О диаграммах разрушения тел с короткими макротрещинами. Охрупчивание материала при усталостном разрушении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

О диаграммах разрушения тел с короткими макротрещинами. Охрупчивание материала при усталостном разрушении

В.М. Корнев

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Рассматривается распространение трещины скачками в квазихрупких материалах при циклическом нагружении. Предлагается использовать для анализа указанного процесса модифицированные диаграммы квазихрупкого разрушения деформируемых тел при монотонном нагружении. За модель деформируемого тела выбрана модель упруго-идеальнопластического материала, имеющего предельное относительное удлинение. Модификация полученных диаграмм при циклическом приложении нагрузки связана с учетом накопления повреждений при неупругом деформировании материала зоны предразрушения. Материал зоны предразрушения охрупчивается из-за суммирования повреждений, которые имеют место при нелинейном деформировании. При учете охрупчивания материала зоны предразрушения используется уравнение типа уравнения Коффина. Получены аналитические выражения, связывающие скачкообразное продвижение вершины усталостной трещины с числом циклов. Проведен подробный анализ процессов продвижения вершин короткой макротрещины и макротрещины средней длины: скорости роста указанных трещин отличаются на порядки, т.к. изменяется зависимость скорости от параметров задачи. Полученные соотношения для средней скорости можно рассматривать как структурные формулы для построения кривых типа кривых Пэриса как для коротких макротрещин, так и для макротрещин средней длины.

Ключевые слова: хрупкое и квазихрупкое разрушение, необходимые и достаточные критерии разрушения, упругопластические материалы, накопление повреждений при охрупчивании, скачкообразный рост усталостных трещин

Fracture diagrams of solids with short cracks. Material embrittlement

in fatigue fracture

V.M. Kornev

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

Intermittent crack growth in quasi-brittle materials under cyclic loading is studied. This process is analyzed using modified diagrams of quasi-brittle fracture of deformed solids under monotonic loading. A model of perfectly plastic material with ultimate tensile strain is taken as the deformed solid model. The diagrams obtained under cyclic loading are modified by taking into account damage accumulation during inelastic deformation of material in the fracture process zone. The fracture process zone material embrittles due to damage accumulation under nonlinear deformation. Material embrittlement in this zone is taken into account using a Coffin-type equation. Analytical expressions are obtained which relate the intermittent propagation of a fatigue crack tip to the number of cycles. Crack tip propagation for a short and medium length macrocracks is studied in detail: the growth rates for these cracks differ by orders of magnitude because the dependence of rate on problem parameters varies. The derived relations for the average growth rate can be considered as structural formulas for constructing Paris-type curves for both short and medium length macrocracks.

Keywords: brittle and quasi-brittle fracture, necessary and sufficient fracture criteria, elastic-plastic materials, damage accumulation in embrittlement, intermittent fatigue crack growth

1. Введение

Ниже рассматривается неклассическая схема разрушения материала. В неклассической схеме разрушения материала [1], кроме двух классических состояний (сплошное и разрушенные состояния) материала, используется третье промежуточное состояние, описывающее предразрушение с учетом накопления повреж-

дений в материале в окрестности трещинопободных дефектов. Для описания неклассической схемы разрушения материала могут быть использованы многопараметрические критерии разрушения.

Все приведенные ниже рассуждения базируются на подходе Нейбера-Новожилова [2, 3] при построении диаграмм разрушения квазихрупких материалов [4-6],

© Корнев В.М., 2016

когда используются двухпараметрические критерии разрушения. Для конкретной реализации построения этих диаграмм разрушения выбрана модифицированная модель Леонова-Панасюка-Дагдейла [7, 8]. Особое внимание уделяется изучению поведения коротких макротрещин, поскольку основное время «работы» материала при усталости [9, 10] приходится на зарождение макротрещин и постепенное подрастание коротких макротрещин. Построенные диаграммы, описывающие разрушение коротких макротрещин, окажутся полезными [1114], когда эти диаграммы будут использованы при уточнении диаграмм типа Китагавы-Такахаши [15]. В работе [10] большое внимание уделено использованию разных типов диаграмм Китагавы-Такахаши. Хотя микроструктурное поведение важно при зарождении и росте коротких трещин, предлагаемое исследование концентрирует свое внимание на концепциях механики континуума и на квазилинейном поведении коротких трещин в квазихрупких материалах.

Целью данной работы является вывод соотношений для критических напряжений, при превышении которых в образцах с короткой макротрещиной имеет место подрастание этой макротрещины; отыскание подобласти на плоскости внешняя нагрузка - длина трещины, где имеет место накопление повреждений после однократного нагружения; описание процесса распространения коротких макротрещин при усталости, когда имеет место охрупчивание материала зоны предразру-шения.

В работе используются следующие обозначения: а — поперечный размер зоны предразрушения, 21 — длина модельной трещины-разреза, 210 — длина реальной внутренней трещины-разреза, г — диаметр зерна структурированного материала (эффективный диаметр структур разрушения), 2v = 2v(x, 0) — раскрытие модельной макротрещины, ^ = Sj — целочисленный параметр, j = 1, 2, 3, ..., j* — число скачков вершины реальной трещины,

j* — критическое число скачков, когда объект разделяется на части, С — постоянная Коффина, Е — модуль упругости, G — модуль сдвига,

К — коэффициент интенсивности напряжений, К1 = К1(1, А) — суммарные коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах модельных трещин, К 1с — критический коэффициент интенсивности напряжений материала,

К^ — коэффициент интенсивности напряжений, порождаемый напряжениями ст^,

К1А — коэффициент интенсивности напряжений, порождаемый постоянными напряжениями ст^ N = 1, 2, 3, ..., N * — число циклов нагружения,

N * — критическое число циклов нагружения, когда объект разделяется на части,

Nj — число циклов между j - 1 и j скачками вершины трещины,

Оху — прямоугольная система координат, ст — нормальные напряжения,

сту (х, 0) — нормальные напряжения на продолжении трещин,

ст^ — нормальные напряжения, заданные на бесконечности,

ст

- предел текучести материала,

ст , ст , ст — амплитуды пульсирующей циклической нагрузки, w — ширина образца,

А — длина зоны предразрушения,

8*

— критическое раскрытие макротрещины, е — удлинение материала при растяжении, е0 — максимальное упругое удлинение материала, е1 — максимальное удлинение материала, ц — коэффициент Пуассона, £ — малая положительная величина, Х+ — коэффициент (0 <х+ < 1),

0 и * — индексы критических величин в необходимом и достаточном критериях разрушения соответственно.

2. Диаграммы квазихрупкого разрушения при однократном нагружении

Рассмотрим неклассическую схему разрушения материала. Допустим, что в лабораторном эксперименте при испытании макрообразца получена ст-е-диаграмма квазихрупкого материала. Примем простейшую аппроксимацию реальной ст-е-диаграммы исследуемого материала, когда эта диаграмма аппроксимируется двухзвен-ной ломаной. При аппроксимации исходный материал подменяется упругим идеальнопластическим материалом, который имеет предельное (максимальное) удлинение. Параметры этой аппроксимации E, ст^ е0, е1, ц = Ее0). Аппроксимация ст-е-диаграммы на участке е0 < е < е1 может описывать как идеальную пластичность, так и микрорастрескивание исходного материала.

Пусть для материала с регулярной структурой г — диаметр зерна, точнее эффективный диаметр структур разрушения [6]. Подход Нейбера-Новожилова [2, 3] позволяет для сред со структурой использовать решения, имеющие сингулярную составляющую с интегрируемой особенностью.

Рассмотрим внутреннюю трещину нормального отрыва. Пусть эта плоская трещина нормального отрыва распространяются прямолинейно. Кроме длины реальной внутренней трещины-разреза 210 введем в рассмотрение длину модельной трещины-разреза. Длины модельных внутренних трещин составляют 21 = 210 + 2А,

причем каждая из зон предразрушения А расположена на продолжении реальной трещины. Задача о разрушении имеет два линейных масштаба: если диаметр зерна г определяется структурой материала, то второй линейный масштаб вырабатывается самой системой. Этим вторым линейным масштабом является длина зоны предразрушения А, которая изменяется в соответствии с тем, как меняются длина реальной трещины и интенсивность нагружения. Подчеркнем, что при однократном нагружении квазихрупких материалов критическая

Л *

длина зоны предразрушения А — вполне определенный параметр (21 * = 210 + 2А* — критическая длина внутренней макротрещины).

Так как в рассматриваемых задачах имеются два параметра длины 10 и А*, характеризующие трещино-подобные дефекты (в отличие от макропараметра 10 параметр А* — мезопараметр), то целесообразно изучить их взаимодействие:

А*/10 << 1 или А*/10 = о(1), (1)

А*Л> = 0(1). (2)

Соотношения (1) и (2) соответствуют малым и «обширным» зонам предразрушения (пластичности) по сравнению с длиной исходной трещины. Напомним, что соотношение (1) использовалось как при однократном нагружении, так и при циклическом нагружении квазихрупких материалов: в работах [4-6] построены диаграммы разрушения при однократном (монотонном) нагружении, в работах [11-14] построенные диаграммы для однократного разрушения были применены для описания процесса малоциклового разрушения при повторных нагружениях.

При построении диаграмм квазихрупкого разрушения используются достаточные критерии разрушения [4-6], когда рассматриваются длинные макротрещины и макротрещины средней длины. Достаточный критерий разрушения можно представить в виде двух соотношений для коротких макротрещин:

1 г

-_|ст у (х,0)ёх = (

(3)

2v(-А*, 0) = 8*. (4)

Здесь ау (х, 0) — нормальные напряжения на продолжении трещин; Оху — прямоугольная система координат, ориентированная относительно правых частей трещин, причем начало координат совпадает с вершиной модельной трещины в модифицированной модели Лео-нова-Панасюка-Дагдейла [7, 8], ось Ох направлена вдоль плоскости трещины, ось Оу направлена по нормали к плоскости трещины; 2у = 2у(х, 0) — раскрытие модельной макротрещины (х < 0). Обратим внимание на то, что предлагаемый критерий является двухпара-метрическим, причем соотношение (3) выполняется с учетом осреднения в вершине модельной трещины, а соотношение (4) справедливо в вершине реальной

короткой макротрещины. Таким образом, при формулировке достаточного критерия (3), (4) используются две характерные точки зоны предразрушения х = 0 и х = -А*. Равенство (3) достаточного критерия (3), (4) представляет типичный силовой критерий разрушения [16], равенство (4) — деформационный критерий [16]. Достаточный критерий разрушения (3), (4) одновременно учитывает силовой и деформационный критерии разрушения в характерных точках зоны предразруше-ния. Предлагаемый критерий (3), (4) описывает хрупкое (А = 0) и квазихрупкое (А* > 0) разрушение, когда выполнена оценка (1) для длинных трещин и трещин средней длины и оценка (2) для коротких трещин. По Новожилову [3] предлагаемый критерий (4), (5) является достаточным, он сочетает преимущества силового и деформационного критериев и частично нивелирует их недостатки. Выбранные характерные точки зоны пред-разрушения (пластичности) хорошо приспособлены к описанию как накопления повреждений в материале зоны предразрушения, так и скачкообразного продвижения вершин реальных трещин при усталости [11-14].

