CC BY
41
УДК 539.3
Диаграммы квазихрупкого разрушения и модель зарождения трещин около концентраторов напряжений
В.М. Корнев
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Предложена модель возникновения трещин около концентраторов напряжений в квазихрупких материалах. Для трещино-подобного U-образного выреза с известным радиусом закругления с использованием данных двух лабораторных экспериментов по определению критического коэффициента интенсивности напряжений Klc и классической а-е-диаграммы материала построены в широком диапазоне изменения длин трещиноподобных дефектов диаграммы квазихрупкого разрушения. При увеличении радиуса закругления критические напряжения для вырезов существенно превосходят критические напряжения для трещин. Построенные графики на плоскости «внешняя нагрузка - длина трещиноподобного дефекта» разделяют эту плоскость парой кривых на три подобласти, соответствующие отсутствию разрушения, накоплению повреждений в материале зоны предразрушения при повторных нагружениях и разделению образца на части при однократном нагружении.
Ключевые слова: хрупкое и квазихрупкое разрушение, необходимые и достаточные критерии, упругопластический материал со структурой, трещина, U-образный вырез
Quasi-brittle fracture diagrams and model of crack nucleation at stress concentrators
V.M. Kornev
Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
A model of crack generation at stress concentrators in quasi-brittle materials is put forward. Using data of two laboratory experiments for the critical stress intensity coefficient KIc and classical а-е-diagram of the material, quasi-brittle fracture diagrams are constructed for a crack-like U-notch with known tip radius for a wide range of crack-like defect length variation. With the tip radius increase, the critical stresses for notches much exceed the critical stresses for cracks. The diagrams constructed on the external load - crack-like defect length plane divide this plane by a pair of curves into three regions that correspond to the absence of fracture, damage accumulation in the prefracture zone material under repeated loading, and specimen division into parts under single loading.
Keywords: brittle and quasi-brittle fracture, necessary and sufficient criteria, elastic-plastic material with structure, crack, U-notch
1. Введение
В рамках нелинейной механики разрушения в общем случае не существует однозначной связи между силовыми, деформационными и энергетическими характеристиками трещиностойкости [1, 2]. При расчетах критических напряжений образцов с трещинами, когда используется линейная механика разрушения, единственным определяющим параметром является критический коэффициент интенсивности напряжений К1с. Только в линейной механике разрушения доказана эквивалентность силового и энергетического критериев разрушения. Упрощенные расчеты в рамках линейной механики разрушения хорошо описывают разрушение хруп-
ких материалов с достаточно длинными трещинами [1, 2]. Для описания разрушения при наличии коротких трещин в исследуемом теле нужно учесть влияние гладких частей полей напряжений в окрестности вершин трещин. Для того чтобы рассматривать разрушение тел с трещинами в широком диапазоне изменения относительных длин трещин, принимается во внимание влияние Г-напряжений [2]. Однако если аналитические представления коэффициентов интенсивности напряжений могут быть заимствованы из справочников, то для построения Г-напряжений подобная справочная литература пока отсутствует.
В работах [2-4] повышенное внимание уделяется когезионной модели разрушения. Необходимо обратить
© Корнев В.М., 2015
внимание на то, что при построении решений в этой модели используется гипотеза Христиановича [5], англоязычная версия этой гипотезы обсуждается в [6, с. 52]. Гипотеза Христиановича сводится к следующему: в классической когезионной модели разрушения длина зоны, где действуют когезионные силы сцепления, подбирается так, чтобы полностью компенсировались сингулярные члены полей напряжений. Преимущества и недостатки силовых и деформационных критериев разрушения обсуждаются в работах и обзоре [7-9]. Все обсуждения использования критериев разрушения в [24, 7-9] касаются только однопараметрических критериев.
Однако возможен другой взгляд на процесс разрушения, когда используется неклассическая схема разрушения материала. В неклассической схеме разрушения материала [ 1 ] кроме двух классических состояний (сплошное и разрушенные состояния) материала используется третье промежуточное состояние, описывающее пред-разрушение с учетом накопления повреждений в материале в окрестности концентраторов напряжений. При использовании неклассической схемы разрушения напрашивается использование многопараметрических критериев разрушения.
Ниже предложена модель возникновения трещин около концентраторов напряжений в квазихрупких материалах, когда рассматривается и-образный вырез. Все рассуждения базируются на подходе Нейбера-Новожи-лова [10, 11] при построении диаграмм разрушения квазихрупких материалов [12-14], когда используются двухпараметрические критерии разрушения. Для конкретной реализации построения этих диаграмм разрушения выбрана модифицированная модель Леонова-Панасюка-Дагдейла [15, 16].
Целью данной работы является: вывод соотношений для критических напряжений, при превышении которых в образцах с концентраторами напряжений формируется зародышевая трещина; отыскание подобласти на плоскости «внешняя нагрузка - длина трещи-ноподобного дефекта», где имеет место накопление повреждений после однократного нагружения; выработка рекомендаций по выбору режима малоциклового нагружения при подращивании острых трещин в лабораторных образцах из квазихрупкого материала при наличии и-образного выреза.
