CC BY
10УДК 512.7
А. Д. Уваров
Геометрия схемы модулей стабильных пучков ранга 2 с малыми классами Черна
на трехмерной квадрике
В этой статье изучается геометрия схемы модулей Гизекера-Маруямы полустабильных пучков ранга 2 с классами Черна q = -1 ,с2 = 2,с3 =0 на гладкой трехмерной проективной квадрике Q . Мы приводим геометрическое описание компонент этой схемы.
Ключевые слова: трехмерная квадрика, стабильный когерентный пучок, монада, схема модулей. А. D. Uvarov
Geometry of the scheme of moduli of stable rank 2 sheaves with small Chern's classes
on a three-dimensional quadric
In this article we study the geometry of the Gieseker-Maruyama moduli scheme of semistable sheaves of the rank 2 with Chern classes q = -1 ,c2 = 2,c3 = 0 on a smooth three-dimensional projective quadric. We give a geometric description of the components of this scheme.
Keywords: a three-dimensional quadric, a stable coherent sheaf, monad, a moduli scheme.
В настоящей статье дается геометрическое описание многообразия MQ (2; — 1,2,0) модулей полустабильных не локально свободных пучков ранга 2 с малыми классами Черна с, = -1, с2 =2,с3 =0 на гладкой трехмерной проективной квадрике Q над алгебраически замкнутым полем k характеристики 0.
В статье [1] автором было показано, что:
(i) Ме(2;-1,2,0) =Ме(-1,2) иМ', где MQ(-1,2) - замыкание в MQ(2;-1,2,0) многообразия Мд(-1,2) модулей расслоений ранга 2, аМ' - многообразие модулей не локально свободных пучков из Мд(2;-1,2,0);
(и) всякий пучок [£] еМд(-1,2) является ко гомологией монады
О^0е(-1)^к2 ->0, (1)
где - спинорное расслоение на () ;
(ш) всякий пучок е М' \ (М' п Мд (1,2)) является ко гомологией монады
О^Од(-2)\зОд(-\)^Оу —» 0 (2)
где у - точка на Q .
Пусть IV = Н" (О.З ) '. а = (}г(2, IV). и Ы —» IV ®Оа - тавтологическое расслоение на грассма-ниане С, V = Н° (Од (1))ч/, сНт V = 5 , 1,4, Г) и ^(2,4, V) - многообразие флагов.
Как известно, Р(Ш) отождествляется с базой семейства прямых на Q . Поэтому определено отображение нуль-корреляции £»: Р(Ж) —» Р^47) следующим образом: всякой прямой как точке в Р(Ж) ставится в соответствие плоскость Р2 с Р(Ж), точкам которой отвечают прямые в О , пересекающие I. Нуль-корреляция со определяет однозначно с точностью до пропорциональности сим-плектическую форму ¿3 е А:IV' и, тем самым, гиперплоскость Нт а ¡'(А2IV). пересекающую грас-сманиан С по квадрике изотропных прямых нуль-корреляции. Эта квадрика естественным образом отождествляется с () : каждой изотропной прямой нуль-корреляции со отвечает точка в О пересече-
© Уваров А. Д., 2013
ния прямых, соответствующих точкам данной изотропной прямой. Таким образом, имеем каноническое вложение О Ог{2, Ж), и нетрудно видеть, что ограничение Ы на О изоморфно 5 . Основным результатом статьи является следующая теорема:
0) М' = ОхР{Г) Я1,4,Г)ХР1Г.„ Г(2,4,П ;
(ii) имеет место изоморфизм приведенных схем: М0(-1,2) - P(,V U) ;
(m) Mq(-\,2)\Mq(-\,2)^(S-S) .
Доказательство:
Докажем утверждение (i) теоремы.
Морфизм а в монаде (2) задается двумерным подпространством А2 cz V как композиция морфиз-мов Ов (-2) V ® Ов (-1) (V ! A)® Oq (-1).
Р,
Морфизм ¡5 задается сюръекцией Д, : V / А_ —> k. Композиция сюръекций V \гъ / А -» к вместе с тройкой 0 —> А_ —» F —> F / —> 0 показывает, что ядро композиции V —tV/A, —» k есть четырехмерное пространство V4, содержащее A . Таким образом, пара (A, V ) является точкой многообразия флагов /'7(2.4. V). Теперь запишем условие того, что композиция /3°а в монаде (2) равна 0. Ограничение морфизма а на точку у е О есть композиция а : к —» V —» V / А_, и условие Р°а = 0 равносильно условию Р °а =0, из которого следует, что av(k)cF4. Другими словами, пару (k. VA ) можно рассматривать как точку многообразия флагов F( 1,4, F). Тем самым, данные (k cF4 zdV2), где >' е Q. можно рассматривать как точку из расслоенного произведения О хР{Г ) /'(1.4, V) хр{Г, , F{2,4, F).