Поле нормальных напряжений а (х, 0) на продолжении модельных трещин х > 0 можно представить в виде суммы двух слагаемых [16]:

ау (х, 0) = К:/(2гсх)1/2 + , (5)

к = + Ка , К^а^Пй >0, КА< 0.

Первое и второе слагаемые в соотношении (6) — сингулярная и гладкая части решения соответственно. Первое равенство (3) двухпараметрического критерия контролирует достижение напряжениями на продолжении модельной трещины после осреднения предела текучести второе равенство (4) описывает затупление в вершине реальной короткой макротрещины. Подчеркнем, что изучаются те задачи квазихрупкого разрушения, в которых присутствует сингулярная составляющая поля нормальных напряжений ау (х,0), т.е. суммарные коэффициенты интенсивности напряжений К1 = К1 (I, А) > >0. В соотношении (5) используется знак приближенного равенства, т.к. для гладких частей решений используется грубая оценка. Авторы [17] подчеркивают необходимость принимать во внимание гладкие составляющие решений поля напряжений в окрестности вершин трещин, что особенно актуально при рассмотрении коротких макротрещин, для которых постоянная составляющая может вносить существенный вклад в поле напряжений в окрестности вершины трещины после осреднения.

Аналитические выражения для коэффициента интенсивности напряжений К1А заимствованы из справочников [18, 19]. Для внутренних трещин имеем

Кт = -аул/П7

12 Л. А 1--arcsml 1--

(6)

Раскрытие 2v(-x, 0) модельной трещины представи-мо в виде [16, с. 30-32], если опустить второстепенные слагаемые порядка О(-х):

2v (-х, 0) =

4 - 4ц

К

КI = К 1с

, + К 1А> 0,

(7)

G = Е/2(1+ ц). Для коротких макротрещин целесообразно исследовать плоское деформированное состояние.

При рассмотрении вопроса о получении оценок критического раскрытия трещины 8 , при котором разрушается ближайшая к центру трещины структура зоны предразрушения, обратим внимание на то, что зоны предразрушения (пластичности) могут быть симметричными относительно плоскости трещины в однородных материалах [4-6] и односторонними в биматериа-лах [20, 21]. Влияние односторонних зон пластичности на диаграммы квазихрупкого разрушения биматериалов

исследовано в работах [22-24]. Критическое раскрытие

8*

подсчитывается так:

8* = (е1 -е0)а, (8)

где а — поперечник зоны предразрушения, который отождествлен с поперечником зоны пластичности в вершине реальной макротрещины длиной 10. Оценки поперечников зон пластичности (предразрушения) имеют вид [16] при маломасштабной текучести в вершине реальной макротрещины:

К^0

а =

^0

4пст;

2 + (1 - 2 ц)2

2 + (1 - 2 ц)2

К-0 = ст

10 ,

соответственно для симметричных зон пластичности для однородных материалов и односторонних зон пластичности для биматериалов [22-24] (К1^0 — коэффициент интенсивности напряжений в вершине реальной макротрещины длиной 10).

Таким образом соотношения (5), (7), (8) представляют аналитические выражения для нормальных напряжений сту (х, 0), раскрытия модельной трещины 2v(-x, 0), критического раскрытия трещины 8* и суммарного коэффициента интенсивности напряжений К1. Используем эти выражения для оценки критического состояния короткой макротрещины в достаточном критерии (3), (4).

После преобразований получим систему уравнений для критических напряжений ст^/стY и критических длин зон предразрушения А*/1 * для коротких макротрещин при квазихрупком разрушении (плоское деформированное состояние):

ст.,

( Г~Г Л -

21 , = 1 + 1

А-+1

V г

к

2 п

( дЛ I*

(9)

Г

1 - — arcsin п

1 --

1 А* 2 Т"

(„* У

= А

(10)

А =

3 + 2(1 - 2ц)2 е1 -е0 32(1 -ц2)

Система уравнений (9), (10) записана для трещин с симметричной зоной пластичности. При рассмотрении разрушения биматериала в последнем уравнении (10) меняется коэффициент А. Эту систему можно использовать для описания разрушения при плоском напряженном состоянии, если принять ц = 0. В рамках предлагаемой модели система (9), (10) является точной. Допустим, что решение этой системы существует. Для хрупких тел (А = 0) критические напряжения ст^/стY пред-ставимы в очень простом виде:

ст^ = [1]-1.

(11)

(12)

Очевидны ограничения на критические параметры соотношений (9)-(11): ст^ < 1, ст!^ < 1,

а7 I * =А*/(10 + А*) < 1, причем равенства в соотношениях (12) реализуются при 10 = 0. Наиболее простой анализ системы (9), (10) выполнен в работах [4-6], когда

А*/1* << 1, агсБ1п(1 - А*/1*) 2 2 А*/1*. (13) Если использовать соотношения (13), то систему (9), (10) после преобразований можно записать в виде

- л \ ПТ*-1

ст„

1 +

1 -

3 + 2(1 - 2ц)2 е1 -е0 ^

[3 + 2(1 - 2ц )2 ]

8п(1 -ц2)

2

( „

1

I*

29(1 -ц2)2

е, -е,

0

У (

(14)

0

Выражения (14) имеют смысл, если 1 - „ . )2 -и > 0.

3 + 2(1 - 2ц)2 е1 - е0 8п(1 -ц2) е0

(15)

Выясним область применимости приближенной системы (14), когда выполнены ограничения (13). Похожее исследование было выполнено в работе [25]. Рассмотрим наименьшие длины макротрещин, которые может описывать предлагаемая приближенная система (14), опираясь на концепции механики континуума. Положим, что таковыми являются длины

21 */г = 0.1 ■ 0.2. (16)

Для таких длин критические напряжения ст^ почти совпадают с пределом текучести материала стY, точнее ст!/стY ~ 0.85, что соответствует А*/1* ~ 0.16 ■ 0.25,

А *

т.е. длина зоны предразрушения А может составлять до трети от полудлины исходной трещины /0. В работе [25] было показано, что соотношениями (13) можно пользоваться при А*//* ~ 0.25, поскольку такое приближение имеет приемлемую точность. Приближенное равенство (16) будем рассматривать как ограничение на наименьшие длины коротких макротрещин. Когда рассматриваются микротрещины 2/*/г < 0.1, надо переходить на другой структурный уровень. Напомним, что г — эффективный диаметр структур разрушения для макроуровня. Для эффективных диаметров г структур разрушения ранее в работе [6] были получены соотношения

г! =■

Г0 = —

К

К

1 -

3 + 2(1 - 2ц)2 е1 -£0 8п(1 -ц2) £ 0

(17)

где г! и г0 — эффективные диаметры структур разрушения соответственно для квазихрупких и хрупких материалов при плоском деформированном состоянии (при ц = 0 первую формулу (17) можно использовать для плоского напряженного состояния). Типичные величины эффективных диаметров структур макроразрушения квазихрупких материалов составляют для сталей десятки микрометров, а для алюминиевых сплавов, как правило, — десятые доли миллиметра [6]. Для микротрещин, длины которых подчиняются ограничению 2/*/ г < 0.1, целесообразно принимать во внимание микроструктуру материала.

Таким образом, на плоскости а!/ау, 2/*/ г для однократного (монотонного) нагружения коротких макротрещин построена кривая разрушения а!. Критические напряжения а! зависят от параметров квазихрупкого материала г, ау, (£1 -£0)/£0, ц. Эти параметры можно получить, используя результаты лабораторных испытаний по определению критического коэффициента интенсивности напряжений К 1с и классической а-£-диаграммы (точнее из аппроксимации последней).

Полученные диаграммы разрушения для однократного нагружения можно использовать для описания скачкообразного подрастания трещин при усталостном нагружении, принимая во внимание охрупчивание материала зоны предразрушения.

3. Охрупчивание материала зоны предразрушения при циклических нагрузках

Соотношения (14) для критических параметров при монотонном нагружении получены при использовании необходимого и достаточного критериев разрушения (3), (4). Полученные критические параметры а!/ау,

0 / А * /7*

а^/ау, А // позволяют описать на плоскостях а!/ау, 2/0/г и а!/ау,2/*/г как критические, так и

предкритические состояния системы при наличии трещины. Очевидно, что а! /ау > а! /ау, причем равенство имеет место только, когда /0 = 0. Обратим внимание на то, что в данном исследовании не рассматривается интервал 0 < 2/*/г < 0.1, т.е. не изучаются короткие макротрещины и микротрещины средней длины [9, рис.3.1]. Совместим плоскость а!/ау, 2/0/г с плоскостью а! /ау, 2/*/г, получим диаграмму квазихрупкого разрушения на совмещенной плоскости. Первый квадрант этой плоскости разбивается критическими кривыми а! /ау, а! /ау на три подобласти в зависимости от интенсивности монотонного нагружения

а!^ 0 /

1) при а! /ау <а!1 ау разрушение не происходит;

2) при а! /ау < а^ау < а! /ау материал зоны предразрушения повреждается при немонотонных на-гружениях;

3) при а! /ау > а! /ау имеет место разрушение.

При немонотонном нагружении имеем два порога

усталости: нижний а!/ау и верхний а!/ау. Причем нижний порог усталости а!/а у не меняется при повторных нагружениях, а верхний порог усталости а! / а у существенно зависит от параметра (£1 -£0)/£0. Последний параметр может меняться при охрупчивании материала зоны предразрушения. Таким образом, предлагаемая модель описывает поведение тела с трещиной во второй подобласти с границами, определяемыми двумя порогами усталости, т.е. а!/ау < а!/ау < а! /ау.

Расположенная между кривыми а!/ау, а!/ау подобласть соответствует режиму усталостного нагружения. Ширина этой подобласти зависит от параметра (£1 - £0 )/£0, который уменьшается при охрупчивании материала зоны предразрушения. Диаграммы квазихрупкого разрушения физически коротких макротрещин в интервале 0.1 < 2/*/г < 10 представлены на рис. 1, 2 для набора параметров (£1 - £0)/£0 (левее интервала 0.1 < 2/ /г < 10 расположена область коротких макротрещин и микротрещин средней длины). Кривые 1 на рис. 1, 2 построены по соотношению (11) для

Рис. 1. Диаграммы квазихрупкого разрушения

Рис. 2. Подобласть диаграмм квазихрупкого разрушения

критических напряжений ст!/стY необходимого критерия разрушения (3) при е1 =е0. Кривые 2-5 на рис. 1, 2 построены по первому соотношению (14) для критических напряжений ст! /стY достаточного критерия разрушения (3), (4) при (е1 -е 0)/е 0 = 0.5, 1.0, 2.0, 3.0 соответственно (ц = 0.33). Диаграммы квазихрупкого разрушения — пары кривых 1-2, 1-3, 1-4, 1-5 для конкретного значения параметра (е1 -е0)/е0 изучаемого материала.

