О кусочно-линейных почти-решениях эллиптических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Клячин А.А., 2013

УДК 517.951, 519.632 ББК 22.161, 22.19

О КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ПОЧТИ-РЕШЕНИЯХ

Доктор физико-математических наук,

заведующий кафедрой математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета [email protected]

Проспект Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

Аннотация. В настоящей работе определяется уклонение кусочнолинейного почти-решения уравнения минимальной поверхности и выводится общая формула его вычисления. На основе данного понятия получена аппроксимация уравнения и доказывается, что уклонение сходится к интегралу от модуля средней кривизны для графика С*2-гладкой функции.

Ключевые слова: кусочно-линейная функция, почти-решение, уравнение минимальной поверхности, аппроксимация уравнения, уклонение кусочнолинейного почти-решения.

В работе [2] вводится понятие почти-решения для эллиптических уравнений, которое для уравнения минимальных поверхностей

будет выглядеть следующим образом. Функция f € Ш 1,Р(П) называется почти-решением уравнения минимальной поверхности в области П С И™, если найдется е > 0 такое, что для любой функции Н € С1(П), |Н(ж)| < 1 в П выполнено

Наименьшая из величин є > 0, которую будем обозначать £д(/), удовлетворяющая этому определению, называется уклонением почти-решения f (х). Другими словами,

где точная верхняя грань берется по всем функциям Н Є С^П), таким, что |Н(ж)| < 1 в П. Отметим, что если функция f Є С2(П) и Єд(/) = 0, то функция f является решением уравнения (1) в области П.

Введение

(1)

Для получения уравнения, аппроксимирующего уравнение минимальной поверхности, нам потребуется несколько видоизменить приведенное определение для класса кусочно-линейных функций. В связи с этим мы вводим понятие уклонения кусочнолинейного почти-решения, вычисляем его и доказываем, что введенная величина приближает интеграл от модуля средней кривизны графика С*2-гладкой функции.

1. Основные результаты

Пусть область П представляет собой многогранник, разбитый на тетраэдры Тк, к = 1,...,N. Обозначим через Р1,Р2,...,Рм вершины этих тетраэдров. Символом Р' будем обозначать множество тех вершин, которые расположены внутри многогранника П, а через Р" — множество граничных вершин. Зададим в каждой вершине Рі произвольное значение fi. На основе этих значений построим кусочно-линейную функцию fN(ж) такую, что fN(Рі) = fi,i = 1,..., М. Тогда в каждом тетраэдре Тк функция fN(ж) линейная, поэтому V fN(ж) = const в Тк.

Через <fii(x), і = 1,...,N, обозначим такую кусочно-линейную функцию, которая удовлетворяет следующим условиям:

<Pi(xj) = 0 при j = І, <Pi(Xj) = 1 при j = і.

Тогда очевидно, что

м

fN (x) = S fiPi(x),

i=1

при этом max |/N (x)| = max | /¿|.

J 1<i<M

Уклонением почти-решения fN будем называть величину

Є Q( f ) = sup

f <V fN-Vh) dx

J V1 + IV fN|2

где точная верхняя грань берется по всем кусочно-линейным функциям вида

м

h(x) = ^2 hi<Pi(x),

=1

таким, что |h| < 1 для всех і = 1,...,М и h = 0 для Рі є Р" (то есть для граничных вершин). Таким образом мы сужаем множество функций h(x), по которым ищется точная верхняя грань. Вычислим уклонение для fN по этому определению.

Зафиксируем произвольно г = 1-М. Пусть Т1,Т£, ...-Т^ — те тетраэдры, у которых вершиной будет точка Рі. Выходящие из этой вершины грани тетраэдра Тг, j = 1, 2,..., к(і), обозначим Г*1, Г*2, ..., Г*п, и пусть Г*п+1 оставшаяся грань тетраэдра Xі, противоположная вершине Рі.. Обозначим через иг^1, иг2, ..., игп, Vjn+1 — внешние по отношению к тетраэдру Тг нормали этих граней. Так как в тетраэдре функция fN линейна, то V fN = Q = const. Ниже IE| означает (п — 1)-мерную меру множества Е. Тогда

Г <V fN, Vh) _ f <V fN, Vpi)

dx = h I —, . _ == dx =

внутр. Pi

^1 + iv/nI2 .„утр. p. 7 v/1 + iv/nI2

Е ы Е/ <У/М’ У'А>

внутр. Р; 3=1^

к(г) п+1

Е ыЕЕ

11 /ГТГУ7

х = Е ы Е / <®' у">

к(0 п+1 I £% % \

<К j• ^1 >

внутр. Р; ¿=1^1

к(г)

