CC BY
42
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 3 (2013). С. 54-66.
УДК 517.956.4
ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПОДАЛГЕБР АЛГЕБРЫ ЛИ ТОЧЕЧНОЙ ГРУППЫ СИММЕТРИИ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ БЕЗ ИСТОЧНИКА
А.М. ИЛЬЯСОВ
Аннотация. В работе построена оптимальная система подалгебр девятимерной алгебры Ли инфинитезимальных операторов точечной группы симметрии нелинейного уравнения теплопроводности с изотропным тензором теплопроводности со степенной зависимостью от температуры. Результаты представлены в виде леммы и теоремы. Доказано, что с точностью до преобразований внутренних автоморфизмов и некоторых дискретных автоморфизмов существует 117 классов не подобных подалгебр различной размерности.
Ключевые слова: нелинейное уравнение теплопроводности, алгебра Ли, оптимальная система подалгебр.
Mathematics Subject Classification: 35K59.
1. Введение
Замкнутая система уравнений изотропной пространственной нестационарной фильтрации однофазной жидкости в сильно сцементированном пористом пласте [1] с параметрами флюида и скелета породы, зависящими от порового давления, подходящей заменой переменных приводится к нелинейному трехмерному уравнению теплопроводности с коэффициентами, имеющими степенную зависимость от температуры, и источником, зависящим от градиента температуры. Если пренебречь в уравнениях фильтрации гравитационными силами, то данное уравнение сводится к нелинейному уравнению теплопроводности без источника
ди д ( ади \ д ( \ д ( \
dt дж1 \ дж1 / + дж2 \ дж2 / + джз \ джз / ’
В работе [2] выполнена групповая классификация пространственного нелинейного уравнения теплопроводности с источником, зависящим только от температуры в случаях анизотропной, трансверсально-изотропной и изотропной теплопроводности.
Как показано в работе [2], в интересующем нас случае изотропной теплопроводности, который соответствует распространенной модели изотропной пористой среды, ядро основных групп состоит из переносов вдоль осей координат четырехмерного пространства-времени и вращений вокруг осей координат. Этому ядру соответствует семимерная алгебра Ли инфинитезимальных операторов. В этой же работе показано, что в случае отсутствия источника и степенной зависимости коэффициентов уравнения от температуры алгебра Ли L7 расширяется до девятимерной алгебры L9 с базисом (а = 0):
ддд д д
Х1 — я , X2 — д , Хз — д , Х4 — жз^---------ж2д ,
дх1 дх2 джз дх2 джз
д д д д д
X5 — ----Жз^, Хб — Ж2^-------, Х7 — —,
джз дж1 дж1 дж2 ^t
д д д д
Xs — 2t— + ж^-----------------------------------------+ ж^--+ —, (2)
дt дж1 дж2 джз
A.M. Ilyasov, Огтшаь system of Lie algebra subalgebras of the point symmetries group for nonlinear heat equation without source.
© Ильясов А.М. 2013.
Поступила 9 января 2013 г.
д д д д
Х9 = СТЖ1~---+ СТЖ2-----+ ----+ 2и—.
дх1 дх2 дхз ди
Таким образом, к операторам переноса и вращениям добавляются операторы одновременного растяжения по пространству-времени, а также совместного растяжения по пространственным переменным и зависимой переменной.
Далее, с выбранным базисом (2) будет построена оптимальная система подалгебр (ОСП) алгебры Ли Ьд. Линейные преобразования для построения оптимальной системы рассматриваются над полем действительных чисел, так как нас интересуют действительные групповые решения уравнения (1).
2. Группа внутренних автоморфизмов алгебры Ли Ь9
Вычислим сначала коммутаторы базисных операторов алгебры Ьд. По определению, коммутатором базисных операторов (2) X и X,, г, ; = 1,..., 9 называется оператор [3]:
X Xj] = XX,- - X,-X г,; = 1,..., 9. (3)
Вычисления по формуле (3) представлены в табл. 1 коммутаторов операторов алгебры Ьд. Для краткости в таблице операторы заменены их номерами. Например, — (а)1 означает —aXl. В таблице 1 в первых столбце и строке стоят базисные операторы, а на их пересечении — значения их коммутаторов.
Табл. 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 0 0 0 3 -2 0 1 И1
2 0 0 0 -3 0 1 0 2 (а)2
3 0 0 0 2 -1 0 0 3 (ст)3
4 0 3 -2 0 6 -5 0 0 0
5 -3 0 1 -6 0 4 0 0 0
6 2 -1 0 5 -4 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 0 0 (2)7 0
8 -1 -2 -3 0 0 0 -(2)7 0 0
9 -И1 -(а)2 -(а)3 0 0 0 0 0 0
Произвольный элемент алгебры Ьд в базисе (2) запишем в виде X = хгХі, (і = 1,..., 9). Обозначим через Рі(х) = (х1,х2,х3) и Р2(х) = (х4, х5, х6) проекции координатного вектора х для
элемента X. Тогда, согласно введенным обозначениям, координатный вектор произвольного одномерного оператора алгебры Ьд можно представить в виде:
х = (Р1(х), Р2(х), х7, х8, х9). (4)
Пусть X' = х'гХі, (і = 1,..., 9) - некоторый оператор алгебры Ьд в базисе (2) и У Є Ьд - другой
инфинитезимальный оператор, записанный в том же базисе. Вычислим группу внутренних автоморфизмов алгебры Ьд. Для любого оператора У Є Ьд однопараметрическая группа внутренних автоморфизмов является решением задачи [3]:
я X'
— = [Х ',У ], X '(0)= X. (5)
Как показано в [3], для вычисления всех внутренних автоморфизмов достаточно вычислить однопараметрические группы внутренних автоморфизмов для базисных операторов. Таким образом, внутренние автоморфизмы вычисляются из решения уравнений
д х'г
—X = x,г[Xг ,Xj ], х'г(0) = хг, і,; = 1,..., 9, (6)
дaj
где в (5) вместо оператора У последовательно берутся базисные операторы Xj.
