CC BY
27
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 4. № 3 (2012). С. 6-16.
УДК 517.9
НОВЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЯНГА-БАКСТЕРА С
КВАДРАТОМ
Р.А. АТНАГУЛОВА, И.З. ГОЛУБЧИК
Аннотация. Работа посвящена уравнению Янга- Бакстера с квадратом, то есть уравнению
R([R(a),b] - [R(b),a]) = R2([a,b]) + [R(a),R(b)], где a,b G g, g — алгебра Ли и R — линейный оператор на пространстве д. Строятся две новых серии операторов R, удовлетворяющих этому уравнению. Для их построения используются подалгебры Ли в алгебре матриц, дополнительные к подпространству матриц с нулевой последней строкой.
Ключевые слова: уравнение Янга-Бакстера, интегрируемые дифференциальные уравнения, дополнительные подалгебры в алгебре рядов Лорана.
1. Введение
Основным вопросом, изучаемым в этой статье, является уравнение Янга-Бакстера с квадратом
R([R(a),b] - [R(b),a]) = R2([a,b]) + [R(a),R(b)], (1)
где a,b G g, g — алгебра Ли и R — линейный оператор на пространстве д. Уравнение (1) играет важную роль в теории интегрируемых систем [1-4]. Главная цель настоящей статьи
— построить новые серии решений уравнения Янга-Бакстера с квадратом (1).
В §3 будут построены два примера подалгебр Ли в алгебре матриц, дополнительных к подпространству матриц с нулевой последней строкой. Затем в §4 с использованием подалгебр из §3 строятся две серии решений уравнения Янга-Бакстера. Серия 2 опирается на метод, основанный на предложении 3 из работы [1]. Эта серия решений уравнения
(1) связана с 3-градуированными алгебрами Ли. Серия 1 является принципиально новой. Соответствующая конструкция опирается на теорему 1 из §2.
2. Однородные дополнительные подалгебры в алгебре многочленов над
матрицами
В настоящей работе уравнение (1) исследуется в предположении, что g — алгебра Ли матриц вида g = Ст ф ... ф Ст, являющаяся прямой суммой нескольких экземпляров алгебры Ли Ст. Алгебра Ли матриц g является прямой суммой алгебр Ли матриц т х т над полем С. Введем следующие определения:
1) подалгебру д+ алгебры g назовем диагональной, если она состоит из всех элементов вида {(а, а,... ,a)la G Ст};
2) подалгебру д- алгебры g назовем дополнительной к д+, если прямая сумма подпространств д- и д+ совпадает с алгеброй Ли g или, другими словами, выполнены следующие 2 условия:
д+ ф д- = g, д+ П д- = {0};
R.A. Atnagulova, I.Z. Golubchik, New solutions of the Yang-Baxter Equation with a square.
© Атнагулова Р.А., Голубчик И.З. 2012.
Поступила 19 декабря 2011 г.
3) подалгебру к в алгебре многочленов С*т[ж] назовем однородной, если подалгебра удовлетворяет условию хк С к.
Определим оператор Я : Ст ^ Ст формулой
(аг'р, а,2 р,..., атр)+ = -(Я(р),..., Я(р)). (2)
Здесь
д = ('р,р,...,р) Е д+, X = (а!,... ,ат),
где а.г — различны, а через (Хд)+ обозначена проекция элемента Хд на д+ параллельно д-.
Теорема 1. Пусть д+ — диагональная подалгебра алгебры д, д- — однородная подалгебра, дополнительная к д+. Тогда оператор Я, задаваемый формулой (2) удовлетворяет, уравнению (1) на д+.
Доказательство. Рассмотрим алгебру Ли С*т[ж] многочленов вида ^ а^х1, где коэффициенты йг принадлежат кольцу комплексных матриц размером т х т, х — скалярная переменная.
