Инфинитезимальные преобразования аффинной связности касательного расслоения пространства нелинейной связности Текст научной статьи по специальности «Математика»

1 М1кез, 8.Е. 81ерапоу, 1.1. Тэудапок

Й. Микеш, С. Е. Степанов, И. И. Цыганок

Теормы разложения конформно килинговых форм на тотально омбилических подмногообразиях

Доказываются теоремы о разложении конформно киллинговой г-формы в ортогональную сумму киллинговой и замкнутой конформно киллинговой г-форм на вполне омбилических поверхностях «-мерного риманова многообразия (г = 1, ..п — 1).

УДК 514.76

Н. Д. Никитин, О. Г. Никитина

Пензенский государственный университет

Инфинитезимальные преобразования аффинной связности касательного расслоения пространства нелинейной связности

В работе показано, что полный лифт X инфинитезималь-ного преобразования X дифференцируемого многообразия М оставляет инвариантным аффинную связность касательного расслоения Т(М) пространства нелинейной связности тогда и только тогда, когда векторное поле X является инфинитези-мальным движением в пространстве нелинейной связности.

Ключевые слова: касательное расслоение, нелинейная связность, полный лифт векторного поля, производная Ли, инфинитезимальное аффинное движение.

Пусть М — п-мерное дифференцируемое многообразие, Т(М) — касательное расслоение, п: Т(М) ^ М — каноническая проекция, О = Я \ {0} группа Ли относительно операции умножения, действующая на касательном расслоении по закону: для любого а е О преобразование Яа : Т(М) ^ Т(М) отображает произвольный элемент г е Т(М) в Яа (г) = аг, где

г = (х,Ь ), аг = (х,аЬ ), Ь е Тх. Обозначим через Т'(М) подрасс-

лоение Т(М), состоящее из всех ненулевых векторов, касательных к М.

Определение. Дифференцируемое распределение Н, заданное на Т'(М) и удовлетворяющее для любого ге Т'(М) и а е G условиям [1 ]:

а) тг = Иг ® а, Ь) (Иг ) = Ик {г),

где Qz — касательное векторное пространство к слою Гр = п— (р), р = ж(г), называется нелинейной связностью V на многообразии М.

Пусть ((, X), г = 1, п, — локальная карта многообразия М. Нелинейная связность V в естественных координатах (хА), А = 1,2п окрестности л1(и) имеет компоненты ИН(х1,х2,..,хп,хп+1,..,х2п), г, Н = 1, п , однородные первой степени относительно слоевых координат хп+1,хп+2,...,х2п. Обозначим через Ьг алгебру Ли эффективной группы преобразований Ог, оставляющей инвариантной нелинейную связность V. Для каждого X е Ьг ЬхС V = 0, где ЬхС обозначение производной Ли относительно

полного лифта X С векторного поля X.

Условие инвариантности нелинейной связности V относительно производной Ли вдоль векторного поля X С , X е Ьг, подробно запишется в виде

а2.£Нхп+а-д £НИа + ИН д £ахп+т + £ад ИН = 0 (1)

аг~ а~ г г-а т~ ~ а г V '

(г,Н, т,а = 1, п).

дин

В выражении (1) ИНа —^+~, ^ — компоненты векторного поля Х в локальной карте (и, х'). 96

По нелинейной связности V на многообразии М построим аффинную связность Г(Г^с ) на касательном расслоении Т(М) по закону

_ ТгЙ уЙ _ уЙ _ уЙ _ уп+Й _ Гч

у' п+у n+i П+у n+i П+у n+i '

Гп+й _гп+h _ННЬ Гп+h_%п+а$ ННЬ

]п +1 п+у -'' ' а у .'' '

д д — $а _--Н1-('', 7,а,т _ 1,п).

а дха а дхп+т ^

Тензор кручения Т аффинной связности Г(Г/^СС) отличен от нуля.

Инфинитезимальное преобразование Х касательного расслоения Т(М) является инфинитезимальным аффинным движением в пространстве (Т(М), Г), если ЬхГ _ 0, где Ьх —

производная Ли вдоль векторного поля Х . Запишем подробно уравнения инфинитезимального движения

Х _ЛА (х1,-, X2п) -дз-

дх

касательного расслоения со связностью Г(ГВ,С):

д V длА гв , дп° . , дп° . , „ дг

(2)

->л

Ги | Г л | Г л | вс _ о

XдхС дхр вС дхв Рс дхс вР +1 дхР _

(л,в,с,Р _ 12п).

Для инфинитезимальных аффинных движений касательного расслоения Т(М) со связностью Г справедлива

Теорема. Полный лифт ХС векторного поля Хмногообразия Мявляется инфинитезимальным аффинным движением касательного расслоения Т'(М) со связностью Г тогда и только тогда, когда векторное поле Х оставляет инвариантным нелинейную связность V.