Пусть У = XI, тогда из (6) и таблицы коммутаторов имеем:
д х'г
—Xг = х^^г, XI] = -x/5Xз + x/6X2 - x/8Xl - х'9^, х'г(0) = хг, і = 1,..., 9
да1
или следующую задачу Коши для системы ОДУ для определения координат х'*:
дх'1 дх'2 дх'3 дх'*
дх »о »о дх дх дх
-— = — ж — га , -— = ж , -— = — х , = 0,
да1 да1 д&1 да1
х;1(0) = х1, х/2(0) = х2, х/3(0) = х3, х'*(0) = х*, г = 4,..., 9,
отсюда получаем следующее решение этой задачи:
х'1 = —(х8 + стх9)а1 + х1,
/2 6 2
х'2 = х6а1 + х2,
х'3 = — х5а1 + х3,
х'* = х*, г = 4,..., 9.
Аналогично (7), из (6) и таблицы коммутаторов 1 получим однопараметрические группы для операторов У = X2 и У = Xз. Легко показать, что композиция полученных однопараметрических групп автоморфизмов определяет трехпараметрическое преобразование проекции Р^х).
Г : Р1(х') = Р1(х) + Р2(х) х Й — (х8 + стх9) Й,
где через х' обозначены преобразованные координаты; Й = (а4, 05, аб) - параметрический вектор, а « х » - знак векторного произведения.
Далее, из (6) находим однопараметрическую группу внутренних автоморфизмов алгебры Ли Ьд для оператора У = X,!, которая представляет собой одновременные вращения вокруг осей Ох1 и Ох4:
232
х = 81п а4 ■ х3 + сов а4 ■ х2,
/3 3*2
х'3 = СО8 04 ■ х3 — 81П 04 ■ х2,
х'5 = в1п а4 ■ хб + сов а4 ■ х5, (8)
х'6 = соэ а4 ■ хб — в1п а4 ■ х5, х'* = х*, г = 1,4, 7,8, 9.
Аналогично (8), при У = X5 из (6) получим группу одновременных вращений вокруг осей Ох2 и Ох5, а при У = Xб - группу одновременных вращений вокруг осей Ох3 и Ох6. Композиция однопараметрических групп вращений определяет трехпараметрические преобразования поворотов О проекций Р1 (х) и р2(х) по формулам:
Р1(х' ) = ОР^х), Р2(х') = ОР2(х), ООТ = I, det О = 1.
При У = X/ из (6) получается преобразование, для которого введем обозначение
П : х'7 = —2а7х8 + х7.
При У = X8 получается однопараметрическая группа одновременного растяжения проекции Р1(х) и координаты х7. Для данного преобразования введем обозначение
Л1 : Р1(х') = а8Р^х), х'7 = а|х7.
Из (6) при У = Xg вычисляется однопараметрическая группа однородных растяжений проекций Р1 (х), для которой введем обозначение
Л2 : Р1(х') = а9Р1(х).
Композиция полученных групп преобразований образует 9: параметрическую группу внутренних автоморфизмов.
Рассмотрим, как внутренние автоморфизмы действуют на различные координатные проекции вектора х (4). На проекции координатного вектора х действуют следующие группы автоморфизмов: на проекции Р2 действуют только повороты О; на проекции Р1 действуют повороты О, преобразование Г, а также растяжения ^1 и ^2; координата х7 изменяется только при преобразовании П и растяжении Я1; на проекцию, задаваемую координатами х8,х9, никакие внутренние автоморфизмы не действуют.
Кроме того, из рассмотрения табл. 1 заметим следующие дискретные автоморфизмы:
£1 : Р1(х') = —Р1(х),
£2 : х'7 = —х7.
3. Оптимальные системы подалгебр
В работе [4] описан алгоритм вычисления оптимальной системы подалгебр произвольной алгебры Ли и приведены примеры вычисления некоторых подалгебр конечномерных алгебр линейного одномерного уравнения теплопроводности, уравнений газовой динамики и уравнений движения изотропной несжимаемой жидкости с коэффициентами вязкости и теплопроводности, зависящими от температуры. Для моделей газовой динамики обзор построенных оптимальных систем подалгебр приведен в работе [5]. Применим данный алгоритм для вычисления оптимальной системы подалгебр алгебры £д пространственного нелинейного уравнения теплопроводности без источника с изотропным тензором теплопроводности, имеющим степенную зависимость от температуры.
Рассмотрим табл. 1 коммутаторов базисных операторов алгебры £д. Из таблицы видно, что четырехмерное подпространство, натянутое на векторы базиса {Х1, Х2, Х3, Хд}, является идеалом З4 алгебры Рд, а пятимерное подпространство, натянутое на векторы {Х4, Х5, Хб, Х7, Х8} , является подалгеброй £5 алгебры Рд. В свою очередь, подалгебру £5 можно разложить в прямую сумму своих идеалов З51 = {Х4,Х5,Хб} и 752 = {Х7,Х8}. Таким образом, справедливо разложение:
£д = £5 (В З4 = (З51 ® З52) ® З4. (9)
Обозначим координаты оператора одномерных подалгебр через хг, двумерных подалгебр -хг, уг, трехмерных подалгебр - хг, уг, £г, четырехмерных подалгебр - хг, уг, £г, -шг и т.д.