Теперь докажем утверждение (ii) теоремы. Сначала покажем, что сюръективные морфизмы s параметризуются схемой G\Q . Пусть О — гиперплоское сечение грассманиана G, задаваемое симплек-
тической формой сд е A~WV. По посторению, спинорное расслоение 5 на О есть ограничение U на О . Рассмотрим морфизм подрасслоения £v : 0О —>• (k2 )v 0 S *. двойственный к морфизму s из монады ( 1 ). Морфизм 8v можно рассматривать как сечение 0; е H" ((k2 )v 0 5 * ) = ( к2 ) * <S> Wv . Рассмотрим универсальную тройку на грассманиане G : 0 —» U —> W ' ® Or ; —> Q —> 0, ее ограничение на О :
о~^sUw®oQ~wv ®oQUsw ->0,
и индуцированный эпиморфизм
f:(k2y <8>WV ®Oq -^(k2)v ®SV.
По построению
ev=rCe<S)Oe). (3)
Рассмотрим ограничение морфизма у на точку у е Q : ;/ : Hom(k2, W ) Hom(k2.<S' ).
Пусть : k" —» W — вложение. Покажем, что условие уv С' &') = 0 равносильно изотропности подпространства ¿Г1 (' s(k2 )) с: W относительно симплектической формы со. Действительно, пусть : г(к2 ) = û)(iv (Sv )), где iv (Sv ) - изотропное подпространство в W, a i : S —» W - тавтологическое вложение. Тогда yv С é'(k2 )) = г (: 0к2 )) = г (co(iv (Sv ))) = 0 . то есть :é'(k2 ) с кегГ . Тем самым, сд~1 (; г(к2 )) - двумерное изотропное подпространство в W , по построению равное iv (Sv ). Поэтому сюръективные морфизмы s в монаде (1) параметризуются схемой G\Q . Кроме того, для у е О
сокегг = к . (4)
28
А. Д. Уваров
Покажем, что монада (1) имеет вид:
где
q е Я (л (к <8> S)v (-1)),
(5)
(6)
и s = Svoq.
Запишем дисплей монады (1):
где /Си С — некоторые локально свободные пучки.
Нижнее расширение в диаграмме (7) задается ненулевым элементом ^ е Я1 (£), т. к.
Ext1 (ß, 00 (-1)) = Я1 (Нот(£, 00 (-1))) = Я1 (£). Из тройки 0 Оа (-1)
• 0, где 1Л и /2 —
некоторые скрещивающиеся прямые в О, следует, что А1 {£) = 1. Тем самым, пучок £ полностью определяет нижнюю тройку в диаграмме (7) однозначно с точностью до изоморфизма. Кроме того, из этой тройки получаем: А1 (/С) = А1 {£) = 1. Далее, средняя вертикальная тройка в (7) задается ненулевым элементом С, в группе Ext1 (/С, 00 (-1)) = Я1 ('Нот(К, Оа (-1))) = Я1 (/С) = к . Таким образом,
дисплей монады (1) однозначно определяется (с точностью до изоморфизма) расслоением £ .
Двойственная к (7) диаграмма, тензорно умноженная на 00 (—1), изоморфна исходному дисплею в
силу канонического кососимметрического изоморфизма <?—>£v(—1). В частности, изоморфизм
q = q(£) : k2 ®<S—»(к2 @ S) (—I). также является кососимметрическим, то есть верны равенство (6) и соотношение е = s{£) = S °q. Тем самым, доказано (5). Теперь покажем что
q = q{£) = y/{£)®(p, (8)
где (p'.S^-S^ (—1) — стандартный кососимметрический изоморфизм, a i//(£) е S2 (k2 )v .
Как известно [2. с. 191], S является стабильным расслоением, а, следовательно, простым: dim Hom(S, S) = 1. Пользуясь последним равенством и тем, что
Hom(S, S) = Н° 0~Lom(S, S)) = Н° ((£" <g> S)" (-1)) = Н° (S2 S" (-1)) © Н° (л2 S'" (-1)) = Н° (S2 S" (-1)) © Н° (pQ) получаем, что h"(S2Sv (—1)) = 0, поскольку /?" (Оа) = 1. Из равенства (6) следует, что
q еНа((S1 (к1 f ®л25ч ©л2(к2)" ®S\S' ))(-1)) =52(к2 Г ®//°(л2(5'' )(-1))Фл2(к2 )v ®H\S1(S" )(-1)) =52(к2 )v ®Н\Од). Тем самым, верна формула (8).
