Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина О БЕСКОНЕЧНО БЛИЗКИХ К БАЗЕ ЭЛЕМЕНТАХ
Исследованы свойства бесконечно близких к базе элементов двумерно упорядоченного алгебраически замкнутого поля. Показано, что каждый элемент, являющийся пределом последовательности элементов базы, бесконечно близок к базе или принадлежит ей.
В данной статье мы придерживаемся понятия двумерного порядка и двумерно-упорядоченного поля, введенных в [1, 2]. Другое (неэквивалентное) определение «-упорядоченного множества см. в [3]. Верхний конус двумерно упорядоченного поля Р обозначен через Ри. В двумерно упорядоченном поле верхний конус играет роль, аналогичную роли положительного конуса в линейно упорядоченном поле. Все основные понятия, относящиеся к двумерно упорядоченным полям, определены в [2].
Кольцо бесконечно близких к базе элементов
Теорема 1. Пусть (р, Р ^ есть двумерно упорядоченное поле с топологией порядка. Пусть последовательность элементов базы (а | т < в) сходится к а. Тогда а или принадлежит базе р , или бесконечно близок к р .
Доказательство. Если а е Р, то теорема доказана.
В линейно упорядоченном поле каждая сходящаяся последовательность содержит монотонную подпоследовательность.
Не уменьшая общности, будем считать, что сходящаяся последовательность (а | т < в) монотонно воз-
о
растает и а е Ри, а > 0. Пусть Ь е Р0,0 < Ь < а. Найдётся ординал Р0, такой что т > Р0 ^ а > Ь > 0. Умножение в (р, Р ^ непрерывно, поэтому Нтт<р а = °к . Пусть
к - натуральное число. Существует такой ^ > Р0, что при т > в выполнено а е К, (а) . Отсюда
А. . А. А. А. А. А. А. ^ 7 А. / /) \А. ^ л
8 > а - ах >-8 , а > ах -8 > Ь - (у) > 0.
При всех натуральных к выполнено
о
а е р'ПРг. (*)
В самом деле, при к = 1 (*) верно. Пусть (*) выполнено для некоторого к. По лемме 3.4.4 из [2] получаем ак+х е Р .
Так как ак е Рг при всех натуральных к, то
о
ам е Р П Р .
Пусть с < а, с е р . Последовательность а[ = а% - с сходится к а - с > 0 . Из вышесказанного следует, что (а - с) > 0 .
Итак, если с < а, с е р , то для всех натуральных п выполнено (а - с)" > 0 . Значит, а бесконечно близко к базе р.
Следствие 2. Все элементы кольца р [а] бесконечно близки к базе р .
В самом деле, все элементы кольца р [а] являются пределами сходящихся последовательностей элементов базы р , следовательно, принадлежат базе или бесконечно близки к ней.
Следствие 3. Пусть х е р [а], х £ р . Тогда
1. а) для каждого г е р, г < х и каждого натурально-
0
го п выполнено (х - г)" е Ри или
Ь) для каждого г е р, г < х и каждого натурального
о
п выполнено (х - г)" е (- Р);
2. а) для каждого г е р, г > х и каждого натурально-
0
го п выполнено (г - х)" е Р или
Ь) для каждого г е р, г > х и каждого натурального
о
п выполнено (г - х)" е (- Р ) .
Доказательство. 1) См. следствие 2.
2) Пусть х е р [а], х й р, г е р, г > х . Так как
Р [а] - кольцо, то (-х) е р [а] и (-х) > (-г). Теперь, в
силу 1. для всех п выполнено одно из двух: о о
a) (-х - (-г))" £ Р , т.е. (г - х)" е Р ;
о
b) (г - ху е (- Р).
Теорема 4. Пусть (Р, Р^ есть двумерно упорядо-
0
ченное поле с топологией порядка. Пусть а е Р бесконечно близко к Р0 и производит в Р0 симметричное сечение [4]. Тогда
a) если г е р, г < а , то для всех натуральных п выполнено
0
(а - г)" е Р ;
b) если г е р, г > а, то для всех натуральных п выполнено
0
(г - а)" е (- Р ) .
Доказательство а) следует из определения элемента, бесконечно близкого к базе.
Докажем Ь). Пусть а бесконечно близко к базе Р0 и производит в Р0 симметричное сечение (А, В) . Пусть г е р, г > а, следовательно, г е В . По свойству симметричного сечения существует такое ре А, что
а — р < г — а .
о
Имеем а -р,(г - а)_1 е Р п Р . В р \ р опреде-
о
лено отношение предпорядка х ■< у , если ух~1 е Р [2].
Покажем, что а - р у г - а .
Обозначим 8 = г - р . Имеем а -р< (р- а) + 8 ,
2(а -р) < 8 .
5 5
Итак, — - (а - р) > 0. Так как — - (а - р) е -Р , то и
8 , 0 - (а -р))' е- р .
82 , 0 Отсюда — -8(а -р) + (а -р)‘ е - Р . Отбрасывая сла-
0
гаемое из Р0, находим -8(а -р) + (а -р)2 е - Р ,
о
(а - р)(а - р - 8) е - Р .
о
Наконец, (а - р)(г - а) е Р ,
(а -р) У (г - а)-1 У1. (1)
По лемме 3.4.2. из [2] неравенства вида (1) можно почленно умножать на элементы из Р/р, если в по-
РЫ
.
Пользуясь этим приёмом, получим для всех натуральных п
(а - р)" у (г - а)" У1.
Отсюда (г - а) бесконечно близко к базе, что и требовалось.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пестов Г.Г. n-упорядоченные множества // Труды Иркутского государственного университета. 1965. Т. 74, вып. 6. С. 146-169.
2. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск: Томский государственный университет, 2003. 128 с.
3. NovoaL.G. On n-ordered sets and order completeness // Pacific J. Math. 1965. Vol. 15, № 4. Р. 1337-1345.
4. Пестов Г.Г. К теории сечений в упорядоченных полях // 2001. Т. 42, № 6. С. 1350-1360.
Статья представлена кафедрой математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 1 декабря 2006 г., принята к печати 8 декабря 2006 г.