О классах функций k-значной логики, монотонных относительно множеств ширины два Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Drensky V. Relations for the cocharacter sequences of T-ideals: Proc. Int. Conf. on Algebra Honoring A. Malcev // Contemp. Math. Part 2. 1992. 131. 285-300.

2. Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Codimensions of algebras and growth functions // Dipt. Mat. Appl. Universita di Palermo. Preprint N 264. 2004.

3. Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Algebras with intermediate growth of the codimensions // Adv. Appl. Math. 2006. 37, N 3. 360-377.

4. Зайцев М.В., Мищенко С.П. О кодлине многообразий линейных алгебр // Матем. заметки. 2006. 79, вып. 4. 553-559.

Поступила в редакцию 08.11.2006

УДК 519.716

О КЛАССАХ ФУНКЦИЙ к-ЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ, МОНОТОННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО

МНОЖЕСТВ ШИРИНЫ ДВА

О. С. Дудакова

Рис. 1

Одной из важных задач, связанных с семействами замкнутых классов функций многозначной логики, является задача о конечной порожденности, т.е. о выразимости всех функций из замкнутого класса формулами над некоторым конечным множеством функций, принадлежащих этому же классу. Из результатов Э. Поста [1,2] следует, что каждый замкнутый класс булевых функций имеет конечный базис. В многозначных логиках этот результат не имеет места: для любого к > 3 в Рк существуют замкнутые классы как со счетным базисом, так и не имеющие базиса [3]. К настоящему времени отсутствует полное описание всех конечно-порожденных классов функций многозначной логики даже для семейства предполных классов (описание всех предполных классов см. в [4, 5]). Известно [6], что любой предполный класс в Рк из семейств 2, С, и, С и В является конечно-порожденным. Для семейства М предполных классов всех функций, монотонных относительно частично упорядоченных множеств с наименьшим и наибольшим элементами, этот результат верен, вообще говоря, лишь при к < 7. В ряде работ (см., например, [6-9]) приводятся достаточные условия конечной порожденности классов из семейства М. В то же время начиная с к = 8 существуют такие частично упорядоченные множества (рис. 1), что соответствующие предполные классы монотонных функций не имеют конечного базиса [10]. В данной работе получен критерий конечной порожденности для семейства предполных классов функций, монотонных относительно частично упорядоченных множеств ширины два.

Пусть V — некоторое частично упорядоченное множество с отношением порядка Если для элементов а, Ь множества V выполнено одно из соотношений а < Ь или Ь < а, то эти элементы называются сравнимыми, в противном случае — несравнимыми; если выполняются неравенства а < Ь и а = Ь, будем говорить, что а меньше Ь (обозначение а < Ь). Пусть а1,а2 € V, элементы а1 и а2 несравнимы. Элемент Ь ЕР называется верхней гранью элементов а1 ,а2, если выполняются неравенства Ь > а1 и Ь > а2; верхняя грань Ь элементов а1 ,а2 называется минимальной верхней гранью этих элементов, если ни для какой другой верхней грани х этих элементов не выполняется неравенство Ь > х; Ь называется точной верхней гранью а1 ,а2 (обозначение 8ир(а1,а2)), если для любой верхней грани х этих элементов выполняется неравенство Ь < х. Будем говорить, что элементы а1 и а2 1-несравнимы, если они несравнимы и не имеют точной верхней грани; будем говорить, что элементы а1 и а2 2-несравнимы, если они 1-несравнимы и найдутся две их минимальные верхние грани, которые являются 1-несравнимыми. Пусть элементы а1 и а2 1-несравнимы, Ь1 и Ь2 — их минимальные верхние грани и существует с = вир(Ь1,Ь2). Тогда будем говорить, что с — точная верхняя грань второго порядка элементов а1 и а2 (обозначение 8ир2(а1 ,а2)).

Пусть АСР, Ь ЕЛ. Элемент Ь называется максимальным элементом множества А, если не существует таких элементов х ЕЛ, что имеет место неравенство х > Ь; если в множестве Л содержится ровно

один максимальный элемент, то он называется наибольшим элементом множества A. Аналогичным образом определяются минимальный и наименьший элементы множества A.

