О горизонтальных лифтах линейной связности в касательное расслоение Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

им, в. г, воинского

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.76

О ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ЛИФТАХ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗНОСТИ В КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ

© И. Р. РАЗАКОВ

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского,

кафедра алгебры e-mail: [email protected]

Разаков И. Р. — О горизонтальных лифтах линейной связности в касательное расслоение // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 186—194. — В статье построен горизонтальный лифт линейной связности с базы в касательное расслоение, определены компоненты полученной связности и тензоров ее кривизны и кручения.

Ключевые слова: касательное расслоение, линейная связность, горизонтальный лифт.

Razakov I. R. — About the horizontal lifts of a linear connection in the tangent bundle // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 186—194. — In this article the horizontal lift of a linear connection from base in the tangent bundle was built. The components of the resulting connection and its tensors of curvature and torsion was defined.

Keywords: the tangent bundles, the linear connection, the horizontal lift

Основные понятия и необходимые сведения

Целью данной статьи является построение горизонтальных лифтов линейной связности с базы в его касательное расслоение при помощи линейных связностей, заданных на базе, а также нахождение компонентов тензоров кручения и кривизны полученных лифтов линейной связности.

Пусть Мп - п-мерное связное дифференцируемое многообразие класса Сто, Т(Мп) - касательное расслоение над этим многообразием, п : Т(Мп) ^ Мп - каноническая проекция.

Выберем на Мп локальную карту (и, хг) гладкого атласа А, где хг - локальные координаты, определенные в окрестности и.

На Т(Мп) порождается координатная окрестность (п-1(и),хг,уг).

Если (V, хг) - другая карта на многообразии Мп и и П V — 0, то закон преобразования координат при переходе от карты (и,хг) к (V, хг) имеет вид:

Хг = хг(х1,..., хп). (1)

На касательном расслоении закон преобразования координат при переходе от локальной карты (п-1(и),хг,уг) к локальной карте (п-1^),хг,уг) имеет вид:

{хг — хг ( х1 хп )

Уг — Ці уг

Если на базе Мп задана линейная связность, то она позволяет строить горизонтальные лифты геометрических объектов с базы в его касательное расслоение. Пусть V - линейная связность с компонентами

Г; в карте (и, хг).

;

На п-1(и) индуцируется подвижной репер {дгн, д^} - адаптированный к связности V, где дгн —

дг - Угг^, дГ = э|г.

Вертикальным лифтом векторного поля X с базы в касательное расслоение называется такое векторное поле Xу в Т (Мп), что

х ^ (7ш) — их ))у,

для любого ковекторного поля ш. Здесь функции 7Ш определяются для каждого ш — шг^хг формулой

а

7Ш — ШаУ

в индуцированной локальной системе координат (хг,уг ) [1], [2].

Таким образом, Xу имеет координаты:

(X').

С помощью оператора 7 из тензорного поля Р — Р;гдг ® ¿х; можно получить векторное поле 7Р на касательном расслоении Т(Мп), которое определяется условием 7Р — у;Р^д^. Локальные координаты этого векторного поля будут иметь вид: ( )

(;Р;)'

Горизонтальным лифтом векторного поля X с базы в касательное расслоение называется векторное поле Xн — Xг(дг0 — у;Г;гд1) в Т(Мп) [1], [2]. Таким образом, Xн имеет координаты:

—у; X ггк

X

гГ

■ ;

Для вертикального и горизонтального лифта векторного поля справедливы тождества

(/X )У — / у X у, (/X )н — / у X н.

В дальнейшем не будем использовать обозначение /у, а просто записывать /, подразумевая вертикальный лифт функции.

Тензор кривизны Т и тензор кручения Д связности V определяются [3] следующим образом:

Т (X, У) — V* У — V у X — [X, У], Д^, У )^ — V* Vу ^ — Vу V* — V [х,у ] ^.

Горизонтальный лифт линейной связности в Т(Мп)

Пусть на базе Мп наряду со связностью V задана связность V. Тогда имеет место следующая Теорема. На касательном расслоении Т(Мп) существует единственная линейная связность Vн, удовлетворяющая условиям:

VХууу — о, V* уун — о, '^н«уу — (V*у)у, ^н«ун — (V*у)н, (3)

где X и У - произвольные векторные поля на Мп.

