О равномерной сходимости кусочно-линейных решений уравнения минимальной поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 3 (2014). С. 3-16.

УДК 517.95

О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ МИНИМАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

М.А. ГАЦУНАЕВ, А.А. КЛЯЧИН

Аннотация. В работе рассматриваются кусочно-линейные решения уравнения минимальной поверхности над заданной триангуляцией многогранной области. Показывается, что при определенных условиях градиенты таких функций остаются по модулю ограниченными при стремлении к нулю максимального диаметра треугольников триангуляции. Подчеркивается, что это свойство выполняется, если кусочно-линейные функции приближают значение площади графика гладкой функции с необходимой точностью. Следствием полученных свойств является равномерная сходимость кусочно-линейных решений к точному решению уравнения минимальной поверхности.

Ключевые слова: кусочно-линейные функции, уравнение минимальной поверхности, аппроксимация функционала площади.

Mathematics Subject Classification: 35J25, 35J93, 65N30

1. Введение

Некоторые задачи, возникающие при проектировании архитектурных сооружений, сводятся к построению поверхностей минимальной площади. Это достаточно подробно отражено в книге [1], а также в работе [2], где изучается проблема разработки тентовых тканевых конструкций. Подробный анализ приведенных там результатов приводит к задаче разработки эффективных методов приближенного решения уравнения минимальной поверхности и математическому обоснованию найденных методов в плане устойчивости и сходимости приближенных решений. Основная трудность при исследовании данных вопросов заключается в том, что уравнение минимальной поверхности является нелинейным, и поэтому традиционные методы, используемые для линейных уравнений, не пригодны.

Наш подход заключается в том, что мы определяем понятие кусочно-линейного решения уравнения минимальной поверхности над заданной триангуляцией расчетной области и устанавливаем необходимые свойства этих решений. Именно, показываем, что порядок точности аппроксимации функционала площади относительно диаметров треугольников равен двум, устанавливаем, что частные производные ограничены постоянной, независящей от мелкости разбиения при достаточной степени аппроксимации функционала площади и т. д. Доказанные утверждения позволяют, в частности, установить равномерную сходимость кусочно-линейных решений уравнения минимальной поверхности при стремлении к нулю диаметров треугольников триангуляции.

M.A. GATSUNAEV, A.A. KLYACHIN, ON UNIFORM CONVERGENCE OF PIECEWISE-LINEAR SOLUTIONS TO MINIMAL SURFACE EQUATION.

© ГАЦУНАЕВ М.А., Клячин А.А. 2014.

Работа поддержана РФФИ (грант № 13-01-97034 р_поволжье_а ). Поступила 11 марта 2014 г.

2. Кусочно-линЕйныЕ решения уравнения минимальной поверхности.

Пусть задана многогранная ограниченная область П С И"". Рассмотрим некоторое разбиение этого многогранника на невырожденные тетраэдры Т1, Т2, ..., Т^. Пусть М1, М2, ..., Мт - все вершины этих тетраэдров. Будем предполагать, что ни одна из точек Мг не является внутренней точкой ни одной грани и ни одного ребра тетраэдров.

Для произвольного набора значений и1,и2,... ,ит определим кусочно-линейную функцию и : П ^ И так, что и(Мг) = щ,г = 1,... ,т и функция и(х) = р\х1 + • • • + ркхп + Ьк на каждом тетраэдре Тк ,к = 1,... , N. Данная функция будет непрерывной в П, ив каждом тетраэдре Тк определен градиент V« = рк = (рк,... ,'ркп). Поэтому площадь графика функции и вычисляется суммой

N „ N

б(р) = б(р1,...,РМ) = ^у ¿х = ^ VI + 1ркI2 <тк),

г^ к— 1

где ь(Тк) - п-мерный объем тетраэдра Тк.

Так как векторы р1,... ,рм однозначно определяются значениями и1,..., ит, то можем

т,1

записать значение площади Б (р) через переменные и = (щ,..., ит): Б (и) = Б (щ,..., ит). Действительно, значения переменных р1,... ,рм выражаются линейно через переменные и1,... , ит. Тогда найдутся такие числа а^, что

т

рк = ^ аииг, к = 1,... ,Ы, I = 1,...,п.

