично; (ш) (А(ф), рг) борнологично.

(б) По [12, глава I, § 3, теорема 1.2] А(ф) (т. е. (А(ф), рг)) ультраборнологично, например, в следующих трех случаях: если N = 1; если ф С , или, если ф С С-строго выпукло в дгш и внутренность ф непуста. В частности, А(ф) ультраборнологично, если ф строго выпукло в дгш.

(в) По [12, глава I, § 3, предложение 1.2] множества, ограниченные в (А(ф), ш) и (А(ф), рг) — одни и те же. При этом, если множество В ограничено в этих пространствах, то В ограничено в А(^) для некоторой открытой окрестности ^ множества ф.

Для п, т £ N положим

Ап,т := {/ £ А(СМ) : ||/||п,т := вир |/(г)| ехр(-Нп(г) - |г|/т) <

Ад„ : = рго.] Ап,т, Ад := 111(1 Адп.

——т п *

Для локально выпуклого пространства Е через Е^ обозначим сильное сопряженное к Е пространство. Пусть вд(г) := ехр(А, г), А, г £ См. Следующее утверждение доказано в [13, лемма 1.10].

Лемма 5. Преобразование Лапласа

& : А(ф)' ^ Ад, &(^)(г):= р(в*), г £ См,

— топологический изоморфизм локально выпуклого пространства А(ф)' := шё А(фп)в

на Ад. При этом индуктивная топология в А(ф) равна сильной топологии и топологии Макки.

Если отождествить с помощью преобразования Лапласа сопряженное к А(ф) пространство с Ад и (■, ■) — естественная билинейная форма, устанавливающая двойственность между А(ф) и Ад, то (вд, /) = /(А) для любых А £ См и / £ Ад.

Пространства последовательностей. Оператор представления. Для к £ N

N

полагаем |к| := £ к/. Пусть М С NN — бесконечное множество и (А&С CN ¿=1

N

и

последовательность такая, что |А&| ^ то при |к| ^ то. Для п, т £ N введем банаховы пространства числовых последовательностей

Лп,т(Q) := i c = (cfe)fc6M С C : £ |cfc| exp (H„(Afc) + —] < то > , l кем V m / j

Kn,m(Q) := (c = (cfc)кем С C : sup |cfc| exp (-#n(Afc) - —) < то!

I кем V m/ J

и положим

Л1(фп) := пк!Л„;т(Q), Л1 (Q) := pro^i(Q„), K^(Q) := indproj Kn,m(Q)-

m * ——n n * ——m

Заметим, что ряд £ вдк абсолютно сходится в A(Q) тогда и только тогда, когда кем

c £ Л1^) [3, глава I, § 1, 9].

Оператор представления R(c) := £ вдк линейно и непрерывно отображает Л1^)

кем

в A(Q).

Если R : Л1^) ^ A(Q) сюръективен, то, следуя Ю. Ф. Коробейнику, мы называем (вдк )кем абсолютно представляющей системой (АПС) в A(Q). Пусть вк := ($к,т)тем, k £ M, где — символ Кронекера. Лемма 6. Справедливы следующие утверждения:

(i) Преобразование ф ^ (ф(в&))^ем — топологический изоморфизм локально выпуклого пространства Л1^)' := на K^(Q). Индуктивная топология в Л1^)' совпадает с сильной и с топологией Макки.

Двойственность между Л1^) и K^(Q) определяется билинейной формой (c, d) : =

J2 cfc dfc.

кем

(ii) Сопряженное к R : Л1^) ^ A(Q) отображение R' : Aq ^ K^(Q) — оператор сужения f ^ (f (Afc))кем.

(iii) Оператор R имеет правый обратный тогда и только тогда, когда R' имеет левый обратный.

< (i): Так как множество всех ортов {в& : k £ M} полно в Л1^п) для каждого n £ N, то выполняется алгебраическое равенство Л1^)' = ind(A1(Qn))e. Поэтому утверждение (i) следует из того, что отображение ф ^ (ф(в&))^ем является топологическим изоморфизмом Л1 (Qn)e на proj Kn,m(Q) [9, 2.7]. Вследствие рефлексивности Л1^п) и [7,

—m

глава IV, 4.4] топология Макки в Л1^)' совпадает с (ЬР)-топологией и с сильной.

(ii): Вытекает их равенств

(c, R'(f)) = (R(c),f) = £ cfc(eAfc,f) = £ cfcf(Afc), c £ Лl(Q),f £ Aq.