Пусть р — линейный оператор, действующий из С*т[ж] в прямую сумму к экземпляров алгебры Ст по формуле
р(^2(а* хг) = ^ Х(аг,..., а,г) = ^2(а\ аи аЪа*,..., агта1). (3)
г г
Легко проверить, что р — гомоморфизм алгебр Ли, то есть сохраняет коммутатор. Полный прообраз р-1(д-) = С- подалгебры д- при гомоморфизме р является подалгеброй алгебры Ст[х]. Через С+ обозначим подалгебру в Ст[х], образуемую многочленами, независящими от X.
Докажем, что выполнены следующие три условия, аналогичные условиям для алгебры Ли д теоремы 1:
а) хС- С Ь) С+ + С- = Ст[х]; с) С+ П С- = {0}.
Включение хС- С С- — верно, т.к. по условию теоремы 1 Хд- С д- и
р-1(Хд_) = хС- С С-.
Пусть а = Ь + с, Ь Е С+, с Е С-. Тогда р(а) = р(Ъ) + р(с), где р(Ь) Е д+, р(с) Е д-. Таким образом, р(0+ + С-) = д+ + д- = Ст[х]. Следовательно, С+ + С- + Кегр = Ст[х]. Так как Кегр С С-, то С+ + С- = С^ж]. Итак, условие Ь) также выполнено.
Далее, пусть а принадлежит С+ П С-. Тогда р(а) Е д+ П д- = 0, т.е. Кегр Е С-. Значит
а Е Кегр П С+ = 0. Следовательно, р(а) = (а,..., а) = 0 и условие с) выполнено.
Для того чтобы Я удовлетворяло уравнению (1), достаточно доказать, что С- представимо в виде
С- = хг(хйг + Я(йг)). (4)
г
Так как по определению (3) функции р имеем
р(хр + Я(р)) = Х(р,р., ...,р) + (R(p),R(p),..., Я(р)) Е g-,
то хр + Я(р) Е С-. Обозначим через С- = ^хг(хаг + Я(а^)). Из условия Хд- С д-следует, что xг(xai + Я(а^) С С-. Получаем, что С- С С-, С- + С+ = Ст[х], и так как С- П С+ = {0}, то С- С О-. Значит, С- = С-, и равенство (4) доказано. Выведем уравнение для оператора Я. Для этого рассмотрим коммутатор
[ха + Я(а), хЪ + Я(Ь)] Е С-.
Обозначим через d = [а, Ь], тогда [ха + Я(а),хЬ + Я(Ь)] = x(xd + Я(^) + х(с) + Я(с),
х2[а, Ь] + х[а, Я(Ь)] + х[Я(а), Ь] + [Я(а), Я(Ь)] = x(xd + Я(^) + х(с) + Я(с).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего равенства, получим соотношения
[а, Я(Ь)] + [Я(а), Ь] = Я(<і) + с, Я(с) = [Я(а), Я(Ь)],
с = [а, Я(Ъ)] + [Я(а), Ь] — Я(<і), Я(с) = Я([а, Я(Ь)] + [Я(а), Ь] — Я(<і)).
Отсюда следует, что Я([Я(а),Ь] — [Д(6),а]) = Я2([а,Ь]) + [Я(а),Я(Ь)]. Теорема 1 доказана. В работе [1] показано также, что справедлива
Теорема 2. Пусть оператор Я : С ^ С диагонализуем, Х;,...,Хк — его спектр и Сі — соответствующие собственные подпространства. Тогда Я удовлетворяет уравнению (1), если и только если подпространства Сі и Сі + С^ являются подалгебрами Ли в С для всех различных і и ^ от 1 до к.
3. Фробениусовы подпространства
Определение 1. Подпространство в пространстве матриц Спхп назовем фробениусо-вым подпространством, если всё пространство матриц является прямой суммой этого подпространства и пространства матриц с нулевой последней строкой.
Для построения серии примеров операторов Я, удовлетворяющих уравнению Янга-Бакстера с квадратом, в работе будут рассмотрены фробениусовы подпространства, являющиеся подалгебрами Ли.