4. Оптимальная система подалгебр алгебры £5
Вычислим оптимальную систему подалгебр алгебры £5. Согласно разложению (9) алгебра является прямой суммой своих идеалов З51 и З52:
^5 = ^4, X5, Xб} В {X7, X8} = З51 ® З52 (10)
Используя алгоритм, описанный в работе [4], вычислим сначала ОСП идеала 351, а затем согласно (10) будем прибавлять к каждому оператору из ОСП идеала 351 (в том числе и к нулевому оператору) линейную комбинацию базисных операторов идеала З52, дополняющую операторы из ОСП идеала З51 до операторов из алгебры £5. Далее, с помощью внутренних автоморфизмов приведем операторы подалгебр из £5 к наиболее простому виду (сделать минимум произвольных координат операторов). Таким способом найдем ОСП алгебры £5, каждый представитель которой имеет своей проекцией одну из подалгебр ОСП идеала З51 или нулевую проекцию.
Сначала найдем ОСП идеала З51. Одномерная подалгебра - это произвольный оператор из идеала З51, базисный оператор которого имеет вид X = х4X4 + ж5X5 + жбXб. Данный оператор можно представить в виде матрицы-строки для координат базисного оператора ( х4 х5 хб ). Применив преобразование поворота О и замену базиса, получим ( е 0 0 ). Если е = 0, то получим нулевую подалгебру, а если е = 1 - одномерную подалгебру {X4}.
Далее рассмотрим произвольную двумерную подалгебру идеала З51, которую можно предста-
/ х4 х5 хб \
I X X X I -|—г
вить в виде матрицы для координат базисных операторов I ^4 ^5 уб у Применив преобразование О и замену базиса, матрицу приведем к виду 01 10 00 . Однако для такого базиса
не выполняется условие подалгебры ^4^5] = Xб = ЛX4 + ^X5. Таким образом, двумерных
подалгебр в ОСП идеала З51 нет.
Базис трехмерной подалгебры из З51 можно представить в виде действительной невырожден/ х4 х5 хб \
ной матрицы I у4 у5 уб I . Тогда с помощью замены базиса данную матрицу можно привести
V ^ ^ ^)
к единичной. Получим трехмерную подалгебру: {X4,X5,Xб}. Условие подалгебры выполняется. Итак, ОСП идеала З51 состоит из трех подалгебр: одномерной, трехмерной и нулевой.
Далее, вычислим все подагебры из £5, которые имеют нулевую проекцию в З51. Одномерная подалгебра имеет матричное представление координат базисного оператора ( х7 х8 ). Если х8 = 0, то преобразование П делает х7 = 0, а замена базиса приводит к подалгебре вида {X8}.
Если х8 = 0, то замена базиса приводит к подалгебре {Х7}. Итак, существуют 2 одномерные подалгебры в £5 с нулевой проекцией в 351.
Двумерная подалгебра с нулевой проекцией имеет вид {Х7,Х8}. Подалгебр размерности выше
2 с нулевой проекцией нет, т.к. операторы становятся линейно-зависимыми. Итак, в £5 имеется нулевая, 2 одномерные и 1 двумерная подалгебры с нулевой проекцией в 351.
Одномерная подалгебра в £5 с проекцией {Х4} в 351 имеет матричное представление координат оператора ( 1 х7 х8 ). Если х8 = 0, то преобразование П делает х7 = 0, а замена базиса приводит к подалгебре {Х4 + аХ}. Если х8 = 0, то преобразования Л и е2 приводят к подалгебре {Х4 + Х7}. Итак, имеются 2 одномерные подалгебры в £5 с проекцией {Х4} в 351.
Двумерная подалгебра в £5 с проекцией {Х4} в 351 имеет матричное представление координат
операторов ( 1 х7 х8 ). Если у8 = 0, то преобразование П делает у7 = 0, замена базиса делает
0 у7 у8
у8 = 1, х8 = 0, а преобразования и £2 приводят к подалгебре {Х4 + еХ7, £ = 0,1}. В случае
£ = 1 условие подалгебры не выполняется, т.к. [Х4 + Х7, Х8] = 2X7 = А(Х4 + Х7) + ^^8. Если е = 0, то получаем подалгебру {Х4,Х8}. Если у8 = 0, то замена базиса делает у7 = 1, х7 = 0, что приводит к подалгебре {Х4 + аХ8,Х7}. Итак, существуют 2 двумерные подалгебры в £5 с проекцией {Х4} в 351.
Трехмерная подалгебра в £5 с проекцией {Х4} в З51 только одна: {Х4,Х7,Х8}.
Трехмерная подалгебра в £5 с проекцией {Х4,Х5,Хб} в З51 имеет матричное представление /10 0 х7 х8 \
координат операторов I 0 10 у7 у8 I . Вычислив всевозможные коммутаторы подалгебры,
\ 0 0 1 г7 г8 )
находим, что условие подалгебры выполняется тогда и только тогда, если х7 = у7 = г7 = х8 = = у8 = г8 = 0. Т.е. получаем исходную проекцию {Х4,Х5,Хб}.
Четырехмерная подалгебра в £5 с проекцией {Х4, Х5, Хб} в З51 имеет матричное представление координат операторов /10 0 х7 х8 \
0 10 у7 у8
0 0 1 г7 г8
У 0 0 0 ад7 ад8 У
ад8 = 1, х8 = у8 = г8 = 0, а условия подалгебры дают х7 = у7 = г7 = 0 и приводят к подалгебре {Х4, Х5, Хб, Х8}. Если ад8 = 0, то замена базиса делает т7 = 1, х7 = у7 = г7 = 0, а условия подалгебры дают х8 = у8 = г8 = 0. Приходим к подалгебре {Х4,Х5,Хб,Х7}.
Пятимерной подалгеброй в £5 с проекцией {Х4, Х5, Хб} в З51 является сама £5. Таким образом, существует 1 трехмерная, 2 четырехмерные и 1 пятимерная подалгебра с проекцией {Х4,Х5,Хб} в 351.
Итак, доказана следующая лемма.
