О спектре оператора Якоби с экспоненциально растущими матричными элементами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рис. 4

да — число сопоставлений элементов нашего объекта О дугам диаграммы согласно описанным правилам. Наконец, можно выделить такой инвариант: если зафиксировать "цвет" начальной некомпактной дуги длинного виртуального узла (согласно ориентации), то множество допустимых цветов конечной некомпактной дуги этого узла будет инвариантно относительно обобщенных движений Рейдемейстера. Более того, сильным инвариантом является "матрица раскрасок", состоящая из всевозможных допустимых комбинаций цветов начальной и конечной некомпактных дуг длинного виртуального узла.

3. Применение построенного группоида. Используем построенный объект для доказательства неэквивалентности некоторых длинных виртуальных узлов.

К примеру, докажем, что правый и левый длинные виртуальные трилистники, представленные на рис. 4 и 5 соответственно, неэквивалентны. Обозначим дуги первого узла через а^, а второго узла — через Ь^. Пусть входные дуги обоих узлов имеют цвет а. Изучим, какие цвета могут иметь выходные дуги узлов при раскрашивании по указанным в предыдущем разделе правилам. Рассмотрим первый узел. Несложно видеть, что здесь цвета всех дуг определяются однозначно. Имеют место следующие равенства: а1 = а, а2 = аЬ-1, а3 = а2Ь-1 а-1, а4 = (аЬ)2а-1, а5 = аЬ2.

Для доказательства неэквивалентности этих двух узлов достаточно показать, что выходная дуга второго узла не может быть окрашена цветом аЬ2.

Предположим противное: пусть Ь§ = а§ = аЬ2. Тогда = аЬ, Ь1 = а, а для прочих дуг имеют место соотношения Ь2 * Ь4 = а, Ь4 * Ь5 = Ьз, Ь2 = f (Ьз). Отсюда получаем следующее равенство: (аЬ)-3а(аЬ)3 = (аЬ3)3аЬ(аЬ3)-3. Однако путь, стоящий в левой части равенства, оканчивается в точке с координатами (7, 6), если начинать отсчет от левого нижнего угла квадрата, а правый — в точке с координатами (7, 4). Значит, наше предположение неверно и узлы различны.

В заключение заметим, что Д. М. Афанасьев в работе [4] привел бесконечную серию длинных виртуальных узлов, определяемых числом К = 2к + I, причем предложенный им инвариант (обобщенный полином Александера от двух переменных) различает эти узлы при разных значениях константы К. При помощи построенного в настоящей статье квандла удается различать узлы этой серии с одним и тем же значением константы К.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект № 10—01-00748-а), программ "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-3224.2010.1), "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект 2.1.1.3704), "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (госконтракты 02.740.11.5213 и 14.740.11.0794).

Рис. 5

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Joyce D. A classifying invariant of knots, the knot quandle //J. Pure and Appl. Algebra. 1982. 23, N 1. 37-65.

2. Kauffman L.H., Manturov V.O. Virtual biquandles // Fund. Math. 2005. 188. 103-146.

3. Мантуров В.О. Теория узлов. М.: РХД, 2005.

4. Афанасьев Д.М. On generalization of Alexander polynomial for long virtual knots // arXiv: math.GT/0906.4245v1 2009.

Поступила в редакцию 20.10.2010

УДК 511.984

О СПЕКТРЕ ОПЕРАТОРА ЯКОБИ С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО РАСТУЩИМИ

МАТРИЧНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

И. А. Шейпак1

Рассматривается класс матриц Якоби с быстрорастущими матричными элементами. В пространстве квадратично суммируемых с некоторым весом последовательностей этой матрице отвечает симметрический оператор. Доказывается, что задача на собственные

1 Шейпак Игорь Анатольевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат.

ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

значения некоторого самосопряженного расширения этого оператора эквивалентна задаче на собственные значения оператора Штурма-Лиувилля с дискретным самоподобным весом. Находятся асимптотические формулы для собственных значений.

Ключевые слова: матрицы Якоби, самосопряженные расширения симметрических операторов, асимптотика собственных значений, самоподобая весовая функция.

A Jacobi matrix with an exponential growth of its elements and the corresponding symmetric operator are considered. It is proved that the eigenvalue problem for some self-adjoint extension of the operator in some Hilbert space is equivalent to the eigenvalue problem of the Sturm-Liouville operator with a discrete self-similar weight. An asymptotic formula for the distribution of eigenvalues is obtained.

