CC BY
26
УДК 519.999
РЕШЕНИЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО КЛАССИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЯНГА—БАКСТЕРА ДЛЯ АЛГЕБРЫ ЛИ 0 = *[(3, С)1
© 2008 Е.И. Коновалова2
В работе приводятся основные понятия теории классических г-матриц.
На основе классификации подалгебр в[(3, С), получена классификация тех решений МУБЕ, которые можно представить в виде разности двух проекторов. Кроме того, получена классификация тех решений МУБЕ, которые не представимы в виде разности двух проекторов.
Таким образом, получена полная классификация решений МУБЕ для алгебры Ли в[(3, С).
Ключевые слова: модифицированное уравнение Янга—Бакстера, классическая г-матрица, алгебра з[(3, С), классификация подалгебр з[(3, С), решения ШУБВ.
Введение
Метод классической г-матрицы играет важную роль в теории интегрируемых систем. В самой общей постановке определение классической г-матрицы может быть дано следующим образом. Пусть 0 — алгебра Ли над полем комплексных чисел С и Я : 0 ^ 0 — линейный оператор.
Определение 1.1 ( [1]): Говорят, что Я — классическая г-матрица, если скобка
[х,у]к ■■= ~{[Ях,у] + [х,Я.у]) (1)
удовлетворяет тождеству Якоби.
Классическая г-матрица задает на алгебре Ли 0 структуру алгебры Ли 0Я с коммутатором [х,у]#. Алгебру Ли 0 вместе с классической г-матрицей называют двойной алгеброй Ли.
1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором А.Н. Пановым.
2Коновалова Елена Игоревна ([email protected]), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
Модифицированным классическим уравнением Янга—Бакстера (МУВЕ) называется уравнение
[Ях, Яу] - Я([Ях, у] + [х, Яу]) = -[х, у]. (2)
Уравнение МУВЕ является достаточным условием для того, чтобы Я являлся классической г-матрицей. Положим Я+ = ^(Я±1), где I — тождественный
оператор. Обозначим через Ц-----прямую сумму подпространств, 0± = 1шЯ±,
1± = КегЯ+, т± —дополнительные подпространства к 1± в 0±. Поскольку т± как линейное пространство изоморфно 0±/1±, то будем считать т± алгеброй Ли относительно коммутатора из 0/1±. Отображение 0я : т+ ^ т-, для которого 0я((Я +1)х) = (Я - 1)х называют преобразованием Кэли. Справедлива следующая теорема:
Теорема 1.2 ( [1]): 1. Если Я — решение МУВЕ, то выполнены свойства:
1) 1+ идеал в 0+, и идеал в 0-, 1+ П и = 0;
2) diш0± + Шш1+ = diш0;
3) 0я : т+ ^ т- есть изоморфизм алгебр Ли без неподвижных точек (т.е. для всякого х е т+, х Ф 0 выполняется: (х + 1+) П (0я(х) + и) = 0);
4) (1 - 0я)т+ + 1+ + 1- = 0.
2. Обратно, пусть 0 — алгебра Ли, 0± — ее подалгебры и выполнены условия 1)-4). Тогда формула Я(х) = (1 + 0я)хо + х+ -х-, где х е 0, хо е т+, х± е 1±, задает решение модифицированного классического уравнения Янга—Бакстера (2).
Цель настоящей работы — найти все решения МУВЕ для алгебры Ли *[(3, С) с точностью до эквивалентности. Основной результат сформулирован в теореме 4.2.
Важные для приложений решения МУВЕ строятся следующим образом. Пусть 0 представлена в виде прямой суммы двух своих подалгебр как линейных подпространств: 0 = 01 + 02, Р; — проектор на 0; параллельно дополнительной подалгебре, тогда Я = Р1 - Р2 — решение уравнения МУВЕ. Теорема классификации таких решений для алгебры Ли 0 = з[(3, С) сформулирована в теореме 3.3. Более подробно, этот случай изложен в работе [2].
Этот пример показывает, что поиск решений МУВЕ для з[(3, С) следует начинать с изучения ее подалгебр. Классификация подалгебр з[(3, С) приведена в предложении 2.2.