На полученной диаграмме квазихрупкого разрушения физически коротких макротрещин отмечена характерная точка А с координатами (1, ст+/сту) (рис. 2). Эта точка соответствует началу возможного движения вершины трещины при циклическом пульсирующем на-гружении. На рис. 3 изображено такое нагружение, когда ст+/сту, ст+-/сту, ст+--/стY — переменные амплитуды циклической нагрузки ст^сту. Стрелка на рис. 2 указывает на возможное продвижение вершины трещины скачками после некоторого числа циклов N = 1, 2, 3, ..., если

ст!/сту < ст!/сту < ст!-/сту < ст!--/сту < ст!/сту (N * — критическое число циклов нагружения, когда объект разделяется на части). Необходимо определить номера циклов, при которых имеет место скачкообразное продвижение вершины трещины, и критическое число циклов N *.

Величина g^/gy =g!/gy является нижним пороговым значением при циклическом приложении нагрузки. В подобласти, расположенной ниже кривой 1 на рис. 1, никакие изменения не происходят в материале зоны предразрушения в рамках предлагаемой модели, т.к. длина этой зоны нулевая А = 0. Другая величина g1/gy = g1/gy является верхним пороговым значением при циклическом приложении нагрузки. В подобласти, расположенной выше кривой g^/gy, образец разделяется на части, т.к. длина зоны предразрушения достигает критической величины А = А*. Простое выражение (14) для семейства кривых g^/gy = = g! [^ - 80)/8о ]/gy позволяет учитывать поврежден-ность материала зоны предразрушения, принимая во внимание накопление повреждений в материале зоны предразрушения при неупругом деформировании. Предлагается вместо диаграммы Китагавы-Такахаши [15] использовать при анализе подрастания физически коротких макротрещин построенные диаграммы квазихрупкого разрушения. Подробное обсуждение тех или иных модификаций диаграммы Китагавы-Такахаши проведено в работе [26]. В отличие от модели Смита [27], в которой предложено упрощение диаграммы Китагавы-Такахаши [15], пойдем по пути усложнения последней диаграммы, используя механику трещин применительно к квазихрупкому разрушению.

В рассматриваемом диапазоне 0.1 < 21 */r < 100 изменения длин коротких макротрещин критические коэффициенты интенсивности напряжений квазихрупких K *С и хрупких K° материалов не являются постоянными величинами в рамках предлагаемой модели, т.к. зависят от длин модельной или исходных трещин:

K*c = GlVnT Ф const, K0 = Gi^/n/0 Ф const, (18)

к:

g Yvr

1+

1

3 + 2(1 -2ц)2 e1 -e0Л

8п(1 -ц 2) 8 0

K

_= Уча

y4T 1+V2/JT

стул]Т 1 + у2/0/Г На рис. 4 приведены результаты расчетов по формулам (18): кривая 1 построена для соотношения КС(ст у%/Г )-1, кривые 2-5 — для соотношения К*С(сту4Г)-1 при (е1 -е0) е-1 = 0.5, 1.0, 2.0, 3.0 соответственно, ц = 0.33. Предельные равенства следуют из выражений (18) для критических коэффициентов

интенсивности напряжений:

if*

lim _Kic :

l */rgyV r

K0 K Ic

gy \fr

lim

У Г ^

3 + 2(1 - 2ц)2 e1 -e, Л 8п(1 -ц2) 80

Рис. 3. Циклическая пульсирующая нагрузка с переменной амплитудой

Проанализировав рис. 4, можно утверждать, что критические коэффициенты интенсивности напряже-

Рис. 4. Критические коэффициенты интенсивности напряжений квазихрупких К* и хрупких КС материалов

ний квазихрупких К*С и хрупких К1с материалов можно считать постоянными величинами для достаточно длинных трещин при 2//г > 1000 для конкретных параметров (£1 - £0 )/£0 .

Критические коэффициенты интенсивности напряжений К * и КС — пороговые их значения для квазихрупких и хрупких материалов. В общем случае угадать пороговые значения этих коэффициентов интенсивности напряжений трудно, т.к. критические К*с и КС коротких макротрещин — достаточно сложные функции (18). Соотношения (11), (14), (18) можно рассматривать как 19-й вариант пороговых зависимостей к тем 18 вариантам аналогичных зависимостей, которые подробно проанализированы в работе [26]. Существенное отличие предлагаемого варианта сводится к следующему: предлагаются два пороговых значения, записанные в терминах трещин для критический напряжений и для критических коэффициентов интенсивности напряжений коротких макротрещин. Большая часть обсуждаемых моделей в работе [26] относится к эмпирическим закономерностям. Надо согласиться с мнением авторов [28, с. 991], что усталостные повреждения должны быть выражены в терминах трещин. Наиболее подходят для такого анализа предлагаемые соотношения (11), (14), полученные для описания деформирования и разрушения семейства квазихрупких материалов при охрупчивании.

При построении критических кривых диаграмм разрушения квазихрупких материалов используется терминология трещин. Основными параметрами этих диаграмм являются три параметра упруго-идеальнопласти-ческого материала ау, (£1 -£0)/£0, г, когда при нелинейном деформировании этот материал имеет предельное относительное удлинение £1. После соответствующей обработки данные, полученные в двух лабораторных экспериментах (классическая диаграмма напряжение-деформация и критический коэффициент интенсивности напряжений материала), позволяют определить упомянутые параметры и построить эту диаграмму разрушения для конкретного материала.

Переходим к изучению процесса скачкообразного подрастания трещин при циклическом нагружении, используя диаграмму квазихрупкого разрушения. На рис. 5 изображена диаграмма квазихрупкого разрушения в виде двух критических кривых и ломаная АВ от старта до разделения образца на части. Рассматривается исходная трещина длиной 2/0, интенсивность пульсирующего нагружения с переменной амплитудой подобрана так, что исходная точка (/0, а! /ау) и вся ломаная от А до В попадают во вторую подобласть диаграммы квазихрупкого разрушения, т.е.

а!/ау < а+/ау < а+-/ау < а+--/ау <а!Дгу, причем точки А и В — начало и завершение движения вершины трещины так, как на рис. 3, 5. Только в точке В материал зоны предразрушения переходит в критическое состояние. Окончание процесса скачкообразного продвижения трещины помечено звездочкой.

Рассмотрим материал зоны предразрушения. Для этого материала, находящегося в неупругой области деформирования в условиях маломасштабной текучести, см. соотношения (7) и (8), надо учесть разгрузку и повторные нагружения. Условно возникающие взаимосвязанные задачи усталостного разрушения можно разделить на внешнюю и внутреннюю задачи. Проблема закрытия трещин по своей природе — внешняя задача, т.к. она связана с общими деформациями образца и зависит от приложенных нагрузок, геометрии образца и конфигурации трещины [29]. Преобразования в материале зоны предразрушения—внутренняя задача. Задача о закрытии трещин в условиях полномасштабной текучести [30-34] — комплексная достаточно сложная задача. В этой задаче надо учесть влияние пластического следа на процесс закрытия трещин при усталостном режиме нагружения [30] с заданным коэффициентом асимметрии цикла. В работе [34] предложена эмпирическая модель закрытия трещин в условиях полномасштабной текучести, в модели описано расклини-

Рис. 5. Область скачкообразного продвижения вершины трещины при пульсирующем нагружении с переменной амплитудой, точки А и В — начало и завершение движения вершины трещины

вание трещин пластическим телом. Наложение берегов трещин [34] имеет место только в малой окрестности вершины реальной трещины. В нашем случае, когда рассматривается маломасштабная текучесть при пульсирующем приложении нагрузки, пренебрежем эффектами, связанными с закрытием трещин даже для коротких макротрещин. Ограничимся учетом процесса охрупчивания в зоне предразрушения, т.е. рассматривается только внутренняя задача. Высказанная гипотеза соответствует гипотезе о разгрузке, когда при разгрузке исходный упругопластический материал представляется жесткопластическим материалом [14]. После разгрузки материал зоны предразрушения возвращается в исходное состояние, но с новым (уменьшенным) предельным относительным удлинением, далее при очередном цикле нагружения все повторяется. Таким образом, расходуется запас пластичности материала на каждом цикле нагружения.

Длина трещины меняется при скачкообразном продвижении ее вершины. Введем в рассмотрение группы циклов Nj между- 1 искачками вершины трещины (= 1, 2, 3, ..., j — число скачков вершины реальной трещины, где j — критическое число скачков, при котором объект разделяется на части). Критическое число циклов N*, при котором объект разделяется на части, подсчитывается по формуле

N *= ^ N. +1, (19)

j =1

N. > 2, ] = 1, 2, 3, ..., .* -1, М.,= 1.

J

Изменения в подобласти диаграммы квазихрупкого разрушения с учетом накопления повреждений описываются неравенствами для основного режима нагружения а'

/а у

5=sj=Nj,

] = 1, 2, 3, ..., /, а!<а!(5>, а0 а+ а*(5)

1 <^ = 3 <N. -1,

аУ аУ аУ ■' ■'

(20)

(21)

j = 1, 2, 3, ..., j -1,

а00 < а00(5) <... < а00(2) <а0(1)

: а0.

Здесь 5 = з. — целочисленный параметр, пробегающий все номера циклов в каждой группе циклов N.. Только при первом цикле нагружения в каждой группе циклов образец с трещиной рассматривается как однородное тело, поскольку вершина реальной трещины упирается в материал с исходными характеристиками, т.е. в зоне предразрушения материал имеет предельное относительное удлинение 81 исходного материала. Для любого последующего цикла из группы циклов образец с трещиной рассматривается как «композит», т.к. после разгрузки в части образца, где материал ««работает» в упру-

гой области, ничего не меняется, а в зоне предразру-шения предельное относительное удлинение материала после охрупчивания уменьшается. По сути дела, критические напряжения а0(33) /аУ в соотношениях

(20), (21) при каждом завершенном цикле в группе циклов уменьшаются из-за охрупчивания материала зоны предразрушения. Таким образом, описывается подвижный порог усталости с учетом накопления повреждений в зоне предразрушения (все описание выражено в терминах трещин). Когда материал в вершине реальной трещины исчерпает этот запас пластичности, имеет место скачкообразное продвижение вершины реальной трещины в соответствии с неравенством (20).

Соотношения, аналогичные соотношениям (20) и

(21), справедливы и для щадящих режимов нагружения а0 / а у, а0 / ау.

На рис. 6 изображены кривые 1-6 критического деформирования исходного материала и рассматриваемого «композита» при охрупчивании материала зоны предразрушения. Кривые 1-3 — базовые кривые, построенные для критических напряжений а0/ау, а0/ау и критических длин трещин 21 */г по соотношениям (11) и (14) (для кривой 1 при расчетах выбрано (в1 -80)/8о = 2.5). Уровень усталостного нагружения определяется амплитудой а0/ау. Кривые 4- 6 — кривые, построенные для критических напряжений а0(з ) /аУ с учетом охрупчивания материала в зоне пред-разрушения, причем охрупчивание материала увеличивается при переходе от кривой 1 к кривым 6, 5, 4.

При циклическом нагружении так называемая зона процесса [9, 29] связана только с зоной предразрушения и не затрагивает интервал осреднения, расположенный перед вершиной модельной трещины.

Выделим из зоны предразрушения точку, в которой материал имеет наибольшее относительное удлинение 8+. Эта точка расположена в вершине реальной трещины, когда изучается процесс накопления повреждений и разрушения между j - 1 и j скачками вершины трещины (закрытие трещин не рассматривается при пульсирующем приложении нагрузки).