. \11 +1е I2

йх =

внутр. Р; j=1 1=1

\Л +1 3 I

/Елз = - £ ы

«/ — пилгФП О л*_1 7_1

.,7 1 г

з1

внутр. Р* .7=1 /=1

Последнее слагаемое в сумме по I равно нулю, так как функция ^ = 0 на грани Г*-п+1. Преобразуем данное выражение следующим образом

Е

=1

п+' (Н \

=|Г^ | = Е Г=; |Г‘„ I-

<д .4.+1>

V1 +13I2 ’ >=1\11 +1-8I2 1 \Д +1$I2

|г;„+1|

п+1

Е

т/ \

^ ^ • "п'': Г^' I

1Г I£ I2

Ir5n.lI

1 +1 I2

так как интеграл равен нулю по формуле Гаусса — Остроградского. Поэтому приходим к равенству

<у Г • уы>

л/1 + IV Iм I2

1

к( )

Лх = - - Е ыЕ

<е5 • 4>+1>

- внутр. Р, :}=1 х/1 + |Су Г2

Irjn.lI

Тогда

внутр. Р;

к( )

V

А/1 + I $12

|Г}п+'|

Очевидно, что неравенство превращается в равенство для такой функции Ы, которая в граничных вершинах равна нулю, а во внутренних вершинах равна

к( )

<д .'4»+1>

;=и/1 + I а I2

|Г*п+'|

Таким образом, справедливо утверждение.

Теорема 1. Уклонение почти-решения /м уравнения минимальной поверхности вычисляется по формуле

м Iм ) = - Е

внутр. Рг

к ( ) •

Е -%%^Гп+1|

^=М/ 1 + |О|2

(2)

2

Замечание. Аналогичным образом можно вычислить уклонение почти-решения для других дифференциальных уравнений. Например, уклонение кусочно-линейного почти-решения ¡м(х) уравнения Лапласа Аf = 0 вычисляется по формуле

вд(Г ) =1 Е

внутр. Рг

Е <д, ^+.}1г;„+.1

3 = 1

Выясним, как себя ведет величина е^( ¡и) при N ^ то на следующем частном примере. Рассмотрим квадрат П = [0; 1] х [0; 1]. Зафиксируем N и разобъем квадрат П на квадраты прямыми

х = хг = ^, У = Уз = N, 1,Э = 0, 1 2,^,Ж

Каждый из полученных квадратов разобъем на два треугольника диагональю, проведенной с нижнего левого угла в верхний правый угол. Пусть в квадрате [0; 1] х [0; 1] задана дважды непрерывно дифференцируемая функция и(х, у). Далее обозначим через им(х, у) кусочно-линейную функцию, которая определяется значениями в вершинах сетки следующим образом

игз и(х1,> Уз).

Вычислим уклонение почти-решения им(х) по формуле (2). Фиксируем г, 1 < г <

< N — 1, и ^7, 1 < j < N — 1. К вершине (хг, уз) примыкают 6 треугольников:

Т1 : (х^ Уз), (хг+1, Уз+l), (х^ Уз+1) Т2 : (хi, у,), (хi, yj+l), (хг—ь Уз)

Т3 : (х^ Уз ), (хг—1, Уз ), (хг-Ъ У—) Т4 : (хг, Уз ), (хг—Ъ Уj-1), (х^ Уз-1)

Т5 : (хг, Уз ), (хг, Уз-1), (хг+1, Уз ) Т6 : (хг, Уз ), (хг+1, Уз ), (хг+1, Уз'+1).

Используя равенство (2), получаем

1 N-1 6 /¿ч ЬЛ

^) = 2 е е ;6 , ' } и?|,

2«=ы=1 \/ 1 + | |2

где

|Г?'| = 1/N, I = 1, 3, 4, 6, |ггз| = ^/N1 1 = 2, 5, и градиенты соответствующих линейных функций

;), е? = (-

г з _ / иг+1з+1 игз+1 игз+1 игз \ £%з ____ I игз иг—1 з игз+1 игз

41 = Т , Т , Ч 2

\ к к )' ^ \ к } к с г з I игз иг—1з иг—1 з—1 иг—1 з \ / игз—1 иг—1 з—1 игз игз—1

) гз I игз—1 иг—1 з—1 игз игз—1 \

, ?4 = V к , к )

£% з I иг+1з игз и%з игз—1\ ( иг+1з игз иг+1з+1 иг+1 з—1 ^

4 5 = V к , к ), 4 6 = V к , к ),

где к = 1/N. Нормальные векторы имеют вид

и? = (0,1), = (—1/А1/л/2), = (—1, 0),

(0,-1, V* = (1/\/2,—1Д/2), ,/« = (1,0))