Доказательство. Существование. Пусть Vд? = С-в карте (и,ж®). Определим в координатной окрестности (п-1(и),ж®,у®) линейную связность 1^7 по формулам

^ вН д;н — С; дн , ^ дИ — Ск; ^ дУ д;н —0, ^ ду д/ —0.

Возьмем произвольным образом другую карту (V, хг) такую, чтобы и П V — 0. Тогда на иП V справедлив закон преобразования координат (1), а на п-1(и) Пп-1^) — п-1(иП V) формулы преобразования координат имеют вид (2). Обозначим через С; коэффициенты связности V в карте (V, хг). Тогда

где дг — д|г, причем

Тогда из V§. д; — С;дк получаем

- дхк

дг — ¿пт дк.

дхг

дхП дхП

¥ йі». д; д‘ — с; д?^

дхк дхп д дхп дхп

а* сх;47 дкд^ + <х дх;д^— сх^д^,

, дхк схв + д2хМ д — д

кв дхг дх; дхгдх; / П ; дхк П

(4)

В карте (п 1^),хг,уг) зададим линейную связность 2VH по формулам:

^а« ; — с; дн, ^дн д/ — е* д/, ^дУ <5;н — о, ^дУ ;

о.

Покажем, что на п 1(и) П п 1^) имеет место равенство

Vн.

В силу равенств (4)

^ дн дн — с; сн — Ск

тг;

/ дхп д ; V дхк дхп

н

^ дхк дхв д2хп

Сп____________і __________

кв дхг дх; дхгдх;

дн

дП .

Аналогично

1^ дн д7н —1^,

( 9x1 д 1

\дхз Св/

н

дхк \ дН дхг ) к

( дх11 дн

V дхз / дв

(дХЛ (дЗ 1 1^7дндн + (Адз 1 дн — дЗ + дхХЗ дЛн.

у д ж г / V д х 3 / ок в 1 V д ж г д х з ! в у кв д хг д х з 1 д х гд х зі п

С; д,

к — Ск /^дхП д А

к ;Д дхк дхп;

^дн ; — ^ , ах,

<9к дУ

дх О д/1

^ дхк дхв д2хп

Сп______________+_________

кв дхг дх; дхгдх;

н (ИЗ двГ — 1V, ън (Ш) д/

V дхг } к

(дхк А (джя 1 1 ^ д^ і ( д джя 1 д^ ____ (сП дхк джя + д2жь А д^

уд х г j \д х 3 ) дк в ' \д х г д х3 / в у кв д хг д х3 ' д хгд х3 J П .

дУ дп .

Ввиду того, что 1^дУ <н — 0 и 2^Ву ¿?н — 0, 1^дУ д/ — 0 и 2^ду с9]7 — 0, мы имеем 1^ду <н — 2^дУ ¿^н,

1^ дУ д]> = 2^ду д]7.

Н

дхк д

к

д

к

д

Таким образом, получаем, что на п 1 (и) П п 1 (V)

1^н — ^н.

Следовательно, на касательном расслоении мы построили линейную связность. Обозначим ее Vн и назовем горизонтальным лифтом.

Покажем, что связность Vн удовлетворяет условиям (3). Рассмотрим на (и,хг) векторные поля X — Xгдг и У — У;д; и их продолжения в Т(Мп):

X 7 — X гд]/ ,У7 — У; д/,

г;

X н — X гд,н ,Ун — У; дн.

г;

^ну УУ — ^нгдУ У; д/ — X гУ; '^ну д/ + ^дИ У; д/ — 0,

VHу у н — '^нгду У; дн — X гУ; V ну дн + X гдН У; дн — 0,

'VI н у У — V |гдн У; д/ — XгУ; V нн д/ + XгдH У; д/ —

— Xг У; С; д/ + X гдгУг; д;7 — ((Xг У; С; + X гдгУ к )дк )у — (V* У )у,

V* н Ун — ^|гдн У; дн — XгУ; V нн дн + X гдн У; дн —

— XгY; дн + X гдгУ; д;н — ((Xг У; + X гдгУ к )дк )н — (V* У )н.

Таким образом, линейная связность Vн удовлетворяет условиям (3).

Единственность. Пусть на Т(Мп) имеются две связности Vн и '^н, удовлетворяющие условиям

(3). Обозначим , У) — VнУ —' VнУ и покажем, что , У) — 0.

-н ’ _ ун

Тогда

Пусть X = Xн, У = Ун. Тогда

¿(X н, Ун) = V Нн УН - V Н н Ун = (V х У )н - (V х У )н = 0.