Будем пользоваться следующими обозначениями:
0 = 5[(3, С), О = 8Ь(3, С), А = А^(0);
0х = {у е 0 : [у, х] = 0} — централизатор элемента х в алгебре 0;
0К = {у е 0 : [у, К] = 0} — централизатор подпространства К в алгебре 0;
Ох = {# е О : Adg(х) = х} — централизатор элемента х в группе О; погш0(К) = {х е 0 : [х, К] с К} — нормализатор подпространства К
алгебры 0;
А^ = {Ф е А : Ф(|) с ^ — нормализатор подалгебры f в группе А;
Оf = {# е О : gfg~^ с ^ — нормализатор подалгебры f в группе О;
F(X) = —X1 — автоморфизм Картана (X е д);
Р(X) = —X, где X — транспонирование относительно побочной диагонали);
| — подалгебра д, | — подалгебра, сопряженная | относительно Р;
^ — верхний индекс означает размерность подалгебры;
(е;у)?- стандартный базис в §1(3,С), Й12 = еп — вгг, = еп — в33, Й23 =
= е22— езз;
[) — подалгебра Картана;
п± — подалгебра верхне (нижне) треугольных нильпотентных матриц;
Ь± — подалгебра верхне (нижне) треугольных матриц (подалгебра Бореля); т = Се 13 + Се23 — нильпотентная подалгебра; т = Се 12 + Се13 — подалгебра, сопряженная т относительно Р;
А = СЙ12 + Се12 + Се21 и А = СЙ13 + С(е12 + е23) + С(е21 + е32) — изоморфны 51(2, С);
* * * \ 0**
р' = * * * , р' = 0 ** — подалгебра, сопряженная р' относитель-
, 0 0 0 / * * 0
но Р;
* * 0 ^
Р' = * * 0 — подалгебра, сопряженная Р' относительно Р;
ч * * 0 ,
/ * * * ^
Р = * * * — параболическая подалгебра;
V 0 0 * ,
* * * ^
р = 0 * * — параболическая подалгебра, сопряженная р относительно
0 * * ,
Р;
Е — единичная матрица, Е' — матрица с единицами по побочной диагонали.
1. Классификация подалгебр 51(3, С)
Определение 2.1: Будем говорить, что подалгебра | сопряжена подалгебре ^ если существует ф е Ли1:(з[(3, С)) такой, что | = ф(Ю.
Классификация подалгебр £[(3, С) с точностью до сопряжения вытекает из [3] и может быть сформулирована в виде предложения:
Предложение 2.2: Всякая подалгебра | с £[(3, С), dimf ^ 2 сопряжена в смысле определения 2.1 одной из следующих подалгебр (в обозначении ^ верхний индекс означает размерность подалгебры):
1. &;
2. ^ = С(^12— ^3) + Се13;
3. т = Се13 + Се23;
4. f2 = С(е12 + е23) + Се13.
5. £ = С(^1ец + ^2е22 + ^^33) + Се13, для некоторых Х,-, таких что Х,- Ф Ху,
г Ф у, 2 Х(- = 0; две подалгебры вида |3, отвечающие наборам (Х1, Х2, Х3) и (Х^, Х2, Х3), сопряжены, если (Х1, Х2, Х3) = с(Ха(1), Ха(2), Ха(3)), где о или тождественная подстановка, или подстановка (1,3) и с — ненулевая константа; 110
+ Се13;
0 1 0
,00 -2
7.
8.
9. Аі = СЙ12 + СЄ12 + СЄ21;
10. А'і = СЙ13 + С(еі2 + Є23) + С(Є21 + Є32);
11. п+ - подалгебра верхнетреугольных нильпотентных матриц;
1 1 0
^5 = С(Й13 + ^23) + Се13; ^6 = «13 + С(е12 + е23);
0
0
1 0
0 -2
13. Ц = т + Сй0, где Н0 е [), Ь0 Ф 0 (две подалгебры т + Сй0 и т + С^0
изоморфны тогда и только тогда, когда [)0 = ой0, где о подстановка (1,2));
14. |3 = & + Се13;
15. ^ = С(е12 + е23) + Се13 + С^13;
16. ^ ^ + Се12 + Се21;
17. £ = т + &;
18. |3 = п+ + Сй0, для некоторого й0 е ^, й0 Ф 0;
+)
19. Ь
20. р;
21. р —параболическая подалгебра.