о у

а^/а^ аоо/ау

0.4-

а+/ау

0.3

0.2

3

.0

8.2

8.4

21/г

Рис. 6. Критические длины трещин и критические напряжения с учетом охрупчивания материала зоны предразрушения

Рис. 7. Соответствие точек а-£-диаграммы и точек зон пред-разрушения

Рис. 8. Скачкообразное продвижение вершины реальной трещины (Nj — целые числа для j = 1, 2, 3, ..., j *)

На рис. 7 условно изображена модельная трещина. Точкам двух зон предразрушения, расположенным на оси трещины, поставлены в соответствие точки на а-£-диаграмме материала зоны предразрушения. Для левой стороны модельной трещины соответствие точек зоны предразрушения и точек а-£-диаграммы указывают тонкие сплошные линии, а для правой стороны модельной трещины это соответствие указывают тонкие штриховые линии (А+ — длина зоны предразрушения, когда заданы амплитуда нагрузки а+/ау и длина исходной трещины 2/+-1).

Определим реальную длину трещины 2/+* после у-го скачка вершины трещины:

2/+Vг = 21%/ г + 2Х+_,А+-1/г,

у = 1, 2, ..., / -1, /0 = /0,

У (22)

2/+ 7 г = 2/0/ г + 2£х+-1 А+ч/ г,

1=1

у = 1, 2, ..., / -1,

где %+ А+ — длина скачка вершины трещины; %+ =

+ +

= Ху (а ,/j-1) — коэффициент, связанный с формой раскрытия трещины (7) в условиях квазихрупкого разрушения (маломасштабная текучесть). Как правило, этот положительный коэффициент не превосходит единицу, т.е. 0 <%+ <1, когда рассматривается квазистатическое продвижение вершины трещины. Условия разрушения образца при у-скачке вершины трещины приведены в виде неравенства (20).

Соотношения (19)-(22) — основные соотношения, описывающие скачкообразное продвижение вершины трещины:

2/+*/г = 2/Г (Ю/г, (23)

N = 1,..., N1, N1 +1,..., N2, N2 + 1,..., NJ,

NJ +1,..., NJ*-1, Nj = 1, J = 1,2,...,/ ,

N = ^ Nj, N * = ^ Nj +1.

j=l j=l

В соотношении (23) использованы два разных представ-

ления функциональной зависимости длины трещины 2/+* (N) от числа циклов Ж

На рис. 8 изображено продвижение вершин трещин (23) для трех последовательных скачков у - 1, у, у + 1. Сплошными линиями изображены длины реальных трещин между указанными скачками, пунктирными линиями помечены скачки, штрихпунктирная линия — возможная аппроксимация процесса гладкой функцией, см. п. 5. Устанавливается зависимость N. между у - 1 и у скачками вершины трещины (у = 1, 2, 3, ..., j ) от параметров материала зоны предразрушения, придерживаясь терминологии трещин и принимая во внимание процесс охрупчивания. Из соотношений, аналогичных соотношениям (14), зависимости между параметрами а! /ау, £+, А+, 2/+*1 имеют вид

а

а

1+

1-

3 + 2(1 - 2ц)2 £+-1 -£0

у = 1, 2,

8п(1 -ц2)

1* / + = /

У , /0 — /0,

2/ +-1

-1

А у-1 = [3 + 2(1 - 2ц )2]2 г 29(1 -ц2)

2\2

£+-1 -£

2

Л2 2/

(24)

(25)

у = 1, 2, ..., у , /0 = /0• В отличие от соотношения (22) в соотношениях (24), (25) принято для длин модельных трещин

Уг = 2/УУг + 2А+_1/г, у = 1, 2, ..., У** /0+= /0,

где 2/+ — длина модельной трещины; 2/+* — длина реальной трещины после (у - 1)-го скачка вершины трещины из соотношения (22). Таким образом, если известны интенсивность циклического нагружения а! /ау и длина реальной трещины 2/+-, то из соотношений (24), (25) легко отыскать длину зоны предразрушения А+ч и параметр максимального пластического относительного удлинения материала (£+-1 -£0)/£0 этой зоны. При других интенсивностях нагружения а!- /ау < а!-- /ау справедливы соотношения, аналогичные соотношениям (24), (25).

Охрупчивание материала зоны предразрушения связано с нелинейным деформированием материала. Исходный материал зоны предразрушения преобразуется при охрупчивании. Частично энергия, затраченная на деформирование, расходуется на пластическое деформирование материала зоны предразрушения. После снятия нагрузки в каждом цикле нагружения уменьшается запас пластического деформирования материала зоны предразрушения. Неупругие удлинения провоцируют накопление повреждений материала зоны предразрушения. В работах [35, 36] экспериментально установлена зависимость между неупругой деформацией материала в цикле и числом циклов.

Число циклов N. междуj - 1 и j скачками вершины трещины при уровне нагружения а0/ау подсчиты-вается так

nj =

81/8о -1 8м/80 -1

V с

,j = 1, 2, ..., / -1,

(26)

8/-1 8о

8п(1 - -ц2)

3 + 2(1- - 2ц)2

1 +

1 -ЯУ

121+-1

Здесь 0.2 < С < 1 — постоянные Коффина, численные значения которых зависят от свойств материала [36, с. 76-77]; 8+-1 — максимальное относительное удлинение материала зоны предразрушения из соотношения (24). Очевидно, что соотношение (26) имеет смысл, если 0 < 80 -1 <8/80 -1, т.е. максимальная пластическая деформация положительна и не превосходит допустимую пластическую деформацию при монотонном нагружении исходного материала.

В предлагаемой модели под накоплением повреждений понимаются преобразования в исходном материале зоны предразрушения. Накопление повреждений связано с расходованием запаса пластичности исходного материала в соответствии с уравнением Коффина (26), в котором используется максимальное относительное удлинение материала зоны предразрушения 8++-1. Усталость материала зоны предразрушения связана с охруп-чиванием материала в этой зоне. Имеет место скачкообразное продвижение вершин трещин, когда выполнено неравенство (20) для критического напряжения ао /ау в последнем цикле для каждой группы циклов з = = N.. Критические напряжения а0(з)/ау — второй подвижный порог усталости, который учитывает накопление повреждений в материале зоны предраз-рушения (все описание выполнено в терминах трещин).

Если в материале имеет место линейное суммирование повреждений, то постоянная Коффина равна единице, С = 1. При нелинейном суммировании повреждений справедливо неравенство С < 1. Числитель уравнения Коффина—предельное безразмерное пластическое удлинение материала, знаменатель — максимальное

безразмерное пластическое удлинение материала зоны предразрушения при заданной интенсивности нагру-жения а+/ау. Усталостные повреждения в уравнении Коффина (26) и длины скачков вершин трещин Х+^А*^/г в (22) выражены в терминах трещин, т.к. использованы соотношения (24) и (25). Когда отсутствует продвижение вершины трещины скачком, материал зоны предразрушения после каждой разгрузки охрупчивается. Исходный образец, изготовленный из однородного материала, превращается в «композиционный», материал которого в зоне предразрушения меняется из-за охрупчивания.

Если непосредственно использовать при вычислениях уравнение Коффина в виде соотношения (26), то число циклов N. между j - 1 и j скачками — нецелое число. Приведем более корректное представление этого уравнения применительно к скачкообразному продвижению вершин трещин:

nj =(

81/ 80 -1

1 с\

80 -1

, j = 1, 2, ..., / -1. (26')

В уравнении (26') использовано обозначение () для оператора, преобразующего нецелое число в ближайшее большее целое число. Таким образом, соотношение (26') полностью согласуется с рис. 6 и 8. В последующих разделах при исследовании осредненных процессов продвижения вершин трещин будет использоваться упрощенное уравнение Коффина в виде (26).

В критические соотношения (11), (14)

а0 = а0(2/р/г) а:=ар[(21 */г), (81 -8р)/80]

ау ау ау ау

А* = А*[ар/ау,(81 -8р)/80]

Г Г

входят постоянные материала ау, (81 - 80)/80, г и критические длины трещин 210/г, 21*/г. Эти параметры определяют поведение системы. Постоянные материала — характеристики упруго-идеальнопластического материала, имеющего регулярную структуру и предельное относительное удлинение. Подберем постоянные ау, (81 -80)/80, г для квазихрупких материалов по двум лабораторным экспериментам, что позволит сопоставить полученные теоретические построения и лабораторные эксперименты по усталости.

4. Подбор постоянных модели по результатам лабораторных экспериментов

В работах [37-39] были исследованы скорости роста коротких усталостных трещин. При проведении лабораторных экспериментов использовались образцы, изготовленные из литейных алюминиевых сплавов W319-Т7 и А356-Т6, причем образцы имели разную микроструктуру и могли иметь некоторые микроповреждения

8

Материал К МПа -л/м а у, МПа е0, % е1, % (е1 -е0)/е 0 гё, мм

W319-T7, тонкая структура 2.7 202 0.29 6.19 20.30 -

W319-T7, грубая структура 4.0 154 0.22 0.82 3.72 0.31

А356 16.7 231 0.33 2.00 5.06 2.44

18.0 231 0.33 2.00 5.06 2.83

Литейные алюминиевые сплавы

Материал

W319-T7, тонкая структура

W319-T7, грубая структура

А356

КЛс, МПа -л/м

2.7

4.0

16.7

18.0

202

154

231

231

еп, %

0.29

0.22

0.33

0.33

е1? %

6.19

0.82

2.00

2.00

(е1 -еоУе с

20.30

3.72

5.06

5.06

Таблица 1

гё, мм

0.31

2.44

2.83

в виде микровырезов. Приведем экспериментальные данные по а-е-диаграммам материалов и критическим коэффициентам интенсивности напряжений К\с сплавов W319-T7 и А356-Т6.

Данные по критическому коэффициенту интенсивности напряжений К 1с для сплава А356 заимствованы из работы [40]. При вычислениях в табл. 1 использовались модуль упругости Е = 70 ГПа и коэффициент Пуассона ц = 0.33. Две последние колонки содержат постоянные моделей, полученные после соответствующих вычислений. В последней колонке для тонкой структуры литейного сплава W319-T7 отсутствует постоянная г&, т.к. величина (е1 -е0)/е0 = 20.3 не удовлетворяет тем ограничениям (15), при которых справедливы соотношения (14) для критических параметров квазихрупких материалов.

Если известны интенсивность а^/аY циклического нагружения при пульсирующем приложении нагрузки и длина реальной трещины 2/+—, то из соотношений (24), (25) можно определить параметр максимального пластического относительного удлинения материала зоны предразрушения (е+ч -£0)/е0 и длину самой зоны предразрушения Д+

На рис. 9 и 10 представлены графики, построенные по соотношениям (24) и (25), для параметров

(е+-1 -е0)/е 0 = [е+-1(2/0/ г)-е 0]/е 2 Д+ г = 2Д+ -1 (2/0/ г )/г,

0,

Рис. 9. Максимальное безразмерное пластическое удлинение материала е+ч /е0 -1 зоны предразрушения при разной интенсивности нагружения а*/а у = 0.5, 0.1 (для кривых 1 и 2 используются соответственно верхняя и нижняя горизонтальные шкалы)

когда функции е+ч, Д+ч — функции исходной длины трещины 2/0/г, т.е. рассматривается процесс до первого скачка вершины трещины j = 1. Кривые 1 и 2 на рис. 9 и 10 соответствуют двум интенсивностям нагружения а^ /а Y = 0.5, 0.1, когда выполнены ограничения (15). Для кривых 1 и 2 на рис. 9 используются разные масштабы: для кривой 1 — верхняя горизонтальная шкала, для кривой 2 — нижняя горизонтальная шкала. Для приведенных графиков на рис. 9 ограничение (15) при ц = 0.33 выполнено для плоского деформированного состояния.

