О сечениях в базе 2-упорядоченного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина О СЕЧЕНИЯХ В БАЗЕ 2-УПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛЯ

Рассматриваются свойства сечений в базе двумерно упорядоченного поля. Получено уравнение, характеризующее такие сечения, и сформулированы некоторые следствия.

Две функции в 2-упорядоченном поле

Пусть в (Р, Р нет бесконечно малых (следова-

тельно, и бесконечно больших [1], лемма 5.3.18). Обозначим через Р0 непрерывное замыкание поля Р0 . Пусть )т<а есть последовательность элементов базы, сходящаяся к а £ Р0 . Тогда ([1], теорема 6.3.4.), а бесконечно близок к базе Р0 . Фундаментальная последовательность элементов линейно упорядоченного поля Р0 включает эквивалентную монотонную подпоследовательность. Будем считать, что последовательность (аТ Х<а - монотонно возрастающая.

Определение 1.1. Пусть х е р [а]. Положим

у" (а) = {г е Рй\га <и х} , (а) = {г е Р |х <и га} .

Если (у“ (х), (х)) есть фундаментальное сечение

в Р0 , то элемент из Р0 , который производит это сечение, обозначим через фа (х). Пусть для определён-

О

ности а е Р “ П Рг.

Определение 1.2. Пусть х е р [а]. Положим ф~ (х) = {г е Р \г < х} , ф+ (х) = {г е Р |х < г} .

Если (ф_ (х), ф+ (х)) есть фундаментальное сечение в Р , то элемент из Р , который производит это сечение, обозначим через ф(х).

По определению ф имеем

ф~(а) = {г е Р \т < а} , ф+ (а) = {г е Р |а < г} .

Так как последовательность )т<а фундаментальная и возрастающая в р , то сечение (ф_ (а), ф+ (а)) фундаментально в р , следовательно, значение ф(а) определено.

При любом фиксированном натуральном п последовательность (О-') фундаментальна, монотонна и сходится к ап . Следовательно, сечение (ф_ (а"), ф+ (а")) фундаментально в р . Поэтому ф(а") определено.

Лемма 1.1. ф(а" ) = ф" (а) .

Доказательство следует немедленно из определения фундаментального сечения в линейно упорядоченном поле.

Далее, очевидно, что ф - линейная функция,

Е ^ а ] = Е У.

Итак, функция ф определена всюду на р [а]. Основное уравнение

Теорема 2.1. Для каждого бесконечно близкого к базе р элемента а е Р выполнено равенство

/ т \ / т-1 \ т-1 / \

у а (а ) = тф(а ) = тф (а) .

Доказательство. В [1] доказано включение

т(ф" (а))т-1 - (ат ). (1)

Докажем включение

т(ф+ (а))т-1 + (ат ) . (2)

Пусть а > 0 . Пусть 0 < г0 < г < а < s , где

о

г _ 0, г, s е р+ , а е Ри .

Имеем

ат = (^ - а))т =

= ^ - т(5 - а)^1 + С2 - а)2 Бт~2 ...(-1)" (я - а)т,

т т , т-1 т , /-»2/ \2 т-2 / 1\/я/ \т

а = з + таз - гая + Ст (5 - а) 5 •••(-]-) - а) .

Обозначим

Д(*) = [(^ (5 - а)2 ^2 - С ( - а)) ^3) +... +

+(СГ ‘(^ - аГ1 ^ - (* - аГ)1

для нечётного т и

Д(5) = [(^ (* - а)2 ^2 - С (^ - а)3 3) +... +

+(^2 (^ - а)"-2 / - ^1 (* - а)т~1 я) + (^ - а)" ] для чётного т.

о

Покажем, что А(«) е- Р . Для этого достаточно показать, что каждая разность в круглых скобках и элемент (5 - а)т (случай чётного т) принадлежит

0

— Р . Элемент - а)т е - Р в силу теоремы об элементах, бесконечно близких к базе [3]. Рассмотрим произвольную разность.

//'"*£/ \к т—к г^к+1 / \к+1 т-к-1 \

(Ст (л - а) 8 - Ст (* - а) 8 ) =

= ст+1 (8 - а)к 8 т—к—1 ектг 8 - (8 - а))

\к „т—к—1

С

и-

С

к+1

Далее нам понадобится

Лемма 2.2. Пусть а - бесконечно близкий к базе

Тогда

У к е N а (е-а) е- Р .

Доказательство. 1) Пусть сначала к = 1.

О

Имеем (-----а ) е Ри П РГ, т.к. а - бесконечно

2

близкий к базе элемент, то и

о

С л

(— а ) е P“ П P ^ -sa + а е Ри П Рr ^

2

О

а(е - а) е - Ри П PГ •

2) Определим отношение частичного порядка: >- на

0 о

— P“ • Пусть а, ß е - P • Положим

о

ß ^ а О ßa1 е -P •

Можно показать, что это отношение антирефлек-сивно, антисимметрично и транзитивно. Имеем

О

a(s - a) е — Pu ^ a > (s - a)-1

О

ak >- а >- (s - a)~l ^ ak > (s - a)-1 ^ ak (s - a) e — Pu . Лемма доказана.