кем кем

(iii): Если S — правый обратный к R : Л1^) ^ A(Q), то в силу лемм 5 и 6 сопряженный к S оператор S' непрерывен из Aq в K,^, (Q) и является левым обратным к R'.

По лемме 5 A(Q)^ = Aq, а по (i) Л1 (Q)^ — K^(Q). Если к: K^(Q) ^ Aq — левый обратный к R', то по факторизационной теореме Гротендика для каждого n £ N существует n' £ N такое, что индуцированное отображение кп: proj Kn,m(Q) ^ proj An/,m

—m —m

непрерывно. Так как локально выпуклые пространства Л1^п) и A(Qn/) рефлексивны,

то сопряженные отображения к'п: A(Qn) ^ Лl(Qn) индуцируют линейный непрерывный оператор S: A(Q) ^ Лl(Q) такой, что сужение S на A(Qn) совпадает с Kn и (R о S)' = к о R' = id^g. Поэтому S = К — правый обратный к R. >

Замечание 7. Пусть Q строго выпукло в drш.

(а) По лемме 3 Q обладает фундаментальной системой CN(Q) окрестностей, состоящей из выпуклых областей. По замечанию 4 топология A(Q) совпадает с топологией индуктивного предела ind A(G). Поскольку по лемме 5 преобразование Лапласа F —

QeCN (Q)

топологический изоморфизм A(Q)^ на Aq и по замечанию 4 (в) каждое ограниченное в A(Q) множество ограничено в A(G) для некоторого G £ CN(Q), по [7, глава IV, замечание 4.5] F является топологическим изоморфизмом A(Q)e на proj Aq. Отсюда

QeCN (Q)

следует, что равенство Aq = proj Aq выполняется алгебраически и топологически.

QeCN (Q)

(б) Пусть lim ВД1 = 0. Ясно, что U Л1(G) С Л1 (Q). Пусть c £ Л1(Q). По

1 k| QeCN(Q)

замечанию 4 (в) множество {c&бдk : k £ M} ограничено в A(G) для некоторой области

G £ CN(Q). Из условия lim ngy1 = 0 следует, что ряд Е exp(-е|Ак|) сходится для лю-

1 kl кем

бого е > 0. Поэтому c £ Л^). Значит, Лl(Q) С U Лl(G) и Л1 (Q) = U Лl(G).

QeCN (Q) QeCN (Q)

Кроме того, топология ind Л1 (G) мажорирует топологию Лl(Q).

QeCN(Q)

По [7, 4.5] сопряженное пространство ^ ind( ) можно алгебраически отож-

дествить с proj K^(G).

QeCN (Q)

3. Условия сюръективности оператора представления

Докажем вначале, что необходимым условием сюръективности R (при дополнительных предположениях о Q в многомерной ситуации и росте |Ак |) является строгая выпуклость Q в drш.

Теорема 8. Пусть Q обладает базисом H окрестностей, состоящим из областей

голоморфности и lim М = 0. Если оператор представления R : Л1^) ^ A(Q) сюръ-

1 k 1

ективен, то Q строго выпукло в drш.

< Пусть G £ H и f £ A(G). Выберем c £ Л1 (Q) так, что R(c) = f. Так как множество {cke лk }кем ограничено в A(Q), оно ограничено в A(D) для некоторой области D такой,

что Q С D (см. замечание 4). Так как lim lo?gikki = 0, ряд Е ckeлк абсолютно сходится

1 к 1 кем

в A(D). Тогда этот ряд абсолютно сходится и в A(conv(D)) к функции F £ A(conv(D)) (как и в [5, глава III, § 1], это следует из неравенства а*Ь1— ^ max{a, 6} для a, b ^ 0, 0 ^ t ^ 1). Поэтому сужения функций F и f на G П conv(D) совпадают. Поскольку G — область голоморфности, то conv(D) С G. >

Из теоремы 8 и замечания 2 (г) вытекает

Следствие 9. Пусть Q C-строго выпукло в drш (это так, например, если N = 1)

и lim ну^г1 = 0. Если оператор представления R : Л1Ю) ^ A(Q) сюръективен, то Q |Лк 1

строго выпукло в drш.