2. Разложение £[(3, С) в прямую сумму двух подалгебр
Изложим общую схему классификации. Пусть имеется два разложения алгебры £[(3, С) в прямую сумму двух подалгебр как линейных подпространств: £[(3, С) = 01+02, £[(3, С) = а1 +й2. Во избежание двойного пересчета везде далее будем считать, что Штщ ^ Шт02 (йіт01 ^ Шт02).
Определение 3.1: Будем говорить, что два разложения сопряжены, если существует Ф є Аи1:(£[(3, С)) такой, что Ф(01) = 0 и Ф(02) = 02.
Пусть теперь 01 одна из подалгебр из формулировки предложения 2.1, такая, что Шт01 ^ 4.
Определение 3.2: Подалгебру 02 назовем дополнительной к 01, если
01 +02 = £[(3, С). Обозначим через Х01 множество дополнительных подалгебр к 01.
Разобьем задачу классификации на следующие две задачи:
Задача Л: Выяснить, для каких 01 множество Х01 пусто. Если Х01 Ф 0 дать описание Х01.
Задача В: Обозначим через А01 = Когт^01. Описать орбиты присоединенного действия А01 : Х01 ^ Х01.
Множество пар (01,02), где 01 —одна из подалгебр предложения 2.2 размерности меньше 5, а 02 — представитель Ад1 -орбиты в Хд1, является полным списком всех разложений 0 = 01 + 02, іііт01 ^ 02 с точностью до сопряжения.
Теорема 3.3 ( [2]): Пусть 01 и 02 - две подалгебры £[(3,С), £[(3,С) =
= 01 + 02 - прямая сумма подалгебр как линейных подпространств. Утверждается, что:
A. Для всякой подалгебры 01 множество Хд1 не пусто.
B. Для всякой подалгебры 01, Шт01 = 2, кроме подалгебры сопряженной Ї4, существует ровно одна орбита присоединенного действия Ад1 : Хд1 ^ Хд1. Если подалгебра 01 сопряжена f4, то существуют две орбиты присоединенного действия на Х01 .
Если подалгебра 01 сопряжена п+, А или А1, то существует одна орбита
присоединенного действия Ад1 : Хд1 ^ Хд1. Для всех остальных подалгебр
01 размерности 3, существует две орбиты присоединенного действия на X01. Если подалгебра 01 сопряжена ^, то существует две орбиты присоединенного действия А.01 : X01 ^ X01. Если 01 сопряжена ^ или |3, то существует три орбиты присоединенного действия на X01.
С. Пусть 01, 02 две подалгебры такие, что £[(3, С) = 01 + 02. Тогда пара (01,02) сопряжена одной из следующих пар или паре, которая получается перестановкой слагаемых:
1 0 0 1 0
1. 01 = в, 02 = ТрТ 1, где Т =
0 1 1
1
0 1 1
= С(Й12 - Й23) + СЄ13, 02 = ТрТ 1, где Т = 0 1 0 ;
11 0 0
0 0 1 4
= С(Є12 + Є23) + СЄ13, 02 = ТрТ-1, где Т = 0 1 0 = Е';
1 0 0 і
= С(Х1^11 + ^2^22 + ^3^33) + Се13, для некоторых ^•, таких что
02 = трт 1, где Т =
0 1 1 0 1 0 1 0 0
5. 01 = т, 02 = ТрТ 1, где Т = Е'; 1 1 0
0 1 0
0 0 -2
1 1 0
0 1 0
0 0-2
6.01 = ї4 = с
7. 01 = Ї4 = С
+ СЄ13, 02 = ТрТ 1, где Т = Е' + СЄ13, 02 = ТрТ-1, где Т =
0 0 1 1 1 0 1 0 0
2
2
3
1 0 0 0 0 1
8. 01 = £ = С 0 1 0 + Сe13, 02 = ТрТ 1, где Т = 1 1 0
1 0 0 -2 , 1 1 0 0 )
9. 01 =
10. 01
£ = СЙ13 + С(е12 + е23), 02 = ТрТ 1, где Т = = ^ = т + С
1 0 1 0 1 0 1 0 0
11. 01 = Ц = т + С
1 1 0
0 1 0
0 0 -2
а0 0 0
0 р0 0
0 0 у0
02 = р';
, У0 Ф 0, 02 = р';
12. 01
= ^ = Ц + Се13, 02 = тр'Т 1, где Т =
0 1 1 0 1 0 1 0 0
13. 01 = f4 = 013 + С
14. 01
15. 01
0 1 0 0 0 1 .0 0 0.
