CC BY
10
www.volsu.ru
МОДЕЛИРОВАНИЕ, ИНФОРМАТИКА И УПРАВЛЕНИЕ
DOI: https://doi.oгg/10.15688/mpcm.j'volsu.2019.2.5
УДК 517.951, 519.632 Дата поступления статьи: 20.03.2019
ББК 22.161, 22.19 Дата принятия статьи: 29.04.2019
АППРОКСИМАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 4-ГО ПОРЯДКА В КЛАССЕ КУСОЧНО-ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
_ ____О___
НА ТРЕУГОЛЬНОЙ СЕТКЕ1
Алексей Александрович Клячин
Доктор физико-математических наук,
заведующий кафедрой математического анализа и теории функций, Волгоградский государственный университет [email protected], [email protected] https://orcid.org/0000-0003-3293-9066
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
о
см
<
к к ¡г
Владимир Александрович Клячин
Доктор физико-математических наук,
заведующий кафедрой компьютерных наук и экспериментальной математики, Волгоградский государственный университет [email protected], [email protected] https://orcid.org/0000-0003-1922-7849
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
ш Аннотация. В настоящей работе определяется уклонение кусочно-куби-
к ческого почти-решения бигармонического уравнения и выводится общая фор-
[5 мула его вычисления. На основе данного понятия получена аппроксимация
уравнения. Проведен ряд численных расчетов с целью экспериментального подтверждения полученной формулы.
Ключевые слова: кусочно-кубическая функция, почти-решение, бич гармоническое уравнение, аппроксимация уравнения, уклонение кусочно-кубического почти-решения.
Введение
Дадим необходимые определения. Пусть задана многогранная ограниченная область П С И"". Рассмотрим произвольное разбиение этого многогранника на невырожденные тетраэдры Т1, Т2, ..., Т^ и пусть М1, М2, ..., Мт — все вершины этих тетраэдров. Будем предполагать, что ни одна из точек Мг не является внутренней точкой ни одной грани тетраэдров. Через Г будем обозначать грани всех тетраэдров, I = 1, 2,...,Ь, а максимальный диаметр всех тетраэдров обозначим через к, т. е. К = тах &атТк.
1 <к<И
В настоящей работе определяется понятие уклонения почти-решения бигармониче-ского уравнения в классе кусочно-полиномиальных функций на треугольной сетке. На основе этого определения выводится простая формула вычисления уклонения и экспериментально подтверждается на нескольких примерах.
1. Понятие почти-решения бигармонического уравнения
В работе [3] вводится понятие почти-решения для эллиптических уравнений, которое для уравнения минимальных поверхностей
i £ ЫЫ=о ш
будет выглядеть следующим образом. Функция f € Ш 1,Р(П) называется почти-решением уравнения минимальной поверхности в области П С И", если найдется е > 0 такое, что для любой функции К € С$(П), |к(ж)| < 1 в П, выполнено
(Vf, Vh) VI + V12
dx
< г.
Наименьшая из величин е > 0, которую будем обозначать е<д(/), удовлетворяющая этому определению, называется уклонением почти-решения $ (х). Другими словами,
£q(/ ) = suP
где точная верхняя грань берется по всем функциям h е С$(П) таким, что lh(x)l < 1 в П. Отметим, что если функция f е С2(П) и е<д(/) = 0, то функция f является решением уравнения (1) в области П.
В работе [1] на основе данного определения было введено понятие уклонения кусочно-линейного почти-решения уравнения (1), получена формула его вычисления на произвольной треугольной сетке. Там же доказана сходимость £q(/l) к интегралу
Ц IQWxdy п
при стремлении мелкости сетки к нулю для f е С2(П), если уклонение вычисляется для кусочно-линейной функции fL, совпадающей в узлах сетки с функцией f.
(Vf, Vh) V1 + IV/12
dx
Для получения уравнения, аппроксимирующего бигармоническое уравнение
Д2 д4и ^ ^ д4и д4и д (2)
дх4 дх2ду2 д у4
нам потребуется несколько видоизменить приведенное определение для класса кусочно-кубических функций. В связи с этим мы вводим понятие уклонения кусочно-кубического почти-решения и выводим формулу его вычисления.
Через фг(х),г = 1,...,т, обозначим такую кусочно-линейную функцию, которая удовлетворяет следующим условиям:
фДМу) = 0 при з = г, фД Му) = 1 при ] = г.
Будем в качестве почти-решения рассматривать кусочно-кубические функции. Поясним сказанное.
Зафиксируем произвольное натуральное число д. Для каждого тетраэдра Тк будем строить полином следующим образом. Пусть А'к,Акк,...,АП+1 - вершины этого тетраэдра. Рассмотрим набор точек
Щ = Ак + | АЙ + ... + ^-^А,
где г1,..., гп = 0, ...д и ¿1 + ... + гп < д.
