CC BY
7новые подходы к моделированию оптимального состояния экономической системы компании на рынке
NEW APPROACHES TO MODELLING OPTIMAL STATE OF COMPANY'S ECONOMIC SYSTEM IN THE MARKET
УДК 330.4: [338.222:339.1]
СКоБЕЛЕВ Владимир Леонидович
доцент кафедры экономики кино и телевидения Санкт-Петербургского государственного университета кино и телевидения, кандидат экономических наук, доцент, [email protected]
SKOBELEV Vladimir Leonidovich
Associate Professor of the Economics of Film and Television Department, Saint-Petersburg State University of Film and Television, Candidate of Economic Sciences, Associate Professor, [email protected]
Аннотация.
В статье представлено решение методологической проблемы определения оптимального состоянияэкономической системы компании при согласовании экономических интересов субъектов ее деятельности и отношений обмена на отраслевом (межотраслевом) рынке с применением феноменологического подхода.
Ключевые слова: экономико-математическое моделирование, экономические отношения обмена, экономические интересы субъектов рынка, оптимальное состояние экономической системы.
Abstract.
The article presents a solution of methodological problem of determining the optimal state of economic system of the company agreeing economic interests of its activities and exchange relations at the sectoral (intersectoral) market using a phenomenological approach.
Key words: economic and mathematical modeling, economic exchange relations, economic interests of market participants, optimal state of the economic system.
Центральной теоретической проблемой моделирования экономических отношений, в особенности отношений обмена, на отраслевом (межотраслевом) рынке является несовершенство методологии определения оптимального состояния экономической системы компании при ус-
ловии согласования экономических интересов субъектов ее функционирования на рынке. Решение этой актуальной задачи невозможно без применения новых научных подходов:
• к использованию метода фрактального числа как коэффициента подобия (приве-
дения) импульсов частного и коллективного интересов субъектов рынка, представленных показателями эффективности их реализации;
• к учету фактора числа оборотов (деловых циклов) в моделировании обменных процессов;
• к использованию волновой формы функций спроса и предложения как необходимого условия оценки рисков недостижения состояния идеального равновесия при согласованности экономических интересов субъектов рынка;
• к применению критерия минимизации рисков сохранения и развития экономической системы компании на отраслевом рынке.
Таким подходом, по обоснованному убеждению автора, является феноменологический подход. Все чаще для изучения социально-экономических явлений используются принципы и методы естественных наук, в особенности физики, которая накопила наибольший опыт моделирования природных систем. Именно феноменологический подход со свойственным ему междисциплинарным взглядом на явления и процессы, стимулирует ученых-экономистов к постановке и решению новых социально-экономических задач, которые ранее считались «белыми пятнами» в знаниях о природе экономических явлений. Еще 15 лет тому назад определение «экономическая физика» считалось экзотикой. В настоящее время «эконофизика» официально оформлена (объявлена в 1998 году) как научная и учебная дисциплина этого междисциплинарного направления.
В настоящей статье автор применяет элементы методологии физики для анализа экономической системы и решения проблем оценки ее состояния и развития.
Принцип фрактальности в моделировании отношений обмена
В прошлом номере журнала автор представил результаты разработки объемной, двухкритериальной модели отношений обмена субъектов рынка при условии согласования частных и коллективного (социально-институционального) экономических интересов:
' ¡: (Р; (д, К), Рй (д, я,)) = = Рч (д, я ) ^ 1;
РАдЛ) ' IV (Р (д, я), Рм, (д, я, я,)) = (1)
<
дх
Рч (я, я )2 • ,я
= до_
дх '
Рма (яя, Я, К )2 • ,я
где II (Р (д, я, )Р (д, я, )) - целевая функция импульса реализации частных экономических интересов субъектов деятельности компании на рынке, заданная в двухмерном пространстве показателем эффективности в виде отношения площадей фигур 5, определяемых функциями цены предложения Р, (д, я,) и спроса Р, (д, я, );
№ (Я, ЮРЛЧ, к Л)) - целевая
функция импульса реализации коллективного экономического интереса компании (подсистемы отраслевого рынка), заданная в трехмерном пространстве показателем эффективности в виде отношения объемов тел V, определяемых функциями рыночной цены предложения и «эквивалентной» цены спроса РМ, (д, я,, я,) ; Ц - объем предложения или спроса; К$=1-р$ и Яё=1-рё - риски в сфере рыночного предложения и спроса; рз и рл (<1) - коэффициенты, характеризующие вероятность установления оптимального рыночного обмена (в состоянии идеального равновесия - при согласовании частного и коллективного экономических интересов субъектов рынка р$=рл=реч к=1).