= п+, 02 = тЬ+Т-1 = Ь-, где Т = Б';
,10 0 = А, 02 = Т Ь+Т-1, где Т = ’
+ Се13, 02 = Тр'Т 1, где Т = Б';
16. 01
17. 01
18. 01
= , 02 = Т Ь+Т-1, где Т =
= ^ = т + С
0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1
1 1 0
0 1 0
0 0 -2 ,
а0 0 0
0 р0 0
0 0 у0
02 = ТЬ+Т-1 = Ь-, где Т = Б'; , а0 Ф р0, 02 = ТЬ+Т-1,
где Т =
0 1 0 0 1 0 1 0 1
19. 01
= Й = Ц + Се13, 02 = ТЬ+Т 1, где Т =
0 1 1 1 1 0 1 0 0
2°. 01 = Й = С^13 + С
где Т =
13
0 1 1
0 1 0
1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0
+ Се13, 02 = ТЬ+Т 1,
1 0 0
21. Й1 = ^ = & + Сй12 + Сй21, Й2 = Т^42т 1, где Т = 0 1 0
11 1 1)
0 0 \
22. Й1 = Й = & + т, Й2 = ГЙТ 1, где Т =
0 1 0 1 0 1
' а0 0 0 0 0 1
23. д1 = f4 = п+ + С 0 Р0 0 , А2 = Тр-1, где Т = 0 1 0
1 0 0 У0 , 1 1 1 0 )
1 0 0
24. ш = ^ = & + Сб12 + С«21, Й2 = Т$Т~1, где Т = 0 1 0
. 10 1
25. д = # = п+ + Сй1, д2 = п- + Сй2, где й1;й2 є &, й1 Ф Сй2.
3. Решения ЫТЕК, не представимые в виде разности проекторов
Определение 4.1: Будем говорить, что решение MYBE Я1 сопряжено решению Я2, если существует ф є Ли1:(£[(3, С)) такой, что Я1 = ф^2ф-1.
В следующей теореме построены семейства решений MYBE, которые не представимы в виде разности двух проекторов.
Теорема 4.2: Всякое решение Я : £[(3, С) ^ £[(3, С) модифицированного уравнения Янга—Бакстера для д = £[(3, С), не представимое в виде разности двух проекторов, сопряжено одному из следующих решений:
йц(3 - с) + 4сазз
«11 «12 «13 3(1 + с)
1. Я «21 «22 «23 = -«21 - 2«32
«31 «32 «33,
-«31 \
где «ІІ = 0, 1- Ф с ,0 Ф с
|"«п(3 - с) + 4са33
«11 «12 «13 3(1 + с)
Я 2. «21 «22 «23 = 2«32 - «21
«31 «32 «33,
“«31
«12 «п ~ «зз 3
«32
«12 «11 ~ «33
3
«32
«13 «23 + 2«12
-4ап + а33(1 - Зс) 3(1 + с) .
«13
«23 - 2«12 -4ап + а33(1 - Зс) 3(1 + с) .
где 2 «ц = 0, с Ф 0, с Ф -1.
«11 «12 «13 '«І1 - «12 «13 - 2«23
Я 3. «21 «22 «23 = -«21 3 2 « - 2 «
«31 «32 «33, ,-«31 «32 «33 '
где
, «п — 2«21 + с{а\\ + '2.0.22 + 2«21 — 2«12)
11 “ 1-3 с ’
, «22 — 2«12 + с(4йц — «22 + 4й12 — 4«21)
22 “ ’
^33 + 2а^2 + 2^21 + с(—4ац + азз + 2а21 — 2а12)
1 -3с
2 ац = 0, с ф 0, с ф
1
/ \ / а33 \
а11 а12 а13 —а11 “«12 + с —а22 а13
4. Я а21 а22 а23 = —а21 а23
а31 а32 а33 —а31 —а32 —а33
где 2 ац = 0, с ф 0.
5. Я
6. Я
а11 а12 а13 / а33 «11 + т с — 1
а21 а22 а23 = —а21 а1
а31 а32 а33 —а31 \
а££ = 0, с ф 0, с ф 1.