Key words: Jacobi matrix, self-adjoint extensions of symmetric operators, asymptotics of eigenvalues, self-similar weighted function.

1. Введение. Исследуется задача на собственные значения трехдиагональной якобиевой матрицы

вида

(а в 0 0 ... 0

Y aq /q 0 ... 0

0 Yq aq2 Зд2 ... 0 ... (1)

0 0 0 YQn-1 aqn 3qn 0

\.....................)

где q > 1.

В работе [1] изучены спектральные свойства класса двухдиагональных симметричных матриц (на главной диагонали стоят нули), в которых внедиагональные элементы bn имеют вид qn , 0 < q < 1, s — произвольное натуральное число. Там же доказано, что b2n+i < < b2n-i• При этом использовалась достаточно тяжелая техника, основанная на свойствах целых трансцендентных функций.

В работе [2] изучен более широкий класс двухдиагональных симметричных матриц Якоби, в которых внедиагональные элементы bn положительны и удовлетворяют условию

lim ^ = 0.

п^ж bn

В этом случае оценки на собственные значения не такие точные, как в работе [1]. Асимптотические формулы имеют вид \n = b2n_1 (1 + °(1)), п ^ ж. Метод получения асимптотических формул опирался на

исследование квадратичной формы соответствующего оператора.

Заметим, что в нашем случае q > 1 и оператор с такой матрицей не ограничен. Необходимо дополнительно описывать его область определения. Также важен вопрос об индексах дефекта такого оператора. В случае индекса дефекта (1,1) необходимо описать его самосопряженные расширения.

На протяжении статьи (кроме п. 3.2) мы будем считать, что /y > 0. Это условие достаточно часто выполняется для матриц, возникающих в различных приложениях. Для матриц конечного порядка оно приводит к понятию нормальной матрицы (см., например, [3]).

В данной работе используется следующий метод: устанавливается, что задача на собственные значения для оператора (1) оказывается эквивалентной задаче на собственные значения оператора Штурма-Лиувилля с самоподобным дискретным весом. В связи с этим в п. 2 мы приведем некоторые сведения о самоподобных функциях, порождающих дискретные веса (так называемые самоподобные функции нулевого спектрального порядка, подробнее см. [4, 5]). В п. 3 задача Штурма-Лиувилля с дискретным самоподобным весом сводится к матричному виду.

2. Самоподобные функции нулевого спектрального порядка. Пусть числа a Е (0,1) и d удовлетворяют условию

a\d\2 < 1. (2)

Определим в L2 [0,1] оператор G, действующий по правилу

G(f)(x) = pi ■ X[0,l-а){х) +(d-f + + /32) • Х(1-а,1](х), (3)

где 3i, З2 — произвольные действительные числа.

Условие (2) влечет, что оператор О является сжимающим в ^[0,1] (см. [6, лемма 3.1]) и, следовательно, имеет единственную неподвижную точку. Функция, удовлетворяющая уравнению О(Р) = Р, где отображение О задается соотношением (3), есть самоподобная функция нулевого спектрального порядка. Набор чисел а, й, 01 и называется параметрами самоподобия, задающими функцию Р.

Из определения следует, что функция Р является кусочно-постоянной, причем принимает следующие значения:

Р(х) = 01 при х £ [0,1 — а); Р(х) = йк01 + в2(1 + й + ... + йк-1) при х е (1 — ак, 1 — ак+1), к = 1,2,....

Более подробную информацию о самоподобных функциях в пространствах Ьр[0,1] можно получить в [7]. Общая конструкция и свойства самоподобных функций нулевого спектрального порядка изучены в [4] (см. также [5]).

3. Задача Ш^турма—Лиувилля с сингулярным самоподобным весом. Рассмотрим следующую граничную задачу:

—у'' — Хру = 0, (4)

у(0) = у(1) = 0. (5)

Здесь р = Р' (в смысле обобщенных функций), т.е.

р тк5(х — (1 — ак)), (6)

к=1

о

где тк = йк-1(й01 + 02 — 01). Из условия Р £ Ь2[0,1] следует, что р £ Ш-1 [0,1].