Через \P\ будем обозначать число элементов множества P. Последовательность x\,...,xn, n > 1, элементов частично упорядоченного множества P называется цепью, если выполняются неравенства xi < Х2 < ... < xn. Пусть I — цепь из n элементов, величина lj = n — 1 называется длиной цепи I. Положим lp = max lj, где максимум берется по всем цепям I из P; величина lp называется длимой 'частично упорядоченного множества P. Подмножество J частично упорядоченного множества P называется антицепью, если все элементы из J попарно несравнимы. Положим wp = max \J\, где максимум берется по всем антицепям J из P; величина wp называется шириной частично упорядоченного множества P.

Пусть P — частично упорядоченное множество. Через Mp будем обозначать замкнутый класс всех функций, монотонных относительно P. Обозначим через A семейство всех частично упорядоченных множеств с наименьшим и наибольшим элементами. Следует отметить, что класс Mp всех функций, монотонных относительно частично упорядоченного множества P, является предполным тогда и только тогда, когда P G A (см. [4,5]). Далее, обозначим через A2 семейство всех множеств P G A, для которых

выполняются неравенства lp > 2 и wp < 2, а через a21) — семейство всех множеств P G A2, таких, что для любой пары несравнимых элементов xi,x2 в P существует либо sup(xi,x2), либо sup2(xi,x2). Так, например, множество, приведенное на рис. 1, принадлежит семейству A2, но не принадлежит семейству

A^, а множество P, приведенное на рис. 2, а, принадлежит семейству a21).

1 а

Рис. 2

Основным результатом настоящей работы является следующее утверждение (см. также [11,12]).

Теорема 1. Пусть V € А2. Класс Мр всех функций, монотонных относительно множества V, является конечно-порожденным тогда и только тогда, когда V € а2^ .

Этот результат следует из теорем 2 и 3.

Теорема 2 [11]. Пусть множество V € А2 содержит пару 2-несравнимых элементов. Тогда класс Мр не является конечно-порожденным.

Теорема 3. Пусть V — частично упорядоченное множество из семейства А«. Тогда класс Мр является конечно-порожденным.

Доказательство теоремы 3 опирается на ряд вспомогательных утверждений (леммы 1-4 и теорема 4).

Дадим некоторые определения.

Пусть 2, К — произвольные частично упорядоченные множества, 2 С 2, пусть /' — некоторое отображение 2 — К. Отображение / : 2 — К называется доопределением отображения /' на множество 2, если отображение / |д* совпадает с /'.

Пусть 2 и К — некоторые частично упорядоченные множества с отношениями порядка < и ^ соответственно. Отображение / : 2 — К называется монотонным, если для любых элементов а,Ь € 2, таких, что а < Ь, выполняется неравенство /(а) ^ /(Ь).

Функция ц : Vп — V, где п > 3, называется мажоритарной (см. [9]), если для любых а,Ь € V выполняются равенства

ц(а, b,..., b) = ц(Ь, a, b,..., b) = ... = ¡i(b,..., b, a) = b.

Далее будем рассматривать произвольное множество V из семейства а2^ , произвольное частично упорядоченное множество Я, некоторое подмножество Я CQ и некоторое монотонное отображение /' :

Я -V.

Пусть а, Ь,с,д Е V. Будем говорить, что (а, Ь, с, д) — квадрат, если элементы а и Ь несравнимы, элементы с и д несравнимы, выполняются неравенства с > а,Ь и д> а, Ь и не существует такого элемента х ЕV, что а,Ь < х < с, д. Так, в множестве V, изображенном на рис. 2,а, четверки (а,Ь,с,д), (а,Ь,е,д), (е, /, д, К) и (е, д, д, К) являются квадратами.

Пусть а Е V, В (IV. Будем говорить, что выполняется неравенство а < В (соответственно а < В), если для любого элемента Ь Е В выполняется неравенство а <Ь (соответственно а < Ь). Пусть А, В (V. Будем говорить, что выполняется неравенство А < В (соответственно А < В), если для любого элемента а Е А выполняется неравенство а < В (соответственно а < В).

Обозначим через V(0) семейство всех подмножеств множества V, состоящих либо из одного, либо из двух несравнимых элементов.

Пусть а Е Я \ Я. Обозначим через // (а) множество {/'(7) | 7 Е Я', 7 < а} и через Н// (а) — множество {/'(7) | 7 Е Я, 7 > а}. Обозначим через 5//(а) множество максимальных элементов множества //(а) и через А//(а) — множество минимальных элементов множества Н//(а). Множества 5//(а) и А//(а) будем называть окрестностями элемента а (нижней и верхней соответственно). Отметим следующие свойства окрестностей: 5//(а), А//(а) Е V(0); выполняются неравенства 15//(а)| < 2 и |А//(а)| < 2; если 5//(а) = А//(а), то /(а)| = |А//(а)| = 1; если 5//(а) = А//(а), то 5//(а) < А//(а).