Численный эксперимент с применением предложенной модели показал наличие двух крайних оптимальных состояний экономической системы, которым соответствует два крайних состояния рыночного равновесия:
1) при согласовании частных интересов субъектов рынка;
2) при согласовании коллективного интереса экономической системы в целом.
Выбор оптимального состояния экономической системы при условии согласования экономических интересов субъектов рын-
ка и их способности договариваться на всех уровнях управления компанией, должен осуществляться между этими точками равновесия. Эти крайние состояния экономической системы можно интерпретировать как состояния, соответствующие оптимальному поведению абсолютного индивидуализма (с максимальной личной выгодой для субъектов системы при игнорировании коллективного интереса) и абсолютного коллективизма (с максимальной реализацией интересов системы при игнорировании личных интересов ее субъектов). Конечно, предельные состояния индивидуализма и коллективизма в экономических отношениях являются утопическими, и такие утопические теории всем известны. Но в истории мы можем найти примеры, приближающиеся к таким крайним проявлениям, а именно:
• индивидуализм как либеральный капитализм с максимально ограниченной ролью государства в регулировании рынка, то есть так называемый «дикий капитализм»:
• коллективизм как «государственный» социализм на основе общественной собственности при отсутствии частной собственности и свободы рыночных отношений с максимально централизованной управляющей ролью государства.
В обоих случаях неспособность субъектов рынка договариваться на своем уровне приводит к тому, что субъекты, принимающие решения и стремящиеся избежать рисков, ждут какого-то решения «сверху» - от лица, представляющего интересы системы в целом и диктующего всем подсистемам правила игры, что приводит экономическую систему к централизованному управлению с диктаторским режимом. Примеры таких систем также хорошо известны.
Современные макро- и микроэкономические институциональные исследования [1; 2; 3] подтверждают наличие и влияние особого коллективного (общественного) интереса на поведение субъектов рынка, основанного на ценностнополагаемых принципах справедливых экономических отношений. Их авторы признают, что коллективный интерес невозможно привести к частным интересам эконо-
мических субъектов. В этой связи новую институциональную интерпретацию получают роли, отведенные государству и собственникам компаний в экономике. Они не должны вмешиваться в экономическую жизнь общества или компании, а должны действовать в качестве внешней стороны экономической системы и равноправного рыночного игрока, желая реализовать особый коллективный интерес как стремление создать благоприятные условия для реализации справедливых экономических отношений, выгодных с точки зрения как частных, так и коллективного интересов субъектов рынка. Чтобы формализовать этот принципиально новый подход к модели отношений обмена, необходимо найти метод приведения оценки частного и коллективного интересов в сопоставимый вид, что до сих пор считалось невозможным. Из решения этой методологической задачи вытекает новый, более системный взгляд на формирование рыночного равновесия.
Геометрическая интерпретация системы уравнений (1) целевых функций импульсов частных и коллективного экономических интересов с исходными линейными функциями цены спроса, предложения и функцией эквивалентной цены спроса также показала, что эти импульсы несопоставимы, так как имеют разные мерности. Импульс частных интересов имеет решение на плоскости (в двухмерном пространстве), а импульс коллективного интереса - в объеме (в трехмерном пространстве). Несопоставимость мерности модели частных и коллективного интересов (1) можно устранить через применение принципа фрактальности.
Оптимальное состояние экономической системы, проявляющееся в интервале объемов qeц<qx<qeк (между двумя состояниями равновесия в системе частных и коллективного экономических интересов), моделируется в форме неправильного (фрактального) составного объема геометрических тел, образованного объемными функциями рыночных и эквивалентных цен спроса и предложения, с дробной фрактальной размерностью (величиной степени при радиусе тела) от 1 до 2 и от 2 до 3.
То есть импульсы экономических интересов, представленные показателями эффективности их реализации, имеющие разные мерности, могут сравниваться при условии приведения их геометрических отображений в сопоставимую геометрическую форму (сопоставимую фрактальность) через коэффициент подобия (различия) их мерностей в
виде фрактального числа т = —, а именно
Ii (Р. (я, я,),Рм, (я, я я)) =
1 11
\2
(Р(д)• яз • р(д)• яз)2
= (РЩ 2 • (я)1;
Р (я) Я
б) 1: ( р (я, я,,), р (я, я,) )=
= Р (д, Я) = РМ А.3 =
Р (д, я,) Р (д) Ч = [ I: (Р (я, яs \ Рма (д, я,, я,))]
и
в) I: (Р (д, я ), Рм, (Я, я, я, )) =
= [ I: (Р (Я, я,), р, (д, я,) )у;
(3)
I: (р, (я, я), р, (я, я,))=
(4)
1 (2)
= [ IV (Р, (Я, я,), Рм, (д, я,, я,))]».
