CC BY
79. Joichi J.T. More characterizations of inner product spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1968. 19, N 5. 1185-1186. 10. Бородин П.А. Аппроксимативные свойства подпространств в некоторых банаховых пространствах: Канд. дис. М., 1997.
Поступила в редакцию 28.04.2010
УДК 512.572
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СОВПАДЕНИЯ НИЖНЕЙ И ВЕРХНЕЙ ЭКСПОНЕНТ
МНОГООБРАЗИЯ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР
А. Б. Веревкин1, М. В. Зайцев2, С. П. Мищенко3
В работе изучаются числовые характеристики тождеств алгебр Ли. Доказано существование дробной PI-экспоненты у одной известной ранее трехступенно разрешимой алгебры Ли.
Ключевые слова: тождества, коразмерности, дробный экспоненциальный рост.
Numerical characteristics of identities of Lie algebras are studied in the paper. We prove the existence of fractional PI-exponent for one known earlier Lie algebra soluble of length three.
Key words: identities, codimensions, fractional exponential growth.
На протяжении всей работы основное поле Ф имеет нулевую характеристику. Все необъясняемые понятия можно найти в книгах [1, 2]. Договоримся опускать скобки в случае их левонормированной расстановки, т.е. abc = (ab)c.
Пусть V — многообразие линейных алгебр, а F(V) — его относительно свободная алгебра счетного ранга, порожденная элементами x\,Х2,.... Обозначим через Pn(V) подпространство полилинейных многочленов от xi, ...,xn в F(V), а через cn(V) = dimPn(V) — его размерность. Рост числовой последовательности cn (V) называют ростом многообразия V. Если последовательность cn (V) мажорируется экспонентой an для подходящего a, то существуют пределы
EXP(V) = lim inf y/cn(V), ЕХР(V) = lim sup у/cjy),
n n—
которые называются нижней h верхней экспонентами многообразия V соответственно. Если EXP(V) = EXP(V) = а, то число а называют экспонентой многообразия V и обозначают EXP(V).
В случае ассоциативных алгебр любое многообразие имеет рост не выше экспоненциального [3] и, более того, его экспонента является натуральным числом [4]. В общем случае, как доказано в работе [5], для любого действительного а > 1 существует такое многообразие Va, что EXP(Va) = а.
Для алгебр Ли в работе [6] доказано, что многообразие алгебр Ли, порожденное конечномерной алгеброй, имеет целочисленную экспоненту. Однако еще в 1999 г. в работе [7] был построен первый пример многообразия алгебр Ли с дробными экспонентами. Остановимся на этом подробнее.
Пусть A2 — многообразие всех метабелевых алгебр Ли, т.е. многообразие, определяемое тождеством (xiХ2ХХ3Х4) = 0. Обозначим через M = F^(A2) относительно свободную алгебру этого многообразия с множеством свободных образующих Y = {У1,У2,Уз}.
Рассмотрим линейное преобразование d векторного пространства < У1,У2,Уз >, определенное правилом
d(yi) = У2, d(y2) = Уз, d(y3) = yi.
1 Веревкин Александр Борисович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. алгебро-геометрических вычислений Ульяновского гос. ун-та, e-mail: [email protected].
2Зайцев Михаил Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
3Мищенко Сергей Петрович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. алгебро-геометрических вычислений Ульяновского
гос. ун-та, e-mail: [email protected].
Хорошо известно, что в этом случае d продолжается до дифференцирования алгебры M, которое мы обозначим той же буквой.
Дифференцирование d порождает в алгебре всех дифференцирований одномерную подалгебру < d>, поэтому мы можем построить полупрямое произведение L = M X < d > алгебр M и < d >. Отметим, что алгебра M является метабелевым идеалом коразмерности 1 алгебры L.
Пусть U — многообразие, порожденное алгеброй L. Основным результатом статьи [7] являются строгие неравенства 3 < EXP(U) ^ EXP(U) < 4. Другими словами, верхняя и нижняя экспоненты многообразия U не целые числа.
В данной работе на примере многообразия U приведено достаточное условие существования экспоненты многообразия, т.е. доказано совпадение нижней и верхней экспонент этого многообразия. Кроме того, с большой точностью найдено ее значение. Оказалось, что EXP(U) и 3,610718614.
Теорема. Экспонента EXP(U) существует и является дробным числом, приблизительно 'равным EXP(U) и 3,61.
Доказательство. Как известно, ^„-модуль Pn(U) является вполне приводимым, рассмотрим разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров:
Xn(U) = x(Pn(U)) = ^ mxxx, (1)
Xhn,
где m,\ — так называемая кратность, а Хл — характер неприводимого представления, соответствующего разбиению Л.