Пусть а Е V, А Е V(0) и выполняется неравенство а < А. Обозначим через С(а, А) множество, состоящее из всех таких элементов ш, что ш = 8ир2(и1,М2), где П1,П2 — пара несравнимых элементов, П1,П2 < а, элементы ш и а несравнимы, и имеет место неравенство ш < А. Обозначим через Х(а,А) наибольший элемент множества С(а, А) (легко видеть, что если множество С(а, А) непусто, то в нем существует наибольший элемент).

Пусть а Е Я\Я. Будем называть элемент а особым для отображения /' (рис. 2, Ъ), если / (а)| = 1, |А//(а)| = 2, существует элемент ш = Х(а,А), где {а} = 5//(а), {А1 , А2} = А//(а), и (а,ш,А1 ,А2) — квадрат. Будем называть элемент а зигзагом длины 1 для отображения /' (рис. 2, с), если /(а)| = |А//(а)| =2 и (а1 ,а2, А1А) — квадрат, где {аьа2} = 5//(а), {А1, А2} = А//(а).

Определим оператор П//, который каждому особому элементу ставит в соответствие некоторый элемент из V следующим образом: пусть а — особый элемент для отображения f' и 5//(а) = {а}, тогда П// (а) = а.

Будем говорить, что последовательность Х1,...,Хп, п > 2, элементов множества Я\Я' — зигзаг длины п для отображения f', если элемент Х1 является особым для отображения /', остальные элементы последовательности не являются ни особыми элементами, ни зигзагами длины 1 для /' и последовательность Х2,..., Хп — зигзаг длины п — 1 для отображения /'' — доопределения отображения /' на множество Я и {Х1}, такого, что /''(Х1) = /(Х1).

Лемма 1. Пусть Я — некоторое частично упорядоченное множество, Я (Я, /' : Я V — монотонное отображение и пусть в Я не существует особых элементов и зигзагов длины 1 для /'. Тогда существует монотонное доопределение / отображения /' на множество Я.

Приведем схему доказательства леммы 1. Обозначим наименьший и наибольший элементы множества V через 0 и 1 соответственно. Построим отображение /, которое является доопределением отображения /' на множество Я. Для каждого элемента а Е Я\ Я определим значение /(а) следующим образом: если // (а) = 0, то положим /(а) = 0; если // (а) = 0, Н// (а) = 0, то положим /(а) = 1; если // (а) = Ф, Н//(а) = 0 и выполняется равенство 5//(а) = А//(а), то положим /(а) = а, где {а} = 5//(а) = А//(а) (в силу свойства окрестностей в этом случае выполняется равенство /(а)| = |А//(а)| = 1); если //(а) = 0, Н//(а) = 0 и (а)| = 1, то положим /(а) = ф((а,А)), где {а} = 5//(а), А = А//(а); наконец, если //(а) = 0, Н//(а) = 0 и (а)| = 2, то положим /(а) = ф(а1 ,а2,А), где {а1 ,а2} = 5//(а), А = А//(а). Здесь ф и ф — операторы специального вида. Оператор ф определен на множестве Vф, состоящем из всех троек (а1,а2,А), таких, что а1,а2 — несравнимые элементы V, А Е V(0), а1 ,а2 < А и найдется по крайней мере одна минимальная верхняя грань с элементов а1 и а2, такая, что с < А. Каждой тройке (а1, а2, А) оператор ф ставит в соответствие элемент из V по некоторым правилам. Оператор ф определен на множестве V^, состоящем из всех пар (а, А), таких, что а ЕV, А Е V1-0), а < А. Каждой такой паре оператор ф ставит в соответствие элемент из V по некоторым правилам. Из определения операторов ф и ф и условия леммы следует, что для каждого элемента а Е Я\Я значение /(а) определено. Для любых двух элементов а и в Е Я\ Я, таких, что а < в, рассмотрев всевозможные варианты определения значений /(а) и /(в), можно показать, что выполняется неравенство /(а) < /(в), т.е. отображение / монотонно.