Если X = Xн, У = Уу, то

¿(X н, Уу) = 'V Нн УУ — VI н У у = ('V х У )У - ('V х У Г = 0.

Пусть X = Xу ,У = Ун. у, У н) = Vн^ Ун -' VХу У н = 0.

При X = Xу , У = Уу получаем

¿(Xу, у у) = Vну УУ - VХу уу = о.

Таким образом, <S’(X, У) = 0. Следовательно, VнУ = VннУ и Vн =' Vн. ■

Определение компонентов связности Vн в адаптированном репере

Рассмотрим линейные связности V и V на базе Мп, причем связность V используется для поднятия геометрических объектов с базы в его касательное расслоение.

Определим компоненты связности Vн. В адаптированном репере {Да}

V нв Дс = (5 Ас Дл,

где Да - векторное поле вида дн или д^. Примем следующие обозначения для индексов А, В, С: А к \ / к \ _ I г \ I j \ / 3

или

В

0 1 \ 1 ) \ 0 = Д.

Рассмотрим тождество

Д(г)— д1.

или І I, С — І I или І I. При этом дн — Д/ г \

V II \ 0 \ 0 И г (о)

Vн <н — (Vдг д; )н .

Д0, д/

Vн <н

удн д;

^н 7~)0 /000А п ’00к п0 і ’00к тл 1

у £° Д; — Сг; да — Сг;0 Дк + Сг;1 Дк,

Следовательно,

Из тождества

Значит

(V дг д; )" — (С; дк )" — С* Д0 .

’00к к ’00к

Сг;0 — Сг; ,Сг;1 — 0.

^ нн д;У — (V дг д; )у.

V н д /

удн д;

V но д1

/О01А п ______ /о01к тл0 і /о01к п 1

д; — Сг; да — Сг;0 Дк + Сг; Дк,

(V дг д; Г — (С; дк )У — С; Д1 .

/о01к ___ /001к ___ /ок

Сг;0 — 0,Сг;1 — Сг;.

Из тождества

V ну д/ — 0

получим

V н д /

Уд,у д;

’ н Д1 уді Д;

С" 11А п __ /о11^п0 і /о!1к Г)

г; ДА — Сг;0 Дк + Сг; Д

0.

Тогда

На основании тождества

с ; — 0,с; — 0.

’ н дн Уду д;

’ н дн Уд,у д;

’ н Д0 ув)Д;

/010А гл _____ /010к р)0 і /о10к р)

Сг; ДА — Сг;0 Дк + Сг;1 Д,

10к п 0

'У 10 к 7~) 1

0.

Следовательно,

/010к Сг;0

0,6; — 0.

В результате получаем, что компоненты связности Vя" выражаются через компоненты связности V следующим образом:

0,

/000к

Сг;0

/ок /000к

Сг; ,Сг;1

/001к

Сг;0

0,<5 ;

ск

’ 11 к Сг;0

0,с;к — 0,

/010к Сг;0

0,с; — 0.

имеем

к

0

имеем

к

Тензор кручения линейной связности Vн

Пусть Т - тензор кручения линейной связности V, а Т и Тн - соответственно тензоры кручения V и Vн. Тогда для Тн и произвольных векторных полей X и У получаем:

Тн(Xу, уу) = '^Н^уу - 'VНуху - [ху, уу] = о, Тн (ху, у н) = V*у у н - Vнн ху - [ху, у н] =

= -(V г х )у + (V г х )у = -(V г х)у + (V у х - т (у, х ))у =

= -(V у х )у + ^у х )у + (Т (х,у ))у, Тн (у н, ху) = 'Vнн ху - 'VIу у н - [у н, ху ] = = ('V у х )у - (^у х )у = ('V у х )у - ^у х - т (у, х ))у = = ('Vух)у - ^ух)у + (Т(У, х))у = ('Vух)у - (Vух)у - (т(х, У))у, Тн(хн, ун) = VXнун - 'Vннхн - [хн, ун] = = (V*У)н - (Vух)н - ([х, У]н - 7Д(х, У)) = (Т(х, У))н + 7-Й(х, У).

Определим компоненты тензора кручения Тн линейной связности Vн. В адаптированном репере будем обозначать эти компоненты через Т^с.

Рассмотрим тождество

Тн (х у ,у у) = о.

Для векторных полей Д1, Д

Тн (Д1, Д1) = ТА1Ада = Т“* Д + Ту1!* Д.