/ 2а
а11 а12 а13 «11 + 0 «33 у — 2с
а21 а22 а23 = — а21
а31 а32 а33 —а31 \
а££ = 0, а + в + у = 0, с ф 0, с ф
/1 — 2с
а11 а12 а13 ЙЦ «12 1 + 2с
а21 а22 а23 = 2 2 а — 21 а —
а31 а32 а33 2 3 а — 31 а —
а12
с
с - 1 а32
а33
а13
а23 1 + с 1 - с
—а22 +
а12
2|3
у — 2с
а32
а33
7. Я
где 2 ац = 0, с ф 0, с ф —
а13
2а12 — а23
2с — 1
-------- «11 + «22
1 + 2с
/ \ / а11 \
Я об а11 а12 а13 —а11 012 + 2? а13
а21 а22 а23 = —а21 —а22 2а12 — а23
а31 а32 а33 —а31 —а32 —а33
а33
а13
а23 у + 2с у - 2с
а33
где 2 ад = 0, с ф 0.
а11 а12 а13 'а'п а12 а13 2а23
Я 9. а21 а22 а23 = —а21 а22 а23
а31 а32 а33 —а31 а32 а33 '
где
а11 =
^(ац — 2а21 + с(2а22 — 2а12 — ац + 2а21)) + А-2(2а21 — ац — сац)
(1 - с)()ч - 12) ’
а33 =
3
У
2
, Хх(—4с«22 + 3еа\2 — «12) + ^2(-4с«21 + 4сйц — «12(1 — с))
ап = --------------------------------------------------------------------,
12 (1 - с)(>ч - \2)
А.1(й22 + са22 - 2ап) + Х2(2й12 ~ «22 - 2сап + са2г ~ 2сап + 2са2\)
1-3 с ’
^(сац — 2са21 — 3са22 + 2са12 — ац + 2а21 «22)
(1 - с)(Х! - Хг) +
^2(3сац — 2са21 — са22 + 2са12 — ац + а22 — 2а12)
+ -
(1 — с)(Х1 — Х2)
2 ац = 0, с Ф 0, с Ф
1
а11 а12 а13 'ап СП сч а — СП а1 сч ГГ
10. я а21 а22 а23 = —а21 СП еч а — сч Г а
а31 а32 а33, ,—а31 СП СП а сч СП а —
где
2са12 + 7сац — 8са21 + 4сазз + ац — 4а21
а12 =
«12(5 - с) 1 + с
с + 1
+ 8ац — 8а21 + 4азз,
2са12 + ац(9с + 3) + а21(—8с — 4) + азз(5с + 1)
1 + с ’
—4са12 + ац(—16с — 4) + а21(16с + 8) + азз(—9с — 1)
1 + с
2 ац = 0, с Ф 0, с Ф —1.
а11 а12 а13 'ап а12 а' ^ а13
11. я а21 а22 а23 = —а21 сч Г а —а23 ,
а31 а32 СП СП а ,—а31 еч СП а — СП СП а
где Г -4«зз - 5йц - 2«23 + 2«32
П1
, (2 — 4с)азз + (4 — 2с)(ац + а2з) + (2 + 2с)аз2 — 3са12
12 3 с ’
(2 — 4с)а33 + (4 — 2с)(ац + а23) + (2 + 2с)а32 — 6са12 + 3са13
3 с
, —а33 + ац — 2а23 + 2а32
5«зз + 4ац + 4^23 ~ 4^32
3 :
2 ац = 0, с Ф 0.
а11 а12 а13 '<1 —а12 а13 — 2а23^
12. Я а21 а22 а23 = —а21 а к> к> —а23
а31 а32 а33, ,—а31 —а32 СП СП а
а33 =
3
а11 =
а33 =
а13 =
а22 =
а33 =
где
а'п = (1 + 2с)ац - «21(2 + с) + 2са\2 + сазз, а'22 = ац(2с - 1) - са21 + а^(с - 2) + (с - 1)азз, а3з = -4сац + 2а21(1 + с) - 2а12(с - 1) - азз(2с - 1),
2 аи = 0, с ф 0.