Лемма 2. Пусть Х\,...,Хп — зигзаг в V для отображения /' : 2 — V. Тогда выполняются следующие соотношения:

(1) Х1 >Х2 >...> Хп;

(2) А(Х\)| = (Хп)1 = 2, 16f*(Х1 )1 = А(Хп)1 = 1, 16f*(Хг)| = А(Хг)| = 1 для всех г = 2,...,п — 1;

(3) АА > А2 > ... > Ап и а1 > а2 > ... > ап,а'п, где {АЬА1} = Ар* (Х1), {Аг} = А у (Хг) для всех г = 2,...,п, {а^ } = 6р* (Х^) для всех у = 1,...,п — 1, {ап,а'п} = 6р* (Хп);

(4) п < 1р — 2;

(5) пусть 21, 22 С 2, /' — отображение 21 —V, д' — отображение 22 — V, Х1,... ,Хп — зигзаг для отображения /' и для каждого г = 1,...,п выполняются равенства 6р* (Хг) = 6д> (Хг), А у (Хг) = Ад' (Хг). Тогда Х1,... ,Хп — зигзаг для отображения д'.

Доказательство леммы 2 проводится следующим образом. Сначала с использованием некоторых специальных свойств квадратов и верхних граней устанавливается ряд соотношений для особых элементов. А именно пусть /' — монотонное отображение 2 — V, а € 2\ 2 — особый элемент для отображения /'. Пусть /'' — отображение 2 и {а} — V, такое, что /''д* = /', /''(а) = пр*(а). Пусть в € 2 \ 2, элемент в не является ни зигзагом длины 1, ни особым элементом для отображения /' и является либо зигзагом длины 1, либо особым элементом для отображения /''. Тогда выполняются следующие соотношения: а > в; 6р* (в) = 6р**(в); а > В*, где {а} = 6р*(а), В* = 6р(в); Ау»(в) = {а, г}, где г — элемент из множества А у * (в), не сравнимый с элементом а; г < и:, где и> = Х(а, А), А = А у * (а); Ар (в) = {г}. После этого индукцией по длине зигзага можно показать, что выполняются соотношения (1)-(3). Далее, в силу соотношения (3) в V существует цепь 0, ап, Ап, Ап-1,..., А2, А1,1, состоящая из п + 3 элементов, следовательно, выполняется соотношение (4). Соотношение (5) следует из определений зигзага и окрестностей элементов.

Лемма 3. Пусть отображение /' : 2 —V монотонно, Х1,... ,Хп, п > 2, — зигзаг для /'. Пусть д' — отображение 2 и {Х1} — V, такое, что д' д = /', д'(Х1) = с, причем для элемента с € V выполняются неравенства а1 < с < А1,А2, где {а1} = 6р(Х1), {А1, А2} = Ар(Х1). Тогда отображение д' монотонно и последовательность Х2,... ,Хп является зигзагом для отображения д'.

Доказательство леммы 3 проводится следующим образом. Сначала доказывается аналогичное утверждение для особых элементов и зигзагов длины 1. А именно пусть /' — монотонное отображение 2 — V, а € 2 \ 2 — особый элемент для отображения /'. Пусть /'' — отображение 2 и {а} — V, такое, что /''д* = /', /''(а) = пр*(а). Пусть в € 2 \ 2, элемент в не является ни зигзагом длины 1, ни особым элементом для отображения /' и является особым элементов (зигзагом длины 1) для отображения /''. Пусть с € V — такой элемент, что а < с < А, а д' — отображение 2 и {а} — V, такое, что д^д> = /', д'(а) = с. Тогда в является особым элементом (соответственно зигзагом длины 1) для отображения д'. Далее, легко видеть, что отображение д' монотонно. Согласно определению зигзага, последовательность Х2,..., Хп является зигзагом для отображения /'', такого, что /'' = /', /''(Х1) = пр*(Х1), а элемент Х2 является либо особым элементом (если п > 2), либо зигзагом длины 1 (если п = 2) для отображения /''. Поэтому элемент Х2 является либо особым элементом (если п > 2), либо зигзагом длины 1 для отображения д'. В случае п = 2 утверждение доказано. При п > 2 нетрудно показать, что 6р** (Х2) = 6д> (Х2). В силу определения зигзага последовательность Х3,... ,Хп является зигзагом для отображения /''', такого, что /'''(Х2) = пр" (Х2). Из свойств окрестностей и соотношений (3) и (5) леммы 2 следует, что последовательность Х3,... ,Хп является зигзагом для отображения д'', такого, что д''(Х2) = пд*(Х2). Поэтому по определению зигзага последовательность Х2,... ,Хп — зигзаг для отображения д'.

