CC BY
6УДК 512.7
М. А. Заводчиков
О геометрии пространства модулей Мр3 (2;-1;2;0)
В настоящей статье рассматривается схема модулей Гизекера-Маруямы Мр3 (2;-1,2,0) стабильных когерентных пучков без кручения ранга 2 с классами Черна с1= -1, сп = 2 , с, = 0 на трехмерном проективном пространстве Р3 . Доказывается, что множество пучков уЦ из М лежит в неприводимой компоненте Mi.
Ключевые слова: компактификация, схема модулей, когерентный пучок ранга 2 без кручения, трехмерное проективное пространство.
М. А. Zavodchikov
г , ,. М3(2;-1;2;0)
About geometry ot space ot moduli ^
In this paper we consider the Giseker-Marayama moduli scheme Mp3 (2;-l,2,0) of stable coherent rank 2 torsion free sheaves
with Chern's classes q = -1, cn = 2 , c3 = 0 on 3-dimensional projective space P3 . We prove that set MA in M lies in the
irreducible component Mi.
Keywords: compactification, a scheme of moduli, a coherent torsion free rank 2 sheave, 3-dimensional projective space.
Рассматривается схема модулей Гизекера-Маруямы М = М...:, (2; —1; 2; 0) стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения на трехмерном проективном пространстве Р3. В диссертации автора доказывается, что схема М есть объединение множеств пучков Мр3 (-1,2) и А^ '• -> ML иЛ^ и.М4 и .М-. где
Мр3 (-1,2) — множество локально свободных пучков из М, а множества Л7!,, Л42, .М,, Л44 и Л45 определяются следующим образом:
7Ц = {[£] е М | \£vv / £ — kr, где х - некоторая точка е Р3}; Л4, = {[£] е М | \£vv I £ — kr © kv, хи у—различные точки е Р3}; Л43 = {[£] е М | \£vv / £ — От (1), где т - некоторая прямая е Р3}; Л44 = {[£] е М | \£vv / £ — Q, где пучок Q включается е тройку, 0 —» kr —>Q—>Om —» 0, в которой х - некоторая точка в Р3 ,ат- некоторая прямая е Р3};
7Ц = {[£] £ М | \£vv / £~Q, где Q - пучок из точной тройки : 0 —» Q, —> Q —> От (-1) —> 0, где QJ - артинов пучок длины 2, am- некоторая прямая в Р3}.
Автором найдены все неприводимые компоненты схемы модулей М . Эти компоненты суть многообразия Мр3(-1,2), \М.2, Л43, - замыкания множеств Мр3 (-1,2), и At, в схеме М.
В диссертации автора [3] доказывалось, что множество ЛЛА лежит в компоненте М\. Приведенное там доказательство было довольно сложным и громоздким. В настоящей статье дается более простое доказательство указанного факта.
Через £х будем обозначать пучок из множества Л4i, а через £4 — пучок из множества Л4,. Построим семейство, накрывающее множество пучков Л41. Рассмотрим рефлексивный пучок ^ . Нетрудно увидеть, что с, (£t *' *') = -1, с2 (£, ) = 2, с3 (£jw) = 4 . Тем самым, согласно [2] £/" включается в тройку:
© Заводчиков М. А., 2013
32
М. А. Заводчиков
где 1Л и /2 — скрещивающиеся прямые в Р3. Эта тройка глобализуется в семейство троек следующим образом.
Пусть G = G( 1,3) — грассмаииаи прямых пространства Р3. Рассмотрим произведение P3xGxG. Обозначим через Г график инциденции в Р3 х G. Пусть ^i;:P3xGxG^P3xG, р1Ъ : Р3 х G х G —> Р3 х G и р2Ъ :P3xGxG—> G х G - проекции, а := р~2 (Г) и Г2 := р^ (Г) . Пусть а, : G х G —» G х G - раздутие G х G вдоль диагонали А с G х G. Рассмотрим расслоенные произведения Г( = Г( xG<G GxG,/ = l,2, их объединение Г = Г, иГ2 как приведенную схему с естественной проекцией q:T —» G х G, и ихпересечениеТ> = Гl п Г2.
Так как V - дивизор Картье в Г\. то точна тройка: 0 —» Of (-V) —» Оу —> Оу —0.
Применяя функтор £х1 {*,О 3{—\)Ы О ) к этой тройке, получаем точную тройку О -пучков
Ч. 1г СгХСг (_7"Х(_7
0->Д->Д->А->0, где Д = Sxt (q., Ор3 (-1) IE1 Одхд), Л = £xt; (Of, 0р3 (-1) И OqJ , а Д = £хГ(Of (-Р).О, (-1) ШОд д). Легко проверить, что Д и Л - локально свободные Ог. г. -пучки
ранга 2, коммутирующие с заменой базы. Тем самым, пучок Л также локально свободен и коммутирует с заменой базы. Пусть Т = Proj(^4 ). Т = Рго|(Д ), /' = 1,2, и Г = Г хо о Т . По построению Tj и Т2 с Т .
