Новый пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Редькин Н.П. Доказательство минимальности некоторых схем из функциональных элементов // Проблемы кибернетики. Вып. 23. М.: Наука, 1970. 83-101.

5. Редькин Н.П. О минимальной реализации линейной функции схемой из функциональных элементов // Кибернетика. 1971. 6. 31-38.

6. Шкребела И.С. О сложности реализации линейных булевых функций схемами из функциональных элементов в базисе {х —> у,х} // Дискретная математика. 2003. 15. 100-112.

7. Редькин Н.П. О минимальных и асимптотически минимальных схемах для некоторых индивидуальных булевых функций // Мат-лы IX Междунар. семинара "Дискретная математика и ее приложения", посвященного 75-летию со дня рождения академика О.Б. Лупанова (Москва, 18-23 июня 2007 г.). М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом ф-те МГУ, 2007. 11-19.

8. Комбаров Ю.А. О минимальных реализациях линейных булевых функций схемами из функциональных элементов в базисе {х —> y,x&¿y} // Тр. VIII Междунар. конф. "Дискретные модели в теории управляющих систем" (Москва, 6-9 апреля 2009 г.). М.: МАКС Пресс, 2009. 145-149.

9. Редькин Н.П. О минимальной реализации двоичного сумматора // Проблемы кибернетики. Вып. 38. М.: Наука, 1981. 181-216.

Поступила в редакцию 07.02.2011

УДК 512.8

НОВЫЙ ПРИМЕР МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ С ДРОБНОЙ ЭКСПОНЕНТОЙ

С. С. Мищенко1

В статье доказано, что в случае поля нулевой характеристики многообразие, порожденное простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа W2, имеет дробную экспоненту.

Ключевые слова: бесконечномерная алгебра Ли картановского типа, тождество, рост коразмерностей, экспонента многообразия.

In the case of characteristic zero, the variety generated by a simple infinite-dimensional Lie algebra of Cartan type W2 has a fractional exponent.

Key words: infinite-dimensional Lie algebra of Cartan type, identity, growth of the codimen-sions, exponent of the variety.

Пусть V — многообразие линейных алгебр над полем Ф нулевой характеристики и F (V) — относительно свободная алгебра счетного ранга многообразия V, порожденная элементами Xi,X2, ■ ■■ . Так как характеристика основного поля равна нулю, многообразие V полностью задается своими полилинейными тождествами. Пусть Pn(V) — подпространство полилинейных одночленов от xi,...,xn в F(V). Обозначим cn (V) = dim Pn(V). Рост числовой последовательности cn(V) называют ростом многообразия V.

Для любого многообразия V, рост которого не выше экспоненциального, т.е. последовательность cn(V) мажорируется экспонентой an для подходящего a, существуют нижний и верхний пределы последовательности ycjy), которые называют нижней и верхней экспонентами многообразия V и обозначают EXP(V), EXP(V) соответственно. Если нижняя и верхняя экспоненты совпадают, то это число называют экспонентой многообразия V и обозначают EXP(V). Договоримся в случае отсутствия скобок считать, что они расставлены левонормированным способом, т.е. abcd = ((ab)c)d. Все неопределяемые понятия можно найти в монографиях [1, 2].

В случае многообразий ассоциативных алгебр экспонента всегда является целым числом [3]. В общем случае в работе [4] для любого действительного а > 1 построен пример многообразия, экспонента которого равна а■ Впервые пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой был построен более

1 Мищенко Сергей Сергеевич — асп. ф-та математики и информационных технологий Ульяновск. гос. ун-та, e-mail: [email protected].

десяти лет назад в работе [5]. Позже получена целочисленность экспоненты многообразий алгебр Ли при различных условиях [6, 7].

В данной работе приведен еще один пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой. Им оказалось многообразие, порожденное бесконечномерной простой алгеброй картановского типа общей серии Ш2- Отметим, что многообразие, порожденное алгеброй Ли или, что то же самое, алгеброй Ли векторных полей на прямой, имеет экспоненту, равную 4.