2. Предварительные построения для острых трещин
Выберем для описания неклассической схемы разрушения материала упруго-идеальнопластический материал с предельным относительным удлинением. Аппроксимация ст-е-диаграммы такого материала имеет параметры Е, ст^ е0, е1: Е — модуль упругости; стY —
предел текучести материала и постоянные напряжения, действующие согласно модифицированной модели Лео-нова-Панасюка-Дагдейла [15, 16]; е0 — максимальное упругое удлинение материала (стY = Ее0); е1 — максимальное (предельное) относительное удлинение материала. Пусть для гранулированного материала с регулярной структурой г—диаметр зерна. Подход Нейбера-Новожилова [10, 11] позволяет для сред со структурой использовать решения, имеющие сингулярную составляющую. Кроме реальной внутренней прямолинейной трещины-разреза длиной 2/0 введем в рассмотрение модельные трещины-разрезы длиной 2/ = 2/0 + 2Д. Каждая из зон предразрушения А расположена на продолжении реальной трещины (21 и А — длины модельных трещин и зон предразрушения).
Достаточный критерий разрушения [11] можно представить в виде
1 г
] сту (х,0)ёх = <^, (1)
Г 0
2v(-Д*, 0) = 8*. (2)
Здесь сту (х, 0) — нормальные напряжения на продолжении трещин; Оху — прямоугольная система координат, ориентированная относительно правых частей трещин, причем начало координат совпадает с вершиной модельной трещины в модифицированной модели Лео-нова-Панасюка-Дагдейла [15, 16], ось х направлена вдоль плоскости трещины, ось у направлена по нормали к плоскости трещины; 2п = 2п(х, 0) — раскрытие модельной трещины (х < 0); 8* — критическое раскрытие . *
этой трещины; Д — критическая длина зоны предраз-рушения (критические величины, полученные по достаточному и необходимому критериям разрушения, помечены верхними значками * ,0 ). Обратим внимание на то, что предлагаемый критерий является двухпарамет-рическим, причем соотношение (1) выполняется с учетом осреднения в вершине модельной трещины, а соотношение (2) справедливо в вершине реальной трещины. Таким образом, при формулировке достаточного критерия (1), (2) используются две характерные точки зоны предразрушения х = 0 и х = -Д*. Равенство (1) представляет типичный силовой критерий разрушения [3], а равенство (2) — деформационный критерий [3]. Достаточный критерий разрушения (1), (2) одновременно учитывает силовой и деформационный критерии разрушения в характерных точках зоны предразрушения. Предлагаемый критерий (1), (2) описывает хрупкое (Д = 0) и квазихрупкое (А > 0) разрушения, когда
Д*<< /0. (3)
Поле нормальных напряжений сту (х, 0) на продолжении модельных трещин х > 0 с учетом ограничения Д* << / из (3) можно представить в виде суммы двух слагаемых [17-19]:
ау(х, 0) = К/(2пх)12 + а^, К = К^ + К1Д,
К^а^л/Л >0+, Кш< 0, (4)
К (7, А) = а^ л/Л7 - ,
где К = К (7, А) > 0 — суммарные коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах модельных трещин; К^ — коэффициенты интенсивности напряжений, порождаемые напряжениями а^, заданными на бесконечности; К1А — коэффициенты интенсивности напряжений, порождаемые постоянными напряжениями -а^ действующими в зоне предразрушения.
Раскрытие 2п(-х, 0) модельной трещины представи-мо в виде [17, с. 30-32], если опустить второстепенные слагаемые порядка О(-х):
2v (-х, 0) =
4 - 4ц
К
К > 0,
(5)
где G = Е/ 2(1 + ц) — модуль сдвига; ц — коэффициент Пуассона.
Критическое раскрытие трещины 8*, при котором разрушается ближайшая к центру трещины структура зоны предразрушения, рассчитывается по формуле:
8* = (£1 -£0)й
к2
2па;
| + (1 - 2 ц)2
(6)
где а — поперечник зоны предразрушения, который отождествлен с поперечником зоны пластичности.
