О базисе Рисса из собственных и присоединенных функций интегрального оператора с ядром, разрывным на ломанной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Используя соотношение из [2, с. 139]

i

(k + i(i + 1)... (i + k - 1) = 1(1 + 1)... (l + k),

i=i

получаем

4(r) = k1! • k+Гr(r + 1)... (r + (k + 1) - 1) = к1!r(r + 1)... (r + k' - 1). Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Трахтенброт Б.А., Барздинь Я.М. Конечные автоматы (поведение и синтез). М.: Наука, 1970.

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1986.

УДК 517.984

А.А. Чурикова

О БАЗИСЕ РИССА ИЗ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ЯДРОМ, РАЗРЫВНЫМ НА ЛОМАНОЙ

В статье рассматривается вопрос о базисе Рисса из собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) оператора

i

У = Af = j A(x,t)f (t) dt. (1)

0

Считаем, что A(x,t) = 1 при {0 < t < x, 0 < x < 1/2} U {0 < t < 1/2, 1/2 < x < 1} U {1/2 < t < 3/2 - x, 1/2 < x < 1} и A(x, t) = 0 при остальных x и t. При этом предполагаем, что f (x) G L2[0,1].

Таким образом, ядро A(x,t) разрывно на ломаной. Для операторов вида (1) с ядрами, разрывными на произвольных ломаных, в [1] получены теоремы равносходимости. В данной статье устанавливается, что с.п.ф. оператора (1) образуют базис Рисса в L2[0,1].

Теорема 1. Если y = RA(A)f = (E - AA)-1Af (X — спектральный параметр), то имеет место

v'(x) = AZDv(x) + DDm(x), x G [0,1/2], (2)

Р^ (0) + Р^(1/2) = 0, (3)

где ■и(ж) = (х))т. VI(х) = ^п(х), v12(x))T = (у(х),у(х + 2))т.

/1 0 0 0 \

0 0 0 -1 0 0 1 0

V2(х) = ^21(х)^22(х))Т = (/(2 - х). /(1 - х))Т. Л =

0 1 0 0

Ш(х) = (ШТ(х),ШТ (х))Т. Ш^х) = (/(ж),/(х + 22))Т. Ш2(х) = (/(2 — х),

/(.- х))-= («■«■). Р1 = („, ¿). «,- р. «■ =

-с —о-

Обратно. если V(х) удовлетворяет (2). (3). а соответствующая однородная система имеет только нулевое решение. то Я\(А)/ существует и Ял(А) = VI*(х - ) при х е [, 2]. к =1, 2.

Лемма 1.При х е [0,1/2] все с.п.ф. оператора А равны нулю.

В связи с этим целесообразно считать /(х) = 0 при х е [0,1/2]. Все дальнейшие рассуждения должны проводиться на [1/2,1], поэтому для удобства перейдем от [1/2,1] к [0,1].

Лемма 2. Если v(x) удовлетворяет (2). (3). /(х) = 0 при х е [0,1/2]. то имеет место

эд'(х) - цЛи>(х) = ш(х), х е [0,1] (4)

5 (ГЦ1)) = 0, (5)

где ц = (Аг)/2. Л = ¿т#(1,-1). эд(х) = (^1(х),^2(х))Т = Г^12(|). V22(§))Т. ш(х) = ШГ-^(р(х),р(х))Т. 5(р(х),р(х))Т = (р(х),р(1 - х))Т.

Р(х) = 1 /(). Г= (-. -.

Лемма 3. Если у = ЯЛ(А)/. /(х) = 0 при х е [0,1/2]. то ДЛ(А)/ = 0 при х е [0,1/2] и ДЛ(А)/ = 2(^1(2х - 1) + гш2(2х - 1)) при х е [1/2,1].

Обозначим ц* = (к - 1/2)пг, к = 1, 2,..., и введем в рассмотрение полуполосу П = {ц : |Яед| < Н,/шц > 0}, Н > 0. Удалим из П все ц* вместе с круговыми окрестностями радиуса 5. Получившуюся область обозначим через П(5), а через П1(5) — часть П(5), когда Яец > 0.