Лемма 4. Пусть /' : 2 — V — монотонное отображение, такое, что в 2 не существует зигзагов длины 1 для /'; пусть а — особый элемент для отображения /', такой, что ни для какого особого для /' элемента в не выполняется неравенство в < а. Пусть д' — доопределение отображения /' на элемент а, такое, что д'(а) = пр'(а). И пусть Х1,... ,Хп, п > 1, — зигзаг для д'. Тогда в 2 существует зигзаг для отображения /'.

Доказательство леммы 4 проводится следующим образом. Легко видеть, что если ни для какого номера г = 1, ...,п не выполняется неравенство а > Хг, то для каждого г = 1,...,п выполняются равенства 6р* (Хг) = 6д* (Хг) и Ар* (Хг) = Ад* (Хг). Поэтому в силу утверждения (5) леммы 2 последовательность Х1,..., Хп является зигзагом для отображения д'. Если имеет место неравенство а > Х1, то утверждение следует из соотношений (1) и (5) леммы 2, свойств окрестностей и определения зигзага. Если п > 2, для некоторого к € {2,...,п} выполняется неравенство а > Х^ и ни для какого г = 1,...,к — 1 не выполняется неравенство а > Хг, то утверждение доказывается индукцией по к.

Основным результатом, на который опирается доказательство теоремы 3, является следующий критерий существования монотонного доопределения не всюду определенного отображения.

Теорема 4. Пусть V Е А^1, Я — некоторое частично упорядоченное множество, Я (Я, /' — некоторое отображение Я — V. Монотонное отображение / : Я — V, такое, что /^/ = /', существует тогда и только тогда, когда отображение /' монотонно ив Я не существует зигзага для /'.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что существует монотонное доопределение / отображения /' на множество Я. Покажем индукцией по длине зигзага, что в Я не существует зигзагов для /'.

Предположим, что в Я существует Х1 — зигзаг длины 1 для отображения /'. По определению зигзага длины 1 выполняются равенства /(Х1 )| = 2, |А//(Х1 )| = 2. Положим 5//(Х1) = {а1 ,а2}, А//(Х1) = {А1,А2}. Тогда, согласно определению зигзага длины 1, (а1,а2,А1, А2) — квадрат. С другой стороны, так как отображение / монотонно, то имеют место неравенства а1,а2 < /(Х1) < А1, А2. Поэтому (а1 ,а2, А1, А2) не является квадратом. Полученное противоречие показывает, что зигзага длины 1 для /' в Я не существует.

Пусть теперь п > 2 и пусть для любого монотонного отображения д' : Я'д — V, где Яд ( Я, такого, что существует монотонное доопределение д отображения д' на множество Я, мы показали, что в Я не существует зигзагов для д' длины п — 1. Предположим, что существует зигзаг Х1,..., Хп длины п для /'. Тогда по определению зигзага Х1 — особый элемент для /'. По определению особого элемента выполняются равенства /(Х1)| =1 и |А//(Х1 )| = 2. Обозначим 5//(Х1) через {а1}, А//(Х1) — через {А1, А2}, значение /(Х1) — через с. Так как отображение / монотонно, то выполняются неравенства а1 < с < А1, А2. Обозначим через /'' доопределение отображения /' на множество Я и {Х1}, такое, что /''(Х1) = с. Очевидно, что отображение /'' монотонно и / является доопределением отображения /''. Согласно лемме 3, последовательность Х2,..., Хп — зигзаг длины п — 1 для /''. С другой стороны, согласно индуктивному предположению, так как / — монотонное доопределение монотонного отображения /'', то в Я не существует зигзагов длины п — 1 для /''. Пришли к противоречию, следовательно, в Я не существует зигзагов длины п для отображения /'.

Достаточность. Предположим, что в Я нет зигзагов для /'. Покажем, что существует монотонное доопределение / отображения /' на множество Я. Доказательство будем проводить индукцией по числу элементов, на которых значение /' не определено, т.е. по мощности множества Я \ Я.

Если Я\ Я^ = 0, т.е. Я = Я, то утверждение очевидно. Пусть для отображения /' выполняется равенство Я\ Я'| = к, к > 1, и пусть доказано, что если для некоторого монотонного отображения д' : Яд — V, Яд ^ Я, выполняется неравенство Я\ Яд | ^ к — 1 ив Я не существует зигзагов для д', то отображение д' доопределяется до монотонного на все множество Я.