В равенстве (2) в отличие от модели (1) выражение импульса реализации частных экономических интересов взято в виде отношения цены предложения к эквивалентной цене спроса. Такой прием позволяет соблюсти сопоставимость импульсов частных интересов, отображенных в двухмерном пространстве, и затем осуществить приведение к импульсу коллективного интереса, заданному в трехмерном пространстве, через определение фрактального числа.
Покажем эти преобразования на тестовом примере:
а) I: (Р (д, я)), Рм, (д, я, я,)) =
= р (д, я) = Рм, (Я, я, Я)
_ Р(д) • я3 _
= [ I: (Рм, (я, яs, я,), Рм, (Я, Яs, я, ))У;
г) I: (Р (Я, я,)), Рм, (Я, я, я, )) =
= [I: Р (Я, я,, я,), Рм, (д, я,, я, Ш; (5)
д) I! Р (я, я, я,), Рм, (Я, я, я,)) =
= [I: (р (я, я)), Рм, (Я, я, я, ш ■ (б)
Из равенства (2) с учетом сопоставимости импульсов частных интересов (3) определяется функция фрактального числа 1Ю:
т
(д, Я, я) = ^ =
¥ ¡! (Р(д, я)), р, (я, я,))]
щ Iv (р (я, я)), рм, (я, я, я,))]
1/2
(7)
Применение фрактального числа и вышеуказанных соотношений импульсов частных экономических интересов субъектов рынка позволяет определить значение импульса реализации коллективного интереса, приведенного к импульсу частных интересов:
1) 11ч (р (я, я)), рм, (я, я, я,)) =
=[ I: (р (я, я)), р, (я, я,))]
2 т
или
I :-к ( р (я, я,)), р, (я, я,))=
2 (8)
= [ IV (Р (Я, я)), Рм, (Я, я, я, ))]т;
а также:
2) Ii-, (Рм,, (я, я, я,), Рм, (я, я, я,)) =
(9)
= [IV(Р(дЯ,я,,)),Рм,(Я,я,,,я,))]т;
3) I :-к (РМ!, (д, я, я,), рм, (Я, я, я,)) =
3
= [ Ск (Р (я, я)), Р (д, я, ))Г.
а также:
С учетом осуществленных преобразований и достижения сопоставимости с приведением
2
1
3
по принципу фрактальности модель (1) примет следующий вид:
а) приведение системы коллективного интереса к системе частных интересов:
15ч (р (д, я,), р (д, Я*)) = ^ 1
Р (д, я*)
11Ч (Ps (д, Я), рм* (д, Я, я* ))■
=[ 1: ( рр (д, я), Рм* (д, я, Я,))]2 ^ 1,
где
(11)
1 = Б 2т 2 '
б) приведение системы частных интересов к системе коллективного интереса:
11-, (Ps (д, Яр,), Р (д, Я* )) =
= [ 13ч (Рр (д, Я), Рм* (д, Я, Я*))]Б ^ 1 1V (Рр (д, ),Рм* (д, , Я*)) ^ 1,
где
2
2т = —. Б
(12)
Предельное множество значений импульса коллективного интереса характеризуется его фракталом (фрактальным числом). Поэтому в целях анализа состояния экономической системы компании на рынке и степени оптимальности рыночного обмена с применением модели (7), можно ввести понятие условной и относительной цены товара в системе коллективного интереса, которая должна отражать величину цены обмена с позиции частного экономического интереса, приведенного к коллективному интересу. За базу сравнения примем функцию рыночной цены предложения, которая сохраняется неизменной как в системе частных, так и в системе коллективного интересов: р (д,Яр )ч = р (д,Яр \-к.