Отметим, что число этих точек Яд,п, включая вершины тетраэдра, определяется равенствами
(д+1)(д + 2) ^о
Пд,2 = -2-, =1 + 2^ &г,п-1, для П > 3.
2 ¿=1
Пусть А1, А2,..., Адд п - все полученные точки в Тк. Зафиксируем некоторые постоянные значения и1,и2, ...ищп и построим интерполяционный полином Р^(х) степени такой, что
Ркк (Аг) = иг, ъ = 1, 2,...,К,,п.
Вычисление коэффициентов многочлена Р% сводится к решению линейной системы уравнений. Далее считаем, что = 3. Построенную кусочно-кубическую функцию будем обозначать через и( х).
Уклонением почти-решения и(х) будем называть величину
£ддЫ = sup
1 тк
где точная верхняя грань берется по всем кусочно-линейным функциям вида
N
Y^ / (VAu, Vh)dx к=\ ^
м
h(x) = ^ hiVi(x)
i=l
таким, что < 1 для всех 1 = 1, ...,т и к = 0 для Мг € дП (то есть для граничных вершин).
Зафиксируем произвольно г = 1,т. Пусть Т[,Т2,, те тетраэдры, у кото-
рых вершиной будет точка Мг. Выходящие из этой вершины грани тетраэдра Тг, j = = 1, 2,...,к(г), обозначим Г^, rj2, ..., rjn и пусть rjn+1 оставшаяся грань тетраэдра Tj, противоположная вершине Mi. Обозначим через
Vj'2, V}n, Vjn+1 - внешние
по отношению к тетраэдру Тг нормали этих граней. Так как в тетраэдре функция u кубическая, то VAu = const. Ниже IE| означает (п — 1)-мерную меру множества Е. Тогда
г г к(г) Г
/ (VAu, Vh) dx = h / (VAu, Vфг) dx = ^ h / (VAu, Vфг) dx.
5 внутр. 5 внутр. Mi j=1^i
j
Так как для полинома третьей степени и выполнено div(VAu) = 0, то
к(г) к(г) n+1 „
Е h ^ /(VAu, Vфг) dx = ^ h ^^(VAu, vj7 )/ VidS =
внутр. Mi j=1 < внутр. Mi j=1 1=1 <
1j Ljl
к(г) n
= п E hEE(VAu-vji)ПI.
внутр. Mi j=1 1=1
Последнее слагаемое в сумме по I равно нулю, так как функция фг = 0 на грани Tjn+1. Преобразуем данное выражение следующим образом
n n+1
^(VAu, )|rj71 = ^(VAu, )|rj71 — (VAu, =
=1 =1
n+1 „ „
= £ / (VAu, vjt)dS — (VAu, vjn+1 )|rjn+11 = (VAu, v) dS — (VAu, vjn+1)|rjn+1| = =1
1Г% дТг
jl J
= —(VAU, vjn+1)|rjn+11,
так как интеграл равен нулю по формуле Гаусса — Остроградского. Поэтому приходим к равенству
г 1 к(г)
(VAu, Vh) dx = — п £ h J2(VAu, vjn+1)|rjn+J. 5 п внутр. Mi j=1
Тогда
- fc(i) £aa(m) < - Y]
a ' j
л
внутр. Mi
3=1
Очевидно, что неравенство превращается в равенство для такой функции к, которая в граничных вершинах равна нулю, а во внутренних вершинах равна
/ВД \
Ы = sgn I ^}га+1)|Г}га+1| I .
Таким образом, справедливо утверждение.
Теорема 1. Уклонение почти-решения /м уравнения минимальной поверхности вычисляется по формуле
1
£ааЫ = - J]
внутр. Mi
¿(VAu, v}n+1)|r}ra+1|
3=1
(3)
2. Экспериментальная проверка полученной формулы
Рассмотрим примеры численных расчетов величины (3). Вычисления будем проводить для функций, являющихся решением бигармонического уравнения (2) в области квадрата [0,1] х [0,1]. Для осуществления вычислений стороны этого квадрата разбиваются на N частей и в каждой полученной прямоугольной ячейке строится диагональ. Таким образом мы получим триангуляцию, для которой будем проводить вычисления согласно формуле (3).
В качестве инструментов проведения численных экспериментов была выбрана связка Python + NumPy. Модуль NumPy позволяет использовать 'C'-подобные массивы, которые обеспечивают уменьшение времени вычислений за счет более быстрого доступа к элементам по сравнению с обычными списками Python. Так же частично были использованы расчетные модули на триангуляциях, описанные в работе [2].