Следовательно,

гЛИ* __ Г! ГлЦ* _ Г!

т;,0 = 0, т;,1 = 0.

Рассмотрим левую и правую часть тождества

Тн (х у, у н) = -('V у х - Vу х )у + (т (х, у ))у.

Применительно к векторным полям адаптированного репера

лрН / ]-л1 п0\ лЛ10А п гЛЮ* п0 | гЛЮ* п 1

Т (DІ , ДО = А, = А,0 Д + Т;,1 Д.

Учитывая, что V*д, = Г,д*, Vдд, = С,д*, Т(д;, д,) = д*, получим -(V в. д; - д; )^ + (Т (д;, д, ))^ = -((С* - Г,)д* )^ + (^¿- д* )^ =

= (Г, - + Т;,Д = (Г, - с* + Т,)Д.

Следовательно,

тлю к о Тю * Г * С * + Т *

Из тождества

Тн (у н, х у) = ^у х - vу х )у - (т (х, у ))у

мы имеем

Тн (д0, д1) = Т=;0,1АДа = Т^,10к Д + Т^011к Д (^ д; - ^ д; )^ - (Т (д;, д, ))^ = ((С* - Г,)д* )^ - (Т, д*)У = = (С* - Г,)Д1 - Т;, Д = (С* - Г*; - т, )Д1 .

Значит,

Т01к 0 Т01к г к тк

Ті-0 , Т — 1 ^?і -і Т і-'

Рассматривая тождество

тн(Xн,ун) _ (т(х, у))н + 7Д(х,у),

получим

Таким образом,

тн(Д0, — _ т-0А£а _ тті0і00к^0 + тті0і0ік^. (ТТ(дг, д-))н + 7^(д*, д-) _ Т-^0 + У^?-Д _ Т-^0 - у^уД.

аЪ00& ^Ъ00к ».і Т?к

тгі0 ТІ7, ті -1 у ДЩ .

¿j0 ,т;,1 У 1ЬИз.

Тензор кривизны линейной связности Vн

Если Д - тензор кривизны линейной связности V, Д и Дн - соответственно тензоры кривизны V и Vн, то для Дн и произвольных векторных полей х, У и Z получаем:

Дн(ху,Уу= VXv VHv ZV - VHv VXv ZV - Vнfv уV] ZV = 0,

Дн(ху,уу)Zн = V*VVHvzн - VHvVXvzн - Vнcv уу]zн = о,

Дн(ху,Ун)zу = VXvVHнzу - VHнVXvzу - ^Ху,ун]zу = ^н(^х)zу = о,

Дн(хн,уу)zу = VHнVHvZV - VHvVXнzV - VHfн,уV= ^н(^ху)у zV = о,

Дн(ху,Ун)zн = VXvVHнzн - VHнV*уzV - Vнfv ун]zн = о,

лн / ~у~н \ ^н__^н ^н с^н ^н ^н с^н ^н с^н

дн(хн,у17)2н _ ух«ун^-ун^ухн2н - У|Хн.уV]^н =о,

Дн(хн, ун)2^ _ УХ«Ун«2у - Ун«УХн2у - У/Хн уН]^у _ уХн (УУ2Г - Унн (УХ2Г - Унх,у]Н_7А(х,у)^ _

(УхУ у2Г - (УуУх2Г - (У[Х,У]^Г - У^ у)2у _ (Д(х, у)2Г,

Дн(хн,ун)2н _ Ух«Ун«2н - Ун«Ухн2н - У|х« ун^н _ Ух« (Уу2)н - Ун«(Ух2)н - У*_^(х.у)2н _

[х,у р-7й(х.у)

7н

7-Й(х.у )"

Определим теперь компоненты тензора кривизны Дн. Обозначим их в адаптированном репере через

_ (УхУу2)н - (УуУх2)н - (У[х.у]2)н - УнА(х у)2н _ (Д(Х, у)2)н.

ЪА

Д£С£.

Рассмотрим тождество

Дн (х у ,у у )z у = о.

Применительно к векторным полям адаптированного репера

Дн (А1, дЗД _ Д1-1А^а _ Д— ^0 + Д—^1 _ о.

Следовательно,

Из тождества

Д'111й ____ п Ъ111к ________ п

гі-0 _ 0, Дг-1 _ 0.