Тогда, используя предложенный метод, получим выражение приведенных условных рыночных и эквивалентных цен спроса и предложения в системе частных экономических интересов, выраженных в системе коллективного интереса:
а) Р (чЛ )ч = Р (дЯ )„ ■
р, (д,Я* =—^Я')
ч-к
Обладая вышеизложенным аппаратом моделирования обменных процессов (1)—(12), можно приводить в сопоставимый вид не только импульсы реализации интересов, но и производить на этой основе приведение цен, выраженных в системе частных интересов, к ценам, выраженным в системе коллективного интереса. При этом следует понимать, что ценовое приведение по экономическим интересам может быть только условным и относительным к выбранной базе цены, а не абсолютным. Абсолютного выражения цены, отражающей коллективный экономический интерес, практически не существует, это теоретическая абстракция. Реализация коллективного интереса субъектов рынка, находящихся в отношениях обмена, оценивается через его импульс. Он характеризует оптимальность (эффективность) обмена, которая обеспечивается благоприятными институциональными условиями и отражает степень реализации коллективного интереса.
Чк [18ч (Рр (д, Яр), Р* (д, Я*))]Б (13)
б) рмр (д, Я, Я* )ч-к = Р (д, Я )ч-к х
2 (14)
413ч (Рр (д, Я \ Рм* (д, Яр,, Я*))]Б;
в) Рм* (д, Р, Я, )ч-к = Рр (д, Яр )ч-к 4
1 (15)
х[ 15Ч (Рр (д, Яр),Рм* (д, Яр, Я*))]Б.
На основе функций приведенных цен (13)-(15) можно представить привычную для микроэкономического анализа картину взаимодействия рыночного спроса и предложения, данную в системе коллективного интереса, и сравнить ее с системой частных интересов (рисунок 1).
На рисунке 1 показаны разноцветными линиями следующие функции цен в системе частных интересов и функции этих же цен, приведенные к системе коллективного интереса: функция цены предложения, отобра-
1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
Рз(п(ч)Д$)ч=к — -Р(](п(ч),Кс1)ч-к
— -рмзМч^ад^-к
-Рм8(п(сО,ВД<1)ч ---МК<1(п(д).КЛ)ч-к ---МКм*1<п(ч),Нз,ад)ч-к
Рисунок 1
Взаимодействие спроса и предложения при согласовании частных и коллективного экономических интересов
женная линией Pd(n(q),Rd)ч=к; функции цены спроса, отображенные линиями Рл(п(^),Я)ч и Pd(n(q),Rd)чк; функции эквивалентной цены спроса, отображенные линиями Рмй(п^)^^)ч и Pмd(n(q),Rs,Rd)чк; функции эквивалентной цены предложения, отображенные линиями PмS(n(q),RA)ч и ^Ш^ЛК-к, а также:
функция предельной выручки от реализации товара по цене спроса в системе частного интереса и та же функция, приведенная к системе коллективного интереса, отображенные линиями MRd(n(q),Rd)ч и MRd(n(q),Rd)чк; функция предельной выручки от реализации товара по эквивалентной цене спроса в системе частного интереса и та же функция, приведенная к системе коллективного интереса, которые отображены линиями
MRмd(n(q)'R^Rd)ч и ШмрШ^и точка рыночного равновесия в системе частных интересов ^еч=3000 ед.) обозначена треугольным маркером; точка идеального равновесия в системе частного интереса, приведенного к коллективному интересу (qечк= 3702,5 ед.) обозначена квадратным маркером.
Из результатов моделирования отношений обмена, представленных на рисунке 1, следует:
1. Оптимальное состояние компании при согласовании и приведении в сопоставимый
вид частного и коллективного экономических интересов с максимальной вероятностью может находиться в интервале объемов предложения и спроса 3000^ечк<4854,1 в точке идеального рыночного равновесия qеч к=3702,5 ед. Крайним значениям этого интервала соответствуют две точки равновесия:
• с позиции частных экономических интересов - qеч=3000 ед.
• с позиции коллективного экономического интереса - qeк=4854,1ед.
2. Учет фактора коллективного (социально-институционального) интереса в модели отношений обмена сдвигает точку идеального равновесия в сторону увеличения объема спроса и предложения на 702,5 ед. от точки частно-оптимального равновесия Peч(q)=Psч(q)=Pdч(q), которое с позиции коллективного интереса является нерациональным.
3. Увеличение объема предложения на 702,5 ед., оптимизирующее состояние компании с позиции коллективного экономического интереса, будет обеспечено спросом. При этом экономические потери компании в системе частных интересов есть не что иное, как величина недоиспользованных с позиции коллективного интереса ее экономических возможностей во внешней рыночной среде.