Таким образом, в соотношениях (4)-(6) получены аналитические выражения для нормальных напряжений ау (х, 0), критического раскрытия трещины 8*, раскрытия модельной трещины 2п(-х, 0) и суммарного коэффициента интенсивности напряжений К1. Используем эти выражения для оценки критического состояния трещины в достаточном критерии (1), (2). При преобразованиях в равенствах (1), (2) удерживаются члены с множителями -у/А*/7* и опускаются члены с множителями А*/7* << 1. Окончательно получим для плоского деформированного состояния [14] критические напряжения
* 0 А *
а^, а^ и критические длины зон предразрушения А :
а
а
аY
1 +
1 +
1 -
3 + 2(1 - 2ц)2 е1 -е0 8п(1 -ц2) £0
А* _ [3 + 2(1-2ц)2]
,2п2 (,
Ч „* V
29 (1 -ц2)2
(7)
(8)
Если
1 -{[3 + 2(1- 2ц)2]/[8п(1-ц2 )]} -£0 Уе0 ]> 0,
то выражения (7), (8) имеют смысл. Последнее неравенство является ограничением, которое выполняется только для хрупких и квазихрупких материалов. Это
неравенство соответствует существованию первого класса решений К1 > 0. Для плоского напряженного состояния критические напряжения а^ и критические длины зон предразрушения А подсчитываются по соотношениям (7) и (8), если в этих выражениях положить т = 0.
Для эффективных диаметров структур разрушения для хрупких г0 и квазихрупких г материалов справедливы представления [14]:
Чг \2
2
г0 =-п
Кг
\
2
г = — п
(к у
V
1 -
3 + 2(1 - 2ц )2
(9)
8п(1 -ц) £0
Таким образом, если в двух лабораторных экспериментах получены критический коэффициент интенсивности напряжений К1с и классическая о-е-диаграмма (точнее ее аппроксимация), то по трем параметрам г, а^ (е1 -£0)/£0 с учетом коэффициента Пуассона ц удается построить в широком диапазоне изменения длин трещин две критические кривые квазихрупкого разрушения. Построенные графики на плоскости «внешняя нагрузка - длина трещины» разделяют эту плоскость парой кривых на три подобласти, соответствующие отсутствию разрушения, накоплению повреждений при повторных нагружениях в материале зоны предразрушения и разделению образца на части при монотонном нагружении.
3. Модели возникновения трещин (I мода) около концентраторов напряжений
Предлагаются модели зарождения плоской трещины в квазихрупком материале как для трещиноподобных дефектов (типа узких и-образных вырезов), так и для широких вырезов. Рассматривается I мода разрушения, причем зародышевая трещина моделируется двусторонним разрезом. Допустим, что зарождение трещины описывает изложенная выше модифицированная модель Леонова-Панасюка-Дагдейла [15, 16]. Берега зародышевой (модельной) трещины стягиваются напряжениями а^
Схемы, поясняющие реализацию предлагаемых моделей, представлены на рис. 1. Для достаточного критерия (1), (2) первое условие выполняется в точке 1 после осреднения (рис. 1, в, г), а второе выполняется в точке 2 (рис. 1, д, е). Для зарождения трещин в окрестности концентраторов напряжений выбраны разные точки зоны предразрушения. Широкий вырез отличается от узкого выреза тем, что для последнего принимается во внимание длина трещиноподобного дефекта, а для широкого выреза можно рассматривать зарождение краевой трещины. Если R — радиусы закруглений
а
Корнев В.М. / Физическая мезомеханика 18 2 (2015) 51-59
Л 1 \±\\°*>® А^О | | | | | |М аа
ГТТТТТТ1,
Рис. 1. Схемы нагружения (а, б), поля напряжений \ в, д) и широких вырезов (б, г, е)
в, г) и раскрытия трещин (д, е) в вершинах трещиноподобных дефектов (а,
в вершинах трещиноподобных дефектов и широких вырезов, то эти дефекты можно классифицировать, принимая во внимание эффективные диаметры структур разрушения г квазихрупких материалов, следующим образом: для трещиноподобных дефектов
R < г, (10)
для широких вырезов
R >> г. (11)
В соответствии с предлагаемой моделью возникновения трещин около концентраторов напряжений реальный контур трещиноподобного выреза подменен двусторонним модельным разрезом. Для широкого выреза рассматривается модельная краевая трещина, вдоль всей длины которой действуют стягивающие напряжения ст ^ как на рис. 1, б, е.
Необходимо обратить внимание на то, что при одном и том же радиусе закругления в вершине выреза R рассматриваемый концентратор напряжений может относиться и к трещиноподобным дефектам, и к дефектам типа широкого выреза. Величины эффективных диаметров структур разрушения для разных материалов могут отличаться на порядки [14], когда рассматриваемые детали изготовлены из разных материалов.
В отличие от предыдущего раздела условие (3) выполняется только для трещиноподобных дефектов, например для очень вытянутых эллипсов (этот эллипс в грубом приближении имеет длину 2/0 >> г). Длина тре-щиноподобного дефекта в критическом состоянии, когда /0 Ф 0 и /0 >> г, рассчитывается как:
/ * = /0 +Д*. (12)
Длина широких вырезов не принимается во внимание, т.е. /0 = 0. Критическая длина краевой трещины для широких вырезов, когда /0 = 0, равна:
/ *=Д*. (13)
Предстоит получить оценки критических состояний для трещиноподобных дефектов в квазихрупких материалах, принимая во внимание соотношения (10), (12). Очевидно, что соотношения (10), (12) и ширина зон предразрушения (пластичности) в вершине концентратора напряжений должны приниматься в расчет при подсчете критического раскрытия трещиноподобного дефекта во втором соотношении достаточного критерия разрушения (1), (2). Ниже не изучается разрушение около широкого концентратора напряжений, когда выполнены соотношения (11) и (13). Частично исследования для краевых трещин выполнены в работе [13].
