CC BY
31
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 2
Физико-математические пауки
2009
УДК 519.716
О КОНЕЧНОЙ ПОРОЖДЕННОСТИ ЗАМКНУТЫХ КЛАССОВ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ В Pk
О. С. Дудакова
Аннотация
Рассматривается задача о конечной порожденное™ классов монотонных функций fc-значной логики. Найдены условия конечной порожденное™ классов функций, монотонных относительно частично упорядоченных множеств специального вида.
Ключевые слова: функции fc-значной логики, классы монотонных функций, конечно порожденные замкнутые классы.
В работе исследуются замкнутые классы монотонных функций к-значной логики. Известно, что каждый замкнутый класс булевых функций имеет конечный базис [1], а для любого к > 3 в Р]~ существуют замкнутые классы как со счетным базисом, так и не имеющие базиса [2]. К настоящему времени отсутствует полное описание всех конечно порожденных классов функций многозначной логики даже для семейства всех предполных классов. При к < 7 все предполные классы в Р]~ являются конечно порожденными [3], а начиная с к = 8, существуют предполные классы монотонных функций, не имеющие конечного базиса [4] (см. также [5]). В данной работе получены условия конечной порожденности замкнутых классов функций, монотонных относительно частично упорядоченных множеств специального вида.
Пусть 2, Р - частично упорядоченные множества, 2' С 2, / : 2 ^ Р-Обозначим через /отображение 2' ^ Р, совпадающее с / на всех элементах множества 2' • Пусть /' - некоторое отображение 2' ^ Р. Доопределением отображения /' на множество 2 будем называть отображение / : 2 ^ Р такое что отображение совпадав тс /'.
Пусть Р - частично упорядоченное множество. Через Мр будем обозначать класс всех функций, монотонных относительно множества Р. Через Мр(п) будем обозначать множество всех функций от п переменных из класса Мр.
Пусть А - конечная система функций из Р^ Ф - формула над А. Положим Р(Ф) = 0, если Ф - тривиальная формула (то есть является символом переменной), Р(Ф) = 1 + тахР(Ф^), если формула Ф имеет вид у(Ф1; Ф2,..., Ф&), где ^ € А, Ф1,..., - некоторые формулы над А, максимум берется по всем г = 1,..., к; величина Р(Ф) называется глубиной формулы Ф.
Основным результатом данной работы является следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть Р и 2 - частично упорядоченные множества, Р С 2-Пусть существует монотонное отображение ^ : 2 ^ Р такое, что для каждого элемента х € Р выполняется равенство у(ж) = х. Пусть существует взаимнооднозначное монотонное отображение £ : 2 ^ Ре С Рг, г > 2, такое, что обратное отображение £-1 : Ре ^2 доопределяется до монотонного отображения 2 : Рг ^ 2 • Тогда класс Мр всех функции, монотонных относительно
множества V, имеет конечный базие в том и только том случае, когда класс М д всех функции, монотонных относительно множества Q, имеет конечный базис.
Этот результат следует из доказанных ниже теорем 2 и 3.
Пусть ^ и ^ ^ ^^^^^^^^ ^^^^^^доченные множества, V С Q. Обозначим через М'д семейство всех функций из Мд, принимающих значения из множества V. Легко видеть, что Мд — замкнутый класс функций.
Лемма 1. Пусть V и ^ ^ ^^^^^^^^ ^^^^^^ченные множества, V С Q. Пусть существует монотонное отображение < : Q ^ V такое, что для каждого элемента х £ V выполняется соотношение <(х) = х. И пусть класс Мд имеет конечный базис. Тогда класс Мр имеет конечный базис.
Доказательство. Каждой функции ^(х1,..., хп) £ М'д поставим в соответствие функцию fF(х1,..., хп) £ Мр: положим fF = ^р . Очевидно, что каждой функции ^ £ М'д соответствует ровно одна функция fF £ Мр. Кроме того, для каждой функции f £ Мр найдется функция ^ £ Мд такая, что f = fF. Действительно, рассмотрим функцию ^(х1;..., хп), заданную та каждом наборе а £ Qn равенством ^ (а1,...,а„) = f (<(а1),..., <(<г„)). Легко видеть, что определенная таким образом функция ^ монотонна, та принимает значений из множества Q \ V и совпадает с функцией ^ ^^ ^^^^ наборах из V". Следовательно, f = fF.
