Горизонтальные продолжения линейных связностей в кокасательное расслоение Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

им, в. г, воинского

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.76

ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ В

КОКАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ

© А.В. АВДЕЕВА

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского,

кафедра алгебры e-mail: [email protected]

Авдеева А. В. — Горизонтальные продолжения линейных связностей в кокасательное расслоение // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 19—27. — В статье построен горизонтальный лифт линейной связности с базы в кокасательное расслоение, определены компоненты полученной связности и тензоров ее кривизны и кручения.

Ключевые слова: кокасательное расслоение, линейная связность, горизонтальный лифт.

Avdeeva A. V. — Horizontal prolongations of a linear connections in the cotangent bundle // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 19—27. — In this article the horizontal lift of a linear connection from base in the cotangent bundle was built. The components of the resulting connection and its tensors of curvature and torsion was defined.

Keywords: cotangent bundles, linear connection, horizontal lift

Основные понятия и необходимые сведения

Целью данной статьи является построение горизонтальных лифтов линейной связности с базы в его кокасательное расслоение при помощи линейных связностей, заданных на базе, а также нахождение компонентов тензоров кручения и кривизны полученных лифтов линейной связности.

Пусть Мп - п-мерное связное дифференцируемое многообразие класса Сто, Т*(Мп) - кокасательное расслоение над этим многообразием, п : Т*(Мп) ^ Мп - каноническая проекция.

Выберем на Мп локальную карту (и,хг) гладкого атласа А, где хг - локальные координаты, определенные в окрестности и.

На Т*(Мп) порождается координатная окрестность (п-1(и),хг,хг).

Если (У,хг) - другая карта на многообразии Мп и и П V — 0, то закон преобразования координат при переходе от карты (и,хг) к (V, хг) имеет вид:

хг — хг(х1,..., хп). (1)

На кокасательном расслоении при переходе от локальной карты (п-1(и),хг,хг) к локальной карте (п-1^),хг,хг) закон преобразования координат имеет вид:

| хг — хг ( х1 хп)

I Лу Лу у,

__ р) грЗ \ /

гу . - д х гу .

хг — дх хз

Если на базе Mn задана линейная связность, то с ее помощью можно строить горизонтальные лифты геометрических объектов с базы в его кокасательное расслоение.

Пусть на базе Mn задана линейная связность V без кручения, Vaiд^ _ Гкдк - ее локальное представление в карте (U, хг), () - поле натурального репера, (dx-1) - поле дуального ему корепера на U.

{V * 1

дгн, (dx1) f образуют подвиж-

ной репер, адаптированный к связности V, где дгн _ дг + ХкГкдj, (dx'l)V _ d¡~:.

Вертикальным лифтом 1-формы w с базы в кокасательное расслоение называется такое векторное поле wv* в T*(Mn), что

WV * (YoX )_(w(X ))V *,

где X - произвольное векторное поле. Функции YoX определяются для каждого X _ Xгдг формулой

YoX _ XaXa

в индуцированной локальной системе координат (хг,х¿) [1]. Таким образом, и>у имеет координаты:

( 0 \

Из тензорного поля Р — Р^дг ® йх° с помощью оператора 71 можно получить ковекторное поле 71Р на кокасательном расслоении Т*(Мп), которое определяется условием 71Р — хгР,*йх5. Локальные координаты этого векторного поля будут иметь вид:

(Д)

Горизонтальным лифтом векторного поля X с базы в кокасательное расслоение называется вектор-

j Г кг д

ное поле Xн _ Xг(дг + XjГкгдк) в T*(Mn) с координатами [1]:

и ^)-

Для вертикального лифта 1-формы и горизонтального лифта векторного поля справедливы тождества:

< 1 \У * гУ V *

(¡и) — ¡и ,

(¡X )Н — ¡ У X н.

В дальнейшем не будем использовать обозначение ¡У, а просто записывать ¡, подразумевая вертикальный лифт функции.

Тензор кривизны Т и тензор кручения К связности V определяются [2] следующим образом:

Т(X, У) — VxУ - VуX — [X, У],

К(Х, У )% — Vх Vу % — Vу Vх % — V[х,у] %.