Пусть Кк = Ф[¿1, ¿2, - --^к] — кольцо многочленов от переменных ¿1,¿2, - --^к- Напомним, что бесконечномерная простая алгебра Ли картановского типа Шк состоит из дифференциальных операторов первого порядка вида £к=1 /гдг, где дг — оператор взятия частной производной по ¿г, а /г £ Кк, г = 1,- - - , к -В этой алгебре лиевской операцией является коммутирование операторов. Обозначим через "к многообразие алгебр Ли, порожденное И7^.

Теорема 1. В случае поля нулевой характеристики ЕХР(ик) ^ к( 1 + к)( 1 + 1 /к)к. Доказательство. В работе [8] доказана экспоненциальность роста многообразия ""к - Используя ту же самую идею доказательства, уточним верхнюю оценку экспоненты.

Пусть /р = /р(Ж1,Ж2, - - - ,Хп) = Жр(1)Жр(2) - - - Хр(п) — полилинейный одночлен, а / = /(ХЬХ2, - - - ,Хп) = аР/Р — полилинейный элемент свободной алгебры. Рассмотрим также множество

В = {0 = (01,- - - ,вп)\вг £{1, 2,- - - ,к},г = 1, 2,- - - ,п},

состоящее из \В\ = кп элементов. Хорошо известно, что для проверки, будет ли в алгебре Шк выполняться тождество / = 0, достаточно подставить вместо образующих Хг такие элементы иг = ¿а*1 - - - ¿<01к дв, г =

1, 2, - - - ,п, что 0 = (01, - - -, 0п) £ В, Х]п=1 ^к=1 аг] = п — 1, а^ ^ 0 - Несложные вычисления показывают,

что для фиксированного 0 £ В имеем /р(и1, и2, - - - ,ип) = Е ^=1 Ь-рв дз, где Ьр,/3 многочлены степени не

выше п — 1 от переменных {а^, г = 1, - - - ,п,] = 1,- - -, к}- Размерность пространства таких многочленов

п

п1

равна биномиальному коэффициенту ('пк+п_| 2). Поэтому получаем оценку сверху

) ^т-к-^—п- 2)= **-■( пк+—п-2) - (1)

Пусть (ап) — числовая последовательность, такая, что 9 = Итга^00 Формула Стирлинга позволяет получить равенство

Иш [/ Г + ап ) =(1 + в)(1 + 1/в)в-У у п )

Для завершения доказательства осталось использовать неравенство (1) и последнее утверждение в случае, когда в = к- Теорема доказана.

Теорема 2. В случае поля нулевой характеристики экспонента многообразия и2 является дробной: 13,1 < ЕЩи2) < ЁХР(и2) < 13, 5.

Доказательство. Верхняя оценка следует из теоремы 1 при к = 2- Пусть Хг, г = 0,1, 2,---, и (1, (12 — свободные образующие относительно свободной алгебры Е(и2) многообразия и2, а Хг = а(хг, В^ = addj — внутренние дифференцирования этой алгебры. Уточним обозначение: а(у(х) = хУ = ху- Будем использовать специальный символ над образующими (черту или тильду) для обозначения альтернирования этих образующих. Например,

Х0Х1 У1Х2У2У3ХзХ4 = ^ ( — 1)Р( — 1)дХ0Хр(1)Уд(1)Хр(2)Уд(2)Уд(3)хр(3)хр(4),

реЯ4,деЯз

где Бп — симметрическая группа, а (—1)г — четность перестановки г £ Бп-

Рассмотрим следующие элементы присоединенной к алгебре Ли Е("2) ассоциативной алгебры аё Е ("2):

Т1 = Х1Х1Х2Х2Х3Х3Х4Х4, Т2 = (Х5В2ХХ6В1Х7В2ХзВХоВ2Х10В1) , Тз = (Х11В1 В2х^12В2х^1зВ1В2х^14В2х^15В1В2В2х^17В1 В2Х18В2) , Т4 = (Х19ВВ2Х20В3Х21В2В2Х22В3Х2зВ1В^Х24В3Х25В^В2Х26В^В2Х27В1В2х^28В2) -

Используя вычислительную технику, а также выполняя непосредственные вычисления, получаем, что в алгебре W2 не выполняются тождества d\Ts = 0. Более того, результат подстановки с точностью до ненулевого коэффициента равен di, если вместо di подставить di, i = 1, 2, а вместо множества образующих Xi — все t^t^dj, в которых j = 1, 2 и а + в = s, s = 1, 2, 3, 4.