Обозначим через dл размерность соответствующего Л неприводимого модуля: dл = degХл. Отметим, что для введенных числовых характеристик выполняется соотношение cn(U) = dim Pn(U) = ^mлdл.
В статье [7, лемма 1] доказано, что если вне первых четырех строк диаграммы Юнга содержится более двух клеток либо Л1 — Л3 < 2(Л4 — 3), то кратность тл равна нулю. В частности, в многообразии выполнена система тождеств Капелли. Как доказано в работе [8], в этом случае кратности тл полиномиально ограничены. Понятно, что, если выполнена система тождеств Капелли, количество слагаемых в сумме (1) также полиномиально ограничено. Поэтому верхнюю и нижнюю оценку экспонент можно находить, анализируя размерности неприводимых модулей симметрической группы.
Учитывая, что ограниченное количество клеток не влияет на числовые значения верхней и нижней экспонент многообразия, рассмотрим разбиения не более чем на четыре части.
Для разбиения Л = (Л1,Л2,Лз,Л4) числа n определим числа ai = X^i/n,i = 1, 2, 3, 4. Поясним, что введенное обозначение допускает ситуацию, когда число слагаемых разбиения может быть строго меньше, чем 4, т.е. некоторые из последних Лi могут быть равны нулю.
Определим функцию
F(ai,a2,a3,a4) = —2-^т,
ni=iai
предполагая, что ас[г =1 в случае, когда ai = 0.
Для любого натурального t рассмотрим разбиение Л^) = (aint, a2nt, азиЬ, aint). Отметим, что Л(1) = Л. Пусть dл(í) — размерность соответствующего разбиению Л^) b nt модуля симметрической группы Snt.
Используя формулу крюков для размерностей неприводимых представлений симметрической группы и формулу Стирлинга, получаем
lim n/ dл(t) = F (ai a a a).
t^m V
Определим область Тп четырехмерного арифметического пространства следующим условием: точка а = (а1 ,а2 ,аз ) принадлежит множеству Тп тогда и только тогда, когда существует такое разбиение Л Ь п, что ш\ = 0 в сумме (1), где а3 = Л3/п, в = 1, 2,... . Заметим, что разбиение Л Ь п может состоять из более чем четырех частей.
Пусть Т — область четырехмерного пространства, определенная условиями
а1 + а2 + аз + а4 = 1,
а1 — а3 ^ 2а4, а1 ^ а2 ^ а3 ^ а4 ^ 0.
Так как функция F(а) непрерывна, то она достигает на компакте Т своего максимального значения в некоторой точке а(0) € Т: Fmax = F(а(0)) = шахаеу F(а).
Из упомянутой леммы 1 статьи [7] получаем, что для любого е > 0 существует такое натуральное число N, что множество Тп при п^ N содержится в е-окрестности компакта Т. Отсюда, а также из того, что число слагаемых и кратности в сумме (1) полиномиально ограничены, получаем EXP(U) ^ Fmax.
Для доказательства неравенства EXP(U) ^ Fmax достаточно показать, что существует последовательность a:^, s = 1, 2,..., такая, что lim^oo а:'-'5) = а1-0), где а^ = -¿щ, i = 1,..., 4, Х^ Ь n(s), причем m\(s)(t) =0 в разложении (1) для любых натуральных s и t. Мы покажем, что таким свойством обладает
произвольная точка множества T с рациональными а\,...,а4. Как и выше, поскольку 0(0) аппроксимируется рациональными точками из T с какой угодно точностью, этого будет достаточно для получения нижней оценки.
Пусть а = (0:1,0:2,0:3,0:4) — некоторая произвольная рациональная точка множества T, X Ь n, X = (ain, а2П, азп, а4п), где n — общий знаменатель рациональных чисел 01,02,03,04. Как и раньше, для любого натурального t определим разбиение X(t) = (0int, 02nt, 03nt, 04nt) Ь nt.
Пусть Ж1,Ж2,Жз,Ж4, zi и z — свободные образующие относительно свободной алгебры F(U), а Xs = adxs, s = 1, 2, 3, Z = adz — внутренние дифференцирования алгебры, т.е. ady(x) = xY = xy. Будем использовать черту над образующими для обозначения альтернирования. Например,
z1X1 [X2, Z] = 2(z1x1x2z + z1x2zx1 + z1zx1x2 — z1x1zx2 — z1zx2x1 — z1x2x1 z),
X1[X2 ,X3 \[[X4,Z],Z] =^2( — 1)PXP( 1)tXP(2), Xp(3)][[Xp(4),Z],Z],
peSi
где Sn — симметрическая группа, а (—1)r — четность перестановки r Е Sn.