Горизонтальные продолжения линейных связностей в Т*(Мп)

Пусть на базе Мп наряду со связностью V задана связность V. Тогда имеет место следующая

Теорема 1. На кокасательном расслоении Т*(Мп) существует единственная линейная связность Vн, удовлетворяющая условиям:

V Нн УН — (V X У )Н, V Хн ШУ * — (V X ш)У * , V Ну * УН — °, V Ну * ШУ * —0, (3)

где X и У - произвольные векторные поля, ш - произвольная 1-форма на Мп.

Доказательство. Покажем, что связность, удовлетворяющая условиям (3), существует.

Пусть Vдід^ — Скдк в карте (и, хг). Определим в координатной окрестности (п-1(и),хг,хг) линейную связность 1^7 формулами:

1^дндН — а%дН, (^)У* — — і(¿хк)У*, ^(ахі)у* дН — 0, ^(ахі)у* (^)У* — 0.

Выберем карту (V, хг) такую, чтобы и П V — 0. Тогда на и П V справедлив закон преобразования координат (1), а на п-1(и) П п-1^) — п-1(и П V) формулы преобразования координат имеют вид (2). Обозначим через Сі коэффициенты связности V в карте (V, хг). Тогда

V х ді — Сі дк,

где дг — и <9г — (¿х)У* — дд~, причем

дхк дхг

дг — д^дк ,д — д^дк. дхг дхк

Тогда из Vді д — Сі <9к получаем

дхП _ дхП

дхі дк ді дп— Скі дх* дп

дхк дхя ~ д дхп дк дхп

дхг дхі дк " я + дхг дхі " П г дхк

^ дхк дх* д2х^ А я ^к

/ Л 9х! дх. + д2хМ д = ск.—д

\ кя дх® дх* дх®дх* / ^ * дхк ^

В карте (п-1(У),х‘,х®) зададим линейную связность 2У формулами:

2%дН = 6*дн, 2%(¿х*)у* = -б**(¿хк)у*, 2у*дН = о, 2у(^* (¿х*)у* = о.

Покажем, что на п-1(и) П п-1(У) имеет место равенство

1У = 2У.

Из равенств (4) следует

2 V дн = бк дН = бк (— — \Н = (б ^ \ дН = (гн ^ д^1 + ^ '

* * к дхк дх^ V * дх^ 11 V к3 дх4 дх* + дх®дх*

(4)

1VдндН —1V( дхкд,у (шд0Н —1V(дхк)дн (дхт) дН

— (дрг) (хх) 1V дн дН + ( їх хх) дН — Ґс^іхї іХт + дН.

у дхг / V дхс / «к в V дхг д хх ! 5 \ кв дхг дхс 1 дхгдхс / п

Отсюда заключаем, что

^ хн д^Н — 2^ хн д,Н.

Аналогично

2V хн (¿хк )У * — —Сік (¿хк )У * — —Сік ^к — —Сікд^ дп —

т Д-І \ Л-к

_ /С5 д хк д хс дхт і д2 х т д хс \ д хк д^

у кт дхг д хт д х4 д хгд хк д хmJ дхн

ктп дхг д хт д х4 ' д хгд хк д хту <9хь

__ ___ Гс5 д хк д хс і д2 х т д хс д хк \ д^

— 1 СкП д хг д хт д хгдхк д хт д хн ' '

'-н-(Лті )У * — 1' н ( дхс д^ — дхк дх7 1 у дП + дхк д2х7

¿^г ( ) ^ дхк |^Л І^дх^ у дхг дх^ ¿к + дхг дхкдх^

н

хк д,_

а

дп

_ __ С$ дхк дх-7 д^ і ^__ д2хт дх7 дхк \ дП _ _ /^С5 дхк д х7 + д2хт д х 7 д хк \ дП

_ ^СкП дхг дхт д У V д хгдхк дх т д х^ д _ ^СкП дхг дхт ^ дхгд хк дхт дх^ д .

Следовательно,

1^дн (¿хі )У* — ^дн (¿хі )У* .