а11 а12 а1з ' а11 -а12 а1з - 2а12
13. я а21 а22 а2з = -а21 2 чч а - а2з
аз1 аз2 азз, -аз1 2 з а - азз '
где
а22 =
(-5с + 2)ац + 2аз2(с + 2) - 2а2з(с - 2) - 4сазз Зс + 2 :
ац(-2 + с) + 2саз2 - (4 + 2с)а2з - (2 + с)азз Зс + 2 ’
4сац - 4аз2(с + 1) + 4са2з + азз(5с + 2)
зс + 2
2
£ац = 0, с Ф 0, сф
а11 а12 а1з ' ап а12 а1з
14. я а21 а22 а2з = -а21 2 чч а а2з
аз1 аз2 азз, -аз1 -аз2 азз
где
2а11 (с22 - с12 - 1) + азз(с22 + с21 - с12 - с11)
а11,
а22 =
2а11 (с22 - 1 + с12) + азз(2 - с11 - с12 - с21 - с22)
а22,
4с12ап - 2(1 - сп - с12)
азз,
^ац = 0, сп, с 12, с21, с22 е С, с = (1 - сп)(с22 - 1) + с21с12 Ф 0.
а11 а12 а1з '2са1 х + ац а12 а1з
15. Я а21 а22 а2з = -а21 2св1 х + а22 а2з
аз1 аз2 азз, -аз1 -аз2 2су1 + азз,
где а1,2, в 1,2, У1.2, с е С, а1,2 + 01,2 + У1,2 = 0, £ аи = 0, с ф 0, с ф 1,
а11У2 - а2азз
X =
(1 - с)(а1 у2 - а2у1)'
Доказательство: Найдем подалгебры Ц, д± в £[(з, С), удовлетворяющие условиям теоремы 1.2. Заметим, что в случае, когда ц = д+, из п. 2) теоремы 1.2 следует, что д_ = и, и следовательно, из п. 4) теоремы 1.2 вытекает,
а11 =
азз =
а11 =
с
с
азз =
с
что g = g+ + g-. Таким образом, g представлена в виде суммы двух своих подалгебр, тогда R — разность проекторов. Поэтому случай, когда i+= g+, далее не рассматриваем.
Чтобы избежать двойного пересчета, везде далее будем считать, что
dim i+ ^ dim i-. Подалгебра i+ может иметь размерность 2, 3 или 4. Рас-
смотрим каждый из случаев отдельно.
1. Пусть i+ — подалгебра размерности 2. Будем считать, что подалгебра i+ равна одной из восьми двумерных подалгебр из предложения 2.2. По п. 2) теоремы 1.2 dimg- + dimi+ = dimg, следовательно, dimg- = 6. По предложению 2.2, подалгебра g- сопряжена параболической подалгебре p = / \
* * *
* * * . Все собственные идеалы подалгебры p исчерпываются иде-
0 0 * )
алом размерности два ii = m = Cei3 + Сй23, идеалом размерности три i2 = 10 0
+ m и идеалом размерности 5 i3 = Ai + m = p'. Поскольку
С
0 1 0 0 0 -2 .
dimg+ + dimi- = 8 (см. п. 2 теоремы 1.2), то подалгебра д+ может иметь размерность 3, 5 или 6. Подалгебра д+ вкладывается в погт5[(з,с)(Ч+). Вычислим нормализаторы ц, результаты вычислений занесем в таблицу: 1,а). Пусть dimi- = 2, следовательно, dimg+ = 6. Так как д+ с погт5[(з,с)^+),
Таблица
V+ normsI(3,C)(i+) dim(norm(i+))
0 0 2
fl = С(Й12 - Й2з) + Се 13 ft = t)+ Ceis 3
Ш = Св\3 + С^23 P 6
f\ = ^(e12 + е2ъ) + Cei3 C/113 + n+ 4
f3 = С % 0 0s 0 %2 0 ,0 0 \3/ + Cei3 % = *)+ C^i3 3
f4 = с '11 0 s 0 1 0 [О 0 -2) + Cei3 no 0^1 С 0 1 0 + tfi [o 0 -2) 3
ff - С(Й13 + Й23) + Cei3 f) + m 4
ffi = СЙ13 + C(ei2 + <?2з) f2 2
то dim(norms[(зIc)(i+)) ^ 6. Из таблицы видно, что это возможно только в одном случае ц = т. Поскольку dimg+ = 6, то д+ = р. Итак, ц = т =
. Поскольку g- сопряжена р, то существу-
0 0 * / * * * N
0 0 * , g+ = p = * * *
I 0 0 0 , , 0 * 0
ет автоморфизм ф е Ли1:(£[(3, С)) такой, что д_ = ф(р), i- = ф(т). Возможны два случая: 1) подалгебра и сопряжена относительно присоединенного дей-
0 0 0
ствия 8Ь(3, С) подалгебре Сез1 + Сез2 =
0 0 0 0
т. е. найдется элемент
g е 8Ь(з, С) такой, что и = Adg(Сeзl + Сез2) и и) i- сопряжена относитель-
но присоединенного действия 8Ь(з, С) подалгебре Се21 + Сез1 =
0 0 0
* 0 0
* 0 0
т.е. найдется элемент g е 8Ь(з, С) такой, что и = Adg(Сe2l + СезО. Элемент g е 8Ь(Э,С) можно представить в виде g = Ь+wЬ-, где Ь+ принадлежит группе верхнетреугольных матриц В+, Ь-е В-, w — элемент группы Вейля.