г—1

Коэффициенты а^ однозначно определяются разбиением области П на тетраэдры Т1,... , Т'н. Поэтому

N

Б (и) = Б (щ,..., ит) =

к—1

\

1 + £(£•

1—1 г—1

т-

Пусть теперь в вершинах М1,... , Мт заданы некоторым образом значения ... ,(р. Соответствующую кусочно-линейную функцию, построенную по этим значениям, обозначим через (р. Поставим задачу нахождения такой кусочно-линейной функции и, на которой достигается минимум площади Б (и) и удовлетворяющей граничному условию, т. е. задачу

Б(щ,...,ит) ^ шт, и(Мг) = V Mi е д П. (1)

Замечание. Пусть и* = (и*,..., и- решение задачи (1). Через и* будем также обозначать соответствующую кусочно-линейную функцию. Предположим, что к(х) произвольная кусочно-линейная функция, удовлетворяющая условию ) = 0 для любой точки Мг е дП. Тогда функция а(Ь) = Б (и* + Ьк) в точке Ь = 0 достигает своего минимального значения. Таким образом, а'(0) = 0, что равносильно равенству

£ Г (Уи>, Щ) Лх =0. (2)

Теорема 1. Задача (1) имеет единственное решение.

Доказательство. Отметим, что функция Б(и1,... , ит) является выпуклой вниз по совокупности переменных щ,..., ит. При этом, так как в граничных точках значения функции и фиксированы,

Иш Б(и) =

где |и| = тах |иг|. Поэтому функция в (и) достигает своего минимума в некоторой точке

и*. Покажем единственность. Предположим противное, т. е. найдется еще одно решение у* задачи (1). Тогда для кусочно-линейной функции у* также выполнено условие (2). Полагая

приходим к равенству

(Чу*, Ч(у* - и*)} (Чи*, Ч(у* - и*)}

в качестве h = v* — и*

N

Е

к=1

у/1 + |Wf

у/1 + фи*12

)

dx = 0.

(3)

Ниже нам понадобится неравенство

е

V

>е — v)>

1С — vl2

4)

лЛ+№ + Ш + 1)'

которое выполняется для любых векторов Е И™. Отметим, что похожие неравенства получены в работах [3], [4], [5] и также используются для исследования вопросов единственности решений уравнения минимальной поверхности. Неравенство (4), из которого мы получим единственность, нам понадобится ниже и для оценки градиента кусочно-линейного решения и*. А применить для этой оценки неравенства из вышеприведенных работ не удается. Потому-то мы и используем неравенство (4). Оно выводится следующим образом. Для начала заметим, что

уг+ёр > угт^+%1=4.

V1 + Ы2

Тогда

<

£

— v) = —

<C,v — 0 <v,C — v)

1

>

> УГТ|^ — —

V1 + Кг

|е|2 V1 + м2"

л/гт^Л/ГТ^ —<C,v) — г

лЛТёР

>

>

|£ — ^

5)

+ к ы +1)'

Полагая £ = Чи* и ^ = Чу* , в неравенстве (4) из (3) получаем, что Чи* = Чу*. Используя, что на границе дП функции и* и у* совпадают, получаем нужное равенство и* = у*.

П

3. Оценка модуля градиента Пусть £ - решение уравнения минимальной поверхности

9 ( fxi

л/rTW

0 (6)

в области П, непрерывное в П, причем f |qq = где <р(х) — непрерывная функция,

заданная на границе области П. Стоит заметить, что соответствующая задача Дирихле для произвольной области (даже с гладкой границей) не всегда имеет решение. Для плоских областей необходимым и достаточным условием разрешимости задачи Дирихле для произвольной непрерывной граничной функции ip(x) является условие выпуклости этой области. В пространстве размерности больше двух таким условием является неотрицательность средней кривизны относительно внешней нормали границы области. С точными формулировками и доказательствами данных результатов можно ознакомиться по работам [6]—[13]. В нашей статье мы не накладываем никаких условий на область П, однако предполагаем, что для данной граничной функции ip(x) решение задачи Дирихле существует. Понятно, что такие функции ip(x) существуют для произвольной области П.

Далее через и* мы обозначаем единственное решение задачи (1) с граничными данными ^ = <р(М>), Мг Е дп.

Введем величину для произвольных векторов Е И""

, V) = - - 4===.

1 + | | 2

Из неравенства (5) следует, что , г]) > 0 при всех £ = г]. Полагая £ = Ч f, г] = Чи* и используя уравнение (6), получаем

V [ 5(ЧЧи*) ¿х = 5(и*) - в(Л + [ {Ч^ и^(и* - ^ ¿в,

щ Л ,

где V - вектор внешней нормали к дП в точках, где он существует. Пользуясь неравенством (см. доказательство теоремы 1)

утты^ - УГГ^ -Щ=т ^

V1 + Кг

> к-^

^Г + Ш^ГТ^Г+М2 + |£|Ы +1)'

заключаем, что

^ Г_|Ч/ - Чи*|2 ¿X_

Ь' VI + |Ч/|2^г + |Ч/+ |Ч/||Ч«*| +Г) ^

Тк

(и-) -5(/)+ [{Ч/)("*- л И.