Ввиду того, что 2'ЧН^у*дИ — 0 по определению и 1^Н^хг)У*діН — 1^(дхгдк) (¿¡Гд^)Н —

V дхк у

— ^(ахг)дк (ИГ) дН — (§к) ()1Vдкд5Н + дхкддк(Ш) дН — 0, получаем

1 уН дН — 2 уН дН

^х^* ді — ^х1)у* ді .

Также ^ Н хг) у * (¿хі )У * — 0 (по определению) и 1^ Нгхг)У * (¿х^' )У * — 1^( ахі )д^ ІхГ) д5 —

V дхк У

— Г ахЛ (71^дк д5 + дхг ¿¿-(х7 д5 — 0.

у д хк / у д х^ \ д д хк дх^ у д хт /

Отсюда следует, что

1VНхг)У * (¿хг )У* — ^Н^хг)У * (<^ )У * .

Таким образом, на п-1(и) П п-1(V) имеем

1Т7 — ^.

Следовательно, на кокасательном расслоении мы построили линейную связность. Обозначим ее через VН и назовем горизонтальным продолжением или горизонтальным лифтом связности V с базы Мп в Т*(Мп).

Покажем, что связность VН удовлетворяет условиям (3). Рассмотрим на (и,хг) векторные поля

X — Xгдг, У — У5ді, 1-формы ш — шг^хг, в — ^¿х5 и их продолжения в Т*(Мп):

шУ * — шг(^хг)У * ,вУ * — ві (^ )У *, X Н — X гд,Н ,УН — Уі дН.

гі

Тогда

V Ну * вУ * — V Нг(гіх г) у * ві (¿хі )У * — шгві V Н;х г) у * (¿хі )У * + шг(^хг )У * ві (¿хі )У * —0, ^у* УН — ^(^у* УідН — ШгУі VН^хг)У* дН + Шг(^хг)У*уі дН — 0 '7Xн вУ * — VXгдн ві (¿хі )У * — X гві V/ Нн (¿хі )У * + X гдгН ві (¿хі )У * — — XгвіСік(¿хк)У* + -Xгдгві(гіУ)У* — ((XгвіСік + Xгдгвк)(^хк))У* — ^в)У*, '7Xн УН — '7Xгдн У3'дН — XгУі 'VНн дН + XгдгНУідН —

— XгУі <С |і- дН + X гдгУгі дН — ((Xг Уз Ск + X гдгУ к )дк )Н — ^ У )Н.

Таким образом, линейная связность VН удовлетворяет условиям (3).

Пусть на Т*(Мп) имеются две связности Vн и /VH, удовлетворяющие условиям (3). Обозначим ¿(X,У) — VXXУ —/ 'VНУ и покажем, что ,') — 0.

Пусть X — XН, У — УН. Тогда .¿'(XН, УН) — V/Нн УН —/ V/Xн УН — (VXу )Н — (VXу )Н — 0. Если X — XН, У — шУ*, то ¿'(XН,шУ*) — 'VXншУ* —/ '7HншУ* — ^ш)У* — (VXш)У* — 0.

1

При X — шУ , У — У

Н

¿(шУ* ,УН) — 'VНу * УН —/ ТНу * УН — 0.

И пусть X = ^у , У = 0у тогда получаем

5(шу*,вУ *) — Vнy *ву* —/ Vнy *ву* — 0.

Значит, 5(X, У) = 0 для всех векторных полей X, У. Следовательно, УН?У =' УН?У, поэтому Ун =' Ун. Таким образом, условия (3) определяют единственную связность на Т* (Мп). ■

Вычисление компонентов связности Ун в адаптированном репере

Рассмотрим линейные связности V и V на базе Мп. Пусть связность V используется для поднятия геометрических объектов с базы в его кокасательное расслоение. Определим компоненты связности Ун в адаптированном репере {Да}

Унв Дс = Да,

где Да - векторное поле вида дн или (¿х‘)у . Примем следующие обозначения для индексов А, В, С:

А —

М \ 0

или

0У

\ у *

В —

ДО, (¿хг)у — Д(о)— ДО. Равенства

записанные в адаптированном репере

VHн дН — (Vдг ді )Н,

'Н аН ^Н 7~)0 /оООА п /оООк гїи і 'иии к

7днді — 7^о^і — Сгі — Сгі0 ^к + Сгік^о,

^дг ді )Н — (Скі дк )Н — Скі до,

приводят к следующим соотношениям:

Из равенств

получим

/о00к /ок /оООО

Сгі0 — Сгі ,Сгік — 0.