В случае 1),
и = Adg(Сeзl + Сез2) = Adь+w^ (Сез1 + Сез2) = Adь+ w(Сeзl + Сез2)
(з)
Согдасно п. 1) теоремы 1.2, пересечение i+ П и нулевое, следовательно, i+ П Adw(Сeзl + Сез2) = {0}. Это возможно только тогда, когда w принадлежит
0 1 0
подгруппе перестановок, порожденных элементом
1 0 0 0 0 1
Продолжая
(3), получаем и = Adь+w(Сез1 + Сез2) = Adь+ (Сез1 + Сез2). Тогда имеем
Adb+ -1(1-) = Сез1 + Сез2, Adь+-l(i+) = i+.
Заменяя оператор Я на сопряженный Adь+-l(R)Adь+, получаем, что i+ = т, д+= р, V- = Се31 + Се32, д- = Ь- + Се12. Следовательно, й+Л+, 0-/1- рав-
автоморфизм 51(2, С) на
51(2, С). Известно, что у автоморфизма простой алгебры Ли есть неподвижная точка, что противоречит условию теоремы 1.2, следовательно, в этом случае оператор Я построить нельзя.
В случае п),
* * 0 * * 0 * * 0
ны * * 0 , тогда 0я * * 0 = * * 0
, 0 0 * , , 0 0 0 , 0 0 0 )
1- = Adg(Сe2l + СезО = Adь+wЬ_ (Се21 + СезО = Adь+ w(Сe2l + СезО.
(4)
Согласно п. 1 теоремы 1.2, пересечение !+ П i- нулевое, следовательно, !+ + П Adw(Сe2l + Сез1) = {0}. Это возможно, когда w принадлежит набору
' ' 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1
в = 0 1 0 , (12) = 1 0 0 , (13) = 0 0 1 , (12)(13) = 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
Элемент w можно представить как произведение двух перестановок w = о+
/ \
* * *
+о-, где о+ принадлежит группе P+ =
* * *
0 0 *
о- принадлежит группе
Р_ =
* 0 0
* * *
* * *
. Продолжая равенство (4), получаем і- = А^+ДСє21 + Сезх) = А^+а+а- (Сй21 + Сезх) = А^+а+ (Сє21 + Сезх).
Тогда Ada+ -1Ь+ -1(1-) = Се21 +Сез1, Ada+-lь+-1(1+) = 1+. Заменяя оператор ^ на сопряженный Ada -1 ь -l(R)Adb+a+, получаем, что 1+ = т, й+ = р, 1- = Се21 + Сез1,
0- = Ь- + С^2і. Следовательно, й+/і+ =
/ * * 0 * 0 0
* * 0 = і т 0 * *
, 0 0 * , 1 0 * * ,
/ * * 0 * 0 0
0й : * * 0 —> 0 * *
, 0 0 * , 1 0 * * ,
, 0д автоморфизм без неподвижных точек (см. п. 3 теоремы 1.2). Автоморфизм 0д представим следующим образом:
/ 00 \ ' 1 0 0 \ / 0 0 0 ' -2 0 0
0й + 0 1 0 = 0 0*(А) ) + С 0 1 0
\ 0 0 0 ) 1 0 0 -2 , ) \ 0 1 0 0 1J
где с е С*, А е £[(2,С) и 0* : £[(2,С) —> £[(2,С) — автоморфизм алгебры £[(2, С). Алгебра £[(2, С), с точностью до присоединенного действия группой Р+ П Р-, имеет четыре автоморфизма: 1) 0* = — тождественный ав-
томорфизм, 2) 0* = Adw, где w = | 0 0 |, 3) 0* = Б, где Б — внешний
автоморфизм (см. обозначения), 4) 0* = Б • Adw. Заметим, что во втором и третьем случаях у автоморфизма 0д есть неподвижная точка (например,
0 0 0 1 0 1 .0 0 0.