На рис. 10 кривая 1 описывает поведение системы от нижнего до верхнего порога усталости, точнее на отрезках 1 < 2/0/г < 3.7 и 1 < 2/0/г < 10.8, соответственно для параметров (е1 -е0)/е0 = 3.5, 5.0. Кривая 2 описывает поведение системы от нижнего до верхнего порога усталости, точнее на отрезках 81 < 2/0/г < 330 и 81 < 2/0/г < 1037 соответственно для параметров (е1 - е 0)/е 0 = 3.5, 5.0. Предельные точки на кривых 1 и 2 помечены звездочками.

Соотношения (24), (25) единообразно описывают и длину зоны предразрушения, и деформированное состояние этой зоны. После каждого скачка вершины усталостной трещины при %+ = 1 (j = 1, 2, ..., у* -1) в соотношении (22) вершина реальной трещины упирается в материал с исходными свойствами. Далее все повторяется для последующих скачковj = 2, 3, ..., у* -1 вершины усталостной трещины. Полученные соотно-

Рис. 10. Длины Д+ г зон предразрушения при разной интен-+ /

сивности нагружения а^+/ау = 0.5, 0.1 (для кривых 1 и 2 используются соответственно нижняя и верхняя системы координат)

а у, МПа

шения (22), (26) — основные соотношения, отражающие скачкообразное продвижение усталостных трещин при накоплении повреждений в материале зон предраз-рушения по механизму охрупчивания, рис. 5 и 8. В широком диапазоне изменения длин трещин кривые на рис. 9 и 10 подобны при соответствующем подборе масштабов.

Остановимся более подробно на анализе уравнения Коффина (26), когда изучается плоское деформированное состояние (ц = 0.33). Это уравнение связывает число циклов с длинами трещин N. = N. (2//ч/ г) при j = 1, 2, ..., / -1, причем первый скачок вершины трещины j = 1 осуществляется для трещины исходной длины 2/0/г при заданном уровне нагружения. На рис. 11, 12 изображены кривые N1 = ^(2/0/г) до первого скачка вершины трещины при разной интенсивности нагружения а0/ау = 0.5 и 0.1. Для всех нечетных 1,3,5, 7 и всех четных 2, 4, 6, 8 кривых на рис. 11 и 12 использовалось линейное (С = 1) и нелинейное (С = = 0.8) суммирование повреждений. Пары кривых 1 и 2, 3 и 4 на рис. 11 и 12 построены по соотношению (26) для предельных пластических удлинений материала (81 -80)/80 = 3.5, 5.0 соответственно. Пары пунктирных кривых 5 и 6, 7 и 8 для предельных пластических удлинений материала (81 -80)/80 = 10, 20 построены по эмпирическим зависимостям, когда за основу выбрано соотношение (26) без учета ограничения (15).

Вертикальные прямые на рис. 11, 12 соответствуют нижнему порогу усталости, ниже которого какое-либо разрушение отсутствует в рассматриваемой модели. Для выбранных значений интенсивности нагружения а0/ау = 0.5 и 0.1 нижние пороги усталости реализуются при длинах трещин 2/0 / г = 1 и 81 соответственно. Верхнему порогу усталости соответствуют точки, помеченные звездочками. Очевидно, что в указанных точках при соответствующей интенсивности нагруже-

ния система разрушается при однократном (монотонном) нагружении. По этой причине кривые 1-4 обрываются в указанных точках на рис. 11 и 12. Длины трещин, соответствующие этим точкам, составляют 2/0 / г = = 3.7 ((81 -80 V 80 = 3.5) и 2/0/ г = 10.8 ((81 -80)/80 = 5) при а0/ау = 0.5 на рис. 11, 2/0/г = 330 ((81 -80)/80 = = 3.5) и 2/0/г = 1037 ((81 -80)/80 = 5) при а0/ау = 0.1 на рис. 12.

Выявлена существенная зависимость числа циклов Щ (2/0 /г) как от типа суммирования повреждений (линейного или нелинейного), так и от максимального пластического удлинения материала. При более корректном представлении уравнения Коффина (26') гладкие кривые на рис. 11 и 12 превращаются в ступенчатые кривые (горизонтальные отрезки прямых с разрывами первого рода). Скачкообразное продвижение вершины реальной трещины было изображено на рис. 8.

Полученные функциональные зависимости

8+-1 80

N = N

Л+ -1 -80

2/

2/+

Ч -1

А+

2/+

Ч-1

Ч-1

описывающие начало процесса продвижения вершины реальной трещины при j = 1, представляют из себя достаточно гладкие функции, рис. 9-12.

5. Осредненные скорости продвижения вершин коротких макротрещин

Используем соотношения (25) и (26). Если известно число циклов N/ между j = 1 и j скачками вершины трещины, а А+ч — длина скачка вершины трещины, то оценки безразмерной средней скорости V/ = = (А+-:1 /г )/N. продвижения вершины трещины за один

Рис. 11. Число циклов ^ до первого скачка вершины трещины при интенсивности нагружения а0/а у = 0.5 и линейном (С = 1) и нелинейном (С = 0.8) суммировании повреждений в зависимости от длины исходной трещины и предельного пластического удлинения материала (81 -80)/80 = 3.5, 5.0, 10.0, 20.0

°0 200 400 600 800 1000 2/0/г

Рис. 12. Число циклов N до первого скачка вершины трещины при интенсивности нагружения а0/а у = 0.1 и линейном (С = 1) и нелинейном (С = 0.8) суммировании повреждений в зависимости от длины исходной трещины и предельного пластического удлинения материала (81 -80)/80 = 3.5, 5.0, 10.0, 20.0

цикл иагружеиия междуj = 1 иj скачками для пластины бесконечной ширины можно представить в виде (интенсивность нагружения = const считается

заданной)

V; =

_ j'

^ = + [з + 2(1 - 2ц)2 ]2

г =X J-1 ,,2Ч2

NJ 1 29(1 -ц2)2

у/ с

Е1 Ео

Ej-1 ео

\2+1/ с

(„+ Y

2/+-1

(27)

j = 1, 2, j -1.

В соотношении (26) максимальная пластическая деформация (е++-1 -е0)/е0 зависит от длин трещин 2/+^/г. Соотношение (27) отражает сглаживание дискретности роста усталостных трещин, см. штрихпунктирную кривую на рис. 8. Это соотношение учитывает влияние характеристик квазихрупкого материала. Безразмерная средняя скорость Vj = Vj (2/+^/г) в соотношении (27) — функция одной переменной 2/+^/г, которая описывает начало и развитие процесса продвижения вершины макротрещины [11, 14]. Соотношение (27) не описывает стадию завершения процесса продвижения вершины макротрещины, перед тем как объект разделяется на части, т.к. не принимает во внимание конечность ширины образца. Эта стадия была описана ранее в работе [14] для образцов конечной ширины. Для переменной 2/+-1/г, имеющей разрывы первого рода, справедливы ограничения

2/0+/г < 2/+ /г < 2/+7г, (28)

j = 1, 2, ..., / -1, 2/0" = 2/0, -И

а: 1

1+

2/о - 2/0

1 -

3 + 2(1 - 2ц)2 eV - е0 8п(1 -ц2) е0

-1

2/+

при заданном уровне нагружения а:/аY (ср. рис. 5 и ограничения (28)). Для коротких макротрещин наибольший интерес представляет подобласть около нижней границы отрезка (28), которая соответствует началу процесса продвижения вершины короткой макротрещины. Точка (2/0+ /г, а++/ау), или в других обозначениях точка (2/0/г, а++/ау), на плоскости «длина трещины - критические напряжения» представляет нижний порог усталости. В рамках предлагаемой модели никакие изменения не происходят, если напряжения ниже этого порога усталости. Очевидно, что в точке, соответствующей нижнему порогу усталости, безразмерная средняя скорость равна нулю, т.е. V (2/+/г) = 0, т.к. е+ = е0. Другая точка (2/+*/г, а^ ) на той же

плоскости есть верхний порог усталости: в этой точке образец разделяется на части при монотонном нагруже-нии. Внутри интервала (28) имеет место накопление повреждений в материале зон предразрушения. Подчеркнем, что нижний и верхний пороги усталости — переменные величины, т.к. критические напряжения

ст„

ст:

(2/о/ r) [(2/*r ),(Е1 -Ер)/Ео]

^ ^ ^ ^

зависят от длин трещин, структуры материала и характеристик пластичности.

Если для амплитуды коэффициента интенсивности напряжений К+ между j - 1 и j скачками вершины трещины использовать представление

Kj+ =-

2/+

<sY v r

то соотношение (27) можно привести к другому виду + / ( С

vj =■

4-11

N

■ = A,

(K +)

1+

1

J = 1, 2,

V2^

..., J* -1,

-Jk

k+

(29)

A, =

= X+-i

[3 + 2(1 - 2ц)2 ]2

29(1 -ц2)2

2+1/ с

nV с

Е1 Ео

V 1 р У

8п(1 -ц2) 3 + 2(1 - 2ц)2

Соотношение (27) нельзя свести к простейшим законам типа законов Пэриса [41, 42], т.к. средняя скорость Vj в преобразованном соотношении (29) зависит кроме коэффициента интенсивности напряжений К+ еще от длин трещин 2/+/г (эту переменную можно рассматривать как второстепенную переменную к основной переменной К+, но только в соотношении (29)). Простейший принцип подобия [42, 43], вообще говоря, нарушается. Для основной К+ и второстепенной 2/+/г переменных, имеющих разрывы первого рода, справедливы ограничения

' (30)

к+о=ст: < к+ < к+*=ст: vnn

2/р+/r < 2/+/r < 2/+7r, j = 1, 2

j -1.

Формально ограничения (30) и (28) отличаются мало, если принять во внимание, что ст^ = const.

Для других режимов нагружения ст:-/стY или стГ^ легко получить соотношения, аналогичные соотношениям (27)-(30), если предположить, что очередное уменьшение нагрузки происходит после некоторого скачка вершины трещины.

По мнению автора, оценка безразмерной средней скорости Vj = (A+/r)/Nj продвижения вершины тре-

+

х

ст

щины в виде представления (27) более естественна, чем представление (29). Представление (29) объясняет разнобой в эмпирических описаниях (толкованиях) законов типа законов Пэриса для коротких макротрещин [3739].