Пример 1. Рассмотрим блочные матрицы вида
/ (X, 0 .. 0 \
0 х2 .. 0 00
к = { .0.. 0 .. 0 Хті У Е Х3И3 0 1А^ Є С}
V
Ці,
> Цт2 Цт)
Эти матрицы состоят из блоков размера т,і х , где і = {1, 2, 3},^' = {1, 2, 3}, индекс
5 Є {1,... ,ті}, т3=1, т = т1 + т2 + т3). Матрицы в формуле (5) — фиксированные диагональные матрицы размера т2 х т2, Х3, ^ — произвольные параметры. При этом параметры в блоке (2,2) те же, что в блоке (1, 1).
Покажем, что множество Н таких матриц к образуют алгебру Ли. Действительно, для коммутатора блочных матриц справедливы равенства
( (Хі
0
0
х2
0 \
0
00
А
\
ті
0
0
j:\sDs ^1, ... ,
0
(
/а; о
о Ао
00
0 0
К,
\
0
0
І
Цт2
Цт.
0
0
0
0
[
0
/ (Хг 0 .. 0 \ / (К 0 .. 0 \
0 А2 .. 0 00 0 А2 .. 0 0 0
.0.. 0 .. 0 Хті } Е 0 х .0.. 0 . . . 0 ^ті) 0
V 0 ^1, . . . , ^т2 у V 0 ■К 3 " ю Цт.)
/ А1 0 .. 0 \ / Аі 0 .. 0 \
0 А2 .. 0 0 0 0 А2 .. 0 00
.0.. 0 .. 0 V лті / Е ХЛ 0 х .0.. 0 .. 0 Хті У Е х3и3 0
V 0 №і, . . . , №т2 Цт) V 0 Цl, ... , Цт2 Цту
((хх а;
0і
0
А2А2
0
0
0
0 0
Хті Хті J
Е АДВД 0
(^1 ... ^т2 ) Е ЦтЦт)
( (х\х
V
V
;Лі 0
0 а'2а2
00
0
0
0
0
У \ /
лті лті /
\
Е лда д. 0
(^1 . . . Цт2 ) Е А« Цт}
000 0 0 0
,0 К...^) 0
Поэтому такой коммутатор есть матрица вида (5) с Хг = 0, получаем, что Н есть алгебра Ли.
Рассмотрим матрицу
Еті 0 0^
Т
0
1... 1
Ет2 0 01
где Ет1 — единичная матрица размера т,г х га^. Легко видеть, что обратная к ней задается формулой
Т
і
Еті 0 0'
0 Ет2 0
1 . . . 1 0 1
Поскольку Н является подалгеброй Ли, подпространство ТНТ 1 — также подалгебра Ли.
Предложение 1. Подпространство ТНТ-1 является фробениусовым (см. определение 1).
Доказательство:
Справедливы соотношения
Е,
ТкТ
і
ті
/ Аі 0 .. 0
0 0\ 0 Х2 .. 0
Е ±-‘т2 0 У х .0.. 0 .. 0 Хті у
0
0
0
£Авд
Ці ... Цт2 Цт]
X
0
0
0
0
0
Е,
X
т\
0
00
Ет2 0
( (\\ 0 0 Л2
-1... - 1 0 1
00
V
Л1... хт1
х
х
Е
0
1... 1
Е,
Ш2
0
0
0
( (\\ 0 0 Л2
00
Е \803 0
Ц11 . . . ^тх у
\
0
j:\sDs
0
Обозначим через I пространство матриц с нулевой последней строкой, т.е. пространство матриц вида
(* * *'
* * *
000
Пусть д £ I П Н. Нужно показать, что д = 0. Из соотношения (6) следуют равенства = 0, = 0 ^ = 1,к). Поскольку ТНТ-1 П I = 0, то сумма размерностей про-
странств ТНТ-1 и I равна п2, так как ТНТ-1 содержит п параметров, и размерность I равна п2 — п. Размерность этой суммы пространств ¿гга(ТНТ-1 + I) совпадает с размерностью пространства комплексных матриц п х п. Значит эти пространства ТНТ-1 и I являются дополнительными подпространствами к друг другу. Таким образом, ТНТ-1 есть фробениусово подпространство, являющееся подалгеброй Ли. Лемма доказана.