5 10 15 20 25
Число точек разбиения сторон квадрата
Рис. 1. Результаты численных экспериментов
На рисунках 1, 2 показаны зависимости вычисленной величины отклонения решения уравнения от числа точек разбиения сторон указанной квадратной области. При этом аппроксимация величины УАи осуществлялась в каждом треугольнике триангуляции с помощью многочленов 4-го порядка
Р(х, у) = ах4 + Ьх3у + сх2у2 + ¿ху3 + еу4 + /х3 +
2 т 2 7 3 7 2 2
+ дх у + аху + ку + 1х + тху + пу + рх + ду + г.
0.14
I 0.12
0.10
0.08
0.06
2 0.04
5 0.02
0.00
> 1 —Бигармонический многочлен 5-го порядка х5-10х3уг + 5ху4 \ — Бигармонический многочлен 6-го порядка х6 - 15х*у2 + 15х2у^ - У6
4 6 8 10 12
Число точек разбиения сторон квадрата
14
Рис. 2. Результаты численных экспериментов
Для этого внутри треугольника и на его сторонах выбиралось равномерно расположенных 15 точек, как показано на рисунке 3. При этом приближенное значение
УДи « УДР(х, у) = (24ах + 6Ъу + 4сх + Ыу + 6/ + 2к,
6 Ьх + 4су + 6ёх + 24еу + 2д + 6к) для использования формулы (3) вычисляется в центре треугольника.
1.0
0.3
0.6
0.4
0.2
0.0
\
• \
• • Центр треугольник • а \
0.0 0.2 0.4 0.6 0.3 1.0
Рис. 3. Точки для интерполяции в треугольнике
Вывод
В целом для всех выбранных бигармонических функций величина уклонения £дд(и) оказалась, как и ожидалось, достаточно малой даже при сравнительно небольшом количестве узлов триангуляции. В среднем, при 25 < N < 35, абсолютная погрешность составила порядка 0,0001, что дает приблизительно асимптотическую оценку 0(Ы2), когда шаг разбиения к ^ 0.
ПРИМЕЧАНИЕ
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 19-47-340015 р_а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Клячин, А. А. О кусочно-линейных почти решениях эллиптических уравнений / А. А. Клячин // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. - 2013. - № 2 (19). - C. 19-26.
2. Клячин, В. А. Численное исследование устойчивости равновесных поверхностей с использованием пакета NumPY / В. А. Клячин, Е. Г. Григорьева // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2015. — № 2 (27). — C. 17-30.
3. Миклюков, В. М. Геометрический анализ. Дифференциальные формы, почти-решения, почти квазиконформные отображения / В. М. Миклюков. — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2007. — 530 с.
REFERENCES
1. Klyachin A.A. O kusochno-lineynykh pochti resheniyakh ellipticheskikh uravneniy [On Piecewise Linear Almost Solutions of Elliptic Equations]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2013, no. 2 (19), pp. 19-26.
2. Klyachin V.A., Grigoryeva E.G. Chislennoe issledovanie ustoychivosti ravnovesnykh poverkhnostey s ispolzovaniem paketa NumPY [Numerical Investigation of Stability for Equilibrium Surfaces Using NumPy Package]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2015, no. 2 (27), pp. 17-30.
3. Miklyukov V.M. Geometricheskiy analiz. Differentsialnye formy, pochti-resheniya, pochti kvazikonformnye otobrazheniya [Geometric Analysis. Differential Forms, AlmostSolutions, Almost Quasiconformal Mappings]. Volgograd, Izd-vo VolGU Publ., 2007. 530 p.
THE APPROXIMATION OF THE FOURTH-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS IN THE CLASS OF THE PIECEWISE POLYNOMIAL FUNCTIONS ON THE TRIANGULAR GRID
Aleksey Aleksandrovich Klyachin
Doctor of Physical and Mathematical Sciences,
Head of the Department of Mathematical Analysis and Function Theory, Volgograd State University [email protected], [email protected] https://orcid.org/0000-0003-3293-9066
Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Vladimir Aleksandrovich Klyachin
Doctor of Physical and Mathematical Sciences,
Head of the Department of Computer Sciences and Experimental Mathematics, Volgograd State University [email protected], [email protected] https://orcid.org/0000-0003-1922-7849
Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Abstract. The present work determines the deviation of the piecewise cubic almost-solution of the biharmonic equation and derives the general formula (3) for its calculation. Based on this concept, we obtained an approximation of the equation. A number of numerical calculations were carried out in order to confirm the obtained formula (see pictures 1 and 2) experimentally. In general, for all selected biharmonic functions, the deviation value saa(u) turned out to be, as expected, rather small even with a relatively small number of triangulation nodes. On average, with 25 < N < 35, the absolute error was about 0,0001, which gives an approximately asymptotic estimate of 0(h2) when the partitioning step is h ^ 0.
Key words: piecewise cubic function, almost solution, biharmonic equation, approximation of the equation, deviation of the piecewise cubic almost solution.