Лемма 1. Оптимальная система подалгебр алгебры Ли £5 с коммутаторами из таблицы 1 с точностью до внутренних автоморфизмов и дискретных автоморфизмов £1 и е2 состоит из 12 классов неподобных подалгебр. Классы представлены в табл. 2
Табл. 2
Если ад8 = 0, то преобразование П делает -ш7 = 0, замена базиса делает
г і Базис г і Базис
1 1 4 + а8 3 1 4, 5, 6
2 4+7 2 4, 7, 8
3 7 4 1 4, 5, 6, 7
4 8 2 4, 5, 6, 8
2 1 4,8 5 1 4, 5, 6, 7, 8
2 4 + а8; 7
3 7, 8
В таблице г - размерность подалгебры; 1 - порядковый номер подалгебры в данной размерности; а - произвольная постоянная.
5. ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПОДАЛГЕБР АЛГЕБРЫ £9
Далее, согласно (9) алгебра Рд есть полупрямая сумма подалгебры £5 и идеала З4:
£9 = £5 ® З4 = {Х4,Х5,Хб,Х7,Х8}<Э{Х1,Х2,Хз,Хд}. (11)
Действуя аналогично предыдущему, с помощью доказанной леммы можно построить ОСП алгебры £д, взяв в качестве проекций в £5 подалгебры из табл. 2 и добавляя к их операторам части операторов из идеала З4.
Сначала определим ОСП идеала З4, которая совпадает с подалгебрами из оптимальной системы алгебры £9, имеющими нулевую проекцию на £5. Одномерные подалгебры в с нулевой проекцией на £5 имеют матричное представление ( х1 х2 х3 х9 ). Если х9 = 0, то преобразование Г делает Р1 (х) = 0, а замена базиса дает подалгебру {Х9}. Если х9 = 0, то поворот О и замена базиса приводят к подалгебре {Х1}. Итак, имеется 2 одномерные подалгебры в £9 с нулевой проекцией на £5: {Х1} - подалгебра 1.1 в табл. 3 и {Х9} - подалгебра 1.2 в табл. 3. Двумерные подалгебры в £9 с нулевой проекцией на £5 имеют матричное представление
1 2 3 9 \
х х х х \
у1 у2 уЗ у9 ). Если у9 = 0, то преобразование Г делает Р1(у) = 0, а замена базиса делает у9 = 1, х9 = 0. Поворот О делает Р1(х) = ( х1 0 0 ). После замены базиса получаем
подалгебру {Х1,Х9}. Если у9 = 0, то поворот О делает Р1(у) = ( у1 0 0 ), а замена базиса
делает у1 = 1, х1 = 0. Далее, поворот О вокруг оси Ох1 дает х3 = 0. Если х9 = 0, то преобразование Г делает Р1 (х) = 0, а замена базиса дает х9 = 1 и приходим к полученной выше подалгебре. Если х9 = 0, то замена базиса делает х2 = 1 и получаем подалгебру {Х1,Х2}. Итак, имеется 2 двумерные подалгебры в £9 с нулевой проекцией на £5: {Х1,Х9} - подалгебра 2.2 в табл. 3 и {Х1,Х2} - подалгебра 2.1 в табл. 3.
Трехмерные подалгебры в £9 с нулевой проекцией на £5 имеют матричное представление 1239
гу* /у>" гр Гр--' \
*ЛУ *ЛУ *ЛУ *ЛУ \
у1 у2 у3 у9 I . Если г9 = 0, то преобразование Г делает Р^-г) = 0, а замена базиса делает г1 г2 г3 г9 у
г9 = 1, х9 = у9 = 0. Поворот О делает Р1(у) = ( у1 0 0 ). Далее, поворот О вокруг оси Ох1
делает х3 = 0, а замена базиса делает у1 = 1. Получаем подалгебру {Х1,Х2,Х9}. Если г9 = 0, то поворот О делает Р1(г) = ( г1 0 0 ), а замена базиса делает г1 = 1, х1 = у1 = 0. Далее, поворот
0 х2 0 х9
О вокруг оси Ох1делает х3 = 0, и матрица подалгебры принимает вид I 0 у2 у3 у9 I . Если
\ 1 0 0 0 )
х9 = 0, то преобразование Г делает х2 = 0, а замена базиса дает х9 = 1, у9 = 0. Далее, поворот
О вокруг оси Ох1 делает у3 = 0, а замена базиса делает у2 = 1. Приходим к полученной выше подалгебре. Если х9 = 0, то замена базиса делает х2 = 1, у2 =0. Если у9 = 0, то преобразование Г делает у3 = 0 и снова получаем ту же подалгебру. Если у9 = 0, то замена базиса делает у3 = 1 и получаем подалгебру {Х1 ,Х2,Х3}. Итак, имеется 2 трехмерные подалгебры в £9 с нулевой проекцией на £5: {Х1, Х2, Х9} - подалгебра 3.2 в табл. 3 и {Х1,Х2,Х3} - подалгебра 3.1 в табл. 3.
Четырехмерная подалгебра в £9 с нулевой проекцией на £5 совпадает с идеалом З4 - подалгебра 4.1 в табл. 3.
Для того чтобы вычислить остальные подалгебры из ОСП алгебры £9, необходимо согласно (11) к каждой подалгебре из леммы добавлять части операторов из идеала З4. При этом одномерные проекции на подпространство £5 будут иметь подалгебры Н размерности ё1ш Н = 1 + 5. Подалгебр более высоких размерностей с одномерными проекциями на подпространство £5 не существует, т.к., операторы становятся линейно-зависимыми. Аналогично, двумерные проекции на подпространство £5 имеют подалгебры Н размерности ё1ш Н = 2 + 6; трехмерные проекции имеют подалгебры размерности ё1ш Н = 3 + 7; четырехмерные проекции имеют подалгебры размерности ё1ш Н = 4 + 8; пятимерную проекцию имеют подалгебры размерности ё1ш Н = 5 + 9. В работе будут приведены примеры вычислений подалгебр всех размерностей в содержательных случаях. Результаты всех вычислений приводятся в табл. 3.
