CC BY
37
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009 Математика и механика № 2(6)
УДК 512.623
Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина ПОДПОЛЕ В БЕСКОНЕЧНО БЛИЗКИХ К БАЗЕ ЭЛЕМЕНТОВ
В статье доказано, что бесконечно близкие к базе элементы образуют подполе двумерно упорядоченного поля {Р, Ри).
Ключевые слова: двумерно упорядоченное поле, бесконечно близкий к базе элемент.
Основные определения и результаты теории двумерно упорядоченных полей изложены в [1].
Бесконечно близкие к базе элементы
Определение 1. Пусть (Р, Ри) - двумерно упорядоченное поле с базой Р0. Элемент а е Р называется бесконечно близким к базе Р0, если:
Уи Уг е Р0 г < а ^ (а - г)" е Ри или У и У г е Р0 г < а ^ (а - г)" е - Ри.
Множество бесконечно близких к базе элементов обозначим через В. Определение 2. Пусть (Р, Ри) - двумерно упорядоченное поле с базой Р0. Элемент а е Р называется строго бесконечно близким к базе Р0, если:
О
Уи Уг е Р0 г < а ^ (а - г)" е Ри Р
О
или Уи Уг е Р0 г < а ^ (а - г)" е - Ри .
Множество строго бесконечно близких к базе элементов обозначим через
О
В = В \ Р0.
о О 0
Введём следующие обозначения: Ви = В п Ри; Ви = В п Ри .
Лемма 1. Пусть а е В. Если:
О О
1. а е Р“ , то У и У г е Р0 г < а ^ (а - г)" е Ри п Рг .
оО
2. а е -Р“ , то У и У г е Р0, г < а ^ (а - г)" е -Ри п Рг .
Доказательство.
о
гуи
1. Пусть а е Р . Согласно определению бесконечно близкого к базе элемента, имеем
о
Уи Уг е Р0 г < а ^ (а - г)" е Ри .
О
Так как г < а, то Уг (а - г) е Ри п Рг .
Предположим, что при каком-нибудь и* имеет место
О
(а - г)"’е Ри п-Рг
Тогда имело бы место следующее соотношение:
О
(а - г)2"* е - Р“,
что противоречит тому, что а - бесконечно близкий к базе элемент.
о
2. Случай а е -Ри рассматривается аналогично первому. В доказательстве
оо
всюду верхний конус Ри нужно заменить на нижний конус - Ри . Лемма доказана. Лемма 2. В + Р0 с В.
Доказательство. Пусть для определённости а е Ви, г е Р0. Имеем Уи Уг е Р0 г < а ^ (а - г)" е Ри,
тогда
У и Уг, г е Р0 г + г < а + г ^ ((а + г) - (г + г))" = (а - г)" е Ри. Следовательно, а + г е Ви и Ви + Р0 с Ви.
Аналогично доказывается, что -Ви + Р0 с -Ви. Значит, В + Р0 с В. Лемма доказана.
Отношение предпорядка в Ри
о
Пусть х, у е Ри. Если ух-1е Ри , то будем говорить, что у > X (х у).
оо
Лемма 3. Пусть а е Ри , Ь е Ви . Если
Ук1, к2 е Р0 к1 < а, к2 < Ь ^ (Ь - к2) ^ (а - к1),
о
то Уи (Ь - к2)" ^ (а - к1)" и а е Ви .
О
Доказательство. При и = 1 по условию (Ь - к2) ^ (а - к1) а - к1 е Ри п Рг . При и = I предположим, что
О
(Ь - £2/ ^ (а - Ъ)', (а - Ь)1 е Ри п Рг .
Пусть и = I + 1.
О
(Ь - *2)'(а - £1), (а - кО1 + 1 е Ри .
Тогда
(Ь - £2/ + 1 ^ (Ь - к2)1(а - £1) и (Ь - к2)1(а - £1) ^ (а - й)' + 1,
так как
о
(Ь - £2)1 + 1(Ь - £2)-1(а - £1)-1 = (Ь - £2)(а - £1)-1 е Ри (по условию)
о
и (Ь - £2)1 (а - £1)(а - £1)-(1 + ^ = (Ь - £2)1(а - £1)-1е Ри (по предположению)
Следовательно, (Ь - £2)1 + 1 ^ (а - £1)1 + 1 и, значит,
Уи (Ь - £2)" ^ (а - £1)".
О О О
А так как Уи (Ь - £2)" е Ри , то и (а - £1)" е Ри , значит, а е Ви , что и требовалось доказать.
Сумма бесконечно близких к базе элементов
Лемма 4. Пусть а, Ь е В . Тогда
О
УтУи У£1, £2 е Р0 (£1 < а, £2 < Ь) ^ (а - £1)т(Ь - £2)" е Ри .