о

В дальнейшем через Н мы будем обозначать пространство Ш2[0,1], снабженное скалярным произведением

1

(у, г) = У у'г'Ах. о

Пространство, двойственное к Н относительно ^[0,1], мы будем обозначать через Н', т.е. оно получается пополнением пространства ^[0,1] по норме

вир 1И1я=1

1

о

Как и в работе [5], рассмотрим оператор вложения 3 : Н — ¿2 [0,1]. Непосредственно из определения пространства Н' вытекает возможность непрерывного продолжения сопряженного оператора 3* : Ь2[0,1] — Н до изометрии 3 + : Н — Н.

Как и в предшествующих работах [5, 6, 8], в качестве операторной модели задачи (4), (5) мы будем рассматривать линейный пучок Тр : Н — Н ограниченных операторов, удовлетворяющий для любых Х £ С, у £ Н тождеству

1

(3+Тр(Х)у, у) = 1 (|у'\2 + ХР • (|у|2)') йх. (7)

о

о1

Известно [6, теорема 4.1], что спектр задачи чисто дискретен при любом весе из пространства Ш- [0,1]. Рассмотрим задачу (4), (5) при условии, что вес является обобщенной производной самоподобной функции Р нулевого спектрального порядка, т.е. когда вес определяется соотношением (6).

3.1. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с весом, являющимся обобщенной производной функции нулевого спектрального порядка. Так как функция Р кусочно-постоянная, собственные функции

этой задачи можно искать в виде кусочно-линейной функции у £ Ш^ [0,1], заданной на каждом промежутке (1 — ак, 1 — ак+1), к = 0,1, 2,..., формулами

у(х) = з^, х £ [0,1 — а); (8)

у(х) = зкх + гк, х £ (1 — ак-1,1 — ак), к = 2,3,.... (9)

Условия непрерывности функции у в точках хк := 1 — ак, к = 1, 2,..., означают, что выполнены уравнения

Зк-1(1 — ак-1) + ¿к-1 = Зк(1 — ак-1)+1к, к = 2,3,.... (10)

Подстановка формул (8), (9) в уравнение (4) с учетом уравнений (10) приводит к следующей системе уравнений относительно чисел Зк:

З1 — З2 = + в2 — @1 )(1 — а)з1,

З2 — 33 = А (й2@1 + й(@2 — @1)) (1 — а)(з1 + аз2), 33 — 34 = А (й3в1 + й2(в2 — 01)) (1 — а)(з1 + аз2 + а233),

Sn - Sn+1 = Л (dnßl + dn-1(ß2 - ßi)) (1 - a)(si + as2 + ... + an-1Sn),

Введем следующие обозначения:

г = (l-a)(dßi+ß2-ßi), Q = Из условия (2) получаем \q\ > 1.

В дальнейшем будем считать, что параметры самоподобия таковы, что r = 0, а d > 0. Следовательно, q> 1.

Краевое условие при x = 0 выполнено в силу формулы (8). Необходимо учесть краевое условие при x = 1. Из формулы (9) следует, что

y(1) = lim (sn + tn).

Согласно (10), имеем

Окончательно получаем, что

n— 1

tn — ^ ^ sk(xk xk-1) snxn-1.

k=1

y(1) = (1 - a)J2 ak-1sk = 0

k=1

т.е. последовательность {sk}^=1 удовлетворяет условию

£

k=1

ak-1sk = 0.

(11)

Заметим, что \\у\\Н = ^ (1 — ак — (1 — ак-1))зк = (1 — а) ^ а зк. Таким образом, задача (4), (5)

к=1 к к=1 к

с дискретным самоподобным весом эквивалентна следующей задаче в пространстве последовательностей {зксуммируемых в квадрате с весом ш = {шкгде Шк = ак-1, и удовлетворяющих условию (11):

/ 1 -10 0 ... 0 ...\ 0 1 -10 ... 0 ... 0 0 1-1... 0 ...

0 0 0 0 1 -1 0

s1 s2

s3

sk ...

= Лг

/10 0 0 d da 0 0

d2 d2a (da)2 0

dk-1 dk-1adk-1a2 ...(da)k-1 0

s1 s2 s3

sk ...

(12)

Введем в рассмотрение следующие операторы, заданные матрицами:

/ 1 -10 0 ... 0 0 1 -10 ... 0 ... 0 0 1 -1... 0 ...

А =

0 0 0 0 1-10

.

в =

.

1 0 0 0 ... 0 ..Д

й йа 0 0 ... 0 ...

й2 й2а (йа)2 0 ... 0 ...

йк-1 йк-1 айк-1а2 ...(йа)к-1 0 ...

...

.