Дн(Xу,уу)2н _0

мы получим

RH (D1, Dj)D° = ROj1ADA = Rj D0 + ROjf D1 = 0,

DOllk _ n DOllk _ (Л

Rij'O — 0, Rij1 — 0.

Тем же способом из тождества

RH (X V ,Y H )Z V — 0

имеем

RH (Dl, Dj0)Dl — R j°ADA — Rj DO + Rj Dl — 0,

DllOk _ n DllOk _ (Л

Rij'O — 0, Rij1 — 0.

Из тождества

RH (X H ,Y V )ZV — 0

мы получаем

RH (dO, d1)d1 — R1íO1aDa — Rjk dO + R 0jik d0 — 0,

DlOlk _ n DlOlk _ (Л

Rij'O — 0, Rij1 — 0.

Аналогично из тождества

RH (X V ,Y H )Z H — 0

имеем

RH (Dl, DjO)DO — ROijOADA — Rj dO + ROjk d0 — 0, D O l Ok DO lOk R1jO — 0, R1j1 — 0.

Из тождества

RH (X H ,Y V )Z H — 0

получаем

RH (DO, Dj)DO — ROj1ADA — ROjOk d O + ROjik d0 — 0.

Следовательно,

D OOlk _ rv DOOlk _ rv

R1jO — 0, R1j1 — 0.

Из тождества

RH (X H, YH )ZV — (R(X,Y )Z )V

имеем

RH (DO ,DjO )Dl — Rlij aDa — RjDO + Rj Dl — (R(di,dj )d,)V — Rkij Dl.

Таким образом,

DlOOk __ DlOOk ____ Dk

R1jO — 0, R1j1 — R1j .

На основании тождества

RH (X H, YH )ZH — (R(X,Y )Z )H

имеем

RH (DO, d°)d° — RjADA — Rj DO + ROjik D0 — (R(d¿, dj )d )H — Rfij dO.

Следовательно,

DOOOk Dk DOOOk R1jO — R1j, R1j1 — 0.

Остановимся на частных случаях горизнтальных лифтов.

1. Линейные связности V и V на базе Mn совпадают. Тогда мы имеем:

G~00k _ pk /000k _ a /001k _ a /001k _ pk /011k _ a /011k _ a /010k _ a /010k _ a

ijO ~ rij , Gij1 — 0,Gij0 — 0, Gij1 — rij , Gij0 — 0, Gij1 — 0, Gij0 — 0, Gij1 — U-

TH (X V, YV) — 0, TH (X V, YH) — (T (X, Y ))V,

TH (YH, X V) — -(T (X, Y ))V, TH (X H, Y H) — (T (X, Y ))H + 7i?(X, Y).

rp11k _ a rp11k _ a ^p10k __ a ^p10k ___ rpk

Tij0 — 0, Tij1 — 0,Tij0 — 0, Tij 1 — Tij,

Ао01к _ a ^o01k __ rpk ^oOOk ___ rpk ^oOOk _ i pk

Tij0 0,Tij1 Tij , Tij0 Tij, T ij 1 y Rlij.

RH (X V, YV )ZV — 0, RH (XV, YV )ZH — 0,

RH(XV, YH)ZV — 0, RH(XH, YV)ZV — 0,

RH(XV, YH)ZH — 0, RH(XH, YV)ZH — 0,

RH (X H, Y H )Z V — (R(X, Y )Z )V, RH (X H, YH )ZH — (R(X,Y )Z )h .

тЗ 111k R1ij0 0 k 0 ^ о 0k _o,Rj1k _ o'

p110k R1ij0 = o,Rj1k a p101k _ 0, R1j0 _ R1§1k _ 0,

p010k R1ij0 = 0,R0ij°1k a 5001k _ 0, R1j0 _ o, _ 0,

.100k _ '1ij0 o,Rj1k _ pk p000k R1ij, R1ij0 R І ?T j. p< І o j О 1 ?r _ 0

2. Связности V и V различны, связность V используется для поднятия геометрических объектов с базы в его касательное расслоение. Этот случай был подробно рассмотрен выше.

3. Связности V и V различны, связность V используется для поднятия геометрических объектов с базы Mn в его касательное расслоение T(Mn). Этот случай аналогичен 1 случаю, но с учетом того, что связности V и V меняются ролями.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Yano K., Ishihara S. Tangent and Cotangent Bundles. New York, 1973.

2. Егоров И. П. Геометрия. М.: Просвещение, 1979, 256 с.

3. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 1. 345 с.