( ' и> У ут+ТЧл2

аи

Зафиксируем произвольное к = 1,... , N. Тогда

Г |Ч f- Чи*^ ¿х

ь л/гТШ2(л/ГТт?л/ГТЧ*? + |Ч/||Ч«*| + 1) ^

Т к

^ 8{и*) - 5(/) + / {Ч{,"}(ц* - Я ^ ^ В. (7)

( ) / VI + |Ч/12 ^

аи

Далее мы предполагаем, что |Ч Ц ^ Р0 в области П. Тогда из неравенства (7) получаем

Г |Ч /- Ч и*12

-Ах ^ 3(1 + Р02)В.

л/1 + |Ч М*|2

Т &

+ |Ч м*|2

Из этого неравенства следует, что

Г Чи*^

Т к

или

у/1 + |Ч м*|2

(¿X ^ 3(1 + Р02)В + 2РоУ(Тк)

+ |Чи*\2сIх ^ 3(1 + Р02)В + (2Ро + 1МТк).

-о )В + (2 Ро + 1)г;

Т &

Тогда из (8), применяя неравенство Гельдера, приходим к оценке

у |Ч f - Чи^х ^ 3(1 + Р02) ((В + ^(Тк)) В)1/2

Т &

Следовательно,

|Vu*|dx ^ P0v(Tk) + 3(1 + Р2) ((В + v(Tk)) В)1/2 .

^ к

В силу того, что градиент Vи* постоянен в Тк, получаем неравенство

у(Тк )^и*(х)\ ^ Р у(Тк) + 3(1 + Р^) ((В + у(Тк)) В)1/2 , х еТк. Разделив на у(Тк), приходим к оценке градиента

где

lVu*(x)l ^ Р + 3(1 + PiW(ak + 1)ak

- = Ж) [S(u )-SO+l dS

Теорема 2. Пусть f G C2(Q) П С (Q) - решение уравнения (6) такое, что flan = plan

и Р = sup |V/| < Предположим, что u* является решением задачи (1) с условием

n

u*(Mi) = <p(Mi), Mi G dQ. Тогда справедливо неравенство (9) для любой точки x G Q.

Замечание. Обозначим через fL кусочно-линейную функцию, построенную по значениям функции f в точках Mi,i = 1... ,m. Если величина

Mf) = (s UL) - s (f) + f (V -J' ds

остается ограниченной при определенном стремлении мелкости разбиения ^ = max diam Tk

области Q к нулю для достаточно гладких функций /, то из теоремы 2 и неравенства S(u*) ^ S(fL) мы заключаем, что приближенное решение u* имеет градиент, ограниченный постоянной, независящей от мелкости разбиения.

4. Аппроксимация функционала площади

Исследуем величину S(fL) — S(f) для функций f G C3(Q) при п = 2, где Q замкнутый прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Рассмотрим поверхность, заданную в виде графика функции z = f(x, у) над множеством Q.

Пусть Q = [a, b] х [с, d] и а = x0 < x\ < ■ ■ ■ < xn = b, с = y0 < y\ < ■ ■ ■ < ym = d. Тогда Q разбивается на прямоугольники Q^ = [xi,xi+1] х [г/j, yj+i], 0 ^ i ^ п — 1, 0 ^ j ^ m — 1. Далее разделим каждый такой прямоугольник правой или левой диагональю. Все дальнейшие рассуждения будем проводить с прямоугольником [x0,x\] х [у0,уi] так как оценка погрешности вычисления площади для остальных прямоугольников аналогична.

Если разделение происходит правой диагональю, то площадь графика кусочно-линейной функции над диагональю равна

Si = — *о)Ы - rn)j1 + (Kx,v0 - Hx0,vY +

а для треугольника, лежащего ниже нее

2

(x1 — xo)(y г — уо)\11 + (H^^A—Iixo^l У + (— f(x°, У°) V

V V xi — xo) \ yi — yo J

S'o = 1(*1 — xoHv 1 — 1J1 + ( nxi ,yo) — У + (— f fa^ )\

2 V V xi — xo J \ yi — yo J

Если прямоугольник делился левой диагональю, то площадь графика кусочно-линейной функции над диагональю равна

1 (а* - Хо)(У1 - усьА + (Л^ЬЛ^! У + (У°) - ИХ1> V ! V V Х1 - х° ' V У1 - у° '

= 2(х1 -Хо)(ш - Уо)\11 + ( ' ч~о'"1/-) +

а для треугольника, лежащего ниже нее

2 / ,■/ \ ,■/ \ \ 2

, А + //(х1,Уо) - /(хо, щЛ 2 + íf(хо, Щ) - /(хо, УоЛ'