Следствие 10. Пусть Q — выпуклое открытое подмножество . В пространстве A(Q) вещественно аналитических функций не существует абсолютно представляющей системы экспонент (вд^ )&ем такой, что M — бесконечное подмножество Nn и

lim Ш =0. |fcH<» |Afc 1

< По лемме Картана [10, предподожение 1] Q обладает базисом окрестностей, состоящим из областей голоморфности. Поскольку Q не является строго выпуклым в ш, то по теореме 8 в A(Q) не существует абсолютно представляющей системы (вд^ )&ем такой, что M — бесконечное подмножество Nn и lim -Tgr1 =0. >

Чтобы получить достаточные условия сюръективности оператора представления, определим некоторые геометрические свойства выпуклых компактов в CN и приведем информацию о слабо достаточных множествах. Эти множества введены Шнайдером [14].

Обозначения. Пусть S : = {z £ CN : |z| = 1}. Для выпуклого множества D С CN, Y С D и а С S определим следующие множества «опорных направлений» и опорных точек:

SY(D) := {а £ S : Re(w, а) = Hd(а) для некоторого w £ 7}, Fj(D) := {w £ D : Re(w, а) = HD(а) для некоторого а £ а}.

Будем писать SY := SY(Q), := (Q), So := S\S^.

Отметим, что, если множество 7 С D компактно, то и S7(D) компактно. Если компактны множества а С S и D, то F-(D) тоже компактно.

Определение. (а) Пусть B С S и K — выпуклый компакт в CN; для а С S а := Sfct(k)(K). Назовем K гладким в направлениях B, если для каждой точки b £ B

компактное множество {b} := Sf{6}(k)(K) содержится в B.

Заметим, что K гладкий в направлениях любого множества B С S, если ÖK класса C^ _

Так как для каждого множества к С B выполняется равенство К = |J {b}, то K

Ьбк

гладкий в направлениях B в том и только в том случае, когда для каждого множества к С B множество К также содержится в B.

(б) Выпуклое компактное множество K С CN назовем невырожденным в направлениях B С S, если K не содержится в опорной гиперплоскости {z £ CN : Re(z, а) = Hk(а)} к множеству K для любого а £ B.

Заметим, что K невырожденный в направлениях S, если int K = 0.

Отметим связь между введенными ранее понятиями строгой выпуклости и гладкости в направлениях.

Замечание 11. Пусть выпуклый компакт K С CN содержит 0 в своей внутренности и B С S открыто (в S). K является гладким в направлениях B в том и только в том случае, когда выпуклое множество K' := int K0 U ш' строго выпукло в ш', где ш' : = ÖK0 П r(B), K0 := {z £ CN | Hk(z) < 1}, r(B) := {tb : b £ B, t ^ 0}.

< Предположим, что K' не является строго выпуклым в ш'. Тогда существует опорная гиперплоскость Ra := {z £ CN : Re(z, а) = Hk (а)}, а £ S, к K0 такая, что Ra П ш' содержит прямолинейный интервал [zi,z2) такой, что z2 £ ш'. Точка а := (Hk(а))-1а принадлежит ÖK и для bj := |zj|— 1 zj £ S, j = 1, 2, учитывая равенства Hk(zj) = 1, получим Re(bj, а) = HK(bj). Значит, а £ F{bl}(K) и b2 £ {b1}. Так как b1 £ B и b2 £ B, множество K не является гладким в направлениях B.

Наоборот, пусть K не является гладким в направлениях B. Тогда для некоторого b £ B найдется b0 £ {b}\B. Выберем z £ F{b}(K) так, что Re(z, b0) = Hk(60). Так как z £

Р{5}(К), то И,е(,г,6) = (Ь) и точки Ь0 := (Нк(Ь0)) 1Ьо, Ь := (Нк(6)) 1Ь принадлежат дК0. При этом Ь £ ш', Ь0 / ш'. Поскольку Ке(г, Ь0) = Нко (г) = 1 и Ке(г, Ь) = Нко (г) = 1, то К' не является строго выпуклым в дгш'. >

Слабо достаточные множества. Пусть hn : CN ^ R, n € N — возрастающая последовательность локально ограниченных функций. Определим банаховы пространства

:= {f € A(CN) : sup |f (z)| exp(—h„(z)) < то}, n € N,

и A(hn) := nd .

Для множества Л С CN введем нормированные пространства

Ahk (Л) := { f € A(ftn) : sup |f (z)| exp(—(z)) < то! , k € N,

l ¿ел J

и положим A(hk)(Л) := ind (Л).

Множество Л С CN называется слабо достаточным для A(hn) [14], если топология A(hn) равна топологии А(^П)(Л).