4. Модель зарождения трещины (I мода) около трещиноподобного дефекта
Продолжим более детальное исследование трещино-подобных дефектов типа узких и-образных вырезов, имеющих закругление в вершине радиуса R. Пусть соотношения (10), (12) выполнены для таких вырезов. При постепенном нагружении в окрестности концентратора напряжений может появиться зона пластичности в квазихрупком материале. Когда протяженность этой зоны пластичности по оси Ох достигает эффективного диаметра структуры разрушения г, то выполняется необходимый критерий (1), что соответствует схеме на рис. 1, в, г при А = 0. Обозначим критические напряжения ст—п/сту и ст—п/сту для трещиноподобного дефекта согласно необходимому и достаточному критериям соответственно. Приведем оценку критических напряжений для узкого и-образного выреза через коэффициент концентрации напряжений кп. Этот вырез моделируется вытянутым эллипсом. Коэффициент концентрации напряжений кп в вершине большей оси эллипса имеет вид [10, 19, с. 26-29]:
кп = 27/7* +1, (14)
где 2/0 — длина эллипса или трещиноподобного дефекта, причем /0 >> г. Первый член в соотношении (14) имеет особенность при R ^ 0. Используем приближенное представление коэффициента интенсивности напряжений КГ—п для узкого выреза через коэффициент концентрации напряжений кп:
К,—д (л/П7 + л/Пя/2). (15)
Представление (15) в пределе переходит в коэффициент интенсивности напряжений К1 для трещины [19]:
= [ст~ ^ + л/Пя/2) ] = ст^л/П/.
Для узкого выреза уточним представление (4) поля нормальных напряжений сту (х, 0) на продолжении модельной трещины. Уточненное соотношение описывает поле нормальных напряжений ступ (х, 0) на продолжении узкого выреза:
ступ(х, 0) = К:п/(2гсх)1/2 + ст—, (16)
К1п = КI—п + К1Д' К1Д <
причем для коэффициента интенсивности напряжений КГ—п справедливо приближенное представление в виде (15), слагаемое К1Д сохраняет прежний вид.
Для узкого выреза аналитическое описание раскрытия модельной трещины 2vn (х, 0) для х < 0 имеет вид (ср. с (5)):
оценка
2v п (-х, 0) = К,
^ -П, К,п > 0.
(17)
Отождествляя ширину зоны предразрушения ап с шириной зоны пластичности в вершине реального выреза для плоского деформированного состояния, в отличие от соотношения (6) для узкого выреза получается
К
ап =-
I—п
2пст;
2 + (1 - 2 ц)2
(18)
Критическое раскрытие трещины 8п, при котором разрушается ближайшая к центру выреза область зоны предразрушения, подсчитывается по соотношению
8*п = (е1 -^К. (19)
Повторим для соотношений, описывающих трещи-ноподобные дефекты, все преобразования, ранее выполненные для трещин. Воспользуемся выражениями (16)-(19) для получения оценки критического состояния трещиноподобного дефекта в достаточном критерии (1), (2). При преобразованиях в равенствах (1), (2) удерживаются члены с множителями Л/Д* Ц* а члены с
. \ п I п '
множителями ДД //* << 1 опускаются. При определении критической длины выреза 2/* = 2/0 + 2Дп используется критическая длина зоны предразрушения Дп. После соответствующих преобразований получаются аналитические выражения для критических параметров ст—п и Дп для трещиноподобных дефектов. Кроме того, введем в рассмотрение критические напряжения ст—п, вычисленные по необходимому критерию разрушения, когда Дп = 0. Если критические параметры достаточного критерия ст—п и Дп для узких вырезов описывают разрушение квазихрупких материалов, то критические параметры необходимого критерия ст—п, Дп = 0 подходят для описания разрушения хрупких материалов для тех же узких вырезов. Окончательно для плоского деформированного состояния для трещиноподобного дефекта имеем
—п
ст
ст—
2 _ 1+^/R7
1-3 + 2(1 - 2ц)2 х 8п(1 -ц2)
-1
2/П '
(20)
ст
^ 1 + ^12/0/г ' дп _[з + 2(1 - 2ц )2 ]2
1* =
(<
29 (1 -ц2)2
-е У(
1+
1 1
24/
У
Если
1 -
3 + 2(1- - 2ц)
8п(1 - -ц2)
(21)
(22)
тогда приближенные выражения (20) и (21) имеют смысл. Неравенство (22) является ограничением, кото-
х
рое выполняется только для хрупких и квазихрупких материалов для первого класса решений Кп > 0, когда R > 0. Комплексный параметр
Г т—\2
характеризует квазихрупкое поведение материала при наличии узкого И-образного выреза с радиусом закругления R. Для плоского напряженного состояния кри-
* А *
тические параметры аооп и Ап подсчитываются по выражениям (20) и (21), если в этих выражениях положить ц = 0. При построении диаграмм разрушения
а!п = а!п(27(>/г, Я^) или а^ = а^(27»/г, Я/г), а*Жп =а!п (27*/г, Я7*) или а^ =а!п (27*/г, Я/г)
трещиноподобных И-образных вырезов используются три параметра г, а^ (е1 -£0)/£0, характеризующих материал, и один геометрический параметр Яг. Если известны критический коэффициент интенсивности напряжений К1с и классическая о-е-диаграмма материала, то эти три параметра могут быть легко подсчитаны, см. (9).