V V х1 - хо ) V У1 - Уо )

= 2(х1 -хо)(^1 - Уо)^1 + ( ' 4-) +

Обозначим через 5 площадь полученной кусочно-линейной поверхности. Тогда справедлива

Теорема 3. Пусть ¡(х, у) € С3(П) и

М2 = вир тах{| ¡Хх 1, 1 1, 1 |}, Мз = вир тахЦ ¡'¿'хх 1, 1 %'ху 1, 1 1, 1 |},

к1 = тах(х» - хг-1), к2 = тах (у, - у,-1), к = тах(кь к2).

Тогда

лЛ+Г^Ж^УР (1хАу - 5

^ |П| | 2 Мз + 1^3+ . ^ , Л М22 + 5Мз2кЧ к2. у V тт{к1,к2}/ 2 у

Доказательство. Для краткости изложения предположим, что прямоугольники разбиения множества П делились правой диагональю. Результаты, полученные в рассматриваемом и общем случае, будут совпадать.

Рассмотрим прямоугольник [хо,х1] х [уо, у1]. С помощью интерполяционной формулы Ньютона (см. [14], гл. 3, §12), получаем линейное приближение Iи и Iв функции /(х,у) над верхним и нижним треугольниками разбиения этого прямоугольника, сответственно

¡(х, у) = Iи(х, у) + Пи(х, у) = /(хо, уо) + (х - Хо)f(хо;хь уо) + +(у - Уо) f(хо,уо; У1у + (у - уо)(у - Ы/ОхУо;уъуу+

+(х - хо)(у - У1)!(хо;х, уо; ш) + (х - хо)(х - х1)/(хо; х1; х, уо),

f(х, у) = Iв(х, у) + Дд(х, уу = /(хl, У1у + (х - хl)/(хl;хо, шу +

+(у - Уl)/(хl,ш; Уоу + (у - уЖу - уо) f(х,у;уь уоу+

+(х - х\)(у - Уо)/(хо;х, У1; уо) + (х - хо)(х - х1)/(хо; х1; х, ш), где /(о;1; а2; а3; • • • ; ап,31; 132; 33; • • • ; 3™) — разделенные разности функции /(х, у) (см. [14], гл. 2, §5). В частности,

и ч /(хl, Уо) - /(хо, Уо) и , f(хо, У1у - /(хо, Уоу

f(хо;Хl, Уоу =-, f(хо, Уо; У1 у = -,

х1 - хо 1 - о

Дх0;хьШ) = /(х-^ - /(х°'^, /(хцу0,,п)- 1(х1-Ш) - /(х"!л)

Тогда

х1 - хо 1 - о

д1 = /(х1,уоу - /(хо,Уоу + №(х, , дх ' х1 - хо дх ' '

дМх, у) = /(хо, Ы - /(хо, ^ + (х, у), »У У1 - уо оу

91, у) = /(х1, У1) — !(х0, У!) + дЯв , у)

дх ' хт — х0 дх ' '

(х, у) = Пх — + ^ (х,у).

дУ У1 — Уо дУ

Рассмотрим разность площадей графика заданной функции и графика полученной интерполяцией линейной функции над верхним треугольником разбиения

у/1 + IVЛ2 дхду — $

у/1 + IV/\2 дхду—

и

и

и

И

7(х1,У1) — !(хо,шД2 , (¡(х01 Ут) — !(хо,уоУ 2

+

хт — хо) V Ут — Уо

ьУо)у

х

у/1 + IV Л2 дх д у—

и

и

И

. + 1Ч«...—д®и „.,,)'(х, „—^ „.,;'

д х

д х

и

Си(х. у){2 ^(х. у) (х. у) + 2 ^(х. у) (х. у) — ( (х. у) ) —

д х

х

ду ду

)

(х-!/))

№(х у)))

х .

где

д

Пусть у = Гт(х) задает гипотенузу треугольника разбиения их = Г2(у) - обратная к ней функция. Применим интегрирование по частям к интегралу, полученному в правой части равенства

У1

\Х=Г2(у)_

и

у/1 + IVИ2 дхду — ви = 2 ! (ни(х, у)дх (х, у)Си(х

1 У / \х=хо

уо

Ыу)

Ни(х. у)

д д С д2

дх(х.у) ~дх~(х.у) + дх/2 (х. у)Си(х.у)

о

дх ) ду+

хо

X1

(ви(х, у)^(х, у)Си(х, у)\Уу=уг11(х)

хо

У1

ни(х, у)

Г1(х)

д С д2

ду(X, У) (X, У) + ду2(х, у)Си(х, у)

¿у ) дх—

IVНи(х, у)\2дхду.