Пусть некоторая функция ^(х1;... ,хп) £ Мд представляется формулой над Мд
^ = ^0(ФЬ..., Фт),
где £ Мд(т), формула либо является символом переменной, либо реализует некоторую функцию ^ £ Мд, г = 1,..., т. Покажем, что соответствующая функция fF (х1,... ,хп) £ Мр представляется формул ой над Мр:
fF = fFo (©1,..., ©ш), (1)
где формула ©¿выражает функцию ^, если формула реализует функцию ^, и ©4 является символом переменной х^ , если формула является символом переменной х^ , г = 1,..., т, х^ £ |х1?..., х„|. Действительно, обозначим функцию, реализуемую формулой fFo (©1;..., ©т), тарез д(а). Рассмотрим произвольный набор а £ V". Для каждого г = 1,..., т выполняется равенство ^¿(<т) = ^ (а), а значит, наборы (Ф1(а),..., Фш(а)) и (©1(а),..., ©ш(а)) совпадают. Кроме того, эти наборы не содержат элементов множества Q \ V. Поэтому выполняется равенство
*Ь(Ф1(а), . .., Фш(а)) = fFo (©1(а),. .., ©ш(а)),
а значит, ^(а) = д(а). Последнее равенство выполняется для каждого набора а из V", следовательно, д = fF.
Пусть Мд = [А], где А = ..., } С Мд. Обозначим через В множество функций |/с1 ,...,}. Рассмотрим произвольную функцию ^(а) из Мд. Индукцией по глубине формулы над А, выражающей функцню ^, с использованием соотношения (1) нетрудно показать, что fF(а) £ [В]. Далее, как показано выше, для каждой функции f £ Мр найдется функция ^ £ Мд такая, что f = fF. Отсюда следует, что = [В]. □
Теорема 2. Пусть V и Q - частично упорядоченные множества, V С Q. Пусть существует монотонное отображение < : Q ^ V такое, что для каждого элемента х £ V выполняется равенство <(х) = х. Пусть также существует
взаимно-однозначное монотонное отображение £ : С Рг, г > 2, такое,
что обратное отображение £-1 : р ^ Q доопределяется до монотонного отображения 2 : Vг ^ Q. И пусть класс М д является конечно порожденным. Тогда класс Мр является конечно порожденным.
Доказательство. Покажем, что класс Мд является конечно порожденным. По лемме 1 отсюда будет следовать, что и класс Мр является конечно порожденным.
Рассмотрим произвольную функцию Г (х) € Мд(п). Покажем, что существует функция аГ € Мд(гп) такая, что для каждого набора ж € Qn выполняется равенство
аГ (£((л),...£(ап)) = Г (<71 ,...,Тп). (2)
Действительно, соотношение (2) задает на множестве Qrn частичную функцию аГ'', определенную на всех наборах из Т^1 С Тгп С Qrn вида
/1 Г 1 Г 1 Г*1
. . . , 22, . . . , 22, . . . , ■ ■ ■ ; ёп),
где (д1,..., оТ) = £(<г), г = 1,..., п. Определим на множ естве Qrn частичную функцию аГ': для каждого набора из Тгп положим
Т?! I 1 Г 1 Г 1 Г \
аГ (дъ ... 1 211 22т ... т 22т... т 2т ... т 2П) =
= Г ...т дr2)l 2ГП)).
Из определения отображения е следует, что аГ' |Рц = аГ", то есть функция аГ' является доопределением частичной функции аГ". Кроме того, из монотонности функции Г и отображения е следует, что функция аГ' монотонна. Далее определим функцию аГ' на множестве Qrn: для каждого набора из Qrn положим
аГ (<1, ...т (Тгп) = аГ '(<(<1), ...т р(о-т)). аГ
функции аГ', а значит, и доопределением частичной функции аГ". Следовательно, для нее выполняется соотношение (2).