Если в Я нет особых элементов для /', то по лемме 1 отображение /' доопределяется до монотонного на множество Я и утверждение доказано. Пусть теперь в Я есть особые элементы для /'. Пусть а — такой особый элемент, что не существует особых элементов в, таких, что в < а. Рассмотрим отображение /'', которое является доопределением отображения /' на множество Я' и {а}, таким, что /''(а) = п//(а). Если в Я существует зигзаг для отображения /'', то из леммы 4 следует, что в Я существует зигзаг для отображения /', что противоречит условию. Следовательно, в Я нет зигзагов для отображения /''. Тогда по индуктивному предположению отображение /'' доопределяется до монотонного на множество Я, а значит, и отображение /' доопределяется до монотонного на Я. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3. Пусть V Е а21) . Покажем, что в классе Мр всех монотонных функций на V существует мажоритарная функция, зависящая не более чем от 2 • 1р — 1 переменных.

Положим N = 2 • (1р — 2) +2. Рассмотрим множество V' ( Vм +1, состоящее из всех наборов длины N + 1 элементов V вида

(а, Ь,..., Ь), (Ь, а, Ь,..., Ь),...,(Ь, Ь,..., Ь, а).

Пусть а Е V' и т(а) — значение, которое встречается в наборе а не менее N раз. Легко видеть, что наборы из множества V' обладают следующим свойством: пусть Й1, ...,ак Е V', 1 < к < N, тогда найдется такой номер г Е {1,... N + 1}, что для всех ] = 1,...,к выполняются равенства а^[г] = т(а^) (через а [г] обозначается г-я компонента набора а).

Определим отображение ¡л' : V' — V. Для каждого набора а Е V' положим ¡л'(а) = т(а). Легко видеть, что так определенное отображение ¡' монотонно на множестве V'. Покажем, что его можно доопределить до монотонного отображения л на все множество Vм +1.

Предположим, что ¡' нельзя доопределить до монотонного отображения. Согласно теореме 4, в этом случае в множестве Vм+1 существует зигзаг Х1,..., Хп, п > 1, для ¡'. Согласно утверждению (2) леммы 2, для каждого г = 1,...,п — 1 выполняется равенство ^^/(Х{)| = 1, для каждого г = 2,...,п выполняется равенство |А^/(Х^)| = 1, а также равенства |А^/(Х1 )| = ^^/(Хп)| = 2. Для каждого г = 1,...,п — 1 пусть 5^(Хг) = {аг}, 5^(Хп) = {ап,Ьп}, А^/(Х1) = {А1 ,В1}; для каждого ] = 2,...,п пусть А^(Х?) = {.А2}. Согласно определению окрестностей, для каждого г = 1,...,п — 1 найдется такой элемент 2г Е

V', 2г < Хг, что ц'(^г) = аг, и найдутся такие элементы 2п, 2'п € V', 2п, 2'п < Хп, что ц'^п) = ап, ¡'(^'п) = Ьп; далее, для каждого у = 2,...,п найдется такой элемент У] € V', У] > Х], что ¡л!(У]) = А], и найдутся такие элементы У^У/ € V', У1,У/ > Х1, что ¡'(У^ = А1, л'(У-[) = В1. Положим V'' = {Zl,..., ^п-1, 2п,2'п, У1,У]_',У2,...,Уп}. Обозначим отображение ¡' ^** через ¡''.

В силу утверждения (5) леммы 2 последовательность Х1,... ,Хп является зигзагом для ¡л'' в Vм +1. В силу утверждения (3) леммы 2 выполняется неравенство п < 1р — 2. Так как частичная функция ¡л'' определена на наборах длины N + 1, а V'' | =2 ■ п + 2 < 2 ■ (1р — 2) + 2 = N, то, согласно свойству наборов из множества V', найдется такой номер к € {1,... N + 1}, что выполняются следующие соотношения: Zj [к] = ш^]), У] [к] = т(У]) для каждого у = 1,...,п, а также Z'n [к] = ) и У([к] = ш(У(). Поэтому в силу определения отображений ¡' и ¡'' имеют место соотношения ¡''(а1,..., ам+1) = ак для всех наборов (а1,.. .,ам+1) из V''.