По полученным соотношениям (7) и (20) для трещин и трещиноподобных дефектов были выполнены расчеты. Результаты расчетов представлены в виде диаграмм квазихрупкого разрушения для плоского напряженного состояния для трещин и трещиноподобных дефектов на рис. 2 и 3, каждая из диаграмм состоит из пары кривых. На рис. 2 кривые 1 и 2 — диаграммы квазихрупкого разрушения для трещин, кривые 3 и 6, 4 и 7, 5 и 8 — диаграммы квазихрупкого разрушения для трещиноподобных дефектов (узких И-образных вырезов).
Критические кривые 1, 2 и 3, 4 построены для а^, а^ 0*
и а^п , а^п по соотношениям (7) и (20) соответственно. При выполнении расчетов использовались параметры (£1 -£ 0)/£ 0 = 2.5, ц = 0 квазихрупкого материала. Диа-
граммы квазихрупкого разрушения для вырезов на рис. 2 отличаются безразмерным параметром Я/ г, характеризующим закругление И-образного выреза: диаграммы 3, 6; 4, 7; 5, 8 построены соответственно для параметров Яг = 0.2, 1.0, 2.0. Приведенные на рис. 2 диаграммы квазихрупкого разрушения разделяют первый квадрант на три подобласти, соответствующие сплошности, накоплению повреждений и полному разрушению. Подобласть сплошности образцов расположена ниже кривой 1 для образцов с трещинами и ниже кривых 3, 4, 5 для образцов с трещиноподобными дефектами при Яг = 0.2, 1.0, 2.0 соответственно. Подобласть полного разрушения образцов расположена выше кривой 2 для образцов с трещинами и выше кривых 6, 7, 8 для образцов с трещиноподобными дефектами при Я/г = 0.2, 1.0, 2.0 соответственно. Подобласть накопления повреждений в зоне предразрушения образцов расположена между кривыми 1 и 2 для образцов с трещинами и между кривыми 3 и 6, 4 и 7, 5 и 8 для образцов с трещиноподобными дефектами при Яг = 0.2, 1.0, 2.0 соответственно.
На рис. 3 кривые 1 и 2 — диаграммы квазихрупкого разрушения для трещин, кривые 3 и 4 — диаграммы квазихрупкого разрушения для трещиноподобных дефектов при Я/г = 2 (узких И-образных вырезов). Подобласти накопления повреждений в образцах заштрихованы вертикальными сплошными линиями для образцов с трещинами и пунктирными линиями для образцов с трещиноподобными дефектами при Яг = 2. На плоскости «длина трещины - внешние напряжения» отмечены две точки А и В, соответствующие двум возможным режимам малоциклового нагружения.
На рис. 4 приведены диаграммы квазихрупкого разрушения (кривые 1 и 2) для трещин и трещиноподобных дефектов (узких вырезов) (кривые 3 и 4, 5 и 6). Параметры (£1 - £0)/£0 = 2.5, ц = 0, Яг = 1 были использованы при построении кривых 1, 2, 3, 4. Кроме того,
а^/ау, аоо/ау
0.1 0.5 1 5 10 50100 21/г
Рис. 2. Диаграммы квазихрупкого разрушения для плоского напряженного состояния для трещин и трещиноподобных И-образных вырезов, когда узкие вырезы классифицируются по безразмерному параметру Я/г (кривые 3-8)
а^/ау, стоо/ау
0.1 0.5 1 5 10 50 100 21/г
Рис. 3. Диаграммы квазихрупкого разрушения для плоского напряженного состояния для трещин и трещиноподобных И-образных вырезов Яг = 2, точки А и В соответствуют двум возможным режимам малоциклового нагружения
Рис. 4. Диаграммы квазихрупкого разрушения для плоского напряженного состояния для трещин и трещиноподобных и-образных вырезов, когда узкие вырезы классифицируются по безразмерным параметрам 1/ г = 1 (кривые 3,4) или 1// = 0.1 (кривые 5, 6)
при построении кривых 5 и 6 на рис. 3 по соотношениям (20) для параметров ст—п и ст—п использовались другие безразмерные параметры вырезов (е1 -е0)/е0 = 2.5, т = 0, ^г = 0.1. Отличие приведенных диаграмм на рис. 2, 3 от диаграмм на рис. 4 сводится к тому, что на рис. 2, 3 и 4 узкие вырезы классифицируются по разным безразмерным параметрам 1/г и 1//.