Тогда если ц е П1 (5) и |ц| достаточно велико, то существует единственное решение задачи (4)-(5), для компонент которого имеет место представление

1 1-х

(^ш)х = ^е^-/(^) ^ + / ¿1 е^(х+*-1)/(^)

х 0

(^мш)2 = / 72б-^(х-/(^) ^ + } ¿2е-м(х+^-1)/(Ш)

0 1-х

где wi(/, д) - линейные комбинации с ограниченными по д коэффициентами 1

интегралов / где являются следующими функциями: (^)

02

и 0/(1-2), 0 - произвольное число среди чисел 71 = — ¿/2, 72 = 1/2, 51 = 1/2, ¿2 = -¿/2. При Иед < 0 имеют место аналогичные формулы.

Обозначим через а(х,д1;к) одну из функций е-(М1+^)х, е(м1+^)(х-1), через ы(х,£,д1;к) - одну из функций е(х, ¿^в-^1^^-^, х^в^1^^-^, е(1 - ж,£)0б(^+Л)(х+*-1), 1 - х)0б-(^+Л)(х+*-1), где 0 те же, что и выше,

е(х,£) = 1 при х > £ и е(х,£) = 0 при х <

1

Пусть Ак/ = / а(х, дь к)а(£, д1; к)А/(£) где либо А/ = 0/(^), либо 02

А/ = 0/(1 - 2); Вк/ = / ы(х, Д1, к)/(И*) Пусть д е Щ(5), д = Д1 + ¿к, 2 0 2

д1 — принадлежит ограниченной области.

Лемма 4. Если /(х) е Ь2[0,1], то при больших |д| и /(х) = 0 при х е [0,1/2] имеет место

Я-2^/= ^(х,дьк; /),

где П(х,д1;к; /) - конечная сумма с ограниченными по д1 и к коэффициентами всевозможных операторов Ак/ и Вк/, причем коэффициенты при Вк/ не зависят от д1 и к.

Обозначим Г = {д|{|Ивд| < 1шд = 0} и (Иед = 0 < 1шд < п}и и{|Ибд| < 1шд = п} и {Ивд = -0 < 1шд < п}. И рассмотрим Гк = Г + кпг, к = 1, 2,... Заметим, что внутри каждого Гк лежит только одно дк вместе с круговой окрестностью радиуса 5 и П представляется в виде объединения Гк. Аналогичное построение проводится и для полуполосы {д : |Ибд| < 1шд < 0}. Построенные контуры также обозначим через Гк, к = -1, -2,...

Справедлива следующая лемма:

Лемма 5. Пусть I - любой конечный набор достаточно больших по модулю целых чисел. Тогда имеет место равномерная по I оценка

ке/ Г

Г к

< С.

Лемма 6. Система с.п.ф. оператора А является полной в Ь2[0,1]. Теорема 2. Система с.п.ф. оператора А образует базис Рисса в Ь2[0,1]. Утверждение теоремы 2 следует из лемм 5 и 6 по теореме Банаха -Штейнгауза.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 03-857034).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А.П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных линиях // Мат. сб. 2006. Т. 197, №11. С. 115-142.

УДК 517.51

А.В. Шаталина

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ

Пусть D - ограниченная односвязная область с гладкой границей Г. AC -множество аналитических в D и непрерывных в D функций с равномерной нормой и обычным модулем непрерывности и (f, 5).

Функция z = ^(w) однолистно и конформно отображает внешность единичного круга |W | > 1 на дополнение области D до расширенной плоскости так, что бесконечно удаленные точки переходят друг в друга, причем ^'(то) > 0. M = {zk,n} - матрица узлов интерполирования, M £ Г, k = 0,1,...,n - 1; n = 1, 2,...

Определение. Матрица будет называться правильной, если узлы zk,n любой n-й строки при отображении = (zk,n) переходят в вершины правильного n-угольника, вписанного в единичный круг.

Назовем функцию и(5) мажорантой модуля непрерывности, если и(5) -непреывная, полуаддитивная и неубывающая на [0, то), причем и(0) = 0. Множество таких функций обозначим через Для каждой фиксированной и(5) £ ^ построим классы функций:

AC(и) = {f (z); f (z) £ AC, u(f, 5) = O{u(5)}} ;

AC*(u) = {f (z); f (z) £ AC, u(f, 5) = o{u(5)}} .

Пусть {Ln(M, f, z)} - последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа, интерполирующих функцию f (z) в узлах zk,n.

При изучении аппроксимативных свойств процесса Лагранжа в случае единичного круга для функций из классов, заданных мажорантой модулей непрерывности, ранее были найдены необходимые и достаточные условия равномерной сходимости последовательностей полиномов к функции в