Пусть т € ^ ^ ^^^^^^^ето равенство £(т) = (2%,..., 2%), оде (2%,..., 2%) € р С С Vг . Определим г отображений Q ^ V: для каждого т € ^ ^шжим £г(т) = = 2% 1 г = 1,... ,г. Из монотонности отображения £ следует, что все отображения £1,... ,£г монотонны.
В силу включения V С ^ отображения £1,... ,£г, < : Q ^ V мож-
но рассматривать как функции из Мд(1). Пусть Г(х) - произвольная функция из Мд(п). Для каждого г = 1,..., г обозначим через £гГ(х) функцию £г(Г(х)). Обозначим через <Г(х) функцию <(Г(х)). Заметим, что £1Г,... ,£гГ, <Г € М'д(п). Пусть для некоторой функции Г(х1,..., хп) € Мд(п) имеет место представле-
Г (х) = Г0(Г1(х),...,Гт (х)),
где Г0 € Мд(т), Г1,...,Гт € Мд(п^^-сть ж - произвольный набор из Qn. Положим 7г = Гг(Т), г = 1,...,т. Согласно соотношению (2) и определению функций £1(х), ...^г(х)
Го (11,...,1т) = аГo(£(Yl)l... ,£(^ш)) =
= аГ0(£1(Yl)l . . .,£Г (Yl)l . . ■l£1(Ym)l . ..,£Г (7т))т
а значит, выполняется равенство
¥(5) = а¥с(£1Л (¡г),..., £г¥1 (г),... ,£1^(5),... ,£г¥т(¡г)). (3)
Таким образом, функция ¥(ж) € Мд(п) представляется в виде
¥(ж) = а¥с(£1¥1(х),..., £г¥1(5),..., £1¥т(х),..., £г¥т(х)). (4)
Рассмотрим некоторую функцию ¥(ж) € Мц(п). Пусть имеет место представление ¥(ж) = ¥с(¥1(ж),..., ¥т(ж)), где ¥с € ¥1,..., ¥т € Ма(п). Покажем, что выполняется равенство
¥(¡) = ^а¥с(£1¥1(х),... ,£г¥1(5),... ,£1¥т(х),... ,£г¥т(х)). (5)
Действительно, пусть 5 - произвольный набор из 2". Имеет место равенство (3). Обозначим набор (£1¥1(<т),..., £г ¥1(
5),..., £1 ¥т (<т),..., £г¥т( а)) через Дг. Так как функция ¥ (ж) те принимает значен ий из 2 \ Р, то а¥с(/3(7) € Р для каждого набора ? € 2". Поэтому равенство (3) останется верным, если функцию а¥с заменить на ^>а¥с. Таким образом, соотношение (5) установлено.
Пусть Мд = [С], где С = |С1,...,Ск| С Мд. Обозначим через С1,...,С8 функции из С, принадлежащие классу Мд (0 < в < к). Обозначим через Э множество (С!,... ,Са, (ж), С*, аС*, ^аС^}, где г = 1,...,к, = 1,...,г; очевидно, что Э сМ'д.
Покажем, что Мд = [Э]. Рассмотрим произвольную функцию ¥ € М'д. Если ¥ - одна го функций С1,..., С^, то очевидно, что ¥ € Э. В противном случае рассмотрим формулу над множеством реализующую функцию ¥: ¥ = = С(¥[,..., ¥т), где С € С ¥1,..., ¥т € [С]. В силу соотношения (5) выполняется равенство
¥ = ^аС(£1 ¥1,..., £г¥1,..., £1¥т,..., £г¥т).