Рассмотрим селекторную функцию е^+1, такую, что ем+1(х1, ...,хм+1) = %к для всех наборов из Vм+1. Положим е' = е^+1 р**. Так как отображение е' совпадает с ¡¡', то в силу утверждения (5) леммы 2 последовательность Х1,...,Хп является зигзагом для е'. Согласно теореме 4, частичную функцию е' невозможно монотонно доопределить на элементах Х1,..., Хп, что противоречит тому, что селекторная функция е^ +1 монотонна на множестве Vм +1. Полученное противоречие показывает, что зигзага в Vм+1 для функции ¡'' не существует. Поэтому зигзага в Vм+1 для функции ¡' также не существует и по теореме 4 отображение ¡' можно доопределить до монотонного отображения ц на все множество Vм+1.

Таким образом, в классе Мр существует мажоритарная функция, зависящая от N + 1 = 2 ■ 1р — 1 переменных. Поэтому класс Мр является конечно-порожденным (см. [9]). Теорема 3 доказана.

Доказательство теоремы 1. Необходимость. Предположим, что V € А2 \ А21). Тогда найдется пара несравнимых элементов а1,а2 € V, таких, что в V не существует ни 8ир(а1,а2), ни 8ир2(а1 ,а2). Это означает, что элементы а1 и а2 2-несравнимы. Следовательно, по теореме 2 класс Мр не имеет конечного базиса.

Достаточность. Пусть для любых двух несравнимых элементов а1,а2 в V существует либо 8ир(а1, а2),

либо 8ир2(а1,а2). Тогда V € а21), и, согласно теореме 3, класс Мр является конечно-порожденным. Теорема 1 доказана.

Теорему 1 можно переформулировать следующим образом.

Теорема 5. Пусть V € А2. Класс Мр является конечно-порожденным тогда и только тогда, когда в нем содержится некоторая мажоритарная функция.

Доказательство. Если замкнутый класс функций не имеет конечного базиса, то он не содержит мажоритарной функции (см. [9]). Если же класс Мр является конечно-порожденным, то в силу теоремы 1

выполняется соотношение V € а21) . И тогда из теоремы 3 следует, что в классе Мр содержится некоторая мажоритарная функция. Теорема доказана.

Заметим, что из теоремы 1 следует существование полиномиального алгоритма распознавания конечной порожденности предполных классов функций, монотонных относительно частично упорядоченных множеств ширины два.

Автор выражает благодарность профессору А. Б. Угольникову за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также доктору физико-математических наук Р. М. Колпакову за обсуждение результатов и ряд ценных замечаний.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 05-01-00994), программы поддержки ведущих научных школ РФ и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики" (проект "Синтез и сложность управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Post E.L. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer. J. Math. 1921. 43, N 3. 163-185.

2. Post E.L. The two-valued iterative systems of mathematical logic // Ann. Math. Stud. Princeton Univ. Press. 1941. 5.

3. Янов Ю.И., Мучник А.А. О существовании fc-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // Докл. АН СССР. 1959. 127, № 1. 44-46.

4. Rosenberg I.G. Über die funktionale Vollstandigkeit in den mehrwertigen Logiken // Rozpr. CSAV. MPV. 1970. 80. 3-93.

5. Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Набебин А.А. Предполные классы в многозначных логиках. М.: Изд-во МЭИ, 1997.

6. Lau D. Bestimmung der Ordnung maximaler Klassen von Funktionen der fc-wertigen Logik // Z. math. Log. und Grundl. Math. 1978. 24. 79-96.

7. Demetrovics J., Hannak L, Ronyai L. Near unanimity functions and partial orderings // Proc. 14 ISMVL, Manitoba. 1984. 52-56.

8. Demetrovics J., Hannak L., Ronyai L. On algebraic properties of monotone clones // Order. 1986. 3. 219-225.

9. Baker K, Pixley A. Polynomial interpolation and the Chinese remainder theorem for algebraic systems // Math. Z. 1975. 143. 165-174.

10. Tardos G. A not finitely generated maximal clone of monotone operations // Order. 1986. 3. 211-218.

11. Дудакова О. С. Об одном семействе предполных классов функций fc-значной логики, не имеющих конечного базиса // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 2. 29-33.

12. Дудакова О.С. О свойствах предполных классов монотонных функций fc-значной логики // Тр. VII Междунар. конф. "Дискретные модели в теории управляющих систем" (Покровское, 4-6 марта 2006 г.). М.: МАКС Пресс, 2006. 107-113.

Поступила в редакцию 27.04.2007