4. Оптимальное состояние экономической системы компании при согласовании частных и коллективного экономических интересов субъектов рынка наступает, когда экономический результат в виде суммы экономических излишков производителя, потребителей и государства, достигнутый при частном рыночном равновесии, и экономических эффектов потребителей и государства (дополнительная рента, налоги и сборы), связанных с увеличением объема предложения и спроса с позиции коллективного интереса сверх частно-оптимального объема производства и вплоть до достижения идеального рыночного равновесия, будет компенсировать убытки компании-производителя. Оставшийся после компенсации излишек (приростный общественный эффект, возникающий в интервале объемов цеч<ц<цеч-к), является дополнительным финансовым источником, который обеспечит развитие экономической системы в целом и ее субъектов. Приближаясь к точке идеального равновесия, соответствующего оптимальным (справедливым) экономическим отношениям при согласовании экономических интересов, этот излишек стремится к нулю. Возрастание при этом роли государства потребует применения новых подходов (новой экономической парадигмы) к управлению национальной экономикой на принципах справедливости экономических отношений.
5. Критическими точками экономической деятельности компании являются точка безубыточности и точка остановки производства, находящаяся в убыточной зоне, в которой предельные затраты равны средним переменных затратам. Предлагаемая модель, фиксируя эти критические точки, кроме этого позволяет определить минимально допустимый, но еще оптимальный с позиции частных интересов, объем производства, находящийся в убыточной зоне. В тестовом примере он составит цтЫ=2273,7 ед. и соответствует точке Р^Л^Рм/ЫфЛМ-к (равенства предельной выручки от реализации по эквивалентной цене предложения в системе частных интересов и величины предельной выручки от реализации по эк-
вивалентной цене спроса в системе частных интересов, приведенной к коллективному интересу). Рентабельность продаж в этой точке достигает (для тестового примера) максимально допустимого с точки зрения безопасности бизнеса значения г=(Р/Рз--1) • 100%=521,7%. За этим критическим порогом рентабельности, который соответствует поведению абсолютного индивидуализма в форме монопольной конкуренции, исчезает система коллективного интереса и остается система конфликтных (не согласующихся) частных экономических интересов.
6. Обоснование критерия оптимального состояния фирмы через оценку общественного эффекта от согласования экономических интересов субъектов рынка требует дальнейших исследований и совершенствования модели отношений обмена, что будет показано в следующем номере журнала.
Даже с учетом приведения экономических интересов по фактору фрактальности, решение предложенной двухкритериальной модели обменных процессов (11; 12) останется неполным до тех пор, пока в модели не будет учитываться важнейший фактор отношений обмена - число оборотов п сделки купли-продажи, который характеризует интенсивность обменных процессов в анализируемом периоде времени.
Фактор числа оборотов в отношениях обмена
Традиционными методами решения микроэкономических задач не принимается во внимание или не учитывается интенсивность обменных процессов. Но именно такой подход к моделированию позволяет перевести микроэкономический анализ взаимодействия спроса и предложения из двухмерного плана (Р,ц) в более реальное и динамичное трехмерное отображение (Р,ц,п) процессов обмена. Для введения в модель (11; 12) фактора числа оборотов п(ц) необходимо динамичное представление функций спроса и предложения, заданных в виде линий спирали на фазовой плоскости или волновой функции в трехмерном фазовом пространстве.
Учитывая убывающий характер функции спроса Р/п(ц))ч и возрастающий характер
Рисунок 2
Геометрическое отображение проекций функций спроса и предложения в полярной системе координат
функции предложения Ps(n(q))4, графическое отображение этих уравнений следует осуществлять в полярных координатах в виде спирали убывания и спирали роста с заданным основанием а (коэффициентом роста) и переменным числом оборотов n, или углом вращения р. Их динамичное представление в плане (P, q), и на фазовой плоскости (P, п(р) ) в полярных координатах (в виде центростремительной спирали для спроса и центробежной для предложения) изображено на рисунке 2. Радиусы спиралей функций спроса (n) и предложения rs (П) соответствуют значениям их цен.
Такое разноплановое представление взаимодействия спроса и предложения в перпендикулярно расположенных плоскостях с разными переменными факторами q и n = р/2п позволяет количественно учесть интенсивность обменных процессов, измеряя ее величиной круговой скорости за анализируемый период действия спроса и предложения (период делового рыночного цикла совершения сделки купли-продажи).