Рассмотрим одномерную подалгебру 1.1 из табл. 2. Одномерные подалгебры в £9 с проекцией {Х4 + аХ8} на подпространство £5 будут иметь следующее матричное представление ( 1 а х1 х2 х3 х9 ). Если а + ах9 = 0, то преобразование Г делает Р^х) = 0 и полу-
чаем следующую подалгебру {Х4 + аХ8 + вХ9, в = — а/а}. Если а + ах9 = 0, то после замены параметра а/а ^ а преобразование Г делает Р^х) = ( х1 0 0 ) и дает подалгебру
{ Х4 + ааХ8 + еХ1 — аХ9}. Если е = 0, то эту подалгебру можно объединить с предыдущей. Получим подалгебру без ограничений на значение параметра {Х4 + аХ8 + вХ9}. Если е = 1, то получаем следующую подалгебру { Х4 + Х1 + а(а Х8 — Х9)}. Итак, имеется 2 одномерные подалгебры в £9 с проекцией {Х4 + аХ8} на £5: {Х4 + аХ» + вХ9} - подалгебра 1.3 в табл. 3 и { Х4 + Х1 + а(а Х8 — Х9)} - подалгебра 1.4 в табл. 3.
Двумерные подалгебры в £9 с проекцией {Х4 +аХ8} на подпространство £5 будут иметь
1 а х1 х2 х3 х9 9
матричное представление 0 0 у1 у2 у3 у9 . Если у9 = 0, то преобразование Г дела-
0 0 у у у у
ет Р1(у) = 0, а замена базиса делает у9 = 1, х9 = 0. Поворот О вокруг оси Ох1 делает х3 = 0, а из условия подалгебры [Х4 + аХ8 + х1Х1 + х2Х2, Х9] = ах1Х1 + ах2Х2 = 0 следует, что это возможно при х1 = х2 = е. Получаем подалгебру {Х4 + аХ8, Х9}. Если у9 = 0, то преобразование Г делает Р1(х) = ( х1 0 0 ), а поворот О вокруг оси Ох1 делает у3 = 0. Далее,
условие подалгебры дает у2 = 0, а замена базиса делает у1 = 1, х1 = 0. Получаем подалгебру {Х4 + аХ8 + вХ9, Х1}. Итак, существуют 2 двумерные подалгебры в £9 с проекцией {Х4 + аХ8} на £5: {Х4 + аХ8, Х9} - подалгебра 2.3 в табл. 3 и {Х4 + аХ8 + вХ9, Х1} - подалгебра 2.4 в табл. 3.
Трехмерные подалгебры в £9 с проекцией {Х4 + аХ8} на подпространство £5 будут иметь
(1 ах1 х2 х3 х9 \
0 0 у1 у2 у3 у9 I . Если г9 = 0, то преобразование Г делает
0 0 г1 г2 г3 г9 у
Р1(г) = 0, а замена базиса делает г9 = 1, х9 = у9 = 0. Поворот О вокруг оси Ох1 делает х3 = 0. Условие подалгебры для коммутатора 1 и 2 операторов приводит к однородной системе уравне-С у2 (А | (а) | у3 — 0
ний < у2 (а + а)у3 = 0 с определителем А = —(А + а)2 — 1 = 0, откуда следует у2 = у3 = 0.
Замена базиса делает у1 = 1, х1 = 0. Получаем подалгебру {Х4 + аХ«, Х1, Х9}. Если у9 = 0, то,
поменяв 2 последние строки местами, приходим к уже рассмотренному случаю. Если у9 = г9 = 0, то преобразование Г делает Р1 (х) = ( х1 0 0 ), а поворот О вокруг оси Ох1 делает у3 = 0. По-
1 а х1 0 0 х9
лучаем следующее представление подалгебры I 0 0 у1 у2 0 0 I . Условие подалгебры
\ 0 0 г1 г2 г3 0 /
{^г1 = —(А + а + ах9)у1 ^г2 = —(А + а + ах9)у2 . ^г3 = у2
Имеются 2 возможности. 1) у2 = 0. Из последнего уравнения системы следует ^ = 0, г3 = 0. Тогда замена базиса делает у2 = 1, г2 = 0, г3 = 1 и из первого уравнения системы следует г1 = 0. Из условия подалгебры для коммутатора 1 и 3 операторов следует у1 = 0. Получаем подалгебру {Х4 + аХ8 + еХ1 + вХ9, Х2, Х3}. Если е = 0, то имеем подалгебру {Х4 + аХ8 + вХ9, Х2, Х3}. Если е = 1 и а + ав = 0, то преобразование Г делает х1 = 0. Получаем подалгебру {Х4 + аХ8 + вХ9, Х2, Х3; в = —а/а}, которая вкладывается в предыдущую. Если е = 1 и а + ав = 0, то имеем подалгебру {Х4 + Х1 + а(а Х8 — Х9), Х2, Х3}. 2) у2 = 0. Замена базиса делает у1 = 1, х1 = г1 = 0, а из условия подалгебры для 1 и 3 операторов следует г2 = г3 = 0. Т.е. в этом случае операторы линейно-зависимы. Итак, существуют 3 трехмерные подалгебры в £9 с проекцией {Х4 + аХ8} на £5: {Х4 + аХ8, Х1, Х9} - подалгебра 3.3 в табл.
3, {Х4 + аХ8 + вХ9, Х2, Х3} - подалгебра 3.4 в табл. 3 и {Х4 + Х1 + а(а Х8 — Х9), Х2, Х3} -подалгебра 3.5 в табл. 3.