Критические напряжения ст— для трещин и ст—п для вырезов являются нижними оценками, критические напряжения ст— для трещин и ст—п для вырезов — верхними оценками для соответствующих задач.
Каждая диаграмма квазихрупкого разрушения для трещин и трещиноподобных вырезов состоит из пары кривых, которые разделяют первый квадрант плоскости «критическая нагрузка - относительная длина дефекта» на три подобласти: 1) ниже кривых, соответствующих ст— и ст—п, разрушение отсутствует; 2) между кривыми, соответствующими ст— и ст— или ст—п и ст—п, имеет место накопление повреждений в зоне предраз-рушения при повторных нагружениях; 3) выше кривых, соответствующих ст— и ст—п, имеет место разрушение при однократном нагружении.
Очевидно, что критические напряжения ст—п/сту для трещиноподобного дефекта превосходят критические напряжения ст—п/сту для трещины, т.к.
ст—п/ст—= 1+ 4ЩТ0. (23)
Критические напряжения ст—п/сту для трещиноподобного дефекта превосходят критические напряжения ст—п /сту для трещины, причем влияние затупления только частично связано с концентрацией напряжений (23). Это влияние проявляется двояко: 1) из-за уменьшения концентрации напряжений для выреза по сравнению с концентрацией напряжений для трещины, когда R > 0; 2) из-за увеличения ширины зоны пластичности для выреза по сравнению с зоной пластичности в окрест-
ности вершины трещины. Одновременно сужается область существования решения задачи о трещиноподоб-ном дефекте для квазихрупких материалов из-за ограничения (22).
Радиус закругления R трещиноподобного дефекта существенно влияет на величины критических напряжений ст—п/стY и ст—п /стY. Полученные результаты для критических напряжений ст—п/сту полностью согласуются с натурными экспериментами, приведенными в работе [20]. Радиус закругления R трещиноподобного дефекта можно измерять либо в эффективных диаметрах структур разрушения г (в безразмерном виде 1/г), либо в полудлинах трещин I (в безразмерном виде 1/ /).
Выполненные теоретические построения помогают объяснить существование ловушки, в которую могут попадать экспериментаторы при выполнении натурных экспериментов на образцах, изготовленных из квазихрупких материалов. Допустим, что в натурном эксперименте необходимо получить критический коэффициент интенсивности напряжений КГс квазихрупкого материала. Сначала в выбранном типе образца тем или иным способом осуществляется трещиноподобный вырез с некоторым радиусом закругления R. Теперь необходимо создать острую трещину в вершине концентратора, для того чтобы критический коэффициент интенсивности напряжений КГс описывал разрушение образца с трещиной. Для проведения натурных экспериментов [1, 2, 17] по разрушению образцов рекомендуется подращивание трещины, для этого образец с узким вырезом подвергают нагружению в режиме малоцикловой усталости. Пусть выбран уровень нагружения образца ст—п/сту с трещинопободным дефектом. Выбранный уровень нагружения образца ст—п/сту моделируется точками А или В на рис. 3 (ст—п/сту — безразмерная амплитуда нагружения при пульсирующем приложении нагрузки). Этот уровень нагружения должен удовлетворять ограничениям ст—п/сту < ст—п/сту < ст—п /сту. После некоторого числа циклов в вершине выреза образуется зародышевая трещина [21, 22] при скачкообразном продвижении вершины. После образования зародышевой трещины могут реализоваться два случая:
1) образец разделяется на части, если амплитуда нагрузки превосходит критические напряжения ст—п/ сту для трещины, этот режим соответствует точке В на рис. 3, т.е.
ст—д / ст у > ст—/ст у; (24)
2) образец не разделяется на части, если амплитуда нагрузки не превосходит критические напряжения ст—п / сту для трещины, этот режим соответствует точке А на рис. 3, т.е.
ст—д/ ст у <ст—/сту. (25)
Только в последнем случае образец с подрощенной трещиной пригоден для дальнейших испытаний. При-
мем во внимание соотношения (24), (25), тогда, чтобы избежать ловушки, выбранный уровень нагружения должен удовлетворять двусторонним ограничениям
(26)
^y < <^n/ay <
Подобласть, соответствующая соотношению (26), отмечена на рис. 3 двойной штриховкой. Построенная подобласть нагружения (26) может даже отсутствовать или быть очень узкой, см. результаты расчетов на рис. 2-4. Подчеркнем, что эта подобласть нагружения тем уже, чем квазихрупкий материал ближе к хрупкому материалу, т.е. чем меньше параметр (е1 -е 0)/е 0.