Пусть
R1 = Z, R2 = [X1 ,Z], R3 = X ,Z]X2, R4 = [[JX3,Z],Z][JX1 ,Z]X2.
Рассмотрим следующий элемент относительно свободной алгебры F (U):
g _ z RO,\nt—a,2nt-2aintR^nt-a^ntRa3nt-a^ntRa^nt
jt 1 1 2 3 4
Отметим, что степень gt равна m = nt +1. Пусть ft — полная линеаризация элемента gt, а Rt = ^Snt+1 — подмодуль в Pn+1(U), порожденный элементом ft. Элемент gt содержит 04nt альтернированных наборов по 4 переменные {z,x!,x2,x3} в каждом, (03 — 04)nt альтернированных наборов по 3 переменные {z,x1 ,x2} в каждом, (02 — 03)nt альтернированных наборов по 2 переменные {z,x1} в каждом. Все остальные переменные, кроме z1 , не входящие в альтернированные наборы, совпадают с z. Поэтому при разложении модуля Rt в прямую сумму неприводимых слагаемых возникают лишь модули, соответствующие диаграммам Юнга, которые содержат поддиаграмму, соответствующую разбиению X(t) Ь nt.
Докажем, что по крайней мере один из таких неприводимых модулей не равен нулю в полилинейной части Pnt+1(U). Для этого рассмотрим элементы hs = z1Rs, s = 2, 3, 4. Сделаем в h2,h3 и h4 следующую подстановку: z1 = y2Y1k, x1 = У3, x2 = У1, x3 = У2, z = d.
Если два элемента yi, yj в процессе суммирования одновременно попадают в коммутаторную скобку, то такое слагаемое равно нулю, так как M является метабелевым идеалом алгебры L. Таким образом, результат подстановки не равен нулю, так как в нем, например, присутствует такой ненулевой базисный элемент алгебры M, который ни с чем не сокращается: y2yks, где ks = к + s — 1. Другими словами, hs при такой подстановке переходит в ¡J.y2y\s +..., где ц — ненулевое целое число, а многоточием обозначена комбинация слагаемых вида y2y\ c t < ks и базисных одночленов M, отличных от y2y\.
Теперь понятно, что если в gt сделать такую подстановку элементов алгебры L: z1 = y2, x1 = y3, x2 = y1, x3 = y2, z = d, то результат подстановки будет не равен нулю, так как будет содержать, например,
^ „ (а-|+аз— ai)nt
базисный элемент y2y1 , который ни с чем не сокращается.
Из полученных неравенств получаем
EXP (U) = EXP(U) = ^max-
Вычисление максимума функции F(0) на области T было проведено классическим способом с использованием метода множителей Лагранжа. Опуская технические и достаточно громоздкие вычисления, отметим, что точкой максимума является точка в = (в1 ,@2,@3,@4) Е T, где @4 — положительный корень многочлена f (t) = 16t3 — 24t2 + 11t — 1, а остальные переменные удовлетворяют соотношениям в3 = 2в4 — 4в42, в2 = в2/в4, в1 = в3/в\.
Приближенные значения величин получены вычислительными методами и равны /3i и 0,421350946, в2 и 0,276953179, вз и 0,182040800, в4 и 0,119655073, Fmax и 3,610718614. Теорема полностью доказана.
Работа частично поддержана грантами РФФИ № 09-01-00303-а и 10-01-00209-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.
2. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods // Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 122. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005.
3. Regev A. Existence of polynomial identities in A ® B // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. 77, N 6. 1067-1069.
4. Giambruno A., Zaicev M. Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate // Adv. Math. 1999. 142. 221-243.
5. Giambruno A., Mishchenko S.P., Zaicev M.V. Codimensions of algebras and growth functions // Adv. Math. 2008. 217.1027-1052.
6. Зайцев М.В. Целочисленность экспонент роста тождеств конечномерных алгебр Ли // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. 66, № 3. 23-48.
7. Mishchenko S.P., Zaicev M.V. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent //J. Math. Sci. (N.Y.). 1999. 93, N 6. 977-982.
8. Зайцев М.В., Мищенко С.П. О полиномиальности роста кодлины многообразий алгебр Ли // Алгебра и логика. 1999. 38, № 2. 161-175.
Поступила в редакцию 30.06.2010