Функциям рыночных и эквивалентных цен спроса и предложения в декартовой системе координат соответствуют следующие уравнения спиралей в полярной системе координат:
уравнение спирали цены спроса
Р(д,я,)ч = г,(п(д,я))ч =Р, •{!/•я,,;
уравнение спирали цены предложения
Р,(.Я,я), = п(д,я,))ч = Рл •ап • я?в;
уравнение спирали эквивалентной цены спроса
Р, (Я, я, я,), = г, (п(я, К,, я), =
= (Ро • Ро)I2 • а^я, • я )1/6=
уравнение спирали эквивалентной цены предложения
рм, (Яч ) = гм, (п (Я ))ч =
Здесь г/п)ч , г/п)ч, гы(п)ч, гш/п)ч - радиусы спиралей цен спроса и предложения, эквивалентных цен спроса и предложения;
ро, Ро, Рм,о, Рм,о - начальные (стартовые)
рыночные цены спроса и предложения (при
q=0); п - число оборотов спиралей п*, Пр, п , = 1/2• (п -п,), п = 2п + п,.
м* \ р ¿Р мр р *
Знание функций вышеперечисленных цен, заданных в декартовых и полярных системах координат, позволяет определить соответствующие зависимости n(q):
функцию числа оборотов спирали спроса, определяемую из равенства Рй (п)ч = Рй (д )ч),
отсюда п = 1п (1 - дл / дл 0). (1ч6)
= 1п(1/а) ' (16)
функцию числа оборотов спирали предложения, определяемую из равенства
рр ( п(д))ч = рр ( д )ч, отсюда
1п (1 + др/ др о)
ns =
In (a)
(17)
функцию числа оборотов спирали эквивалентной цены спроса, определяемую из равенства рм* (п(д)\ = Р (д)ч' отсюда
n
Md
=1 •( п - п,) = 2 V р *) (18)
=1 •1п (1 + дs / дs о1п (1 - д */ да 0);
2 • 1п (а) ;
функция числа оборотов спирали эквивалентной цены предложения, определяемую из
равенства рмр (п(д))ч = Р (д)ч,°тсюда
n„ =2 • n +n,
(19)
=1п (1 + д.^ / д, о)- 2 •1п (1 / Ча о) 1п ( а )
При анализе функций спиралей удобно использовать показатель «относительный
!» ~ = Р / Р0:
радиус спирали»
для спирали рыночной цены спроса
га = ап (д)ч = 1- да / да о; (20) для спирали рыночной цены предложения:
Г = ап(д)ч = 1 + др / др0; (21)
для спирали эквивалентной цены спроса:
= ^пр (д )ч (д )ч =
1/2 (22)
= ((1 + д,/ д, о и1 - да/ да 0 ))12.
г , = a
Md
для спирали эквивалентной цены предложения
r = а
MS
2 ns (q )4+n d(®)4
С1 + ffs / / )2 1 - 4d! /
(23)
ЗДесь стартовые Цены Pd0, Pso, PMd0 и P
Mdo
принимаются в качестве единичных радиусов функций соответствующих спиралей. Также примем в качестве величин относительных объемов следующие отношения:
4d
qd >
qs
^Zs >
qMd
q.
Md •
д*0 др о дм*0
Ключевым параметром спиральных функций, заданных в полярных координатах, является коэффициент изменения цены (радиуса спирали) а. Для скручивающейся спирали функции спроса коэффициент а - коэффициент уменьшения, а для раскручивающейся спирали предложения коэффициент а - коэффициент роста. Он зависит от угла поворота радиуса спирали р = 2п / п, соответственно
a=0+q 4o )1/n;
. 1/n„
(1-д/до)
ама = ((! - / Яао М1 + ^ / ^о 0)1 = ( «,/ от, )1/-
амр = ({! + д,/д,о)2/С1 -д*/д*о)) " =
/2 -1 \1/пмр = (а р • а *)
Стандартный анализ функций спирали показывает, что коэффициент изменения относительного радиуса спирали а задает кру-
Аг
говую скорость его поворота:
v,, = ■
А^
. Это
видно из выражения производной первого порядка, взятой от функции относительного радиуса по ( . Покажем эту производную на примере спиральной функции рыночной
цены предложения: Um-^ = (as ) S ■ 1 im ((as ) 1 /m -1 ) x
AVS
(24)
m , \Ans 1n(as)
x-= (a )
2n
где т - число угловых сегментов, на которые делится один круговой оборот; - прирост угла поворота спирали предложения, радиан; Лпх — / 2п - прирост числа оборотов радиуса в спирали предложения.