5. Обсуждение
Предлагаемый достаточный критерий разрушения (1), (2) является двухпараметрическим, этот критерий превращается в однопараметрический необходимый критерий разрушения (1) при А = 0. Приведенное выше изложение по определению критических нагрузок треЩин ст°й/ст1«/сту
,0
^ и трещиноподобных и-образ-ных вырезов ст^я/сту, ст^/сту, К/С выполнено в терминах механики трещин для квазихрупких материалов, точнее для вырезов:
_о _ _0
f
„ l0 R
^y 5 5
r0 r0
Л
I
* *
l *
A *
A
l *
R
r
Л
(27)
Л
Рекомендации по привлечению терминологии механики трещин при изучении задач разрушения содержатся в работе [23]. Кроме использования этой терминологии желательно уточнить поведение квазихрупких материалов при нелинейном деформировании. Выше при описании поведения квазихрупких материалов за основу выбрана модель упруго-идеальнопластического материала, имеющего предельное относительное удлинение е1. В выполненных исследованиях удалось выделить два набора параметров, характеризующих геометрию образцов //г ,Я/г или и свойства квазихрупкого материала г, сту, (е1 - е0)/е0. Ранее в работах [21, 22] рассматривался геометрический параметр, характеризующий ширину образцов. Параметры материала г, Сту, (е1 -е0)/е0 в соотношениях (27) можно отыскать, если известны результаты двух лабораторных экспериментов: критический К1с и аппроксимация классической о-е-диаграммы материала. Таким образом, отпадает необходимость обсуждать, что важнее: прочность или трещиностойкость но только для квазихрупких материалов, см. [7].
Обзор [24] посвящен локальным критериям разрушения хрупких и квазихрупких тел в окрестности кон-
центраторов напряжений, все рассматриваемые критерии разрушения в этом обзоре — однопараметрические критерии. Также в этом обзоре обращено внимание на свойства материалов, из которых изготовлены конструкции. Показано, что пределы текучести и прочности материала, его относительное удлинение при растяжении влияют на формулировки критериев разрушения даже тогда, когда используются однопараметрические критерии. Авторы обзора предлагают использовать удельную плотность энергии деформации при построении однопараметрических локальных критериев разрушения. Предлагаемый необходимый критерий разрушения, являющийся однопараметрическим и описывающий хрупкое разрушение и-образных вырезов, почти не отличается от обсуждаемых работ на с. 12-15 обзора [24]. Обратим внимание на два обстоятельства, которые отличают предлагаемый необходимый критерий разрушения от классических построений: 1) если в обзоре [24] на с. 13 приведены грубые аппроксимации экспериментальных результатов микроструктурного параметра, то формула (9) дает аналитическое выражение для эффективных диаметров структур разрушения хрупких материалов г0; 2) из-за учета гладких составляющих поля напряжений около вершины выреза (16) предлагаемыми оценками критического параметра ст°п / сту для хрупких материалов можно пользоваться как для длинных трещиноподобных дефектов 2/0/г0 > 7 так и для средних длин трещиноподобных дефектов 2/0/г0 ~ 7 -10. В обзоре [24] не удалось найти работ по квазихрупким материалам, описывающих разрушение около и-образных вырезов, когда используется модель упруго-идеальнопластического материала, имеющего предельное относительное удлинение е1. Предлагаемый подход при построении двухпараметрических критериев разрушения не противоречит критерию удельной плотности энергии деформации в вершине выреза, т.к. содержит два ключевых параметра и е1.
Когда удается отделить геометрические параметры образцов от параметров квазихрупкого материала (27) при описании критических состояний системы, тогда достаточно просто ввести параметр, характеризующий накопление повреждений при повторных нагружениях [21, 22]. Целесообразно также сослаться на работу [25], в которой обсуждается обобщение подхода Баренблат-та-Ботвиной на безразмерный анализ роста усталостных трещин.
6. Заключение
Предложена модель возникновения трещин около концентраторов напряжений в квазихрупких материалах. Для трещиноподобного и-образного выреза с известным радиусом закругления R построены в широком диапазоне изменения длин трещиноподобных дефектов диаграммы квазихрупкого разрушения. При построении
этих диаграмм используются один геометрический параметр и три параметра, характеризующие квазихрупкий материал. Приведены формулы, связывающие последние три параметра с данными двух лабораторных экспериментов по определению критического коэффициента интенсивности напряжений KIc и классической o-e-диаграммы материала. В качестве модели выбран упруго-идеальнопластический материал, который имеет предельное относительное удлинение. При увеличении радиуса закругления R критические напряжения для вырезов существенно превосходят критические напряжения для трещин. Построенные графики на плоскости «внешняя нагрузка - длина трещиноподобного дефекта» разделяют эту плоскость парой кривых на три подобласти, соответствующие отсутствию разрушения, накоплению повреждений в материале зоны предразрушения при повторных нагружениях и разделению образца на части при монотонном нагружении.