Пример 2. Рассмотрим блочные матрицы вида
\
0 Е А, А, 0
0 0 0
Ц1 . . . Цт2 Цт2+1 . . . Цтз+т2 Цт}
/ (\г 0. . . 0
0 А2 . .. 0
Н = { .0.. 0. . у
\
0
0
0
\г,Цг £ С}. Эти матрицы состоят из блоков размера m,iXm,j где г = {1, 2, 3, 4}^ = {1, 2, 3, 4}, индекс 5 £ {1,... ,га1}, га4=1, га = га1 + га2 + га3 + га4). Матрицы Аг в формуле (7) — постоянные матрицы, которые необязательно диагональны, \3,^ — произвольные параметры. При этом параметры Л8 в блоке (2,3) те же, что в блоке (1, 1).
Вычисления, аналогичные проделанным в примере 1, показывают, что
( 0
0 Л2
0 0
00
Л.
Ш1
0
0
0
\
0 Е А, А, 0
0 0 0
Ц1 ... Цт2 Цт2+1 . . . Цтз+т2 Цт}
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
[
/ А1 0 0 \
0 Л2 0 0 0 0
10* 0 ^т1)
0 0 Е КА 0
0 0 0 0
V 0 ^1 * * * ^т2 ^т2 + 1 * * * ^тз+т2 №т)
0 0 00
0 0 0 0
0 0 00
0 п" Р1 * * * ^т2 ^т2+1 * * * №т2 +тз ) №т)
Последняя матрица есть матрица вида образует алгебру Ли.
Далее рассмотрим матрицу
Т
Обратная к ней задается формулой
(
'7) с Хг = 0, т.е. множество Н матриц вида (7)
^ Ет1 0 0 0
0 Е ±^Ш2 0 0
0 0 Е 0
[1 *** 1 0 0 1
Т
-і
V-
Е ^Ш1 0 0
0 Е ±^Ш2 0
0 0 Е -‘-'тз
1 0 0
Докажем, что подалгебра Ли ТНТ 1 является фробениусовым подпространством. Справедливы тождества
( (\г 0 0
0 А2 0
X .0. 0 Аті у
0
0
\ 0
( (Х1 0 0 \
0 А2 0
= .0. 0 Ат1 у
0
0
V А1 * * * Аті
ТКГ
і
0
0
№
0
0
( Ет1 0 0 0
0 Е л-,т,2 0 0
0 0 Е 0
V ***1 0 0 1
\
0 0
Е А5А5 0
х
0
Е А., Д, 0
0
+ 1 * * * !
\
0
0
Ці * * * ^т2 ^т2+1 * * * ^тз+т2 Vт}
X
Е ^ті 0 0 0
0 Е ±-'т2 0 0
0 0 Е тз 0
*** - 1 0 0 1
X
Е ті 0 0 0
0 Е л-1т2 0 0
0 0 Е ^тз 0
*** - 1 0 0 1
0
0
0
0
/ (Хі 0 . . . 0 \
0 х2 ... 0
0 0 0
.0.. 0 ... Хт11
0 0 £ Л, А3 0
0 0 0 0
\Хі - . . Хті ^1 . . . ^т,2 ^т2+1 . . . ^тз+т2
Обозначим через I— пространство матриц с нулевой последней строкой:
(* * * *
* * * *
0 0 0 0
Пусть д £ I П Н. Тогда д = 0. Действительно из (8) следует, что справедливы следующие равенства: = 0, = 0 (j = \,к). Поскольку ТНТ-1 ПI = 0, то сумма размерностей
ТНТ-1 и I равна п2, т.к. ¿гт(ТкТ-1) = п и ¿1т1 = V2 — п. Размерность этой суммы пространств ¿1т(ТкТ-1 +1) совпадает с размерностью пространства комплексных матриц п х п. Значит эти пространства ТНТ-1 и I являются дополнительными подпространствами к друг другу. Таким образом, ТЫ-1 есть фробениусово подпространство, являющееся подалгеброй Ли.