Таким образом,

1,3=1

иíj+1 и^ и^ и1—1 + иг?+1 и^ и^ и1—1

1 +1СТ л/1 + 1812 л/1 + 1812 л/1 + І й7 I2

и^ — и1^'—1 и1+1? — и1з и1з — и1^'—1 и1+1? — и1з

- +------------------, =----------------------, = +

1 +1 €4" І2 л/1 + І£5 І2 л/1 + Ій7 І2 л/1 + І£6 І2

Рассмотрим разность

иг7+1 иг; иг; и^—1

1 + І $ І2 л/1 + ІС412

и1з+1 — иі] — (иіі — Міі —1)

1 + І £Г І2

иіІ — и1з — 1)

^1 + І^ І2 ^1 + І $ І2

иіІ+1 2иц + иу — 1

1 + І£?' І2

+

(иіі — игз- 1)(і$ і2 — іег І2)

/1+Р1¥ + \А +1 й1 |2) V1 + ^ |У1 + |^ |2

Так как функция и(х, у) дважды непрерывно дифференцируемая, то

игз+1 2игз + игз—1 (иуу(хi, Уз) + 0(к))к ,

игз — игз—1 = (и'у (хг, Уз) + о (к)) к,

игз — 1 иг— 1з — 1 (иx(хi, Уз ) + 0(к))к,

иг+1з+1 — игз+1 (их(хг, Уз ) + 0(к))к,

игз+1 — игз = (и'у(хг, Уз) + 0(к))к, игз—1 — иг—1з—1 = ^(х,, % —1)к — ^и"^, Уз — ^Ь2 + 0(к)к2,

иг+1з+1 игз+1 их(хг1 Уз+1)к + 2ижж(хг, Уз+1)к + 0(к)к

при к ^ 0. Тогда

|£гз 12 |Агз |2 _ ( игз — 1 — иг—1з —1\ / игз — игз —1\ ( иг+1з+1 — игз+1 \

| ^ к ) Ч к ^ ^ к ;) "

и13+1 и'

і

к

)2=(

и11 и1j — 1 + и1j+1 иіі

к

к

и1j и1j — 1

и

•1]

к

+

+ I и1з—1 — и1—1з—1 + и1+1з+1 — и1з+Л /" и1з—1 — и1—1з—1 — и1+1з+1 + и1з+1 ^

+ 1 к + к У V к )

= к(2и'у(Х1, Уз) + 0(к))(—иуу(Х1, Уз) + 0(к)) +

4

1

1

+ к(2<(хг, Уз) + 0(к))(—2и1у^г-. Уз) — Уз) + 0(к)) =

— к(2и' (хг, Уз)иуу(хг, Уз) + 2<(хг, Уз)(2и10^ Уз) +иL(хг, Уз)) + 0(к)).

Поэтому

игз+1 — игз игз — игз—1

к2

и

уу

У1 + (их)2 + (иу)2

(и; )2и"у + 2и'хиуиху + и'хи'у ихх

(1 + (и,)2 + и )2)3/2

) + °(к) 1 • (3)

Аналогично,

иг+1з - игз игз - иг— 1з

/жет ^1 +1£ |2

к2

и

и

/ )2

и'у )2

(<)2<т + 2<ИУ и"у + «и:

-Х^у^уу

(1 + (О2 + К )2)3/2

(*1,У)) + 0(к) I ■ (4)

Рассмотрим разность

игз+1 — игз игз — игз — 1

л/1 + | Йз |2 \Л + ^ |2

игз+1 — игз — (игз — игз — 1)

1 +1 егз |2

игз — игз — 1)

^1 +1 £ |2 ^1 +1 « |2

игз+1 2игз + игз—1

гз 2

+

(игз — игз — Ж!С5 |2 — |^ |2)

1 + | £2з |

1 + ^ |2 + \А+к!т) \Л +1 $ |У 1 +1 $ |2

Так как

| е5з |2 — | # |2

иг+1 з игз игз иг—1з\ (иг+1з 2игз + иг—1з

иг+

к + к А к +

+

игз игз—1 игз+1 игз\ (2игз игз—1 игз+1

+

к к к то, рассуждая так же как и выше, приходим к равенству

игз+1 игз игз игз — 1

О ■

1 +1 &з |2 л/1 + | £5з |2

к2

Аналогично,

и

УУ

л/1 + (и'х)2 + К)

ихиу ихх ихиуиуу

I ^ ^ у уу

(*‘«) + (1 + (и;.)2 + (< )2)3/2

(^ЭД) + 0(к)

иг+1 з — игз игз — иг—1з

1 +1 £5з |2 л/1 + | £2з |2

(5)

1

1

2

Ь2

и'

1 + {и'х)2 + {и' )2

(хі,Уі ) +

и'хиу и'уу — и'хи'у ихх

{1 + К )2 + {и; )2)3/2

(хі,Уі ) + 0{Ь)

(6)

Из равенств (3)—(6) получаем

N-1

єя{пм) = Ь2 ^ і,і=1

{1 + К)2 Жх — 2и'хиуиху + {1 + {<)2)и"

то

{1 + ю2 + {и; )2)3/2

+ 0{Ь).