Таким образом, задача (7) эквивалентна задаче Аз = ХтВв, рассматриваемой в пространстве последовательностей {здтаких, что £ак-1зк < ж, и удовлетворяющих условию (11). Несложно проверить, что обратный к оператору В имеет вид

/ 1 0 0 0 ..Л

В-1 =

—йд д

0 0 0

0 —йд2 д2 0 0 —йд3 д3 ... ... ... ...

Возникает естественный вопрос: эквивалентна ли спектральная задача (12) одной из задач

В-1Аз = \тз или АВ-1и = Хти (здесь и := Вз)

в каком-нибудь пространстве последовательностей?

Рассмотрим вещественное число и> = 0. Обозначим пространство последовательностей {у к}£=1, удовлетворяющих условию

Е

к=1

к— 1 2

■шк 1у% < ж,

через ¡2^. Скалярное произведение в этом пространстве будем обозначать через (-, ) Утверждение 1. Оператор АВ-1 симметричен в ¡2,1/4-

Доказательство. Непосредственным вычислением несложно убедиться, что

те

{АВ~1и, у)1/а = (и, АВ~1у)1/(1 = (1 + йд) (£)

. к-1

(ик+1Ук + икУк+1).

ик Ук

к=1

к=1

Утверждение 2. Область определения оператора, сопряженного к АВ 1, состоит из всех последовательностей и £ ¡2,1/4, таких, что

^ 1 2

{у~Лдк~1ик-1 + (1 + йд)дк~1ик + дкик+1) < оо.

(13)

к=2

Доказательство. Заметим, что матрица АВ-1 имеет вид

/1 + йд —д 0 0 ...\

—йд (1 + йд)д —д2 0 0 —йд2 (1 + йд)д2 —д3

V...............

АВ-1 =

(14)

Завершает доказательство утверждения применение п. 1.1 работы [9, с. 174].

Можно определить индексы дефекта оператора АВ-1. Задача (4), (5) самосопряжена. Условие (8) учитывает только одно краевое условие (в нуле). Остается еще одно условие на собственные функции (в единице). Следовательно, индексы дефекта оператора АВ-1 равны (1,1). Несложно проверить, что условие (11) на последовательность з переходит в условие

Иш

ип

п^те йп—1

на последовательность и := Вз в пространстве ¡2,1/4.

10 ВМУ, математика, механика, № 6

(15)

0

Теорема 1. Задача (7) эквивалентна задаче АВ 1и = Аги в пространстве ¡2,1/4 с условиями (13), (15) на последовательность и = (щ,и2,...), где и = ^°=1 ак-1зк < ж.

Доказательство. Представление (6) веса р, а также условие (8) приводят к тому, что квадратичная форма задачи (7) принимает вид

£ак-1зк = Ат^к-1 (£ а?-3 ) . (16)

1к-132к = Ат^Лк-1 (^ к=1 к=1 у=1

-1 -1

С другой стороны, сведем задачу АВ 1и = Аги к ее квадратичной форме (АВ 1и, и) 1/4 = Ат(и, и) 1/4, которую можно также переписать в виде

(Аз,Вз)1М = Ат(Вз,Вз)1/а.

Используя вид операторов А и В, убеждаемся, что эта квадратичная форма также имеет вид (16).

Замечание. Таким образом, одним из самосопряженных расширений симметрического оператора АВ-1 в пространстве ¡2,1/4 является оператор, заданный той же матрицей, а его области определения принадлежат те последовательности и £ ¡2,1/4, которые удовлетворяют условиям (13) и (15). Задача на собственные значения этого самосопряженного расширения эквивалентна задаче (4), (5) (или задаче (7)).

В следующей теореме мы подразумеваем именно это самосопряженное расширение и обозначаем его через Ь. Заметим также, что якобиева матрица АВ-1 принадлежит классу матриц вида (1): а = 1 + йд =

1 + -,/? = -о, 7 = -йа = — (см. (14)). аа

Теорема 2. Существует такое положительное число с, что для собственных значений оператора Ь, занумерованных в порядке возрастания, справедлива асимптотическая формула при к ^ж

Ак = сдк (1 + о(1)).

Доказательство. Утверждение теоремы следует из теоремы 1 данной работы и теоремы 4.1 работы [5].