4. Серии решений уравнений Янга-Бакстера с квадратом
На основе примеров предыдущего параграфа построим две серии решений уравнения Янга-Бакстера с квадратом (1).
4.1. Серия 1. Рассмотрим кольцо т х т матриц Ст над полем комплексных чисел. Элементы этого кольца будем записывать в виде блочных матриц с блоками, образуемыми матрицами размера ті х (г = {1, 2, 3}, = {1, 2, 3}), где сумма т1 + т2 + т3 = т.
Пусть Н1, Н2, Н3 — подалгебры Ли в алгебрах матриц Ст1, Ст2, Стз соответственно и Ні — фробениусовы подпространства в этих алгебрах матриц ( см. определение 1). Обозначим через
'Н1 0 0
Ьо
0
Н2
0
Яз
0
0
н3.
множества матриц, звездочками обозначены произвольные блочные матрицы соответствующих размеров. Ясно, что Li — подалгебры Ли в матрицах Ст и Ь = Ь1 + Ь2 + Ь3 = Ст. Заметим, что
Яі П Ъо П Ъ3
/Н1 0 0
0 Н2 0
0 0 н3/
Обозначим Ь'4 — пространство матриц в С с нулевой последней строкой,
Ьл
Т-1Елт,
Т
Тогда Ь4—подалгебра Ли.
( Е,
т\
0
(0 ... 0\ (0 ... 0\ „
^0 ... 1) ^0 ... 1)
0 Е 0... 0 0... 1
0 0
Предложение 2. Пересечение пространств Ьі нулевое:
І1 П І2 П 13 П 14 = {0}.
Доказательство. Имеем
'Щ 0 0 т І о н2 о І т-і п Е4 = {0}
т
-1
0 0 н3/
Е„
(
ут,і 0
к."::-",)
0
Е„
т2 0...0 0... - 1
0
0
Е,
тз
При ді Є Ні справедливо равенство
( Еті 0
Е„
0
Ш2
(0;..0) (0 ■ .1)
0 0
Е,
тз
41
0
0
41
0 Ч2 [0...0\ [0...0\
^0...ді ^0...
0
42 0... 0 0... 1
42
0
0 \
0
0
0
43;
42 4з
4і
0 42 0 0 Ет2
/0 ... 0\ /0 ... 0\ ' ( 0 ... 0 \ / 0 ... 0 \
^0... 1)ді ^0... 1)д2 д3) ^0... -1) ... -1)
0
0
Ш\
0
0 1
0
0 0
Е,
тз
(
4і
0
42
/
0
0
V
Тем самым, если
0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0
^0 ... у ді + ^0 ... - у дз ^0 ... у д2 + ^0 ... - у
4з 4з
10)
'Ні 0 0
д Є Т І 0 Н2 0 І Т-і П Е4
0 0 Н3
то последняя строка матрицы д нулевая.
Из равенства (10) следует, что последние строки из элементов ді,д2,д3, лежащих в алгебрах Ні7 Н2, Н3, — нулевые. Поскольку подалгебры Ні — фробениусовы, то и сами элементы ді — нулевые. Тем самым, нулевым является и искомое пересечение (9).
Далее воспользуемся результатами теоремы 1.
Предложение 3. Пусть
д Ст ф ... ф Ст1 д+ {(Q,, Q,, ... ,й)|й £ Ст}, д— (L\, Е2, L3, ¿4).
Тогда оператор, задаваемый формулой (2), удовлетворяет уравнению Янга- Бакстера с квадратом (1) на д+.
Доказательство. Проверим, что д— — однородная подалгебра, дополнительная к д+.