Доказательство. Пусть

дд ХС (х1,-,хп)— + хп+°д£'—— —

Ь ^ 'дх' дхп+'

д

полный лифт векторного поля Х = Е(х ,•••,хп)-—, заданного

на многообразии М, является инфинитезимальным аффинным движением в пространстве (Т(М), Г). Тогда компоненты векторного поля ХС удовлетворяют дифференциальным уравнениям (2). При А, В, С = 1, п из уравнений (2) получим, что компоненты векторного поля Х удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

д)г£Н - да £ НИ% + д} £а ИН, + д, £а иНа + £а д1Ик].а = 0 (3) (г, р, Н, а = 1, п )

Если умножим обе части каждого уравнения в (3) соответственно на х"+' и просуммируем по индексу г, то получим,

д

что компоненты векторного поля Х = Е (х1,-, хп) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (1). Инфини-тезимальное преобразование Х оставляет инвариантным нелинейную связность V.

д

Пусть теперь векторное поле Х = Е(х ,•••,хп)-— оставляет инвариантным нелинейную связность V, тогда компоненты поля Х удовлетворяют системе (1). Докажем, что ХС инфини-тезимальное аффинное движение в пространстве (Т(М), Г). Запишем подробно производную Ли ЬхСГВСС объекта аффинной связности Г при следующих значениях индексов А, В, С: а) А, В, С = 1п ; б) А = п + 1,2п, В, С = ; в) А, С = п + 1,2п ,

В = 1, п ; г) А, В = п + 1,2п, С = 1, п .

Имеем

а) Ь с ГН = д21к-д ЕНИа. + д.ЕаИк . +д.ГИН +

' Xе Р' а у - г а-г гЪ у -а

+ Ик д Еахп+т +Еад Ик •

у -г-а т~ ~ а у -г ?

Т рп+к _ З|3 рк п+т з2 рк п+т тт р

б) Ьхс 1 ]' _д ]'тЪ Х ~дртЬ Х Н у -' -

-д ёк5 Нрхп+7 +д2 ¿рхп+тНк . +д2 £Рхп+тНк +

р~ 7 у -' 3 т~ р-' у -р

+ д ёр5 Нк хп+7 + дёр5 Нк хп+7 +ёрд (5 Нк )хп+7 +

у р- у - р р у -

+ д т^рх"+т ^Нк, )-р;

в) ЬхсГп+к _д-да?Н7' + д¿7Нк.'+д'%7Нк.' +

+ Нк. д ё7хп+т + ¿7д7Нк,-

у -1-7 т~ ~ 7 у -1 ?

г) Ь с Г п++к . _ д2 ёк - д ёкН 7 . +д.ё7Нк . + д .ё7Нк +

' хс ! + п. !7-. . 7 1-7

хс у'+Щ у7 J -I 7- 17 ]-7

+ Нк. д ё7хп+т + ё7д7Нк...

! -7 т~ ~ 7 ] - .

д д — В равенствах Ь) 57 _—7- Н—— (с,т_ 1, п). Проведя

дх дх

преобразования в правых частях равенств а), Ь), с), с1), запишем их в виде

а) ЬхсГк _ (ЬхН)-.; б) ЬхсГГ _др(ЬхсHк-')хп+р-

- (ЬхсНр )Нк.г.тхп+р+ (ЬхСНк.г.т )Н^ ;

в) ьхс Гп;+к _ (ЬхсНк)-.; г) Ьхс Гп£ _ (ЬхН)-..

Так как по условию инфинитезимальное преобразование

д

Х _ёё(х1,-,хп)— оставляет инвариантным нелинейную

дх'

связность V, то ЬхсН>к _ 0. Из условия ЬхсНк _ 0 следует, что Ь^Н. _ 0, ЬхсНк..-т _ 0. Но тогда из пунктов а), б), в), г) получим, что

у -рк _ т рп+к _ т рп+к _ т рп+к

ЬХС Г у. _ Ьхс Г у. _ Ьхс Г упИ _ Ьхс Г упИ

При остальных значениях индексов Л, В, с производная Ли Ьхс Г^ _ 0 без условия того, что векторное поле Х оставляет

инвариантным нелинейную связность V. Таким образом, Ьхс Глс _ 0, векторное поле ХС является инфинитезимальным аффинным движением в пространстве (Т(М), Г). Теорема доказана.

Список литературы

1. Yano K., Isihara S. Tangent and Cotangent Bundles Differential Geometry. N.Y., 1973.

N. Nikitin, O. Nikitina

Infinitesimal affine transformation of the tangent bundle of space nonlinear connection

It is shown that a complete elevator Х С for infinitesimal transformation Х of differentiable manifold М leaves invariant affine connection of tangent bundle Т(М) of space with non-linear connection if and only if the vector field Х is the infinitesimal movement in space of non-linear connection.

УДК 514.75

К. В. Полякова

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Задание аффинной связности с помощью горизонтальных векторов

Найдены контравариантные уравнения аффинной связности и выражения скобок Ли.

Ключевые слова: линейная связность, горизонтальные векторы, ковариантные производные.

Продолжается изучение горизонтальных векторов, начатое в работах [5], [6].

1. Пфаффовы производные и скобки Ли. Структурные уравнения расслоения L(Xm) касательных линейных реперов на гладком многообразии Xm имеют вид