í r Ck ]

Обозначим ц = min ^ ’ 2 - k - m -H.

[ Cm J

Так как а производит фундаментальное сечение в

ц

Р0 , то s е Р0 можно выбрать так, чтобы 0 < s — a < —, r сk sCk

0^ m ^m r~

а значит, s — a <------------—- < —— при любом

’ '-y/'-'k+1 s-<k+1 r

2Cm Cm

2 < к < m -1.

Теперь условия леммы выполнены, следовательно, каждая скобка принимает вид

(/~i\ :/ \k m-k ^l+\( xi+1 m-k-í ч

(Cm (s - a) s - CM (s - a) s ) =

s~rk

у^к+l/ \k m-k-1/ Crn / w

= Cm (s -a) s (^Ts - (s - a)) =

Имеем

= -q(s - a)k (^ - (s - a)) e- pu ,

Ck+1 m-k—1 __ y-) ^ a

m s e P0 > Як > 0 , e

сk

(a - r)n+l-8 (a - r) n = (a - r) n (a - r-8). Выберем r > 0, r < a так, чтобы (a — r) < ^ - По

скольку а

бесконечно близко к базе Pn , a e Pu

(а-г) бесконечно близко к Р0 и для каждого натурального п:

О

(а - г)и е Ри П Рг.

Обозначим Ь = а-г. Теперь Ь < • По лемме

6.3.3. [1] для всех натуральных п > 0 выполнено Ь (8- а) >и 0 ^

(а - г )'’(8-а) > 0 и (а - г У > 0 ^ г (а - г У > 0 ^

( (а - г у (8-а) > 0 ) + ( г (а - г у > 0 ) ^

(а - г У (8 - а + г) >и 0,

или

(а - г )'’(8-(а - г)) > 0 .

Отсюда

(а - г У 8>и (а - г )Лт1 > 0 .

Итак, формула (3) доказана. Из (3) находим

(а - г) 2 <и §(а - г)>

откуда

Далее

Итак,

(a - r)2 <u §a-

(a - r)3 <u 8(a - r)2 <u 82a.

( \m ^ <?m-1

(a - r) <8 a.

/ \ n-+\ . <?n

(a - r) <u 8 a.

(4)

к ск+1 ,

С т

0 < s — а < ^2.

О

Так как нижний открытый конус — Р“ замкнут отО

носительно сложения, то А(^) е — Ри .

о

Итак, ат е Ри , ат = йт + та- тйт + А(.

Так как 5т — Ш8т е Р0, то ат <и тът -а. Следо-

т-1 _ + / ш\

вательно, Ш8 а (а ) .

Это включение получается для каждого 5 е ф+ (а). Значит, т(ф+ (а))т~1 с ^ ). Итак,

да(ф(а))иЧ ).

Докажем, что сечение (у~ (ап), ^ (ап)) фундаментально в Р0.

Пусть 8 е Р0 , 8 > 0. Убедимся, что существует такое Г е Р0, что для всех натуральных п 1 < п < т :

В равенстве

П П , / \ /7-1 , , / \П

а = г + п(а - г)г +... + (а - г) заменим слагаемые в правой части, используя неравенства (4). Получим

п ^ п—1 п-2 , ?и-1 /г\

а <и пг а + ЬСпг а +... + 6 а. (5)

Пусть ее р .

Выберем 8 е р так, чтобы выполнялось неравенство

6СИ2 Г ”-2 + ... + 6 ”-1 <8. Соответственно, выберем г ^ Р0+ так, чтобы г < Г) < а, а - тх - 5< 0 или а > ^1 > а — 8 .

Тогда из (5), учитывая неравенство Г < Г1, получим

П ^ / П-1 , \

а <и а(пг1 + е).

Это значит, что

(и^1 + е) (а" ), (6)

где

(a - r)n+1 <и 8(a - r)".

(3)

(7)

o

o

то и

о

Итак, для каждого £ > 0 существует такое Г1 <и а, Г1 е Р0 , что выполнены отношения (6), (7).

Но это означает, что сечение (у“ (ап), у (а )) фундаментально в Р0 , и значит, определено значение ¥ а П ) .

Далее

¥ - (ап ) = И(ф- )П-1 (а)

¥ + (ап ) = и(ф+ ) П-1 (а)

т.е.

фЛ (а" ) = пфл_1 (а) = пф(а'14).

Теорема доказана.

Очевидным следствием является следующая Теорема 2.3. Пусть Р есть 2-упорядоченное поле без

бесконечно малых относительно базы Р0 . Если

а Є Р есть предел последовательности элементов базы Г(х) є р [х], то имеет место равенство

V (Р (а)) = Р '(Ф(а)) = Ф( Р '(а))-

= и(ф - (аП-1)), = и(ф+ (аП-1)),

ЛИТЕРАТУРА

1. ПестовГ.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск: Хомский государственный университет, 2003. 128 с.

2. ПестовГ.Г., ФоминаЕ.А. О бесконечно близких к базе элементах // Вестник Томского государственного университета. 2007. № 297. С. 157-158. Статья поступила в редакцию журнала 11 декабря 2006 г., принята к печати 18 декабря 2006 г.