VHн (¿хг)У — ^дг ¿хг )У .

VI, (¿хг)у * — VHо Д£ — Да — СдаДО + ^0^, (Vдг ¿хі )у * — —(Сік ¿хк)У* — —Сік ^

На основании равенств

С0ік — 0 С0і0 — _Сі' Сг00 — 0, Сг0к — Сгк.

VHdxг)У * (^ )У * — 0

имеем

^у * (¿х )у * — ^ ді — сооада — со^дО + СОООк дк — 0.

Тогда

Сгік — 0 Сгі0 — 0 С000 — и, С00к _ и.

0

или

0

или

Из равенств

имеем

Значит,

V н д н — 0

^х^ * ді — 0

'Н оН ^Н пО /ОгОА п /ОгОк пО І /ОгОО пк п

^¿¿г^ * ді — 7 Ді — С0і ДА — С0і0 Дк + С0ік Д0 — 0.

/ОгОк ___/ОгОО _______п

С0і0 — 0, С0ік — 0.

Следовательно, компоненты связности Ун выражаются через компоненты связности V следующим образом:

Л00к __ /ок /о000 __

б®*0 = , б‘*к = 0,

С0ік — 0 С0і0 — _Сі' Сг00 — 0, Сг0к — Сгк,

Сгік — 0 Сгі0 — 0 С000 — 0, С00к — 0,

С~г0к ___/ОгОО ________п

ОіО — 0, С0ік — 0.

Н

Вычисление составляющих тензора кручения линейной связности V

Пусть Т - тензор кручения линейной связности V, а Т и Тн - соответственно тензоры кручения связностей V и Vн. Тогда для Тн, произвольных векторных полей X, У и произвольных 1-форм ш, в

Тн (шу *, ву *) — Vнy * ву * — VHУ * ш у * —

шу * ,ву *

Тн (шу * ,ун) — VHУ * ун — VHн шу * — [шу* ,ун] — — —(Vу ш)у * + ^у ш)у * — (^у ш + Vу ш)у *, Тн (Ун ,шу*) — VHн шу* — VHУ * Ун — [Ун,шу* ] — — ^у ш)у * — ^у ш)у * — ^у ш — Vу ш)у *, Тн(Xн, Ун) — VXнУН — VHнXн — [Xн, Ун] — — ^ у )н — (Vу X )н — [^у^ — 7 ^ ,у ) — (Т^у ))н — 7 ^,1).

Найдем координаты тензорного поля кручения Тн линейной связности Vн относительно адаптированного репера. Обозначим эти компоненты через Т^с.

Рассмотрим тождество

Тн (шу * ,ву *)—0.

Для векторных полей ДО, Ді

ТН(ДО, Ді) — Т^Да — ТОіОДО + ТіДк.

Следовательно,

^гік п Т’гі0 п Т000 — и, Т00к _ и.

Рассмотрим левую и правую части тождества

Тн (шу * ,ун ) — —(Vу ш — Vу ш)у *.

Применительно к векторным полям адаптированного репера последнее запишется

ТН(ДО, ДО) — ТОО А Да — Т=Ьгі00кДО + ТуОДо.

0

Учитывая, что Vэ¿¿х* = —Г*¿хк, Vэ¿¿х* = — С*к¿хк, получим

— (VI, ¿хг — VI, ¿хг)у — —((—Сік + Г‘к )^хк)у —

— — (і — Сік )до .

Следовательно,

Из тождества

имеем

/О?г0к____/О?г00________ ( тіг уог \

Т0і0 — 0, Т 0ік — — (Г ік — Сік ).

Тн (ун , шу *) — ^у ш — vу ш)у

ТН( д0 ДО) _____ Т0іА Д . __ Т0;к дО І Т0і0 дк

Т (Дг ,ді) — Тг0 ДА _ Тг00 дк + Тг0к д0

( ^^дг ^ — ^7<г ¿х3 )У * — (( —Сік + і )йхк )У *

— (Гк—Сік )до.