Из уравнения (24) следует, что при заданном коэффициенте изменения радиуса спирали а, который независимо от числа оборотов остается неизменным, для выбранного интервала прироста Лп5 (или Л^) производная (24) определяет радиальную скорость вращения по спирали уы, которая также остается неизменной при постоянной величине а и величине Лп5 (Л^).
Радиальную скорость уг следует рассматривать как паспортную характеристику функции спирали. Она характеризует соответствующий одному обороту неизменный тангенс угла у наклона линии предложения к ее касательной, умноженный на относительный радиус спирали, который также не зависит от числа оборотов п (рисунок 3). Паспортная скорость уг неизменна при Ап=сотЬ, но она увеличивается с ростом числа оборотов п. Предельная радиальная скорость (при Ап^0)
а1 т -1 ln{as)
равняется величине 1§уо=' . 0 ,
которая показывает ускорение процесса обмена с ростом числа оборотов. Если а==соти то величина ускорения процесса tgyo остается неизменной при любом п.
Из рисунке 3 видно, что при малых при-
Лг ЕР
ращениях Аф ускорение tgy0 —-—-.
Лф ЕС
То есть, паспортное ускорение вращения по спирали зависит только от коэффициента а. За каждый оборот радиус спирали увеличи-
_ОД _ОС _ОВ
вается в а раз, при этом а — —— — —— — ——.
ОС ОВ ОА
Таким образом, величина коэффициента изменения радиуса спирали а является системным параметром, задающим не только скорость процессов обмена, но и динамику развития микроэкономической системы в целом. Величина коэффициента а формируется независимо от количества оборотов п (циклов или актов потребления и предложения). Она также не зависит от того, с каким темпом снижается предельная полезность товара с ростом объема потребления, или от того, как увеличиваются предельные затраты с увеличением объема производства в анализируемом периоде.
В оптимальном плане социально-экономическая система характеризуется равенством коэффициентов изменения радиусов спирали спроса и предложения ал=а_=ае. При этом условие аа=а$ отвечает согласованности частных и коллективных интересов субъектов системы.
Очевидно, что условие рыночного равно-
(1/ а У" (Р ^ - а п.(Р(?))
весия 11/ аа\ — а5 в поляр-
Рисунок 3
Иллюстрация спирали предложения
ных координатах отличается от условия частного рыночного равновесного состояния. Равенство цен спроса и предложения при согласовании частных экономических интересов продавца и покупателя, соответствующее критерию максимизации их прибыли, не учитывает общесистемного требования равной интенсивности процессов обмена в сферах потребления и предложения. Это требование выполнимо (при qd=qs=qе) только в случае соблюдения равенства числа оборотов в сферах потребления и предложения п=п=пе и при глобальном равенстве ал=а_=ае. В этом идеальном («супероптимальном») случае скорости процессов обмена на рынках спроса и предложения будут иметь оптимальную пропорцию, что в терминологии волновых функций соответствует «резонансному» отношению частот обращения по спиралям спроса и предложения, о чем будет рассказано в следующей статье. Для определения такого идеального равновесного состояния системы потребуется применение дополнительного, третьего, критерия оптимальности обменных процессов - оптимальности числа оборотов.
Скорость процессов обмена на рынке спроса и предложения как функция, зависящая от переменных q(P) и п(Р), имеет две составляющие:
1) радиальную скорость изменения относительного радиуса спирали: а) в сфере потребления
V-
Лг±
Лр
С 1 \Лпа
\ а, ,
\ " У
1п (1/а,);
2п
б) в сфере предложения
ЛГ Лп* 1п (а*) /2п;
V
Лр
а„
V,.
Ча
Ла
ЛЧа
а
б) в сфере предложения
ла
v ~ —
Ч*
ЛЧь
—в,
где в - коэффициент угла наклона линии рыночного предложения Ps=f(q).