Четырехмерные подалгебры в £9 с проекцией {Х4 + аХ8} на подпространство £5 будут иметь
матричное представление
(
\
а
0
0
0
х
,1
х
,2
X
х
\
3
У У У У 1
1
г
г
2
г
3
г
w ад
2
3
w3 w
9
. Возможны два случая. 1) Если w9 = 0,
/
откуда следует у1 =0, у3 = 0. Далее,
то преобразование Г делает Р^ад) = 0, а замена базиса делает ад9 = 1, х9 = у9 = г9 = 0. Поворот О вокруг оси Ох1 делает г3 = 0. Далее, можно считать, что г2 = 1, т.к. это можно сделать либо переменой местами операторов 2 и 3, либо заменой координат в операторе 3. Замена базиса делает х2 = у2 = 0. Условие подалгебры для коммутатора 1 и 3 операторов
{—аг1 = 7у1 + кг1 —а = к 1 = 7 у3
замена базиса делает у3 = 1, х3 = 0. Из условия подалгебры для коммутатора 1 и 4 операторов следует, что х1 = 0. И, наконец, условие подалгебры для коммутатора 1 и 2 операторов
^г1 = 0
—а = А , откуда следует г1 = 0. Т.о. получаем подалгеб-—1 = ^
ру {Х4 + аХ8, Х3, Х2, Х9}. 2) Если у9 = г9 = ад9 = 0, то операторы подалгебры линейнонезависимы, если выполняются неравенства: у1 =0, г2 = 0, ад3 = 0. Тогда замена базиса приводит к подалгебре {Х4 + аХ8 + вХ9, Х1, Х2, Х3}. Итак, существуют 2 четырехмерные подалгебры в £9 с проекцией{Х4 + аХ8} на £5: {Х4 + аХ8, Х3, Х2, Х9} - подалгебра 4.2 в табл. 3 и подалгебра 4.3 в табл. 3: {Х4 + аХ8 + вХ9, Х1, Х2, Х3}.
Пятимерные подалгебры в £9 с проекцией {Х4 + аХ8} на подпространство £5 будут иметь невырожденное матричное представление
приводит к системе уравнений
(1 а х1 х2 х3 х9
0 0 у1 у2 у3 9 у9
0 0 г1 г2 г3 г9
0 0 w1 w2 w3 w9
0 0 в1 в2 в3 в9 J
Операторы подалгебры линейно-независимы, если выполняются неравенства: у1 =0, г2 = 0, ад3 =0, з9 = 0. Тогда замена базиса приводит к подалгебре {Х1 ,Х2,Х3,Х9}. Т.о., имеется 1 пятимерная подалгебра в £9 с проекцией Х4 + аХ8 на £5: Х4 + аХ8, Х1, Х2, Х3, Х9 - подалгебра 5.1 в табл. 3.
Далее рассмотрим пятимерную подалгебру 5.1 из табл. 2. Шестимерные подалгебры в £9 с проекцией {Х4, Х5, Хб, Х7, Х8} на подпространство £5 будут иметь матричное представление
Условия подалгебры для коммутаторов первых 3 опера-
г9 = 0. Имеется 2 возможности. 1) Если £9 = 0, то преобразование Г делает Р1(£) = 0, а замена базиса делает £9 = 1, ад9 = з9 = 0. Далее, условие подалгебры для коммутаторов 1 и 6 операторов дает Р^х) = 0; 2 и 6 операторов дает Р1(у) = 0; 3 и 6 операторов дает Р1(г) = 0; 4 и 6 операторов дает Р^ад) = 0, а 5 и 6 операторов дает Р^з) = 0. Получаем подалгебру {Х4, Х5, Хб, Х7, Х8, Х9}. 2) Если £9 = 0, то условие подалгебры для коммутаторов
1 0 0 0 0 х1 х2 х3 9 х9
0 1 0 0 0 у1 у2 у3 9 у9
0 0 1 0 0 г1 г2 г3 г9
0 0 0 1 0 w1 w2 w3 w9
0 0 0 0 1 в1 в2 в3 в9
0 0 0 0 0 І1 І2 І3 І9 )
торов друг с другом дают х9 = у9
1 и 6 операторов приводит к однородной системе с ненулевым детерминантом
М2 + і3 = 0
£2 — А£3 = 0 ’
откуда следует £2 = £3 = 0. Замена базиса делает ^ = 1. Условие подалгебры для коммутаторов 2 и 6 операторов дает [Х5 + у1 Х1 + у2Х2 + у3Х3, Х1 ] = —Х3 = 0, что невозможно. Т.о., во втором случае подалгебр нет. Итак, существует одна шестимерная подалгебра {Х4, Х5, Хб, Х7, Х8, Х9} с проекцией {Х4, Х5, Хб, Х7, Х8} на подпространство £5 - подалгебра 6.7 в табл. 3.
Семимерной подалгебры в £9 с проекцией {Х4, Х5, Хб, Х7, Х8} на подпространство £5 не существует, т.к. не выполняются условия подалгебры. В качестве примера вычисления семимерной подалгебры возьмем подалгебру с проекцией {Х4, Х5, Хб, Х8} - подалгебру 4.2 из табл. 2 леммы.