и

Обозначим через С в (х, у) функцию на И, аналогичную функции Си (х, у). Тем же образом на И выводится равенство

У1

// ^1 + IV /|2 йхйу -5В = 2/ (яв(х, у)^(х, у)Сп(х, у)1Х=Г12(у)-

У0

Дв (х, уу

г 1(у)

д/ д д2!

дх(Х, У)~дСвх(Х, У) + дх2 (Х, У)С°(Х, У)

х +

Х1

+ ^ ^Пв (х, у) ^ (х, у)Св (Х, у)|У=Уо1(х)-

х0

1Ч(х)

Дв(х, Уу

У=У0

д / дСв f

ж,(х, у) (х, у)+ж?(х, у)Св(х, у)

Пв(х, уУ^х¿у.

¿у ) ¿х-

в

Просуммируем полученные равенства, учитывая, что на Г значения непрерывных функций совпадают

' 12,

0 + /|2 йхйу - + ев)

и в

х1

К

= 2 I (Ди(х, У1у¡'у(х, У1)Си(х, У1у -Дв(х, Уоу¡У(х, УоуСв(х, Уоу^хг+

х0 У1

+2 / СДв(хъ у)Гх(хl, У)Св(хъ у) -Ди(хо, Уу fХ(хо, У)Си(х0, У^у+

У0

х

+2/ Ди(Г1(х))¡У(Г1(х)) (Си(Г1 (х)) - Св(Г1(х)) ) ¿х-

х0

Пи(Г2(у))Гх(Г2(у))(ов(ВД) - Си(ЫуУУ^у-

У0

2 Л (дПи а1у(Си(х, у)Ф!(х) у)) + 1 Пи(х, у)^ с1хс1у

в

I

1

- 2Ц [Пв (Иу(Св (х, у)Ф/(х, у)) + 2 Пв (х, у)|2 ) <1х<1у.

:ю)

Нетрудно установить, что

|Си(х, у) - Св(х, у)| ^ 2Си(х, у)Св(х, у)М2к, С(Х1, у) - Св(хо, у^ ^ 4Си(х, у)Св(х, у)М2к1, |Си(х, у1у - Св(х, уо) | ^ 4Си(х, у)Св(х, у)М2Ъ,2.

Тогда, используя то, что разделенные разности равны значениям соответствующих производных в некоторой точке области определения, получим

I

( Пи(х, у1 ) — (х, У1)Си(х, у!) - Пв(х, уо) — (х, уо)Св(х, уо) ) Ах

ду

)

х0

х

(х - хо)(х - х1)

д f д3/ —(х, У1)Си(х, У1у -¿хщ(т)( У1 - Уоу+

д21 д21 +-Щ2(& 'П2)Си(х, У1у (&, Уо)(У1 - Уоу +

+ ^Хх2 (Уо) ¡у (х, Уо)(ои (Х, У1) -Св (Х, Уоу) (1х ^ 1№^3 + 5М2) к2г (12

Аналогично,

У1 / /

У0

Пв (Х1, у) ¡х(х1, у)Си (Х1, у) - Пи (хо, у) Iх(хо, у)Си (хо, у) \йу

^ - к1 к^М3 + 5М%) к22. Оценим модули погрешностей интерполяции над каждым из треугольников:

|Ди(х, у^ ^ М2(1 к2 + к1к2 + 1 к2,), |Пв(х, у^ ^ М2(1 к% + Ык2 + 1 к\).

13)

'14)

Эти неравенства можно использовать в качестве оценок погрешностей Пи (Г) и Пв (Г) на диагонали Г

1 - о

у = уо +--(х - Хо)

х1 - хо

рассматриваемого прямоугольника. Тогда из соотношений (11) следует

х

Пи(Г1(х))!'у(Г1(х))^Си(Г1(х)) - Св(Г^х))^ йх

^ 2 М22^4к22 + к1к2 + 4к2^ к1к,

Пи(Г2(у))Гх(Г2(у))(св(Г2(у)У - Си(ЫуУУ^у

<

:15)

У0

^ 2 М'2[ 4к2 + к1к2 + 4к2 ) к2к.