О
гуЫ
Доказательство. Так как а, Ь е В , то
тУи У£1, £2 е Р0 (£1 < а, £
Тогда по лемме 3.4.3 [1]
О
УтУи У*1, £2 е Р0 (£1 < а, £2 < Ь) ^ ((а - £1)", (Ь - £2)" , (а - ^О2", (Ь - ^)2" е Ри ).
О
(а - йПЬ - £2)" е Ри ,
что и требовалось доказать.
Теорема 5. Если а, Ь е В, то а + Ь е В.
Доказательство. Доказательство достаточно провести для строго бесконечно близких к базе элементов, так как элементы базы Р0 образуют линейно упорядоченное поле. Для доказательства теоремы нужно рассмотреть 4 случая:
О О О
a) а, Ь е Ви ; с) а е Ви , Ь е - Ви ;
О О О
b) а, Ь е - Ви ; ё) а е - Ви , Ь е Ви .
Первый случай аналогичен второму, третий - четвёртому.
О
гуи
а) Пусть а, Ь е В . Тогда
Докажем, что
О
У и У£1 е Р0 (£1 < а) ^ (а - £1)" е Ри п Рг,
О
Уи У£2 е Р0 (£2 < Ь) ^ (Ь - £2)" е Ри п Рг.
О
Уи У£ е Р0 £ < а + Ь ^ ((а + Ь) - £)" е Ри
Так как £ < а + Ь, то найдутся такие £1, £2 е Р0, что
£1 < а, £2 < Ь; £ = £1 + £2.
Тогда
((а + Ь) - £)" = ((а - £1) + (Ь - £2))" =
= (а - £1)" + С1 (а - £1)" - 1(Ь - £2) + ... + Сяя-1 (а - *0(Ь - £2)" - 1 + (Ь - £2)".
Заметим, что
О
(а - й)", (Ь - £2)" е Ри ; по лемме 4 каждое слагаемое вида
Ся” (а - £1)" - "(Ь - £2)"
О
’-М
принадлежит Р
В силу замкнутости верхнего конуса относительно сложения, имеем
О
"
((а + Ь) - £)" е Р‘
Значит, а + Ь е В.
Аналогично рассматривается случай, когда а, Ь е - В;
ОО
2. Пусть теперь а е В , Ь е - В . Тогда
О
У и У£1 е Р0 (£1 < а) ^ (а - £1)" е Ри п Рг,
О
Уи У£2 е Р0 (£2 < Ь) ^ (Ь - £2)" е - Ри п Рг.
О
И пусть, для определённости, а + Ь е Р . Докажем, что
О
У и У£ е Р0 (£ < а + Ь) ^ ((а + Ь) - £)" е Ри , где £ = £1 + £2. Возможен один из следующих случаев:
a) (а - £1) ^ (Ь - £2)-1;
b) (а - £1) ^ (Ь - *2)-1.
Пусть для определённости имеет место случай а). Тогда
(а + Ь) - £ = (а - £1) + (Ь - £2) = (а - £1)[1 + (Ь - £2)(а - £1)-1],
[(а - £1) + (Ь - £2)](а - £1)-1 = [(а + Ь) - £ ](а - £1)-1 = 1 + (Ь - £2)(а - £1)-1.
О
Так как (Ь - £2), (а - £1)-1 е - Ри п Рг, то по лемме 3.4.4 [1]
О
(Ь - **)(а - *1)-1е - Ри ,
О
1 + (Ь - **)(а - *1)-1е - Ри
О
и, следовательно, [(а + Ь) - £](а - £1)-1 е - Ри .
О
гуЫ
Так как (а + Ь) - £, (а - £1) е Р , то для этих элементов определено отношение порядка ^ и, согласно этому определению,
(а + Ь) - к< (а - £1).
Следовательно, по лемме 3
[(а + Ь) - £]" ^ (а - £1)"
О
и а + Ь е Ви ,
что и требовалось доказать.
Кольцо Р0[а]
Рассмотрим кольцо Р0[а], где а е В. Для элементов этого кольца имеет место следующее соотношение [2]:
Уя(Да)) = ^'(Ф(а)) =
где Да) е Р0[а].
О
~%и
Другими словами, если ^'(а) > 0, то Да) є Ри
О
Лемма 6. Пусть а є Ви ; г, р є Р0, г < а < р, а < (г + р)/2. Тогда
О
Уи (р - а)" є-Ри .
Доказательство. Рассмотрим следующее произведение:
(а - г)(р - а) = - а2 + а(г + р) - гр е Р0[а] .
Тогда
уа(- а2 + а(г + р) - гр) = ф(-2а + г + р) > 0 ^
О
(а - г)(р - а) = (а - г)((р - а)-1)-1 е Ри .
О О О
Так как (а - г), (р - а)-1е Ри [(Ри )-1 = -Ри ], то (а - г) > (р - а)-1.
Имеем
О
(а - г)" ^ (р - а)-" , (а - г)" е Ри ^
ОО
(р - а)-" е Ри ^ (р - а)" е-Ри , что и требовалось доказать.