В первом случае, оператор 0* имеет вид: 0*(А) = А. Оператор
во втором случае, элемент
принадлежит (х + і+) П (0(х) + і-)).
Ой
«11 +
«21
0
«33
«12
0
«33 „
«22 + — 0
0
0
+
«33
2
0
0
0
0
«33
о
2
0
«33
2
0
0
0
0
«33
«П + —
«21
0
«12
«33 «22+ —
+ С
«33 0
«33 0 ——
2
0
0 ——
0
0
«зз
2
не имеет неподвижных точек тогда и только тогда, когда с є С*, с Ф -1. Алгебру £І(3, С) можно представить в следующем виде: £І(3, С) = (1 - 0я)т+ +
і+ + і-, решение уравнения Янга—Бакстера записывается в виде: Я(х) =
— (1 + 0Я)х0 + х+ - х-, где х є £[(3, С), х0 є т+, х± = і±. Тогда
«11 (3 - с) + 4сазз
Я
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
3(1 + с)
-«21 - 2«32 -«31
«12 «11 - «33
3
-«32
«13
«23 + 2«12
—4а\\ + азз(1 - 3с) 3(1 + с)
где 2 ац = 0, с ф 0, с ф -1.
В четвертом случае, оператор 0* имеет вид: 0*(А) = -А, где А —транспонирование относительно побочной диагонали. Оператор
0Я
«33 «11 + —
«21
0
«12
0
«33 п
«22 + — 0
0
0
0
0
( «зз 2
+
—— 0
0
0
0
«33
о
2 0
п й33
0 — «22------------
«12
0
«21
«11
«33
2
«33
+ с
«33 0 0
0 «33 2 0 0
0 «33 2 ^
не имеет неподвижных точек тогда и только тогда, когда с є С*, с ф -1. Алгебру з[(3, С) можно представить в следующем виде: з[(3, С) = (1 - 0я)т+ +
і+ + і-, решение уравнения Янга—Бакстера записывается в виде: Я(х) = = (1 + 0Я)х0 + х+ - х-, где х є з[(3, С), х0 є т+, х± = і±. Тогда
Я
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33,
«п(3 - с) + 4са33 3(1 + с)
2«32 - «21
“«31
«12 «11 ~ «33
3
«32
«13 «23 - 2«12
-4«ц + «33(1 - 3с)
3(1 + с)
где 2 «ц = 0, с ф 0, с ф -1.
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Литература
[1] Рейман, А.Г. Интегрируемые системы / А.Г. Рейман, М.А. Семенов— тян—Шанский - М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 352 с.
[2] Коновалова, Е.И. Разложение £[(3, С) в прямую сумму подалгебр Ли как линейных подпространств / Е.И. Коновалова // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. - 2007. - №7(57). -
С. 63-72.
[3] Баранник, А.Ф. Подалгебры афинной алгебры АЮЬ(3, К.) / А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко, В.И. Фущич Препринт 89-65. - Киев: Математический институт Академии наук Украины, 1989.
SOLUTIONS OF MODIFIED YANG-BAXTER EQUATON OF LIE ALGEBRA g = sl(3, C)3
© 2008 E.I. Konovalova4
In the paper a basic notion of classical r-matrix theory is given. Based on subalgebra sl(3, C) classification of MYBE solves that may be represented as a difference of two projectors is obtained. Thus, a full classification of MYBE solves for the Lie algebra sl(3, C) is given.
Keywords and phrases: modified Yang-Baxters equation (MYBE), classical r-matrix, Lie algebra sl(3, C), classification of subalgebras sl(3, C), MYBE solves.
Поступила в редакцию 18/VIII/2008; Paper received 18/ VIII/2008.
в окончательном варианте — 18/VIII/2008. Paper accepted 18/VIII/2008.
3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. A.N. Panov.
4Konovalova Elena Igorevna ([email protected]), Dept. of Algebra and Geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