Отсюда,

Рассматривая тождество

Т0;к 0 Т0і0 Гі — Сі'

Тг00 _ ^, Тг0к ^ гк Сгк.

получим

Таким образом,

Тн (X н ,Ун) — (Т^,У ))н — ),

фН ( 7~)0 п0\ ^700А п ^700к п0 і ^7000 пк

Т (дг, ді) _ Тгі ДА _ Тгі0 дк + Тгік Д0.

(Т(дг, ді ))н — 71й(дг, ді) — Тк ДО — хтКПі Дк.

ТООк ______ Т7к Т7000 _________ х рт

-¿ооП ^-і, Т о п Ь хт, ^^^ч’о’.

^к ^7000

г;0

гі, Тгук

огу.

Вычисление компонентов тензора кривизны линейной связности Vн относительно

адаптированного репера

Пусть Д, Д и Дн - соответственно тензоры кривизны линейной связности V, V и Vн, тогда для Дн, произвольных векторных полей X, У, Z и произвольных 1-форм ш, в, ф получим:

Дн (шу * ,ву * )фу * — VHУ * VHУ * фу * — VHУ * VHУ * фу * — V

Н

[^у * ,£у * ]

ФУ' _ 0,

дн(шу ,ву )%н — vHy* V!* %н — vHy * vHy* %н — Vj^y * ,0у *^н — 0,

фу * ——V Н(Уу Ш)у * фу * — 0,

фу * — 0)у * фу * — 0,

дн (шу * ,у н )фу * — vHy * vHн фу * — vHн vHy * фу * — vн

?НЛ .V * л^Н^,.У * _ 7н 'Н „,.У * 'Н 'Н „,.У * 7Н ФУ * _ 7Н

[шу* ,ун]ф _ ^(^ш^

ДН (XH ,вУ* )ФУ* — VXн VHy* ФУ* — VHy* VHн ФУ* — VfXн ,0у* ^лУ*- ^Н "'•У*

дн(шу* ,ун)%н — vHy* vHн %н — vHн vHy* %у — vн

[шу * ,ун]

%Н — 0,

дн(Xн, ву *)%н — тнн vHv* %н — vHy* vxн%н — VjXн,0у *^н — 0, Дн (Xн, у н )фу * — vxн vHн фу * — vHн vx н фу * — VjXн ,у н]ФУ * —

_ VHн (Vу Ф)У * — VHн (Vx Ф)У * — VjX,у]H-уд^у )ФУ* —

(VxVуФ)у — (VуVxФ)у — ^у^Г — VH1Д(x,у)ФУ — —(Ф о да,У)))

Дн (Xн, у н )%н — VXн VHн %н — VHн V* н %н — VjXн ,у н^Н —

— V*н(Vу%)Н — VHн(Vx%)Н - VjX,у]H +71Д(^,у)^Н —

— (Vx Vу%)Н — (Vу Vx%)Н — (V[X,У]Z)н — VнLй(x,у)%н — да, У)%)н.

*

Теперь определим координаты тензорного поля кривизны дН относительно того же адаптированного репера, обозначив их Д^в.

Рассмотрим тождество

Дн (шу * ,ву * )фу * —0.

Применительно к векторным полям адаптированного репера тождество будет иметь вид:

дн (до , д; )до—до^да — Д1гс;0к0д0+догоок дк—0.

Получим

Из тождества следует

'ігук ____п оіг;о _ п

Д0000 — и, Д000к ~ и.

Дн (шу * ,ву *)%н — 0

Дн (до, до )до — до^;ада — Д0ог;к до+д“окдк—0,

Аналогично из тождества

дог; о _ 0 догоо _ 0 дгооо и, дгооо и.

Дн (шу *, Ун )фу *

имеем

7>Н/ пг 7-\0\ 'ігоА п 'ігок -¡-'іо і 'ігоо р*о ^

д (До, д; )До _ доо; да _ доо;оДк + доо;оДо _ 0,

оігоо 7ігоо

доо;о _ 0, доо;о _ 0.