Литература
1. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Партон В.З. Основы механики разрушения материалов. Т. 1 // Механика разрушения и прочность материалов: Справ. пособие в 4-х т. - Киев: Наукова думка, 1988. -488 с.
2. Zhu X.-K., Joyce J.A. Review of fracture toughness (G, K, J, CTOD, CTOA) testing and standardization // Eng. Fract. Mech. - 2012. -V. 85. - P. 1-46.
3. Eleces M, Guinea G.V., Gomez J., Planas J. The cohesive zone model:
advantages, limitations and challenges // Eng. Fract. Mech. - 2002. -V. 69. - P. 137-163.
4. CornecA., ScheiderI., SchwalbeK.-H. On the practical application of the cohesive model // Eng. Fract. Mech. - 2003. - V. 70. - P. 19631987.
5. Желтое Ю.П., Христианович С.А. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. - 1955. -№ 5. - С. 3-41.
6. Goodier J.N. Mathematical Theory Equilibrium Cracks // Fracture an Advanced Treatise. V. 2 / Ed. by H. Liebowitz. - New York, London: Academic Press, 1968. - P. 1-66.
7. Leguillon D. Strength or toughness? A criterion for crack onset at a notch // Eur. J. Mech. A. Solid. - 2002. - V. 21. - P. 61-72.
8. Newman J.C., James M.A., Zerbst U. A review of the CTOA/CTOD fracture criterion // Eng. Fract. Mech. - 2003. - V. 70. - P. 371-385.
9. Castrodeza E.M., Perez Ipina J.E., Bastian F.L. Fracture toughness evaluation of unidirectional fiber metal laminates using traditional
CTOD (8) and Schwalbe (85) methodologies // Eng. Fract. Mech. -2004. - V. 71. - P. 1127-1138.
10. Neuber G. Kerbspannunglehre: Grunglagen fur Genaue Spannungsrechnung. - Berlin: Springer-Verlag, 1937.
11. Новожилов B.B. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ. - 1969. - Т. 33. - № 2. - С. 212-222.
12. Корнев B.M. Оценочная диаграмма квазихрупкого разрушения тел с иерархией структур. Многомасштабные необходимые и достаточные критерии разрушения // Физ. мезомех. - 2010. -Т. 13.- № 1. - С. 47-59.
13. Корнев B.M., Демешкин А.Г. Диаграмма квазихрупкого разрушения тел со структурой при наличии краевых трещин // ПМТФ. -2011. - Т. 52. - № 6. - С. 152-164.
14. Корнев B.M. Критические кривые разрушения и эффективный диаметр структуры хрупких и квазихрупких материалов // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 5. - С. 25-34.
15. Леонов М.Я., Панасюк B.B. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикл. механика. - 1959. - Т. 5. - № 4. - С. 391-401.
16. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids. - 1960. - V. 8. - P. 100-104.
17. Керштейн И.М., Клюшников B.^, Ломакин E.B., Шестериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 140 с.
18. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: В 2 т. / Под ред. Ю. Мураками. - М.: Мир, 1990. - Т. 1. - 448 с.
19. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами, т. 2 // Механика разрушения и прочность материалов: Справ. пособие: в 4-х т. - Киев: Наукова думка, 1988. -620 с.
20. Демешкин А.Г., Корнев B.M., Кургузов BД. Зарождение трещин в окрестности концентраторов напряжений в квазихрупких материалах // Изв. РАН. МТТ. - 2012. - №1. - С. 110-121.
21. Kornev V.M. Quasi-brittle fracture diagrams under low-cycle fatigue (variable amplitude loadings) // Eng. Fail. Anal. - 2013. - V. 35. -P. 533-544.
22. Kornev V.M. A Model for Fatigue Crack Growth with a Variable Stress. Description in Terms of Crack Mechanics // VII Int. Conf. Low Cycle Fatigue, Aachen, Germany, September, 9-11, 2013. - P. 419-424.
23. Murakami Y., Miller K.J. What is fatigue damage? A viewpoint from the observation of low-fatigue process // Int. J. Fatigue. - 2005. -V. 27. - P. 991-1005.
24. Berto F., Lazzarin P. Recent developments in brittle and quasi-brittle failure assessment of engineering materials by means of local approaches // Mater. Sci. Engin. R. - 2014. - V. 75. - P. 1-48.
25. Ciavarella M., Paggi M., Carpinteri A. One, no one, and one hundred thousand crack propagation laws: A generalized Barenblatt and Botvina dimensional analysis approach to fatigue crack growth // J. Mech. Phys. Solids. - 2008. - V. 56. - P. 3416-3432.
Поступила в редакцию 20.10.2014 г., после переработки 17.03.2015 г.
Сведения об авторе
Корнев Владимир Михайлович, д.ф.-м.н., проф., гнс ИГИЛ СО РАН, [email protected]