Функция V/ = V/ (2// ¡г) и ее аргумент 2// ¡г из (27) имеют разрывы первого рода ( j = 1, 2, ..., /* -1). Рассмотрим вместо разрывной функции V/ гладкую функцию V = V(2//г), аргумент 2//г которой непрерывно меняется на отрезке

2///г < 2/1 г < 2/+*/г (31)

при заданном уровне нагружения я^/^ (ср. соотношения (31) и (27), (28)). Гладкая функция V = V (2//г) имеет вид

V = Л

Л = Х

1 +

1

2+1/ С

21

(32)

[3 + 2(1 - 2ц )2]2

29(1 -Ц2)2

V,

ю-3

10"4 ю-5

10"6

ю-7

1 S ?//;•

8п(1 -ц2) _ 3 + 2(1 - 2ц )2_

Х+ = Х+ = const, j = 1, 2, У* -1-

Непрерывная функция Г = V(2l/r) с непрерывным аргументом 21/т в (32) аппроксимирует функцию Vy = V (2l+/r), имеющую разрывы первого рода. Построенная непрерывная функция V = V (21/ т) моделирует непрерывное продвижение вершины трещины при усталости при пульсирующем приложении нагрузки. Эта безразмерная средняя скорость V учитывает влияние характеристик квазихрупкого материала r, С, gy и (е1 - 80)/80, причем постоянная Коффина описывает линейное или нелинейное суммирование повреждений в материале зоны предразрушения (в зоне предразруше-ния имеет место маломасштабная текучесть).

Если приравнять член в квадратной скобке нулю в соотношении (32), то получается соотношение (11): при нижнем пороге усталости средняя скорость V продвижения вершины трещины обращается в ноль, т.е. V = 0.

Функция V = V(2//г) в (32) описывает только два режима: начало и развитие процесса продвижения вершины макротрещины (изучаются трещины в бесконечных телах). Соотношение (27) не описывает третью стадию завершения процесса продвижения вершины макротрещины, когда объект разделяется на части. Третья стадия была описана ранее в работе [ 14] для образцов конечной ширины. Для второй стадии процесса, когда рассматриваются достаточно длинные трещины, соотношение (32) упрощается и имеет вид

V = Л

-+ >2 21

(33)

т.е. член в квадратной скобке выражения (32) заменен единицей, что оправдано для достаточно длинных трещин.

На рис. 13 приведены графики, характеризующие влияние линейного и нелинейного суммирования повреждений на скорость продвижения вершин трещин Vразной длины. Кривые 1-3 построены по соотношению (32) для средней скорости продвижения вершины трещины. При построении кривых 1-3 использованы разные масштабы, для того чтобы пояснить поведение коротких макротрещин. Для кривых 1-3 выбраны постоянные Коффина С = 1.0, 0.8, 0.5 соответственно при а!/^ = 0.5, (81 -80)/80 = 5. На рис. 13, а и последующих рисунках звездочками помечены правые точки отрезка (31), причем вправо от этих точек кривые 1-3 продолжены пунктиром. Нарис. 13, а все звездочки практически совпали из-за выбранного масштаба. Из анализа кривых 1-3 на рис. 13, б следует, что в окрестности нижнего порога усталости скорость продвижения вершины трещины V мала, она существенно зависит от того, как суммируются повреждения в зонах предразрушения. Но для коротких макротрещин скорость продвижения вершины трещины V мала до тех пор, пока длина макротрещины не возрастет. Для трещин средней длины упомянутая скорость V существенно увеличивается, этот режим хорошо описывается законом Пэриса [41, 42].

Переход от коротких макротрещин к трещинам средней длины непосредственно связан с интенсивностью

0.0 1.5 2.0 3.0 5.0 7.0 10.0 15.0 2Иг

10"

10 10 10" 10

v-4

\—5

v-7

1.5 2 Иг

Рис. 13. Скорости продвижения вершин трещин V в разных масштабах при линейном и нелинейном суммировании повреждений в зонах предразрушения

0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 21/г

Рис. 14. Скорость продвижения вершины трещины V при трехступенчатом режиме нагружения

нагружения при нестационарных режимах, которые представлены на рис. 3:

а!/ат <а!/ат <а;+-/ат <а!--/ат <а!/ат.

На рис. 14 по формуле (32) построены базовые кривые 1-3 трех режимов нагружения при заданных ин-тенсивностях нагружения а^/ат = 0.55, а:-/ат = 0.5, а:--/ат = 0.4 соответственно. Звездочками помечены правые точки отрезка (31), причем вправо от этих точек кривые 1-3 продолжены пунктиром (при расчетах принято (е1 - е 0)/е 0 = 5, С = 1). Жирные участки на базовых кривых отображают выбранный сложный трехуровневый режим нагружения (тонкими пунктирными линиями помечены переключения этих режимов). Из-за смены уровня нагружения возможны такие режимы усталостного разрушения, когда система может несколько раз попадать в области длин трещин, которые можно отнести к коротким макротрещинам. Для реализованного режима нагружения на рис. 14 возможны почти полные остановки вершин трещин при их продвижении в зависимости от уровня нагружения.

На рис. 15 приведены результаты расчетов, характеризующих скорость продвижения вершины трещины V в зависимости от пластических свойств материала (а^ /ат = 0.1): кривые 1, 2 построены по формуле (32) при параметрах С= 1, (е1 -е0)/е0 = 3.5, 5; кривые 3, 4 построены по преобразованной формуле (32) при пара-

100 150 200 300 500 700 21/г

Рис. 15. Скорость продвижения вершины трещины V в зависимости от пластических свойств материала при а^/а т = 0.1

метрах С=1, (е1 -е0)/е0 = 10, 20; кривая 5 построена по преобразованной формуле (32) при значениях параметров С = = 0.5, (е1 -е 0)/е 0 = 20; звездочками помечены правые точки отрезка (31). При построении кривых 3, 4 использованы эмпирические соотношения, основой которых послужило соотношение (32) при (е1 -е 0)/е 0 = 5, С = 1 с учетом некоторых преобразований. При преобразованиях скорость продвижения вершины трещины V в исходном соотношении (32) уменьшалась в 2 и 4 раза соответственно для (е1 - е 0)/е 0 = 10, 20 по сравнению тем же соотношением для параметра (е1 -е 0)/е 0 = 5. Аналогичным образом построена кривая 5, но при С = 0.5. Поведение систем, которые описываются кривыми 4 и 5, отличается только линейным или нелинейным суммированием повреждений. Увеличение площадки текучести материала и разные типы суммирования повреждений оказывают определяющее влияние на скорость продвижения вершины трещины V. Таким образом, качественно, а иногда и количественно описано влияние параметров предельного пластического относительного удлинения (е1 -е0)/е0 на скорость продвижения вершины трещины V литейных алюминиевых сплавов [37-39].

На рис. 16 представлены кривые в широком диапазоне изменения скоростей V продвижения вершин трещин и длин 2//г этих трещин. Кривые 1-6 построены в двойных логарифмических координатах по соотношению (32) для соответствующих интенсивностей нагружения а^/ат = 0.55, 0.5, 0.4, 0.2, 0.1, 0.05 для параметра (е1 - е 0)/ е 0 = 5, характеризующего пластичность материала. На кривых отмечены условные точки перехода от коротких макротрещин к трещинам средней длины, звездочками помечены правые точки отрезка (31), когда образец разрушается, поэтому вправо от этих точек кривые продолжены пунктиром. Для разных интенсив-ностей нагружения эти точки существенно сдвигаются. Закон Пэриса хорошо «работает» только для трещин средней длины и длинных трещин. Таким образом, система реагирует на изменение интенсивности нагружения.

VII

10 -

кг1-

ю-3-ю-5-

1 10 100 1000 21/г

Рис. 16. Скорость V продвижения вершины трещины в зависимости от интенсивности нагружения а^/ат = 0.55 (1), 0.50 (2), 0.40 (3), 0.20 (4), 0.10 (5), 0.05 (6)°°

Для оценки перехода от коротких трещин к трещинам средней длины при заданной интенсивности нагру-жения а! /яY поступим следующим образом. В соотношении (32) член в квадратной скобке порождает отличие от закона Пэриса. Пусть второе слагаемое в этой скобке для достаточно малых интенсивностей нагруже-

ния можно представить в виде

/ \

1—

(34)

где £ — малая положительная величина. Длины трещин 2//г относятся к коротким макротрещинам, если

0.2 < 21 <

r r

-А

1

\2

Z

(35)

Безусловно, безразмерные длины 21/т трещин в неравенствах (35) должны в рамках предлагаемой модели удовлетворять соотношению (28). При выполнении расчетов для построения графиков рис. 16 было принято Z = 0.5. Весь диапазон длин трещин разбивается на две подобласти. Для достаточно длинных трещин в этих подобластях уравнение (32) можно представить в виде

V в Л te-T * (36)

Gy т

V

Л = Л(С, (81 - 80)/80 , ц) = const,

для коротких макротрещин

V = F

2l

, С ,-

,ц

(37)

Если для достаточно длинных трещин уравнение (32) приближенно сводится к уравнению Пэриса (36), то для коротких трещин в рамках предлагаемой модели существенные параметры не удается отделить в уравнении (37), т.к. функция многих переменных F(х1, х2,..., х5) — сложная функция. Предлагаемое соотношение (32) для скорости V продвижения вершины трещины есть функция четырех основных парамет-ров(переменных) 2//г, я!/я^ С, (81 -80)/80 и одного вспомогательного ц. Все упомянутые параметры имеют четкий механический смысл. Полученные два порога усталости — переменные величины, которые определяются тремя параметрами 2//г, (81 -80)/80, я!/я^ параметр С (постоянная Коффина) влияет только на процесс охрупчивания при повторных нагру-жениях. Подчеркнем, что первый порог усталости не меняется при повторных нагружениях, а второй порог усталости существенно зависит от охрупчивания материала зоны предразрушения.

Соотношение (32) описывает только два участка диаграммы скорости V роста трещины при усталости [29, рис. 1.18]. Приведем для скорости V роста трещины при усталости заимствованную из [14] формулу для образцов конечной ширины:

V = A

1 +

l

1 - 2 l/w

a!" 2 2l

Gy r

2+1/ С

2l Y(l/w)

(38)

A = Х

+ [3 + 2(1 - 2ц )2]2^

29(1 -Ц2)2

1/ с

8i 8 о

8п(1 -ц2)

2+1/ С

_ 3 + 2(1 - 2ц )2

Х+=Х+ = const, j = 1, 2, f - L Здесь w — ширина образца; Y(l/w) — коэффициент, KIw = YKj = Ya^Vrc/. Приведенная формула (38) справедлива для плоского деформированного состояния при ц Ф 0 и для плоского напряженного состояния при ц = 0. Коэффициент Y(l/w) для разных отношений l/w можно найти в [18, 19]. Очевидно, что при w — ! соотношение (38) переходит в уравнение (32), т.к. lim Y = 1 для

w—

внутренних трещин.

Результаты расчетов по соотношениям (38) для средней скорости V продвижения вершины трещины приведены на рис. 17 при линейном (С = 1) суммировании повреждений, кривые 1-4 этого рисунка соответствуют пластинам шириной w/r = 250, 500, 1000, 2000. Все расчеты выполнены при g!/gy = 0.1, (81 -80)/80 = 5, ц = = 0.33. При расчетах использовалась для коэффициента Y(l/w) в соотношении (38) рекомендация из [43] в виде

Y (l/w):

1

I соб(п //М)

Грубую оценку перехода от второй стадии процесса к третьей можно получить, если отыскать точку смены знака круглой скобки с минуса на плюс в соотношении (38), ср. с соотношением (33): 1а

-Y =

+

0.