Пусть T = TIT3T212T17. Рассмотрим элемент g, который получается из XoTm+5 применением альтернирования к дополнительным наборам образующих. Во-первых, дополнительно проальтернируем пары образующих di, d2. Все образующие di из s-го слева множителя T попарно альтернируются со всеми образующими d2, входящими в (s + 1)-й слева множитель T, s = 5,... ,m. Во-вторых, сделаем единым альтернирование наборов образующих Xi из фрагмента T4 s-го слева множителя T, из фрагмента T3 (s + 1)-го слева множителя T, из фрагмента T2 (s + 2)-го слева множителя T, из фрагмента Ti (s + 3)-го слева множителя T с парой образующих di, d2, расположенных в (s + 4)-м и (s + 5)-м слева множителях T, s = 1, 2,...,m.

Отметим, что после проведенных альтернирований в любых пяти подряд расположенных множителях T будут содержаться два альтернированных набора по 30 образующих di,d2,Xi,X2,...,X28, два альтернированных набора по 20 образующих di,d2, Xi, X2, ...,Xi8, восемь наборов по 12 образующих di,d2,Xi,X2,...,Xio, двадцать два набора по 6 образующих di,d2,Xi,X2,X3,X4 и 64 набора по две образующие di,d2, что соответствует разбиению (982, 344, 126, 48, 2i0) h 456.

Для доказательства, что тождество g = 0 не выполняется в алгебре W2, мы используем следующую подстановку: Xo = di, di = di, d2 = д2; вместо Xi,...,X4 подставляем различные элементы t®tвdj, в которых а + в = 1, вместо X5,...,Xio подставляем элементы tft^dj, в которых а + в = 2, вместо Xii,...,Xi8 — элементы t®tвdj, в которых а + в = 3, а вместо Xig,..., X28 — элементы t®tвdj, в которых а + в = 4.

Заметим, что если в Ts, s = 2, 3, 4, вместо хотя бы одной образующей Xi подставлен элемент t^t^dj, в котором а + в < s, то получим нулевое значение. Отметим также, что если внутри T нарушается баланс количеств di и d2 (например, увеличение числа d2 за счет уменьшения числа di или числа Xi), то значение, получаемое после применения соответствующего монома (при фиксированных позициях участвующих в альтернировании образующих), при нашей подстановке элементов алгебры W2 будет равно нулю. Поэтому значение после подстановки, по-прежнему, как было до проведения дополнительного альтернирования, будет отлично от нуля и равно с точностью до коэффициента di .

Пусть f — элемент, полученный в процессе полной линеаризации из элемента g. Его степень равна n = 456m + 5 • 456 + 1. Породим им ненулевой подмодуль M = &Snf симметрической группы Sn в пространстве Pn (U2). Из строения элемента g следует, что модуль M содержит неприводимый ненулевой подмодуль, соответствующий диаграмме Юнга, которая содержит поддиаграмму, соответствующую разбиению ((98m)2, (34m)4, (12m)6, (4m)8, (2m)i0) h 456m числа 456m.

Пусть

_ 98 _ 34 _ 12 _ 4 _ 2 ( 1

ai - 456' - 456' - 456' - 456' ~ 456' ~ a^af"

Используя формулу крюков (см., например, [1, с. 113]) и формулу Стирлинга, получаем такую оценку размерности полилинейной части многообразия: cn(U2) ^ b456m. Отсюда следует нижняя оценка для экспоненты многообразия, так как b > 13,197. Теорема доказана.

С использованием вычислительной техники подсчитано, что добавление T5 и T6, построенных по аналогии с Ts, s = 1,...,4, позволило бы значительно приблизить нижнюю оценку к величине 13,5. Однако отыскание такого конкретного вида этих фрагментов (расположение Di и D2), чтобы их значение было отлично от нуля, является сложной вычислительной задачей, не принципиальной для данной работы. Тем не менее с большой уверенностью в качестве гипотезы можно высказать следующее: экспонента многообразия, порожденного алгеброй Wk, существует и равна верхней оценке из теоремы 1, т.е. EXP(Uk) = k(k + 1)(1 + 1/к)к.