Нетрудно показать, что для любой функции ¥ € Мд и для люб ого ] = 1,..., г выполняется включение ¥ € [Э] (доказательство проводится индукцией по глубине формулы над выражающей фун кцию ¥, с использованием соотношения (4)). Поэтому ¥; € [Э] для всех г = 1,..., ш, ] = 1,..., г. Кроме того, ^аС € Э. Следовательно, ¥ € [Э]. Таким образом, класс Мд является конечно порожденным. □
Теорема 3. Пусть Р и 2 - частично упорядоченные множества, Р С 2-Пусть существует монотонное отображение ^ : 2 ^ Р такое, что для каждого элемента ж € Р выполняется равенство у(ж) = ж. Пусть также существует взаимно-однозначное монотонное отображение £ : С Р г, г > 2, такое,
что обратное отображение £-1 : Р^ ^2 доопределяется до монотонного отображения 2 : Рг ^ 2 • И пусть класс Мр является конечно порожденным. Тогда класс Мд является конечно порожденным.
Доказательство. Покажем сначала, что класс Мд является конечно порожденным.
Рассмотрим функцию /(ж1,..., жя) € Мр. Очевидно, что найдутся такие числа пир, п > 1, 0 < р < г, что в = (п — 1)г + р. Будем считать, что / € Мр (гп), добавив, если нужно, в функцию / несущественные переменные (не более чем г — р переменных). Определим функцию —/ следующим образом: для каждого набора
? = (<71, . . . , О") ПОЛОЖИМ
(5) = / (£(71),..., £(<")). (6)
Легко видеть, что —/ € М'д.
Покажем, что для каждой функции Р(ж!,...,ж„) € Мц(п) найдется функция / € Мр(гп) такая, что Р = —/. Действительно, рассмотрим функцию Р(ж1,..., хп). Для каждого набора из Рг" вида
/1 г 1 г 1 г^
. . . , . . . ; . . . ; &т . . . ; £?",)
положим
<■/1 г 1 г 1 _
/ (£?1; . . . ; . . . ;^2; . . . ; £?"; . . . ; £?",) =
= Р(Н(е1, . . . ; е1); 2(^2; . . . , й); . . . ; 2(е"; . . . ; Ю). (7)
Из монотонности функции Р и отображения 2 следует, что так определенная функция / монотонна. Для этой функции / рассмотрим соответствующую функцию —/. В соответствии с соотношениями (6) и (7) для каждого набора ж € 2" выполняются равенства
— / (СТ1; . . . ; а„) = / (е(^1); . . . ; ^(СТ„)) = ^ (2(^1 )), . . . ; Е^СТ"))) = ^ (^ . . . ; Ж" ).
Таким образом, Р = —/.
Пусть /(ж1,...,жт) € Мр. Обозначим через / функцию из Мд(ш) такую, что / |рт = / (легко видеть, что для любой функции / € Мр найдется функция / € М'д с таким свойством; заметим, что функция / определяется неоднозначно). Пусть для некоторой функции /(ж) € Мр (гп) имеет место представление
/ (ж) = /0(/1(ж);...;/т(ж));
где /о € Мр (т), /1,..., /т € Мр (гп). Покажем, что выполняется равенство
—/(У1;. ..; У") = Я/ (У1; .. .; У"); .. .; —/т (У1;. ..; У")). (8)
Установим сначала справедливость соотношения
—/(У1; . . .; У") = /0(—/! (У1; . . .; Уп); . . .; — /т (У1; . . .; У")). (9)
Рассмотрим произвольный набор ж = (ст1,...,стп) € 2". Обозначим через ж = = ( е1;...; Й;...; £>") Набор (£(о"1);...; £(Ж")) , Ж € Рг" . Имеем
/0(—/1 (Ж);...;— /т (Ж)) = /0(/1( д);...;/т( д)) =
= / ( Ж)= / (е(СТ1);...;е(СТ"))= —/(Ж). Таким образом, соотношение (9) установлено.
Далее, так как —/1;...;—/т € Мд, то для любого набора ж € 2" набор (—/1 (ж);...; —/т (ж)) не содержит элементов множества 2 \ Р- Поэтому равенство (9) останется верным, если функцию /0 € Мр заменить на функцию /0 € М'д, совпадающую с /0 та всех таборах из Рт. Итак, соотношение (8) установлено.