1 - 2 ¡Ы Я!

Если ширина м\г образцов известна, то длины трещин 2/¡г, при которых процесс подрастания трещин пере-

Рис. 17. Средняя скорость V продвижения вершины трещины в пластинах конечной ширины

X

X

ходит от второй стадии процесса к третьей, составляют

21 w

(

Л

1 —

(39)

На кривых рис. 17 помечены точки, соответствующие соотношениям (35) и (39). Соотношение (35) описывает переход от первой стадии процесса ко второй, что изображают точки на кривых 2-4 при 2//г ~ 324. Вся кривая 1 попадает в область коротких макротрещин. Соотношение (39) отражает переход от второй стадии процесса к третьей. Точки на всех кривых (кроме точек при 2//г ~ 324) — точки перехода от второй стадии процесса к третьей. Кроме того, на кривой 4 имеется звездочка, правее которой не выполнены ограничения в предлагаемой модели, поэтому кривая продолжена пунктиром. Помеченная точка на кривой 1 — переход от первой стадии процесса сразу к третьей стадии, когда интенсифицируется процесс разрушения при наличии короткой макротрещины.

Из четырех кривых, приведенных на рис. 17, только кривая 3 отражает все три стадии процесса продвижения вершин трещин при усталости для коротких макротрещин, трещин средней длины и трещин, соизмеримых с шириной образца. Кривая 1 не имеет участка, похожего на кривую Пэриса, кривая 2 имеет такой участок, который слабо выражен, кривая 4 в рамках предлагаемой модели не имеет третьего участка (третий участок изображен условно пунктирной кривой). Комбинируя оценки (35) и (39), получим двустороннюю оценку для длин трещин, для которых хорошо «работает» закон Пэриса:

(

У°+-1 с

л2 < 2. < w (

Л

1—

(40)

Последняя оценка (40) относится к длинным трещинам и трещинам средней длины, она зависит как от интенсивности нагружения, так и от ширины используемого в эксперименте образца.

Предлагаемое соотношение (38) для скорости V продвижения вершины трещины отличается от соотношения (32), т.к. соотношение (38) есть функция пяти основных параметров (переменных) 21/г, ст*/сту, С, (е1 -е0)/е0, w/г и одного вспомогательного ц. Все упомянутые параметры имеют четкий механический смысл, что позволило отделить все три стадии процесса. На третьей стадии процесса, когда идет лавинообразное нарастание длины усталостной трещины, уравнение (38) можно представить в виде

(

V = F

2/ СТк с

Е, Ео

w

Г

Л

(41)

}у Ео

\ /

В уравнении (38) в рамках предлагаемой модели существенные параметры не удается отделить, т.к. функция многих переменных F (х,, х2,..., х6) в (41) — достаточно сложная функция.

Полученные соотношения (32) и (3 8) описывают все три стадии диаграммы скорости роста трещин при усталости [29, 36]. Кроме того, в соотношении (34) получена грубая оценка длин трещин, описывающая переход от коротких макротрещин к трещинам средней длины. Аналогичная грубая оценка (39) приведена для длин трещин, эта оценка описывает переход от трещин средней длины к длинам трещин, провоцирующим катастрофическое увеличение скорости роста усталостных трещин. Только вторая стадия роста трещин хорошо может быть описана простейшим законом Пэриса [41, 42]. Ни первая, ни третья стадии не описываются простейшими законами типа закона Пэриса. Закон Пэриса хорошо «работает» для длин трещин, когда выполнена двусторонняя оценка (40).

В работах [29, 36] подробно обсуждаются все три стадии процесса и переходные режимы. Однако основное внимание авторов [29, 36] сконцентрировано на представлении этих диаграмм в виде зависимостей от коэффициентов интенсивности напряжений, что не согласуется с полученными результатами при маломасштабной текучести в квазихрупких материалах, см. соотношения (32) и (38).

Рассмотрим соотношение (8) из работы [39, с. 1507], которое используется для описания подрастания коротких трещин. Предлагаемое соотношение (8) из [39] не согласуется с уравнением (32), т.к. содержит два коэффициента интенсивности напряжений, характеризующих максимальную амплитуду нагружения и диапазон действующих нагрузок, и три эмпирические постоянные (последние подбираются по экспериментальным значениям). Выше были использованы известные свойства литейных алюминиевых сплавов, эти свойства заимствованы из работ [37-40] и приведены в табл. 1. В полном объеме воспользоваться результатами работ [37-39] не представляется возможным, т.к. при обработке исходных данных эксперимента использован один определяющий параметр. Этим параметром выбран коэффициент интенсивности напряжений, по которому подбирается закон типа закона Пэриса. Однако все качественные результаты теоретического анализа, приведенного выше, полностью согласуются с экспериментальными результатами работ [37-39].

6. Обсуждение

Рост коротких макротрещин составляет существенную часть времени жизни конструкции при усталостных нагружениях. Короткие трещины могут возникать как при изготовлении, так и при эксплуатации. Поэтому модели, предсказывающие распространение коротких трещин и трещин средней длины, имеют практическую ценность [29]. Модели, предсказывающие катастрофическое развитие усталостных трещин в образцах конечных размеров, могут оказаться полезными при оценке ава-

рийных ситуаций [36]. Надо обратить внимание на одно обстоятельство [9, 10, 15, 29, 36]: практически все теоретические построения по усталости так или иначе связаны с коэффициентами интенсивности напряжений. Но, как правило, задачи усталостного разрушения — нелинейные задачи. Действительно коэффициенты интенсивности напряжений для линейной механики разрушения — определяющий параметр. Общеизвестно [17], что коэффициент интенсивности напряжений не подходит для анализа всех задач нелинейной механики разрушения. Таким образом, имеется противоречие между запросами практики и эмпирическими теоретическими построениями. Вероятно, надо рассматривать квазилинейную механику разрушения, когда изучается разрушение квазихрупких тел при маломасштабной текучести. При использовании квазилинейной механики разрушения целесообразно минимальное заимствование из арсенала нелинейной механики разрушения.

Рассмотрим поля напряжений в трех постановках задач о разрушении, когда выбраны для анализа стандартное упругое тело и два упруго-идеальнопласти-ческих тела. Для упругих тел поле напряжений около вершины трещины имеет особенность, поэтому коэффициент интенсивности напряжений является определяющим параметром. Для упруго-идеальнопластичес-ких тел поле напряжений около вершины трещины не всегда имеет сингулярность. При наличии сингулярности реализуется маломасштабная текучесть материала в окрестности вершины трещины и частично сохраняется сингулярность поля напряжений в вершине трещины в рамках квазилинейной механики разрушения. Если сингулярность отсутствует, реализуется полномасштабная текучесть материала в окрестности вершины трещины с полным отсутствием сингулярных составляющих в рамках нелинейной механики разрушения. В рамках нелинейной механики разрушения нельзя в полном объеме использовать коэффициент интенсивности напряжений. В рамках квазилинейной механики разрушения использование коэффициента интенсивности напряжений допустимо, но как было показано выше, критический коэффициент интенсивности напряжений есть переменная величина, т.к. для квазихрупких тел Kjc = а^л/лГ Ф const.

Выше в рамках квазилинейной механики разрушения рассмотрена задача о распространении коротких макротрещин усталости, когда скачкообразное распространение вершин трещин заменено некоторым гладким осредненным процессом. Скачкообразное продвижение вершин трещин при циклическом нагружении подробно обсуждается в работе [44, с. 122-132], где кинетика пластической зоны в вершине трещины непосредственно связывается с особенностями роста усталостных трещин. Естественным продолжением и обобщением подхода Баренблата-Ботвиной [45] является

работа [46]. В заключении работы [46] обсуждаются другие подходы, в которых предлагаются законы распространения трещин, отличные от классических кривых Пэриса [41, 42].

Введение в предлагаемую модель двух порогов усталости, причем второй из них — переменная величина, позволило наполнить новым содержанием диаграмму Китагавы-Такахаши [15]. Так как второй порог усталости — переменная величина, то представление скорости вершины трещины в виде (1.30) в работе [29, с. 27] — не более чем гипотеза. Набор эмпирических соотношений для аналитического описания кинетических диаграмм усталостного разрушения приведен в работе [36, с. 199-208]. Около двух десятков предложенных эмпирических уравнений опираются на коэффициенты интенсивности напряжений [36]. Прослеживается очень большое желание авторов заменить все одним основным параметром и набором эмпирических констант. Такая замена возможна, но только для достаточно длинных трещин, как в соотношении (36) для квазихрупких материалов, что вполне согласуется со средней частью графика на рис. 1.18 и формулой (1.30) из [29]. При полномасштабной текучести формулы типа формулы (1.30) из [29] целесообразно использовать для обработки экспериментальных данных с большой осторожностью. В справочнике [36, с. 199-208] дан сравнительный анализ соответствия математических моделей экспериментальным данным. Существует большой разнобой в аналитическом описании всех трех участков кинетических диаграмм. Имеется около двух десятков уравнений скорости роста усталостной трещины, семнадцать предложенных соотношений приведены в табл. 4.1 [36]. При построении этих уравнений выбираются эмпирические соотношения, основывающиеся на том или ином виде коэффициента интенсивности напряжений, как в уравнении (1.30) из [29].

Предлагаемая кинетическая диаграмма усталостного разрушения, по мнению автора, более проста в использовании и содержит меньшее количество параметров. Эта диаграмма описывает все три стадии процесса (соотношения (36), (37) и (40), (41)), в том числе и случаи, когда отсутствуют некоторые из стадий. На наличие или отсутствие соответствующих стадий процесса указывает выполнение или нарушение неравенств (40). В предлагаемом описании этой диаграммы используются параметры, которые имеют четкий механический смысл. Предлагаемое описание процесса усталостного разрушения при скачкообразном продвижении вершины трещины выполнено в терминах трещин [28]. Подчеркнем, что вторая стадия процесса совпадает с описанием процесса, когда применяется закон Пэриса [41, 42]. Полученные соотношения (37) и (41) не сводится к классическим кривым Пэриса, т.к. принцип подобия, вообще говоря, нарушается [46].

Основой для построения предлагаемых диаграмм усталостного разрушения послужили результаты по разрушению квазихрупких материалов, выполненные в рамках квазилинейной механики разрушения для материалов со структурой [2, 3]. Модификация модели Леонова-Панасюка-Дагдейла [7, 8] свелась к тому, что для описания зоны предразрушения используется поперечный размер. Классическая модель Леонова-Пана-сюка-Дагдейла [7, 8] практически ничем не отличается от когезионной модели [47]. В предложенной модифицированной модели разрушения при маломасштабной текучести зона пластичности длиннее зоны предраз-рушения, см. [36, с. 166-167]. Накопление повреждений в материале зоны предразрушения описано уравнением Коффина [35]. Линейное и нелинейное суммирование повреждений материала зоны предразрушения выражены в терминах трещин [28].