(^,«3 )

Переходя к пределу при N ^ то в этом равенстве, приходим к следующему утверждению.

Теорема 2. Пусть и е С*2(П), П = [0,1] х [0,1]. Тогда

Ііт є я{и )

N—^оо '

{1 + К)2)и"^ — 2ихиуиху + {1 + К)2)<,

{1 + К )2 + К )2)3/2

¿Х(1у

= .1.1 |Q[и(x, у)]| ^

п

Таким образом, приравняв к нулю уклонение (им), получим систему нелинейных

уравнений относительно искомых и^

^гjигj (^г],5 + ^г.7,6)иг+1.7 + (И^,2 + ^1],3)иг-1] + (^47,1 + ^^,2)и^+1 + (^¿7,4 + ^íj,5')иíj — 1,

где

^і],к

1

+ 2№“іІ,2 + ^і],3 + ^гj,4 + ‘2f^íj,5 + ^гj,6 ) 1> •••> ^ 1

Данная система уравнений, как следует из теоремы 2, аппроксимирует уравнение (1). Отметим, что в работе [1] получена аналогичная система уравнений по девятиточечному шаблону, с помощью которой авторы приближенно находят поверхности минимальной площади.

ПРИМЕЧАНИЕ

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 13-01-97034-р_по-волжье_а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абдюшев, А. А. Проектирование непологих оболочек минимальной поверхности / А. А. Абдюшев, И. Х. Мифтахутдинов, П. П. Осипов // Изв. КазГАСУ, Строительные конструкции, здания и сооружения. — 2009. — № 2 (12). — С. 86-92.

2. Миклюков, В. М. Геометрический анализ. Дифференциальные формы, почти-решения, почти квазиконформные отображения / В. М. Миклюков. — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2007. — 530 с.

REFERENCES

1. Abdyushev A.A., Miftakhutdinov I.Kh., Osipov P.P. Proektirovanie nepologikh obolochek minimal’noy poverkhnosti [Design of steep shells with minimal surface]. Izv. KazGASU, Stroitеl’nyе konstruktsii, zdaniya i sooruzhеniya [News of KSUAE], 2009, no. 2 (12), pp. 86-92.

2. Miklyukov V.M. Gеomеtrichеskiy analiz. Diffеrеntsial’nyе formy, pochti-rеshеniya, pochti kvazikonformnyе otobrazhеniya [Geometric analysis. Differential forms, almost-solutions, almost quasi-conformal mapping]. Volgograd, Izd-vo VolGU Publ., 2007. 530 p.

ON PIECEWISE-LINEAR ALMOST-SOLUTIONS OF ELLIPTIC EQUATIONS

Doctor of Physical and Mathematical Sciences,

Head of Department of Mathematical Analysis and Function Theory

Volgograd State University

[email protected]

Prospect Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Abstract. In this paper we define deviation £q(fN) of piecewise-linear almost-solution fN of the minimal surface equation Q[f(x)] = 0 and we get a general formula to calculate it. Let T{,T2,, ...,Tl^ be tetrahedrons which have vertex Pi. We denote r*1, rj2, ..., rjn sides leaving from vertex Pi of the tetrahedron Tj, j = 1, 2,...,k(i), and let be rjn+1 the side of tetrahedron Tj opposite to vertex Pi. We set by vj1, vj2, ..., vjn, Vjn+1 the external normal vectors of the sides F^, rj2, ..., rjn relatively of Tj. As fN is linear function in Tj then VfN = = const. Then the following equality holds

where rjn+1 is exterior side relatively Pi. On the basis of this concept it obtained approximation equation eq(fN) = 0 or = (^,5 + ^,,6)^+1, + (^,2 +

+ ^ij,3)ui-1j + (^ij,1 + ^ij,2)uij+1 + (^ij,4 + ^ij,5)uij-1, where

Thus, the obtained system of nonlinear equations aproximate the minimal surface equation.

Key words: piecewise-linear functions, almost-solution, minimal surface equation, approximation equation, deviation of piecewise-linear almost-solution.

Klyachin Alеksеy Ateksandrovich

1

^ij = ^ij,1 + 2Hij,2 + ^ij,3 + ^ij,4 + 2^ij,5 + ^ij,6, ij = 1,...,N — 1

and proved that the deviation £q(un) converges to the integral of the modulus of the mean curvature of the graph of C2-smooth function u, that is