. Условия подалгебры для
1 0 0 0 хі х2 х3 9 х9 \
0 1 0 0 уі у2 у3 9 у9
0 0 1 0 ^2 * 3 *9
Ее матричное представление есть 0 0 0 1 ші ш2 ш3 ш9
0 0 0 0 зі з2 з3 з9
0 0 0 0 і2 і3 і9
0 0 0 0 иі и2 и3 и9 /
коммутаторов первых трех операторов друг с 9 другом дают х = 9 у9
можности. 1) Если и9 = 0, то преобразование Г делает Рі(и) = 0, а замена базиса делает и9 = 1, ад9 = з9 = і9 = 0. Далее можно считать, что і2 = 1, т.к. это можно сделать либо переменой местами операторов 5 и 6, либо заменой координат в операторе 6. Тогда замена базиса делает з2 = 0, а условие подалгебры коммутатора 2 и 5 операторов приводит к однородной системе с
ненулевым детерминантом
і 3
75і — з3 з1 + 7 з3
0і
0 , откуда следует з1
з3 = 0. Т.е. операторы линейно-
зависимы. 2) Если з9 = £9 = и9 = 0, то операторы 5+7 подалгебры линейно-независимы, если
з1 =0, £2 = 0, и3 = 0. Заменой базиса получаем подалгебру {Х4,Х5,Хб, Х8, Х1, Х2, Х3}. Итак, существует одна семимерная подалгебра {Х4, Х5, Хб, Х8, Х1, Х2, Х3} с проекцией {Х4, Х5, Хб, Х8} на подпространство £5 - подалгебра 7.4 в табл. 3.
Рассмотрим пример вычисления восьмимерной подалгебры в Ьд с проекцией {Х4, Х5, Хб, Х7, Х8} на подпространство £5.
Матричное представление подалгебры имеет вид:
Условия подалгебры для коммутаторов первых трех операторов друг с другом дают х9 = у9 = = г9 =0. Имеются 2 возможности. 1) Если V9 = 0, то преобразование Г делает Р^) = 0, а замена базиса делает V9 = 1, ад9 = з9 = £9 = и9 = 0. Далее, как и выше, можно считать, что и2 = 1. Тогда замена базиса делает £2 = 0, а условие подалгебры коммутатора 2
Х*1 - *3 = 0 ^ + Х*3 = 0 ,
откуда следует ^ = £3 = 0. Т.е. операторы линейно-зависимы. 2) Если £9 = и9 = V9 = 0,
/ 1 0 0 0 0 хі х2 х со 9 х \
0 1 0 0 0 уі у2 у3 9 у
0 0 1 0 0 *і *2 *3 *9
0 0 0 1 0 ші ш2 ш3 ш9
0 0 0 0 1 8і з2 з3 з9
0 0 0 0 0 і2 со і9
0 0 0 0 0 иі и2 и со 9 £
\ 0 0 0 0 0 Vі V2 V со 9 V9 /
и 6 операторов приводит к однородной системе с ненулевым детерминантом
то три последних оператора подалгебры линейно-независимы, если ^ =0, и2 = 0, V3 = 0.
Замена базиса делает Рі(і) = ( 1 0 0 ); Рі(и) = (0 1 0 ); Рі(^) = (0 0 1 ),а также
Рі(х) = Рі(у) = Рі(*) = Рі(ш) = Рі(з) = 0. Далее, условие подалгебры коммутатора 4 и 5 операторов дает [Х7 + ш9Х9, Х8 + 89Х9] = 2X7 = ш(Х7 + ш9Х9), откуда следует ад9 = 0. Т.о. получаем
подалгебру 8.3 в табл. 3: {Х4, Х5, Хб, Х7, Х8 + аХ9, Хі, Х2, Х3}.
Очевидно, что девятимерной подалгеброй с проекцией {Х4, Х5, Хб, Х7, Х8} на подпространство р5 в ^9 является сама алгебра £9, что достигается заменой базиса в соответствующем матричном представлении. Это - подалгебра 9.1 в табл. 3.
Аналогично, согласно (11) вычисляются подалгебры всевозможных размерностей из £9 с проекциями на подпространство £5 из табл. 2 леммы. При фиксированных параметрах некоторые подалгебры будут вкладываться в уже вычисленные подалгебры из оптимальной системы, а другие подалгебры будут самостоятельными представителями ОСП. Таким образом, вычисляется оптимальная система подалгебр алгебры £9. Результатом вычислений будет следующая теорема.
Теорема 1. Оптимальная система подалгебр алгебры Ли £9 с коммутаторами из табл. 1 с точностью до внутренних автоморфизмов и дискретных автоморфизмов £1 и £2 состоит из 117 классов неподобных подалгебр, представленных в табл. 3, где а, в - произвольные постоянные; а = 0 - показатель степени у коэффициентов уравнения (1).