'О

'16)

Оценим квадраты модулей градиентов погрешностей

дК

и

х

(У - уо)(у - У1у f(х;х,уо;УъУу + (у - Уl)f(хо;х,Уо;У1у+

+ (х - Хо)(у - У1 )/(хо; х; х, Уо; ш) + (х - Хо)(х - х1)/(хо;х1;х;х, уо) +

хо + х1

+2 х -

2

/(Хо;Х1;х, Уо),

^-щи = (у-уо)(у-Уl)f(х,Уо;у1;у;уу + 2(уу - Уо + ш^ f(х,Уо;у1;уу+

дН

в

х

+ (х — хо)/(хо;х, Уо; Уг),

= (У — Ут)(У — Уо) f(х;х, ут, уо;у) + (у — ут )f(хо;х, ут, уо)+

+ (х — хо)(х — хт)/(хо; хт,х;х, уг) + 2 ¡х--2-) ¡(хо;хг;х;х, уг) +

+(х — х1)(у — У\)1(хо;х х, ут; yо), Х^В = (у — Ут)(У — Уо)f(х,у;у;УъУо) + 2(^у— Уо + f(х,у;УъУо)+

+ (х — хт)/(хо;х, ух; уо). Отсюда, с помощью неравенства Коши-Буняковского, можно получить

2

дНи < 1М_№ + мЦЦ + м2^ +1

х

+ М2н2 + м2^ + !м11г\ + м%к\,

дН

и

д

^ + мЩ + м%ьГ,

Аналогично,

2 1 1 IVНи\2 < 1м.¡¡14 + 2м*1ъ2 + м2п\п2 + —м1ьт + 2м2п\. 8 16

IV Нв\2 ^ -мШ + 2м^н2 + м^Ш + 1м1к2 + 2мЦк\. 1 1 8 16

Далее, заметим, что для и выполнено

а1у( Си V /) = Си А/ + {VСи, V/),

С

и

д х

дСи ду

—(Си )2д V1 + IV П2 = —(Си )2 Гх Гхх + Гу Гху

д х д

— (Си )2д^1+Ш2 = —(Си)

д

у/1 + IVП2 '

м г„ + М г„

2 х х у у у у

у/1 + IVП2.

Поэтому,

А так как

то

\ {V ¡, V Си) \

Си2

=(( ¡х:

V1 + IV П2

\Сиаf \ ^ 2м2, \а1у( СиVf )\ ^ 6м2.

)2 Пх + 2 ГхГу Пу + (¡у )2 /¡у

>

^ 4 м2.

Аналогично для И

'17)

:18)

(19)

(20)

\а1у( свV/)\ ^ 6 м2.

Оценим теперь по модулю сумму в правой части равенства (10). Пользуясь неравенствами (14), (17)-(20), получим

1

и

Ни &у(Си(х, у^/(х, у)) + 2IVНи(х, у)\21 ¿хду+

+

//(

в х

Нв &у(Св(х, у^/(х, у)) + 1IVНв(х, у)\2^ йхйу

<

2

^ ( 3 М1(к2 + 4кк + к1) + -М*к\ + 2М*к2 + М1к\к22 + —М32к21 + 2М?к\\ |Р| ^

V 8 16 )

^ I ~М1к\ + ЬМШ + 3М2к1к2 + М1к\к2 + ЪМ22к\ + —М^А |РI (21)

V8 16 )

где |Р| - площадь прямоугольника Р = [хо,х1] х [уо, у1 ]. Теперь, в силу (10), (12), (13), (15), (16) , (21) и того, что площадь прямоугольника Р не превосходит к1к2, мы имеем

у/1 + |VH2dxdy - (sru + SrD) I £

p

^ 1 hih2 (м3 + 5M2} (hf + h2) + 4 M^4h\ + hih2 + 1 h2j h(hi + h2)+

+1 -M2hi + 5M2h2 + 3M2h1h2 + M2hjh2 + 5M2h2 + —M2hi | hfh2 ^ \8 16 J

(2M3h2 + (36 + 12 . fh ь Л M2h2 + ^h4 | . у \ mrn{hi,h2\J 2 J

hih2 \ 2M3h2 + [36 + 12--—— M2h2 + -M?h4

min{hi,h2}/ 2

Суммируя неравенство по всем прямоугольникам разбиения множества П, окончательно получим

IJ[ V1 + \VfVdxdy - S| ^ |П| ( 2M3 + 12(^3 + —{^^у) + ^MlhA h2.