Пусть Мр = [А], где А = {д^...;^} С Мр. Обозначим через В множество ФУНКЦИЙ {(/1;...;^ 31 ; ...^^ в1 в, ГДв в* ~ Г "мвстныв СвЛвКТОр-ные функции в Мр, то есть в^ж^...; жг) = ж^, г = 1;...; г.
/ € Мр
над А, выражающей функцию /, с использованием соотношения (8) нетрудно показать, что выполняется соотношение —/ € [В]. Далее, как было показано ранее,
для любой функции F £ MQ найдется такая функция f е что F = ф/.
Поэтому для любой функции F £ MQ выполнявтся F £ [В]. Таким образом, MQ = [В].
Покажем теперь, что класс Mq является конечно порожденным. Пусть а £ Q и выполнено равенство £(а) = (gf,..., gf), где (gf,..., gf) £ £ P С Pr. Определим г отображений Q ^ P: для каждого а £ Q положим £®(а) = gf > i = 1,..., г. Из монотонности отображения £ следует, что все отображения £1,..., £r монотонны. В силу включения P С Q эти отображения можно рассматривать как функции из MQ(1).
Пусть F(ж) - произвольная функция из Mq(«-). Для каждого i = 1,..., г обозначим через £jF(ж) функцию £j(F(ж)). Заметим, что £1F,... ,£rF £ MQ(n).
Определим функцию х(ж1,...,жг) следующим образом: для каждого набора (ai,...,ar) £ Qr положим x(ai,...,ar) = S(^(a1),..., ^>(стг)). Из монотонности отображений ^ и е следует, что функция х монотонна. Кроме того, для любого набора ж = (gi,...,gr) £ Pr выполняется раве нство х( ж) = Е( ж) •
Покажем, что для произвольной функции F(xi,...,xn) £ Mq выполняется равенство
F (ж) = x(£iF (Ж),...,£г F (ж)). (10)
F
F (x) = S(£iF (Ж),...,£г F (ж)). (11)
Далее, для каждого набора ж = (ст1;... ,an) £ Qn набор (£1F(ж),... ,£rF(ж)) не содержит элементов множества Q \ P. Поэтому равенство (11) останется верным, если заменить отображение е на функцию х £ Mg(r). Таким образом, соотношение (10) установлено.
Из соотношения (10) следует, что любая функция F £ Mq представляется формулой над множеством {x}UMQ. Следовательно, Mq = [MQи(х}]- Согласно предыдущим рассуждениям, класс MQ является конечно порожденным.
Таким образом, класс Mq является конечно порожденным. □
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Х- 08-01-00863) и программы поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-4470.2008.1).
Summary
O.S. Dudakova. Classes of Functions of the fc-valued Logic Monotone with respect to Partially Ordered Sets.
A criterion for the property of being finitely generated is obtained for classes of functions monotone with respect to partially ordered sets of certain type.
Key words: fc-valued logic, monotone functions of the fc-valued logic, monotone clones, finite basis.
Литература
1. Post E.L. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer. J. Math. 1921. V. 43, No 3. P. 163 185.
2. Янов Ю.И., Мучник А.А. О существовании fc-зиачиых замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // Докл. АН СССР. 1959. Т. 127, 1. С. 44 46.
3. Lau D. Bestimmung der Ordnung maximaler Klassen von Funktionen der fc-wertigen Logik // Z. Math. Logik u. Grundl. Math. 1978. Bd. 24. S. 79 96.
4. Tardus G. A not. finitely generated maximal clone of monotone operations // Order. 1986. V. 3. P. 211 218.
5. Дудакова O.G. О конечной порожденное™ предполпых классов монотонных функций многозначной логики // Матем. вопр. кибернетики. М.: Физматлит. 2008. Вып. 17. С. 13 104.
Поступила в редакцию 06.04.09
Дудакова Ольга Сергеевна кандидат физико-математических паук, младший научный сотрудник Франко-русского центра по прикладной математике и информатике им. A.M. Ляпунова МГУ им. М. В. Ломоносова. E-mail: ulya.dudakuvaeymail.cum