(В, +) - подгруппа (Р, +)
Лемма 7. В = - В.
О
Доказательство. Пусть а е Ви . Обозначим Ь = -а. Тогда £ < Ь ^ £ < -а ^ -£ > а. Так как а - бесконечно близкий к базе элемент, то по лемме 6 имеем
ОО
(-£ - а)" е - Ри ^ (Ь - £ )" е - Ри .
О
Итак, £ е Р0, £ < Ь ^ (Ь - £ )" е - Ри . Это значит, что Ь - бесконечно близко к базе, т.е.
-а е В. Отсюда -В = В.
Ввиду теоремы 5 и леммы 7 получаем, что аддитивная группа (В, +) есть подгруппа группы (Р, +).
Критерий бесконечной близости к базе
ОО
Теорема 8. Элемент а е Ри (а е- Ри ) является бесконечно близким к базе Р0 элементом тогда и только тогда, когда
ОО
Уи Ур е Р0 (р > а) ^ (р - а)" е -Ри ((р - а)" е Ри ). Доказательство. Необходимость доказана в лемме 6.
О
Достаточность. Пусть Уи Ур е Р0 (р > а) ^ (р - а)" е-Ри . Докажем, что
О
а е Ви . Обозначим Ь = -а, р1 = -р.
Так как р > а, то Ь > р1. Имеем
О О О
(Ь - р1)" = (р - а)" е-Ри ^ Ь е-Ви (по определению) ^ а е Ви .
О
Аналогично рассматривается случай Уи Ур е Р0 (р > а) ^ (р - а)" е Ри . Теорема доказана.
Обратные элементы
о о
Лемма 9. (В ) = В .
О
Доказательство. Пусть а е Ви , а > 0. Выберем г е Р0+, такое, что г 1 > а -1.
О
Если г-1 > а -1, то г < а. Следовательно, (а - г)"е Ри ,
(г-1 - а -1)" = (а - г)"г-"а-",
О
1и
(а - г)а 1 = 1 - га 1 е Ри ,
ОО
так как ( Ри )-1 = - Ри .
ОО
(а - г), а е Ри ^ а - г ^ а ^ (а - г)" ^ а" (лемма 3) ^ (а - г)"а -" е Ри ^
О
" -" -" и
(а - г)"г-"а -" е Ри
Множитель г-" принадлежит Р0+ и, значит, не влияет на принадлежность элемента (а - г)"а -" к данному конусу. Имеем
О
-1 -1 " и
(г - а ) е Р .
-1 Ои -1 о
По критерию 8 получаем, что а е - Ви ^ а е В , что и требовалось доказать.
Произведение бесконечно близких элементов
ОО
Лемма 10. Пусть а, Ь е Ви п Рг (- Ви п Рг). Тогда аЬ е В.
Доказательство. Пусть £ < аЬ, тогда найдутся такие £1, £2 е Р0+, что
£1 < а, £2 < Ь; £ = £1£2.
Имеем
(аЬ - £)" = (аЬ - ад" = ((аЬ - ^Ь) + (^Ь - ад)" =
= (Ь(а - £1) + ^(Ь - £2))" =
= Ь"(а - £1)" + С1Ь" - ^(а - £1)" - 1(Ь - £2) + ... + ^"(Ь - £2)". (*)
ОО
Так как Ь е Р', то Уи Ь" е Ри (-Ри ) (в данном случае £2 = 0).
По лемме 4 слагаемые вида
ст ь" - т£1"(а - £1)" - "(Ь - £2)"
О О О О
принадлежат Ри (-Ри ). Ввиду замкнутости Ри (-Ри ) сумма (*) принадлежит
ОО
ии
Ри (- Ри ). Значит, аЬ е В, что и требовалось доказать.
Лемма 11. Если а е В, то а2 е В.
Доказательство.
ОО
1. Пусть а е Ви п Рг (- Ви п Рг). Тогда, по лемме 10, а2 е В.
О О О О
2. Пусть a е Bu п-Pr (-Bu п-Pr). Тогда -a е -B“ n Pr (B“ n Pr). Тогда, по лемме 10,
(-a)2 = a2 е B.
Лемма доказана.
Теорема 12. Если a, b е B, то ab е B.
Доказательство.
ab = /((a + b)2 - (a2 + b2)).
В силу теоремы 5, лемм 7 и 11, имеем ab е B.
Таким образом, мы доказали, что (B, +, •) - подполе двумерно упорядоченного поля (P, +, •).
ЛИТЕРАТУРА
1. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск, 2003.
2. Пестов Г.Г., Фомина Е.А. О сечениях в базе 2-упорядоченного поля // Вестник ТГУ. 2007. № 301. С. 94 - 96.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:
ПЕСТОВ Г ерман Г аврилович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: [email protected]
ФОМИНА Елена Анатольевна - аспирантка кафедры математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: [email protected]
Статья принята в печать 20.05.2009 г.