— подалгебры Ли. Выполнение условия д+ П д— = {0} вытекает из того, что, согласно предложению 2, П Ь2 П Ь3 П Ь4 = {0}.
Если (а,а,... ,а) £ (Ь\, Ь2,Ь3, Ь4), то а £ Ь\ П Ь2 П Ь3 П Ь4 = {0}. Поэтому выполнение условия однородности хк С к (к £ Ст[х]) для д— вытекает из того, что aiLi С Li
Сп
0
0
(Ьг—подпространство). Осталось проверить выполнение условия д+ ф д— = д. Достаточно показать, что размерности пространств д— + д+ и д совпадают. Справедливы равенства
Значит условие д+ ®д- = д выполнено. По теореме 1 оператор Н(с[), заданный формулой
(2), удовлетворяет уравнению Янга-Банкстера с квадратом (1).
Замечание 1. Серия 1 получается из предложений 2 и 3 в том случае, если Н]_, Н2, Н3 — блочные матрицы вида (5) и (7) соответственно.
Замечание 2. Все выше изложенное в серии 1 остается справедливым, если блоков к, а подалгебры Ли Ні,... , Нь, которые лежат в алгебрах матриц Ст1,..., Стк, являются фробениусовыми подространствами в этих алгебрах матриц.
4.2. Серия 2. В работе [1] содержатся следующие предложения.
Предложение 4. Пусть С — произвольная 3-градуированная алгебра Ли, рі — подалгебра Ли в до и е — элемент из ді, такие что ¿гтр1 = ¿гтд1 и [рі,е] = ді. Тогда р2 = exp(ade)(p1 Ф д-і) является дополнительной подалгеброй к д0.
Предложение 5. Пусть К : С —> С диагонализуем, Х1,...,Хк —его спектр и Сі — соответствующие собственные подпространства. Тогда К удовлетворяет уравнению Янга- Бакстера с квадратом (1), если и только если подпространства Сі и Сі + С^ являются подалгебрами Ли в С для всех различных і и ^ от 1 до к.
Нам также понадобится следующее замечание, сделанное в работе [1].
Замечание 3. Предложение 4 позволяет построить ^-параметрическое семейство решений Я = Екі=і Аі Пі (где Пі — проектор на Сі) уравнения (1), если известно разложение алгебры Ли С в прямую сумму подпространств Сі, таких, что Сі и Сі + С^ являются подалгебрами Ли в С. Параметрами служат числа Хі, которые могут быть выбраны произвольно.
Для конкретных 3-градуированных алгебр Ли построим серию решений уравнения Янга-Бакстера с квадратом. Пусть С— алгебра матриц размера (2т + п) х (2т + п) над полем комплексных чисел. Элементы из С будем записывать в виде блочных матриц. Блоки образуются матрицами размера ті х т^ (г = {1, 2, 3},і = {1, 2, 3}, т1 = п, т2 = т3 = т.
Обозначим через С0, С1, С-1 следующие подпространства, задающие градуировку:
¿ітд = 4т2, ¿ітд+ = т2,
¿ітд- = іітЬ1 + &тЬ2 + йітЬ3 + <іітЬ4 (т2 + т3)т + т1 = &тЬ]_,
&тЬ2 = (т1 + т3)т + т2, сІітЬ3 = (т1 + т2)т + т3,
¿ітЬ4 = т2 - т,
йітд- = т(т2 + т3 + т1 + т3 + т1 + т2) + т1 + т2 + т3 + т2 - т = |т1 + т2 + т3 = т|
= 2т2 + т + т2 - т = 3т2.
Справедливо равенство
¿ітд+ + йітд- = ¿іт(д+ + д_), так как пересечение д+ П д- = {0}. Поэтому
dimg = <1іт(д+ + д-) = 4т2.
до = Є Gо, ді
000
0 0 0 І Є Сі, д-і
0 0 *\
0 0 * І Є С-і. 000
Легко проверить, что С = С0 Ф С1 Ф С-1 — 3-градуированная алгебра Ли.