Так как Л коммутирует с заменой базы, то согласно [3, Corollary 4.5] тройка (1) глобализуется в тройку на Р3 х Т
0 0рз(-1) Е От(1) F Jr,n*xT -Í- 0. (2)
По построению Т есть база семействаF = {Ft}feT пучков на Р3такого, что для/еТ \ (Т, иТ2) пучок !•] есть рефлексивный пучок из ранга 2 с классами Черна с1 = -1, с2 = 2 , с3 = 4, входящий в точную тройку (1), а для feTjUT, пучок !■] имеет особенность вдоль прямой 1(=Гп(Р3х{({) и dimSing(^|p3 ч)<0.
Пусть Z - образ SingF при изоморфизме Р3хТ-ТхР3 и t/ = TxP3\Z. Рассмотрим схему £ = Р3 хТх Р3 с проекциями рг12 : £ Р3 х Т,рги : £ ->Р3 х Р3, рг2Ъ : £ -> Тх Р3, диагональ А в Р3 х Р3, и пусть £ = Р3 х U , As = pr^ (A) n Е, Fs = pr*2W и q = pr23 |s: E U . По построению пучок M := q, 'H()ni{ \s'_, Од ) — локально свободный пучок ранга 2 на U . На X имеем сюръективную компози-
can ev
цию морфизмов е: q Я ® Fs = qq.Hom^, 0Д J ® Fs Hom{ Fs, Oa J ® Fs -» 0Дт .
Рассмотрим схему В = Proj(7V ), и пусть р: В —» U — структурный морфизм, р = id , х р: Р3 х В —> 2 и q = pr2 : Р3 х В В - проекции и Ав := р~1 (ЛЕ). Положим В, := /Г1 (Т, х Р3 r\U), В, := B¡ \ Bi П В2, / = 1,2 и пусть В := Bj U В2. На В имеем канонический морфизм подрасслоения т: Ов(—1) >—»р* N. С учетом равенства q°p = p°q имеем композицию морфизмов
q т ре
е : Ор3 -+qp*N®p*% = , гдеОДв = р'О^ .Так как Fs |д - локально
свободный пучок ранга 2, то s — эпиморфизм. Определим F из условия точности тройки:
О геометрии пространства модулей М 3 (2; -1; 2; 0)
33
По построению ограничение Е |р3 пучка Е на Р у Ь . где Ь е В — произвольная точка в В , есть пучок £ = Е |р3 ь из множества М1. Другими словами имеем модулярный морфизм <р: В —» АЛ /? I—> [ Е н \ . Рассмотрим множество пучков Л4, = {[£] е М, 10 -» кд -» £ I £ Ою —> 0. где т - некоторая прямая в Р3, а х£ти )}. Для каждого пучка \£\ е М'А точна тройка:
где Т '' / Т = От для некоторой прямой в Р3, а х е Р3 \ Бк^.?7). Тогда для 7 = 1,2 однозначно определена точка Л, е В, такая, что тройка (4) получается ограничением тройки (3) на Р3 х bj. Тем самым, (р( В ) - Л44. Так как Л/1, - плотное открытое множество в МА ,то отсюда следует, что А44 а М\.
Библиографический список
1. Заводчиков, М. А. Модули стабильных пучков ранга два с классами Черна сх = — 1, с2 = 2 , с3 = 0 на проективном пространтстве [Текст] : Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Михаил Александрович Заводчиков. - Ярославль, 2012. - 86 с.
2. Hartshorne, R. Stable reflexive sheaves. Math. Ann. 254, 1980, С. 121-176.
3. Lange, H. Universal families of extentions. Journal of algebra 83, 1983, С. 101-112.
Bibliograficheskij spisok
1. Zavodchikov, M. A. Moduli stabil'nyh puchkov ranga dva s klassami Cherna cx = -1, c2 = 2 , c} = 0 na proek-tivnom prostrantstve [Tekst] : Dis. ... kand. fiz.-mat. nauk: 01.01.06 / Mihail Aleksandrovich Zavodchikov. - Jaro-slavl', 2012. - 86 s.
2. Hartshorne, R. Stable reflexive sheaves. Math. Ann. 254, 1980, S. 121-176.
3. Lange, H. Universal families of extentions. Journal of algebra 83, 1983, S. 101-112.
34
Заводчиков М. А.