Условно процесс продвижения вершин трещин при усталости можно разделить на три стадии. Это разделение процесса связано с двумя порогами усталости ст^/сту, ст^/сту и длиной зоны предразрушения Д*/г. Длина зоны предразрушения составляет только часть длины зоны пластичности. Первая стадия процесса определяется первым порогом усталости ст^/сту, когда амплитуда ст*/сту приложенной нагрузки незначительно превосходит этот порог, поэтому реализуются малые длины зон предразрушения (имеется непосредственная связь между интенсивностью нагружения и длиной коротких макротрещин). На второй стадии процесса режим продвижения вершины трещины близок к автомодельному режиму, эта стадия процесса хорошо описывается законом Пэриса. Переход к третьей стадии процесса связан с существенным уменьшением второго порога усталости: из-за конечности образца резко возрастают действующие напряжения в оставшемся «работающем» сечении. Третья стадия процесса связана с геометрией образца. Полученные соотношения (32) и (38) для средней скорости продвижения вершин трещин можно рассматривать как структурные формулы для построения кривых, описывающих все три стадии процесса. Для каждой стадии процесса возможен подбор более простых формул.

7. Заключение

Рассматривается распространение трещины скачками в квазихрупких материалах при циклическом нагру-жении. За модель деформируемого тела выбрана модель упруго-идеальнопластического материала, имеющего предельное относительное удлинение. При нелинейном деформировании исходного материала происходит охруп-чивание.

Предлагается использовать для анализа указанного процесса модифицированные диаграммы квазихрупко-

го разрушения деформируемых тел, полученные при однократном нагружении. Исходные диаграммы построены в рамках квазилинейной механики разрушения, когда реализуется маломасштабная текучесть материала в окрестности вершины трещины и частично сохраняется сингулярность поля напряжений в вершине трещины.

Предложены два пороговых значения критических параметров для описания процесса скачкообразного продвижения вершин трещин при усталостных режимах нагружения. Оба пороговых значения выписаны в явном виде как для критических напряжений, так и для критических коэффициентов интенсивности напряжений, в том числе и для коротких макротрещин. Второе пороговое значение — переменная величина, это пороговое значение непосредственно связывается с повреж-денностью материала в зоне предразрушения. При нелинейном деформировании материала зоны предразру-шения расходуется запас пластичности материала из-за охрупчивания материала при каждом цикле нагру-жения.

Выполнен подробный анализ всех трех стадий процесса продвижения вершин трещин и их зависимость от геометрических параметров трещин и образцов, характеристик материала и интенсивности усталостного нагружения при пульсирующем приложении нагрузки. Для осредненного процесса указаны грубые двусторонние оценки перехода от первой стадии ко второй и от второй стадии к третьей. Получены достаточно простые аналитические выражения для описания всего процесса, в том числе когда некоторые из стадий процесса отсутствуют. Все построения выполнены в терминах трещин.

Литература

1. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Партон В.З. Основы механики разрушения материалов. Т. 1 // Механика разрушения и прочность материалов: Справ. пособие в 4-х т. - Киев: Наукова думка, 1988. -488 с.

2. Neuber G. Kerbspannunglehre: Grunglagen fur Genaue Spannungsrechnung. - Berlin: Springer-Verlag, 1937. - 160 s.

3. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой

прочности // ПММ. - 1969. - Т. 33. - №2. - С. 212-222.

4. Корнев В.М. Оценочная диаграмма квазихрупкого разрушения тел

с иерархией структур. Многомасштабные необходимые и достаточные критерии разрушения // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. -№1. - С. 47-59.

5. Корнев В.М., Демешкин А.Г. Диаграмма квазихрупкого разрушения

тел со структурой при наличии краевых трещин // ПМТФ. - 2011. -Т. 52. - № 6. - С. 152-164.

6. Корнев В.М. Критические кривые разрушения и эффективный диаметр структуры хрупких и квазихрупких материалов // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 5. - С. 25-34.

7. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // ПММ. - 1959. - Т. 5. - № 4. - С. 391-401.

8. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys.

Solids. - 1960. - V. 8. - P. 100-104.

9. Шанявский А.А. Моделирование усталостных разрушений металлов. Синергетика в авиации. - Уфа: Монография, 2007. - 500 с.

10. Nicholas T. High cycle fatigue: A mechanics of materials perspective. - Oxford: Elsevier, 2006. - 642 p.

11. Корнев В.М. Диаграммы квазихрупкого разрушения тел с иерархией структур при малоцикловом нагружении // Физ. мезомех. -2011. - Т. 14. - № 5. - С. 31-45.

12. Корнев В.М. Диаграммы квазихрупкого разрушения при усталости (двухчастотное нагружение) // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. -№ 6. - С. 45-58.

13. Корнев В.М. Диаграммы квазихрупкого разрушения сварных соединений при малоцикловой усталости // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2013. - Т. 19. - № 4. -С. 568-581.

14. Kornev V.M. Quasi-brittle fracture diagrams under low-cycle fatigue (variable amplitude loadings) // Eng. Fail. Anal. - 2013. - V. 35. -P. 533-544.

15. Kitagawa H., Takahashi S. Applicability of fracture mechanics to very small cracks or the cracks in the early stages // Proc. II Int. Conf. Mechanical Behavior of Materials. - Metals Park: Am. Soc. Metals. -1976. - P. 627-631.

16. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 140 с.

17. Zhu X.-K., Joyce J.A. Review of fracture toughness (G, K, J, CTOD, CTOA) testing and standardization // Eng. Fract. Mech. - 2012. -V. 85. - P. 1-46.

18. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Механика разрушения и прочность материалов: В 4-х т. - Киев: Наукова думка, 1988. - Т.2. - 620 с.

19. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: В 2 т. / Под ред. Ю. Мураками. - М.: Мир, 1990. - Т. 1. - 448 с.

20. Ritchie R.O. Mechanisms of fatigue-crack propagation in ductile and brittle solids // Int. J. Fract. - 1999. - V. 100. - P. 55-83.

21. Kruzic J.J., McNaney J.M., Cannon R.M., Ritchie R.O. Effects of plastic constraint on the cyclic and static fatigue behavior of metal/ ceramic layered structures // Mech. Mater. - 2004. - V. 36. - P. 57-72.

22. КорневВ.М., АстаповН.С. Модель разрушения кусочно-однородной среды при расслоении упругопластических структурированных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2010. - Т. 16. - № 3. - С. 347-360.

23. Kornev V.M., Kurguzov V.D., Astapov N.S. Fracture model of bimaterial under delamination of elasto-plastic structured media // Appl. Comp. Mater. - 2013. - V. 20. - No. 2. - P. 129-143.

24. Kornev V.M. Delamination of bimaterial and critical curves of quasi-brittle fracture in the presence of edge cracks // Adv. Mater. Sci. Appl. -2014. - V. 3. - No. 4. - P. 164-176.

25. Астапов Н.С. Модифицированная модель зоны предразрушения квазихрупких структурированных материалов // Физ. мезомех. -2014. - Т. 17. - № 1. - С. 89-96.

26. Murakami Y., Endo M. Effects of defects, inclusions and inhomoge-neities on fatigue // Fatigue. - 1994. - V. 16. - P. 163-182.

27. Smith R.A. On the short crack limitations of fracture mechanics // Int. J. Fract. - 1977. - V. 13. - P. 717-720.

28. Murakami Y., Miller K.J. What is fatigue damage? A view point from the observation of low fatigue process // Int. J. Fatigue. - 2005. -V. 27.- P. 991-1005.

29. Bolotin V.V. Mechanics of Fatigue. - Boka Raton, London: CRC Press, 1998. - 463 p.

30. Wang C.H., Rose L.R.F., Newman J.C., Jr. Closure of plane-strain cracks under large-scale yielding conditions // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. - 2002. - V. 25. - P. 127-139.

31. Antunes F.V., Branco R., Costa J.D., Rodrigues D.M. Plasticity induced crack closure in middle-crack tension specimen: numerical versus experimental // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. - 2010. - V. 33. -P. 673-686.

32 Antunes F.V., Chegini A.G., Correia L., Branco R. Numerical study of contact forces for crack closure analysis // Int. J. Solids Struct. - 2014. -V. 51. - P. 1330-1339.

33. Antunes F.V., Chegini A.G., Branco R., Camas D. A numerical study of plasticity induced crack closure under plane strain conditions // Int. J. Fatigue. - 2015. - V. 71. - P. 75-86.

34. Antunes F. V., Correia L., Ramalho A.L. A parameter for quantitative analysis of plasticity induced crack closure // Int. J. Fatigue. - 2015. -V. 71. - P. 87-97.

35. Coffin L.F., Schenectady N.Y. A study of the effects of cyclic thermal stresses on a ductile metal // Trans. ASME. - 1954. - V. 76. - No. 6. -P. 931-950.

36. Романив О.Н., Ярема С.Я., Никифорчин Г.Н., Махутов Н.А., Стадник М.М. Усталость и циклическая трещиностойкость конструкционных материалов // Механика разрушения и прочность материалов: В 4-х т. - Киев: Наукова думка, 1990. - Т. 4. - 680 с.

37. Caton M.J., Jones J.W., Boileau J.M., Allison J.E. The effect of solidification rate on the growth of small fatigue cracks in a cast 319-type aluminum alloy // Metall. Mater. Trans. A. - 1999. - V. 30. -P. 3055-3068.

38. Shyam A., Picard Y.N., Jones J.W., Allison J.E., Yalisove S.M. Small fatigue crack propagation from micronotches in the cast aluminum alloy W319 // Scripta Mater. - 2004. - V. 50. - P. 1109-1114.

39. Shyam A., Allison J.E., Jones J.W. A small fatigue crack growth relationship and its application to cast aluminum // Acta Mater. - 2005. -V. 53. - P. 1499-1509.

40. Hammi Y., Horstemeyer M.F. A physically motivated anisotropic tensorial representation of damage with separate functions for void nucleation, growth, and coalescence // Int. J. Plasticity. - 2007. -V. 23. - P. 1641-1678.

41. Paris P.C., GomezM.P., Anderson W.E. A rational analytic theory of fatigue // Trend Eng. - 1961. - V. 13. - P. 9-14.

42. Paris P.C., Tada H., Donald J.K. Service load fatigue damage—a historical perspective // Int. J. Fatigue. - 1999. - V. 21. - P. S35-S46.

43. Броек Д. Основы механики разрушения. - М.: Высшая школа, 1980. - 368 с.

44. Ботвина Л.Р. Разрушение: кинетика, механизмы, общие закономерности. - М.: Наука, 2008. - 334 с.

45. Barenblatt G.I., Botvina L.R. Incomplete self-similarity of fatigue in the linear range of fatigue crack growth // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. - 1980. - V. 3. - P. 193-202.

46. Ciavarella M., Paggi M., Carpinteri A. One, no one, and one hundred thousand crack propagation laws: A generalized Barenblatt and Botvina dimensional analysis approach to fatigue crack growth // J. Mech. Phys. Solids. - 2008. - V. 56. - P. 3416-3432.

47. Cornec A., Scheider I., Schwalbe K.-H. On the practical application of the cohesive model // Eng. Fract. Mech. - 2003. - V. 70. - P. 19631987.

Поступила в редакцию 23.07.2015 г.

Сведения об авторе

Корнев Владимир Михайлович, д.ф.-м.н., проф., гнс ИГИЛ СО РАН, [email protected]