Обозначим через Рг подалгебру в С0, образуемую матрицами следующего вида:
Рі
'Ні
01
0
І2
0
0
0
Н2,
где Нг,Н2— подалгебры Ли в алгебрах матриц Сп и Ст, являющиеся фробениусовыми подпространствами (примеры в § 3). 1\,12 состоят из блочных матриц, у которых последняя строка нулевая. Ясно, что Рг— подалгебра Ли.
Заметим, что ¿гтрг = ¿1тНг + dimH2 + ¿гт1г + dimI2 = п + т + (пт — п) + (т2 — т) = = п + т + пт — п + т2 — т = т2 + тп = т(т + и) = &тд\.
Зададим элемент е из Сг формулой
/ 0 0 0\
0 0 0
С :.:0)
Ет 0
/
Проверим справедливость условия [Р1, е] г1 Є /1,*2 Є 12 справедливы равенства
[А,е]
С1 из предложения 1. При д1 Є Н1,д2 Є Н2,
42
0 0
(0:..:)
4і 0 0 ^ /
Ч І2 0 1 /
0 0 42) К
0 0 0\
0 0 0
... 0 ... 1 ) Ет 0
0 0 (
0 0 /
42 0 / і
0 0
<01!)
0
0
0
0
/
0
0
4і 0 Іі І2 0
0
О
.0
Ет 0
0 0
42,
(
0
0
42
0... 0 0... 1
0... 0 0... 1
0 0
0 0
І2 0
)
0\
0
І2 0 2
Г11)
Для того чтобы показать справедливость условия [Рі,е] = С1, нам нужно показать, что на местах блоков (3,1) и (3,2) матрицы (11) стоят произвольные элементы. Подалгебры Н2 и 12 —дополнительные друг к другу в пространстве матриц размера т х т, кроме того, 0... 0
подпространства І лі и !1—дополнительные друг к другу в пространстве матриц
у0... 1/
размера т х п. На местах блоков (3,1) и (3,2) матрицы (11) стоят произвольные элементы,
0... 0
т.к. д2 — г2 — произвольный элемент размера т х т и ^ у j 4г + %\ — произвольный
элемент размера т х п, дг £ Нг,д2 £ Н2,гг £ 1\,12 £ 12.
Положим
Р2 = ехр(а(!е)(Р1 ф С—\)
и
С1 = Со, С2 = Р2 П (Со ф Сг), С3 = Р2 П (Со ф С—г).
Легко видеть, что Рг— подалгебры Ли в G и
Gl + G2 = Go + Gb Gl + Gs = Go + G-г, G2 + Gs =
— также подалгебры Ли. Согласно замечанию к предложению 5 из [1], мы получили операторы, удовлетворяющие Янгу-Бакстеру с квадратом.
Авторы выражает благодарность В.В. Соколову и Б.И. Сулейманову за полезные обсуждения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Голубчик И.З., Соколов В.В. Ещё одна разновидность классического уравнения Янга-Бакстера // Функциональный анализ и его приложения. Т. 34, В. 6. 2000. С. 75-78.
2. Голубчик И.З., Соколов В.В. Согласованные скобки Ли и интегрируемые уравнения типа модели главного кирального поля // Функциональный анализ и его приложения. Т. 36, В. 3. 2002. С. 9-19.
3. Голубчик И.З., Соколов В.В. Факторизация алгебры петель и интегрируемые уравнения типа волчков // Теоретическая и математическая физика. Т. 141, № 1. 2004. С. 3-23.
4. Атнагулова Р.А. Разновидность классического уравнения Янга-Бакстера // VI Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения". Сборник тезисов. ИМВЦ УНЦ РАН. Уфа, 2011. С. 25.
Рушания Ахъяровна Атнагулова,
Башкирский государственный педагогический университет, ул. Октябрьской революции, 3А,
450000, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
Игорь Захарович Голубчик,
Башкирский государственный педагогический университет, ул. Октябрьской революции, 3А,
450000, г. Уфа, Россия