Таким же образом из тождества

Дн (X н ,ву * )ФУ *

мы получаем

Из тождества

имеем

дн (до, д; )до—доо;оада—доuuuдо+доогок до—0,

710;к ___ А 710;0 ______ А

догоо — и, догоо — и.

Дн(шу *, Ун)%н — 0

7>Н/ пг г)0\ глО 'огоА р^ 'огоо р^о , 'огоо р^о ^

д (До, д; )Ді _ діо; ДА _ діо;о дк + діо;к До _ 0,

'огок 'огоо

діо;о _ 0, діо;к _ 0.

Рассматривая тождество

Дн (X н ,ву *)%н — 0,

получим

Значит,

Дн (ДО, д;) дО — Д0г0,оАДА — ДОгОкк ДО + ДООМ — 0.

п00;к ____ 0 Д0000 _____ 0

дігоо — и, д'»пь — и.

ігоо

Из тождества

Дн (Xн ,Ун )фу — —(ф о (Д(^У)))

у *

0

0

имеем

RH(D0, D0)D0 = R™aDa = R00j0D0 + ROOjODk = — (dxl о (R($, dj)))V * = —R0ijD*.

Следовательно,

f 1000 __ rv f 1000 _ f l

R0ij0 — 0,R0ij0 — — R0ij.

На основании тождества

RH (X H ,Y H )Z H = (R(X,Y )Z )H

получаем

RH(DO, D0)D0 = R0i0OADA = R0i0OoOD0 + ROyM = (R(di, dj)di)H = ROijDO.

Таким образом,

f0000 f 0 f0000

RlijO = Rlij, Rlij0 = 0.

Рассмотрим частные случаи.

1. Линейные связности V и V на базе Mn совпадают. Тогда мы получаем:

0000 __ р0 0000 _ ^0j0 _ ^ yoOjO __ pj yoij0 ______ n yoij0 _ n /oi00 _ yoiOO _ ^

Gij0 = 1 ij, Gij0 = 0, Gi00 = 0, Gi00 = —Г i0, G000 = 0, G000 = 0, G0j0 = 0, G0j0 = 0.

TH (wV *, *) = 0, TH (wV *, YH) = 0,

TH (X H ,0V *) = 0,TH (X H ,Y H) = (T (X, Y ))H — 7XR(X,Y).

^fij0 _ A ^fij0 _ A mi00 _ AfiOO _____

T000 = 0, T000 = 0, T0j0 = 0, T0j0 = 0,

T0j0 ___ 0 TfOjO __ 0 Tf000 _ T0 TfOOO ____ _x Rm

Ti00 =0,Ti00 0, Tij0 = Tij ,Tij0 = xmR0ij .

RH (^V *, * )^V * = 0, RH (^V *, * )ZH = 0,

RH (^V *, y H )^V * = 0, RH (X H ,eV * )^V * =0,

RH (^V *, yh )ZH = 0, RH (X H ,^V * )ZH = 0,

RH(XH,YH)^V * = —(^ о (R(X,Y)))v *,RH(XH, YH)ZH = (R(X,Y)Z)h.

flij0 _ n flijO _ n f0ij0 _____ n f Oij0 _ n

R0000 = 0, R0000 = 0, Rl000 = °, Rl000 = 0,

f li00 f liOO f l0i0 f lOiO

R00j0 = 0, R00jk = 0, R0i00 = 0, R0i0k = 0,

f 0i00 _ a f OiOO _ A f00j0 ___ A f00j0 ___ A

Rl0j0 = 0, Rlijk = 0, Rli00 = 0, Rli0k = 0,

f1000 __ flOOO ____ t>1 f0000 _ n0 f0000 __

R0ij0 = 0, R0ij0 = —R0ij, Rlij0 = Rlij, Rlij0 = 0.

2. Случай, когда связности V и V различны и связность V используется для поднятия геометрических объектов с базы в его кокасательное расслоение, был рассмотрен выше.

3. Связности V и V различны, связность V используется для поднятия геометрических объектов с базы Mn в его кокасательное расслоение T*(M„). Этот случай аналогичен 2 случаю, но с учетом того, что связности V и V меняются местами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Yano K., Ishihara S. Tangent and Cotangent Bundles. New York, 1973.

2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 1. 345 с.