3.2. Индефинитный случай. Можно рассматривать задачу (4), (5) и в случае, когда число й < 0. При этом оператор Ь с областью определения (13), (15) будет самосопряженным в пространстве с индефинитной метрикой. А именно определим операторы ортогонального проектирования в пространстве ¡2,1/4:

Р+ : вк ^ вк, к = 1, 3,...,2п — 1,..., Р+ : вк ^ 0, к = 2, 4,... , 2п,...; Р- : вк ^ 0, к = 1, 3,...,2п — 1,..., Р- : вк ^ вк, к = 2, 4,...,2п,... п £ N.

Определим также оператор .] = Р+ — Р-. Несложно проверить, что оператор Ь будет самосопряженным в 7-метрике. Кроме того, из теоремы 4.3 работы [5] вытекает следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть й < 0 и т = 0. Тогда существует такое число с > 0, что для положительных собственных значений {Ак}^=1 оператора Ь, занумерованных в порядке возрастания, справедлива асимптотическая формула Ак+1 = сд2к(1 + о(1)), а для отрицательных собственных значений {А-к}^=1 оператора Ь, занумерованных в порядке убывания, справедлива асимптотическая формула

А-{к+1) = — сд2к+1(1 + о(1)).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 10-01-00423.

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тур Э.А. Асимптотика собственных значений для одного класса матриц Якоби с предельным точечным спектром // Матем. заметки. 2003. 73, вып. 3. 449-462.

2. Кожан Р.В. Асимптотика собственных значений двухдиагональных матриц Якоби // Матем. заметки. 2005. 77, вып. 2. 313-316.

3. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М.:, Л.: ГИТТЛ, 1950.

4. Шейпак И.А. Особые точки самоподобной функции нулевого спектрального порядка. Самоподобная струна Стилтьеса // Матем. заметки. 2010. 88, вып. 2. 303-316.

5. Владимиров А.А., Шейпак И.А. Асимптотика собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с дискретным самоподобным весом // Матем. заметки. 2010. 88, вып. 5. 662-672.

6. Владимиров А.А., Шейпак И.А. Самоподобные функции в пространстве L2[0,1] и задача Штурма-Лиувилля с сингулярным индефинитным весом // Матем. сб. 2006. 197, № 11. 13-30.

7. Шейпак И.А. О конструкции и некоторых свойствах самоподобных функций в пространствах Lp[0,1] // Матем. заметки. 2007. 81, вып. 6. 924-938.

8. Владимиров А.А., Шейпак И.А. Индефинитная задача Штурма-Лиувилля для некоторых классов самоподобных сингулярных весов // Тр. Матем. ин-та РАН. 2006. 255. 88-98.

9. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.: Физматгиз, 1961.

Поступила в редакцию 01.12.2010

УДК 517.926

КОЛЕБЛЕМОСТЬ И БЛУЖДАЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

И. Н. Сергеев1

Определены ляпуновские характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейного уравнения второго порядка, а именно: средняя частота решения, его производной или их всевозможных линейных комбинаций, средняя угловая скорость вектора, составленного из решения и его производной, а также производные от этой скорости показатели блуждания. Доказано, что для одного уравнения практически все введенные величины одинаковы, причем для автономного уравнения действительно все (они совпадают еще и с модулями мнимых частей корней характеристического многочлена), а уже для периодического, вообще говоря, не все.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, нули решений, колеблемость и блуж-даемость, характеристические показатели.

The Lyapunov's oscillation and wandering characteristics of solutions to a second order linear equation are defined, namely, the mean frequency of a solution, of its derivative or their various linear combinations, the mean angular velocity of the vector composed of a solution and its derivative, also wandering indices derived from that velocity. Nearly all of the values introduced for any equation are proved to be the same: for the autonomic equation — just all (moreover they coincide with the modules of the imaginary parts of the roots of the characteristic polynomial), but even for the periodic one — generally speaking, not all.

Key words: differential equation, zeros of solutions, oscillation and wandering, characteristic exponents.

Рассмотрим множество E2 линейных уравнений второго порядка

y + ai(t)y + a2(t)y = 0, t e R+,

задаваемых ограниченными непрерывными функциями a = (a\, a2): R+ ^ R2, с которыми мы в дальнейшем и будем отождествлять сами уравнения.

1. Определения и формулировки результатов. Зададим в R2 евклидову норму

\т\ = \Jm\ + т|, т = (mi,m2) € R2,

и превратим множество E2 в топологическое пространство с помощью равномерной нормы

\\a\\ = sup Jal(t)+a2(t), a eE2. (1)

teR+

1 Сергеев Игорь Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ,

e-mail: [email protected].