Q \ ' /

5. Равномерная сходимость приближенных решений

Теперь получим равномерную оценку для кусочно-линейных решений уравнения минимальной поверхности. Итак, пусть f - решение уравнения (6) в области П. Мы будем предполагать, что

sup |V /| = Р0 <

Q

Далее будем рассуждать так же, как и в работах [15], [16]. Обозначим через fL кусочно-линейную функцию такую, что fL(Mi) = f(Mi). Положим ff(x) = u*(x) + t(fL(x) -u*(x)) и Pi = sup |Vu*|, Р = max{1, P0, Pf}. Понятно, что u^^n = fL|дQ. Для любого t G R

Q

функция f1 (x) является кусочно-линейной и можно вычислить площадь ее графика

a(t) = f V1 + |V/Tdx.

n

Так как при t = 0 функция a(t) принимает минимальное значение, то а'(0) = 0. Используя это равенство, получаем

1 S

S(fL) - S(u*) = J ds J а''(t)dt = 0 0

i S

= fd, [df f(1 + |Vf |2)|V/L - Vu*|2 - (V f,VfL - Vu*)2

= J dS J d J (1 + |V¡42)3/2 dx ^

0 0 Q

1 S

-Ids i dtI (VCVm«2dx -жт>!lVfL — Vui2dx- (22)

0 0 n v n

Воспользуемся неравенством Пуанкаре (см., например, [17], п. 7.8) для функции h(x) = fL(x) — u*(x), hlan = 0. Из (22) получаем

S(fL) — S(u*) - lh(x)l2dx,

v ( ) n

где постоянная X(Q) = (шп/^\)2/п и шп, |Q| - п-мерные объемы единичного шара и области

Q, соответственно. Далее, положим M = sup \h\ и, не ограничивая общности, можем счи-

n

тать, что найдется точка x0 G Q, в которой h(x0) = M. Покажем, что шар Вм/4р(x0) С Q. Действительно, пусть x' G dQ такая, что lx0 — x'l = dist(x,SQ). Тогда

2 Рlxo — x| - h(xo) — h(x') = M — h(x') - M — M' - M/2.

Таким образом, расстояние от точки x0 до границы дQ больше чем M/4P. Следовательно, Вм/4р(x0) С Q. Предположим теперь, что x G Вм/4Р(x0). Тогда

M

h(x) - h(x0) — 2Рlx — x0l > M — 2P— = M/2.

Таким образом, шар Вм/4Р(x0) С DM, где

DM = {x G Q: lhl > M/2} СС Q.

Поэтому

I^2"x -Ilhl'dx -

n Dm

. , M\2 M2 .

> — dx = — — Шп =..-.„ Шп.

Таким образом,

(M\2 _M2 { M\ п _ Шп+2 d VTJ = T \4p) Шп = 4п+1рп

Вм/iP (xo)

1

maxlfL — 4P* (S~S(u*>) .

n lJ 1 V 4Q)Шп J

Теорема 4. Пусть f G С2(Q) П С(Q) - решение уравнения минимальной поверхности (6) и u* кусочно-линейная функция, являющаяся решением задачи (1) с <i = f(Mi), для всех Mi G dQ. Предположим, что P0 = sup \Vfl < и P1 = sup |Vu*|. Тогда

i

*) \ n+2

^ — 4Р )

где Р = тах{1, Ро, Рх}.

Пусть теперь П - прямоугольник [а, Ь] х [с, с1]. Зафиксируем натуральное число т и рассмотрим разбиение прямоугольника, заданное точками хг = а + ^(Ь — а), у^ = с + ^((! — с), г,] = 0,1,...,т. Каждый из получившихся прямоугольников [хг,хг+т\ х [у^, у^+т], г,] = 0,1,... ,т — 1, разобъем диагональю, соединяющей вершины (хг, у^) и (хг+х, у^+г), на два треугольника. Предположим, что в прямоугольнике П задано решение $ уравнения минимальной поверхности, / Е С'3(П). Положим и*т решение задачи (1), соответствующее данному разбиению и удовлетворяющее граничным условиям

и*т(хг, с) =/(хг, с), и*т(хг,д) = ¡(хг,д), г = 0,...,т,

n

n

и*т(а, у7 ) = f(a, у7), и*т(Ь, у,у = ¡'(Ь, у,), ] = °,...,т. Следствие. Последовательность и*т равномерно в П сходится к решению при этом

виР!/(х, у) -u*m(х, уу = 0' 1

п \ут/

при т ^ ж.

Доказательство. Обозначим через ¡ь кусочно-линейную функцию такую, что ¡ь(хг, у7) = /(хг, у,), г,] = 0,...,т. Покажем в начале, что градиенты функций и*т ограничены постоянной, независящей от т. Для этого воспользуемся неравенством (9). Из теоремы 3 следует, что для некоторой постоянной С1 , независящей от т, выполнено