Замечание 12. (а) Предположим, что lim (hn+i(z) — hn(z)) = +то для каждого

|z | —

n € N, множество M С Nn бесконечно и (Л&)&ем — последовательность в CN такая, что

lim |Л&| = то. Положим K,^,((hn)) := indK^(hn), где банахово пространство K^(hn)

n—

определено так:

К^(Л„) := (ск)к6м С С : sup |с^| ехр(—Л„(Ак)) < то } , п £ N. I кем J

Множество (Ак)&ем слабо достаточно для А(ьп) в том и только в том случае, когда отображение / ^ (/(А&))кем является топологическим изоморфизмом А(^п) в Кте((Л„)) [4, § 4].

(б) По [3, глава I, § 1.7] (см. также [4, § 8]) для каждой выпуклой ограниченной области О С См множество (А&)&ем такое, что |А&| ^ то при |к| ^ то, слабо достаточно для Ад в том и только в том случае, когда (едк)кем — абсолютно представляющая система в А(О).

Положим На (г) := supRe(t, г), г £ См, для произвольного ограниченного множе-í6A

ства А С См.

Лемма 13. Пусть ограниченное локально замкнутое множество Q С См строго выпукло в дг ш и К — выпуклый компакт в См.

(1) Если О С См — выпуклый компакт такой, что Нд ^ Нк на 5 и Нд < Нк на , то существует выпуклая окрестность О множества Q, для которой Не ^ Нд + Нк — Нд на 5.

(И) Если компакт К гладкий и невырожденный в направлениях , то для любой выпуклой окрестности О множества Q существует выпуклый компакт О С См такой, что Нд ^ Нк и Нд + Нк — Не ^ Нд на 5 и Нд < Нк на .

< (1): Пусть а„ := т£(£) — (£) : £ £ }, п £ N. Тогда а„ > 0 для любого п £ N. Для каждого г £ дQ через ^ обозначим множество всех опорных гиперплоскостей к с1 Q в г. Для г £ дQ и £ пусть Рг — открытое полупространство с границей ,

для которого Ш Q С Рг. Если г £ шп\шп-1 (ш0 := 0), положим Дг := Р| (Рг + агаи).

Пг еМг

Если z £ (dQ)\w, то Bz := Р| Pz. Как и при доказательстве леммы 3, получим, что

Rz е^г

G := int I P| Bz является выпуклой окрестностью Q. Из конструкции G вытекает,

\.гедЗ J что Hg ^ Hq + Hk — Hd на S.

(ii): Без ограничения общности можно предположить, что 0 £ intr K. Тогда Hk > 0 на S^. Положим 70 := (K), 7„ := (K), Г„ := (K), bn := sup Hk(a),

п £ N (5о := , ш0 := 0). Так как сп := т£ (Не(а) — Нд(а)) > 0, то существует ¿п £ (0,1) такое, что (1 — ¿п)6п < сп. При этом мы можем выбрать так, что < $п+1

для любого n £ N. Для D0 := conv I 70 U I (J ) ) выполняется равенство Hd0 =

V Wn /J

max{HY0;sup(^„H7n)}. Ясно, что Hd0 — H70 — Hk на S0.

neN

Пусть а £ S^n. По лемме 3.5 [13] (S^k )fcgN — компактное исчерпывание S^ (и S^ открыто в S). Поэтому найдется m > n такое, что S^n С intr Sa,m и, следовательно, Hk(а) > H(drК)\Гт (а). Кроме того, вследствие S^m С S^ и S70 С S0, имеем: 70 П Гто = 0. Это влечет:

Hdo (а) < max {H(9rK)\rm(а); ¿шЯгт(а)} < Hk(а).

Поэтому на S^ выполняется строгое неравенство H_d < Hk. Для а £ S^n\S^n_i (S^o := 0)

Hk(а) - Hdo (а) < Hk(а) - ¿„H7n(а) = (1 - ¿„)Hk(а) < (1 - ¿„)b„ < HG(а) - Hq^).

Поэтому Hq + Hk - Hg ^ Hd0 на S^. В качестве D возьмем D := cl D0. >

Приводимые ниже достаточные условия сюръективности оператора представления R — некоторое свойство внутрь-продолжаемости абсолютно представляющих систем экспонент.

Теорема 14. Пусть ограниченное выпуклое локально замкнутое множество Q С CN строго выпукло в ш и внутренность Q непуста. Предположим, что выпуклый компакт K С CN гладкий и невырожденный в направлениях S^. Если система (вдк)&ем, для которой lim kk1 = 0' является АПС в A(int Q + K), то она является АПС и в A(Q).