Табл. 3
г і Базис Проекция в £5
9 1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 5.1
8 1 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 9 4.1
2 4, 5, 6, 8, 1, 2, 3, 9 4.2
3 4, 5, 6, 7, 8 + а9, 1, 2, 3 5.1
7 1 4, 5, 6, 1, 2, 3, 9 3.1
2 4, 7, 8, 1, 2, 3, 9 3.2
3 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3 4.1
4 4, 5, 6, 8 + а9, 1, 2, 3 4.2
6 1 4, 8, 1, 2, 3, 9 2.1
2 4 + а8, 7, 1, 2, 3, 9 2.2
3 7, 8, 1, 2, 3, 9 2.3
4 4, 5, 6, 1, 2, 3 3.1
5 4 + а9, 7, 8 + 09, 1, 2, 3 3.2
6 4, 7, 8, 2, 3, 9 3.2
7 4, 5, 6, 7, 8, 9 5.1
5 1 4 + а8, 1, 2, 3, 9 1.1
2 4 + 7, 1, 2, 3, 9 1.2
3 7, 1, 2, 3, 9 1.3
4 8, 1, 2, 3, 9 1.4
5 4, 8, 2, 3, 9 2.1
6 4 + а9, 8 + 09, 1, 2, 3 2.1
7 4 + а8, 7, 2, 3, 9 2.2
8 4 + а8 + 09, 7, 1, 2, 3 2.2
9 7, 8, 2, 3, 9 2.3
10 7, 8 + а9, 1, 2, 3 2.3
11 4 + а1 + 09, 7, а8 — 9, 2, 3; 0 = 0 3.2
12 4 + а9, 7, 8 + 09, 2, 3; 0 = —1/ст 3.2
13 4 + а1, 7, ст8 + 01 — 9, 2, 3; а2 + 02 = 1 3.2
14 4, 7, 8, 1, 9 3.2
15 4, 7 + 1, ст8 + а1 + 9, 2, 3 3.2
16 4, 5, 6, 7, 9 4.1
17 4, 5, 6, 8, 9 4.2
18 4, 5, 6, 7, 8 + а 9 5.1
4 1 1, 2, 3, 9 0
2 4 + а8, 2, 3, 9 1.1
3 4 + а8 + 09, 1, 2, 3 1.1
4 4 + 7, 2, 3, 9 1.2
5 4 + 7 + а9, 1, 2, 3 1.2
6 7, 1, 2, 9 1.3
7 7 + а9, 1, 2, 3 1.3
8 8, 1, 2, 9 1.4
9 8 + а9, 1, 2, 3 1.4
10 4, 8, 1, 9 2.1
11 4 + а9, 8 + 09, 2, 3 2.1
Г 1 Базис Проекция в £5
12 4 + а1, ст8 + 01 - 9, 2, 3; а2 + в2 = 1 2.1
13 4 + а8, 7, 1, 9 2.2
14 4 + а9, 7 + в9, 2, 3; в = 0 2.2
15 4 + а1, 7 + 1, 2, 3 2.2
16 4 + а8 + в9, 7, 2, 3 2.2
17 4 + а(ст8 - 9) + 1, 7, 2, 3 2.2
18 7, 8, 1, 9 2.3
19 7, 8 + а9, 2, 3 2.3
20 7, 1 + ст8 - 9, 2, 3 2.3
21 7 + 1, ст8 + 9, 2, 3 2.3
22 4, 5, 6, 9 3.1
23 4, 7, 8, 9 3.2
24 4 + а9, 7, 8 + в9, 1 3.2
25 4, 5, 6, 7 + а9 4.1
26 4, 5, 6, 8 + а9 4.2
3 1 1, 2, 3 0
2 1, 2, 9 0
3 4 + а8, 1, 9 1.1
4 4 + а8 + в9, 2, 3 1.1
5 4 + 1 + а(ст8 - 9), 2, 3 1.1
6 4 + 7, 1, 9 1.2
7 4 + 7 + в9, 2, 3 1.2
8 4 + 7 + ,1 ,2 3 1.2
9 7, 1, 9 1.3
10 7 + а9, 3, 2 1.3
11 7 + 1, 3, 2 1.3
12 8, 1, 9 1.4
13 8 + а9, 3, 2 1.4
14 8 + 1, 3, 2 1.4
15 4, 8, 9 2.1
16 4 + а9, 8 + в9, 1 2.1
17 4 + а8, 7, 9 2.2
18 4 + а8 + в9, 7, 1 2.2
19 4 + а9, 7 + в9, 1 2.2
20 7, 8, 9 2.3
21 7, 8 + а9, 1 2.3
22 7 + 2, ст8 + 9, 1 2.3
23 7, ст8 + 2 - 9, 1 2.3
24 4, 5, 6 3.1
25 4, 7 + а1, ст8 + 9; а = 0 3.2
26 4 + а9, 7, 8 + в9 3.2
2 1 1, 2 0
2 1, 9 0
3 4 + а8, 9 1.1
4 4 + а8 + в 9, 1 1.1
5 4 + 7, 9 1.2
6 4 + 7 + а 9, 1 1.2
7 7, 9 1.3
8 7 + а 9, 1 1.3
9 7 + 2, 1 1.3
г і Базис Проекция в І5
10 8, 9 1.4
11 8 + а9, 1 1.4
12 8 + 2, 1 1.4
13 4 + а9, 8 + 09 2.1
14 4 + а1, ст8 + в 1 — 9; а2 + в2 = 1 2.1
15 4 + а8 + в9, 7 2.2
16 4 + а9, 7 + в9; в = 0 2.2
17 4 + 1 + а(ст8 — 9), 7 2.2
18 4 + а(ст8 + 9), 7 + 1; а = 0 2.2
19 4 + а1, 7 + 1 2.2
20 7, 8 + а9 2.3
21 7 + 1, ст8 + 9 2.3
22 7, ст8 + 1 — 9 2.3
1 1 1 0
2 9 0
3 4 + а8 + в 9 1.1
4 4 + 1 + а(ст8 — 9) 1.1
5 4 + 7 + 1 1.2
6 4 + 7 + а9 1.2
7 7 + 1 1.3
8 7 + а9 1.3
9 8 + а9 1.4
10 ст8 + 1 — 9 1.4
На рисунке 1 показана гистограмма распределения числа подалгебр N в оптимальной системе от их размерности г. Видно, что на подалгебрах размерности 3 и 4 достигается максимум числа подалгебр.
Рис. 1.
Автор выражает искреннюю благодарность д.ф.-м.н., профессору Салавату Валеевичу Хаби-рову за постановку задачи и постоянное внимание к данной работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред, М.: Наука, 1978. 336 с.
2. Дородницын В.А., Князева И.В., Свирщевский С.Р. Групповые свойства уравнения теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях // Дифференциальные уравнения. T. 19, № 7. 1983. С. 1215-1223.
3. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.
4. Чиркунов Ю.А., Хабиров С.В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды Новосибирск: изд. НГТУ. 2012. 659 с.
5. Хабиров С.В. Неизоморфные алгебры Ли, допускаемые моделями газовой динамики // Уфимский математический журнал. T. 3, № 2. 2011. С. 87-90.
Айдар Мартисович Ильясов,
РН-УфаНИПИнефть, ул. Революционная, 96/2,
450078, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