Далее, построим изоморфизм
/:Ме(-1,2)^Р(Я2И|0.е). (9)
В самом деле, Р(£2^|е д) = {(к2 с ,[у/\)\ (к2 с Г) е 0,ц/ е Я2 к2}. Зададим морфизм / формулой:
/Ш) = Се{£)-. к2 <//(£)). (10)
Обратный морфизм f~x сопоставляет паре (:й':к2 .\l|/\)<aY(S:lU\l. 0) класс [£] когомоло-
гического пучка монады (5), в которой с[ = цг ® ср, а 8 = ц 1 °с'. Теперь продолжим изоморфизм (9) до изоморфизма
Мд(- 1,2) = Р(52И). (11)
Пусть М:=Р(£2£/) и # : А/ —(г - структурный морфизм. Согласно (9) имеем изоморфизм / :М0(-1,2)—\ £_1(0). Релятивизируем монаду (1) на ОхМ :
(12)
где С и Л4 — некоторые обратимые пучки на М . По конструкции, Бирр(С) есть сечение проекции рг2 :0 х # 1 (О) —» & 1 (О). Заметим, что для любой точки t е # 1 (О) имеет место равенство 8ирр(С) глО / {1\ = {(у.1)}, где у - некоторая точка на квадрике О . Кроме того, из (4) следует, что С \„,]!, = к,,. (). Таким образом, Бирр(С) - гладкая схема, изоморфная # 1 (О). а С ~ обратимый пучок на Бирр(С). Тем самым, обозначая Ог := О х {?},? ёМ , простым локальным вычислением находим
Тот; (С, Од>) = 0,7 > 0. (13)
Теперь покажем, что когомологический пучок Е комплекса (12) является плоским над М пучок. Для этого докажем, что Тогх(Е,О0 ) = 0 для любого I & М .
Введем следующие обозначения: Л = Од (-1) = Ы. \Н = ОдММ,Т = сокег£ . Из (12)
вытекают точные последовательности: 0—>Е —».Т7—»7^ —>С—>0,0 —»£>—>Т —>0. Так как пучок Л \0 локально свободен на (),, г. морфизм £ |0 :Л\ 0—>В \0 инъективен на О, \ {(у./)), мы получаем, что морфизм ё | инъективен. Отсюда и из последней тройки с учетом локальной свободы пучка В на (¿ / М следует, что То/, (У~,00 ) = 0. Для краткости ниже воспользуемся следующим обозначением: Тог (•, Ог/ ) = Тог (•).
В силу локальной свободы пучков и Н верны следующие равенства
Тог, (Л) = Тог (В) = Тог, СН) = 0, г > 0. (14)
Разрежем последовательность 0 —>■ Е —>Т —>7{—>С —>0 на две коротких точных тройки: 0 —>■ Е —>Т —>Т> —>0 и 0—» Р —»"Н —>С—>0. Применим функтор То/;. (•) к последней тройке и выпишем кусок длинной точной последовательности Тог -ов: Тог3 (С) —> Тог2 (Т>) —> Тог2{71) . Отсюда с учетом равенства Тог3(С) = Тог2(Т1) = 0 (см. (13) и (14)) получим, что Тог2(Т>) = 0. Применим функтор То/: (■) к тройке 0—>Е—>Т—>Т> —>0 и запишем кусок длинной точной последовательности Тог -ов: Тог2{Т>) ^ Тогх{Щ ^ Тогх{Т). Из этой тройки в силу доказанных выше равенств Тог2 (V) = То?\ (Т) = 0 следует, что То?\ (Е) = 0 . Тем самым, Е - плоский пучок над М .
Рассмотрим модулярный морфизм Ф: М (2; -1,2,0), /1—> | Е |0 |.
По определению Ф I , совпадает с описанным ранее морфизмом / : Р(Л'2 Ы |„, 0) М0 (-1,2) .
Из описания морфизма / 1 следует, что он определен на всем ¥(82Ы), при этом монаца (5) видоизменяется при t<Eg~l(0) в комплекс (12), ограниченный на Qt. Соответственно, морфизм / , определенный 30 А. Д. Уваров
формулой (10), продолжается до морфизма Ф 1 :М0 (-1,2) Р(S2U), задаваемого той же формулой (10).
(Здесь М„(—1,2) понимается как приведенная схема.) Следовательно, Ф — замкнутое вложение и
Ф(Р(Л' U)) =MQ (-1,2). Отсюда вытекает утверждение (ii).
Утверждение (iii) следует из (9) и (11).
Замечание. Можно показать, что биекция в утверждении (i) является изоморфизмом гладких схем.
Библиографический список
1. Уваров, А. Д. Модули стабильных пучков ранга 2 с классами Черна сх = -1,с2 = 2, с3 =0 на трехмерной квадрике [Текст] / А. Д. Уваров // Моделирование и анализ информационных систем, т. 19. - 2012. - №2. -С. 19-40.
2. Ottaviani J., Szurek M. On moduli of stable 2-bundles with small chern classes on Q [Текст] : Annali di Matematica Pura ed Applicata. - 1994.- CLXVII - c.191-241.
Bibliograficheskij spisok
1. Uvarov, A. D. Moduli stabil'nyh puchkov ranga 2 s klassami Cherna cx =-1 ,c2 =2, c3 =0 na trehmernoj kvadrike [Tekst] / A. D. Uvarov // Modelirovanie i analiz informacionnyh sistem, t. 19. - 2012. - №2. - S. 19-40.
2. Ottaviani J., Szurek M. On moduli of stable 2-bundles with small chern classes on Q [Tekst] : Annali di Matematica Pura ed Applicata. - 1994.- CLXVII - c.191-241.