< Зафиксируем возрастающую последовательность > 0 такую, что lim = 1.

Пусть CN(Q) — семейство всех выпуклых открытых окрестностей Q. Возьмем ^ £ CN(Q). По лемме 13 существуют выпуклый компакт D С CN и G £ CN(Q) такие, что HG ^ Hq + HK - HD ^ Hq на CN. Положим := ¿„Hq + HK - HD, n £ N. По замечанию 11 (б) (Afc)fcgM — слабо достаточное множество для Aintq+k = A(änHg+HK). Так как функция Hd плюрисубгармонична в

и sup |HD(z +1) - HD(z)| < то, по

[1, § 2, теорема 1] (Afc)fcgM — слабо достаточное множество и для A(^n). Для каждой выпуклой открытой окрестности Q множества Q выберем последовательность (hra)ra6N, как выше, и обозначим через H

семейство всех выбранных последовательностей (h„)„eN. По замечанию 7 (а) и вследствие выбора (hra)„6N выполняется (алгебраическое и топологическое) равенство Aq = proj A(^n). По замечанию 7 (б) пространство Л1^)

алгебраически совпадает с M1 := ind Л^С). Кроме того, топология M1 мажорирует

GeCN (Q)

топологию Л1 (Q) и (M1)' можно алгебраически отождествить с M1 := proj K^(G).

GeCN (Q)

Заметим, что локально выпуклые пространства Mi и proj ((hn)) совпадают. Зафик-

(hn)6H

сируем (hn)n6N £ H. Пространства A(hn) и K^((hn)) рефлексивны. Так как множество (Afc)fcgM слабо достаточно для A(hn), то по замечанию 12 (б) R' — топологический изоморфизм A(hn) в K^((hn)). По [8, 8.6.14, 8.6.13] Л' является слабым изоморфизмом A(hn) в K^((hn)). Из [7, 4.5] вытекает, что Л' — слабый изоморфизм Aq в Mi. По [8, 8.6.4] оператор R : Mi ^ A(Q) сюръективен, т. е. (e лk )kgM — абсолютно представляющая система в A(Q). >

Литература

1. Абанин А. В. О продолжении и устойчивости слабо достаточных множеств // Изв. вузов. Математика.—1987.—№ 4.—С. 3-10.

2. Коробейник Ю. Ф., Леонтьев А. Ф. О свойстве внутрь-продолжаемости представляющих систем экспонент // Мат. заметки.—1980.—Т. 28, вып. 28.—С. 243-253.

3. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук.—1981.—Т. 36, вып. 1.—С. 73126.

4. Коробейник Ю. Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. математика.—1986.—Т. 50, № 3.—С. 539-565.

5. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент.—М.: Наука, 1976.—536 с.

6. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных.—М.: Мир, 1968.—280 с.

7. Шефер Х. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1971.—360 с.

8. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения.—М.: Мир, 1969.—1071 с.

9. Bierstedt K.-D., Meise R., Summers W. H. Kothe sets and Kothe sequence spaces // Funct. Anal., Holomorphy and Approximation Theory, J. A. Barroso (ed.).—North-Holland Publishing Company, 1982.—P. 28-91.

10. Cartan H. Varietes analytiques reeles et varietes analytiques complexes // Bull. Soc. Math. France.— 1957.—Bd. 85.—S. 77-100.

11. Hormander L. Notions of Convexity.—Boston etc.: Birkhauser, 1994.—414 s.

12. Martineau A. Sur la topologie des espaces de fonctions holomorphes // Math. Annal.—1966.—V. 163.— P. 62-88.

13. Melikhov S. N., Momm S. Analytic solutions of convolution equations on convex sets with obstacle in the boundary // Math. Scand.—2000.—V. 86.—P. 293-319.

14. Schneider D. M. Sufficient sets for some spaces of entire functions // Trans. Amer. Math. Soc.—1974.— V. 197.—P. 161-180.

Статья поступила 17 декабря 2007 г.

Мелихов Сергей Николаевич Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН; Южный федеральный университет Ростов-на-Дону, 344090, РОССИЯ E-mail: melih@ms.math.rsu.ru

Момм Зигфрид Математический институт Университета Дюссельдорфа Дюссельдорф, 40225, ФРГ E-mail: momm@math.uni-duesseldorf.de