( л -5 (т ^ т1,

т2

а применяя формулу трапеций численного интегрирования (см. [14], гл. 3), получим

Г( УI, *)« — f)dS

т Vr+Ш

< %

т2

Таким образом,

{b — a)(d — с) (С + СУ

Тогда, если Р0 = sup |У/|, то из неравенства (9) следует п

|Уu*J ^ Ро + 3(1 + Р2)^Сз(1 + Сз) = Ръ

Оценим теперь величину S(fL) — S(um). Построим произвольным образом функцию üm такую, что im = u*m в прямоугольнике Qm = [xi,xm-l] х [уi, ут-\], im = / на дП и |У üm — У um| ^ С4/т, где постоянная С4 не зависит от т. Тогда

0 ^ S(fL) — S(i*m) = S(fL) — S(f) + S(f) — S(üm) + S(üm) — S(i*m) <

^ S(fL) — S(f) + S(im) — S(im) ^ ci +

т2

+ jj Ы1 + |У Üm |2 — Vi + |У ü*m?)dx dy ^

П\Пт

< С2 + — (b — a)(d — c)(1 — (1 — 2/т)2) =

т2 т

= -2 + -(1 - (1 - 2/т)2),

т2 т

где С5 = С4(Ъ - а)(с1 - с). Следовательно, из теоремы 4 получаем

1

|/ - иЩ ^ |/ - ¡ь| + иь - иЩ ^ |/ - П + 4Р4/3(^(1\Пу}и:п)) 4

где Р = тах{1, Р, Р1}. Применяя предыдущее неравенство, получаем

виР | f(х, у) -unn(х, Уу <

п

^ Р0у/(Ъ - а)2 + (а - с)21 + 4Р4/3 ^4 ^

т \ Л(П)^

^ ^PoVW—W + 4Р4/3( Cl+4n^))4 ^ 0

т \ т2Л(П)тг J

при т ^ то.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Михайленко В.Е., Ковалев С.Н. Конструирование форм современных архитектурных сооружений. Киев:Буд1вельник. 1978. 138 с.

2. Абдюшев А.А., Мифтахутдинов И.Х., Осипов П.П. Проектирование непологих оболочек минимальной поверхности // Известия КазГАСУ. Строительные конструкции, здания и сооружения. 2009. № 2 (12).

3. Миклюков В.М. Об одном новом подходе к теореме Бернштейна и близким вопросам уравнений типа минимальной поверхности // Матем. сб. 1979. № 108 (150). С. 268-289.

4. Hwang, Jenn-Fang A uniqueness theorem for the minimal surface equation // Pacific Journal of Mathematics. 1996. № 176(2). P. 357-364.

5. Hwang, Jenn-Fang How many theorems can be derived from a vector function - on uniqueness theorems for the minimal surface equation // Taiwanese J. Math. 2003. № 7(4). P. 513-539.

6. R. Finn Remarks relevant to minimal surfaces and to surfaces of constant mean curvature // J. d'Analyse Math. 1965. № 14. P. 139-160.

7. T. Rado The problem of the least area and the problem of Plateau //J. d'Analyse Math. Z. 1930. № 32. P. 763-796.

8. Бернштейн С.Н. Об уравнениях вариационного исчисления // УМН. 1941. № 8. C. 8-31.

9. Бернштейн С.Н., Петровский И.Г. О первой краевой задаче (задаче Дирихле) для уравнений эллиптического типа и о свойствах функций, удовлетворяющих этим уравнениям // УМН. 1941. № 8. C. 32-74.

10. J. Serrin The problem of Dirichlet for quasilinear elliptic differential equations with many independent variables // Phil. Trans. Royal Soc. London. 1964. A264. P. 313-496.

11. G. Stampacchia On some multiple integral problems in the calculus of variations // Comm. Pure Appl. Math. 1963. № 16. P. 382-422.

12. H. Jenkins, J. Serrin The Dirichlet problem for the minimal surface equation in higher dimension //J. ReineAngew. Math. 1968. № 229. P. 170-187.

13. R.C. Bassanezi, U. Massari The Dirichlet problem for the minimal surface equation in non-regular domains // Ann. Univ. Ferrara. 1978. № 24. P. 181-189.

14. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Том 1, М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1962.

15. Клячин А.А. О скорости сходимости последовательности, минимизирующей функционал площади// Записки семинара "Сверхмедленные процессы вып. 2. -Волгоград: Изд-во ВолГУ. 2007. C. 136-142.

16. Клячин А.А. О скорости сходимости последовательности, доставляющей минимум в вариационной задаче // Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2012. № 1 (16). С. 12-20.

17. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989, 464 c.

Михаил Андреевич Гацунаев, Волгоградский государственный университет, проспект Университетский, 100, 400062, г. Волгоград, Россия E-mail: [email protected]

Алексей Александрович Клячин, Волгоградский государственный университет, проспект Университетский, 100, 400062, г. Волгоград, Россия E-mail: [email protected]