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю В. М. Петроградскому за идею уточнения верхней оценки и постановку задачи.

Работа частично поддержана грантом РФФИ № 10-01-00209-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1980.

2. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods // Mathematical Surveys and Monographs Vol. 122. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005.

3. Giambruno A., Zaicev M. Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate // Adv. Math. 1999. 142. 221-243.

4. Giambruno A., Mishchenko S.P., Zaicev M.V. Codimensions of algebras and growth functions // Adv. Math. 2008. 217.1027-1052.

5. Mishchenko S.P., Zaicev M.V. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent //J. Math. Sci. (NY). 1999. 93, N 6. 977-982.

6. Mishchenko S.P., Petrogradsky V.M. Exponents of varieties of Lie algebras with a nilpotent commutator subalgebra // Communs Algebra. 1999. 27, N 5. 2223-2230.

7. Зайцев М.В. Целочисленность экспонент роста тождеств конечномерных алгебр Ли // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. 66, № 3. 23-48.

8. Мищенко С.П. К проблеме энгелевости // Матем. сб. 1984. 124(166), № 1(5). 56-67.

Поступила в редакцию 27.02.2011

УДК 519.95

О ЕДИНИЧНЫХ ПРОВЕРЯЮЩИХ ТЕСТАХ ДЛЯ КОНСТАНТНЫХ НЕИСПРАВНОСТЕЙ НА ВЫХОДАХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

С. С. Коляда1

Рассматриваются схемы в базисах из функциональных элементов, имеющих не более двух входов. Устанавливается возможность реализации любой булевой функции от n переменных схемой, допускающей при константных неисправностях единичные проверяющие тесты линейной по n длины.

Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, единичные проверяющие тесты, константные неисправности.

Circuits in bases of functional elements having not more than two entries are considered. The possibility to implement any Boolean function of n variables by a circuit admitting unit checking tests of linear length with respect to n under constant faults is established.

Key words: the circuits of functional elements, identity checking tests, constant faults.

В работе рассматривается задача построения легкотестируемых схем из функциональных элементов [1] в базисах из элементов, имеющих не более двух входов. Допускаются единичные произвольные константные неисправности на выходах элементов [2-4], когда в неисправное состояние может перейти ровно один элемент схемы, который вне зависимости от того, что подается на его входы, выдает некоторую булеву константу 5, где 5 Е {0,1}.

Пусть S — схема, реализующая в исправном состоянии булеву функцию f (x), x = (x\,..., xn). Схему S будем считать неизбыточной, если при переходе в любое неисправное состояние любого элемента эта схема реализует нетривиальную [5], т.е. отличную от f (x), функцию неисправности д(х).

Множество наборов T={<ri, . ..,ai} называется единичным проверяющим тестом для схемы S, реализующей функцию f, если для любой нетривиальной функции неисправности g существует набор а из T, такой, что f (а) = д(а); число l называется длиной теста.

Рассмотрим все базисы [6] из элементов, имеющих не более двух входов: В\ = {xky, ж}, £>2 = {xky, х®у, 1}, Вз = {xky, ж ©у© 1, 0}, В4 = {xky, ж©у, ж©у©1}, В$ = {xky}, В6 = {х V у, ж}, В7 = {х V у, ж © у, 1}, В8 = {х V у, ж © у © 1, 0}, В9 = {х V у, х © у, ж © у © 1}, Вю = {ж V у}, Вц = {xky, ж}, В12 = {xky, 1}, Вц = {ж У у, ж}, Вы = {ж У у, 0}, Bib = {xky, ж©у©1},

Bw = {ж V у, ж © у}, Ви = {xky, х V у}.

Теорема. Для любой булевой функции f (xi,... ,xn), n ^ 3, для любого i Е {1,..., 17} существует неизбыточная схема в базисе Bi, реализующая данную функцию и допускающая единичный проверяющий тест, длина которого не превосходит n + 3.

1 Коляда Сергей Сергеевич — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].