Таким образом, результирующая скорость процесса обмена составляет: а) в сфере потребления
Лга, / Лга _ ЛЧа
а (д/р)
Лр Лда Лр
(1/аа )
Лпа(Ч)
1п (1/ а,);
2п -а
б) в сфере предложения
_ Лг; /ла _
*( д/р)
Лр ЛЧ* Лр
2) скорость движения по спирали вдоль оси q:
а) в сфере потребления
= а Лп*(ч) 1П ( а* )
* 2п-в ' Покажем на тестовом примере взаимодействие функций цены спроса и предложения в зависимости от числа оборотов п. Если коэффициент а принять равным величине трансцендентного числа е, то есть при анализе функции логарифмических спиралей спроса и предложения, то равновесный объем с учетом фактора числа оборотов qe(n)=qs(n)=qd(n)=4000 ед. наступает при равновесном количестве оборотов пек=1,61. Отметим здесь, что равновесный объем спроса и предложения, рассчитанный с учетом фактора количества оборотов п соответствует состоянию экономической системы с нулевой вероятность реализации частных экономических интересов, а значит, отвечает оптимуму реализации коллективного интереса, то есть п^)=п^)=пек^). Он превышает на 1000 ед. величину равновесного объема, определенного при Ре^)=Ре^) без учета п и превышает оптимальный объем q =3702,5 ед. в точке
¿еч-к ? "
идеального равновесного состояния. Для определения характеристик этого равновесного состояния нужно решить уравне-
где а - коэффициент угла наклона линии рыночного спроса
ние qs(n)=qd(n), где Ч*—( ап' -1) - Ч*о Ча = (1 - (1/ а У" ) ■ Чао . Приняв пк=п,ч=п.
и
после преобразований
(а"п -1)-д,о=(1-(1/)• д*о
получим выражение равновесного числа оборотов в виде квадратного уравнения
•( д*о/ дро +!)+д*о/ д.о =о- (25)
а
- ае
Искомое значение п является положи-
ек
тельным корнем уравнения (25):
/ Г
1 .{' <' Л п = —-— • 1п
Таким образом, число оборотов п является существенным фактором, влияющим на достижение равновесного состояния в отношениях рыночного обмена. Фактор скорости рыночных обменных процессов предопределяет величину импульсов частных и коллективного интересов субъектов рынка.
Функции спиралей спроса и предложения являются трехфакторными, в которых число оборотов п задает частоту вращения по спирали (частоту колебаний) ш=1/п. Поэтому более рационально описать обменные процессы через волновую форму выражения этих функций.
Волновая форма отображения обменных процессов
Волновая функция как функция изменения (развития) состояния системы, соответствующая спиральной траектории ее поведения, является параметрическим отражением вероятностного характера отношений обмена. Вероятность текущего состояния неравновесной экономической системы в нашем случае, подобно физической системе, описанной в квантовой механике, есть модуль его волновой функции.
Двухфакторную и двухкритериальную модель обменных процессов (11) следует дополнить не только третьим фактором - числом оборотов п, но и третьим критерием эффективности отношений обмена. Таким критери-
ем является критерий максимизации вероятности наступления идеального равновесного состояния экономической системы компании при согласовании экономических интересов субъектов рынка или критерий минимизации риска отклонения от этого состояния системы, то есть минимизации системного риска несогласованности частных и коллективного экономических интересов.
Правомерность применения волновых функций, учитывающих вероятностный характер рыночных отношений обмена, подтверждается огромной статистикой фондовых операций и волнами Эллиотта, эмпирически выведенными на основе этой статистики, которые применяются в методологии и практике трейдинга [4, с. 383; с. 238], а также циклической и волновой (нелинейной) динамикой финансовых активов на рынках капиталов [5, с. 333].
Волновые функции, выражающие импульсы частных и коллективного интересов субъектов рынка, показывают текущие импульсы гармоничного осциллятора:
У (1ч чп(я))) = р1п (1ч (п^)) -90° ); (26)
V (1ч-- ( л (*))) = *т(I- ( л ()) • 90 ) .(27)
Процесс отношений рыночного обмена характеризуется функциями импульсов реализации экономических интересов, имеющих распределение вероятности со случайным синусоидальным процессом.
Представим импульсы частных и коллективного интересов для конкретного значения объема q как отношение радиусов внутренней окружности на проекции спирали предложения и внешней окружности на проекции спирали спроса, или как отношение радиусов внутреннего и внешнего сфероидов, соответствующих ценам предложения и спроса, с общим центром (рисунки 4, 5).
Из геометрической интерпретации модели обменных процессов можно представить описание динамики состояний системы в проекции на фазовой плоскости как отношение радиусов двух центральных сечений сфероидов.
Рисунок 4
Проекция спиралей спроса и предложения в плане (г, n(q))
Рисунок 5
Геометрическое изображение импульса интересов в плане (г, п
Функция угла поворота импульса частного интереса (ч (п(д)) определяется по формуле
Рч (п (д )) = М^Ш • 90°
(28)
(п (д))
Если известна угловая (круговая) скорость
Ар Ап
-, или С =-,
Ад Ад
вращения по спирали С =
Р
где п
2п
то
Ра (п (д))
можно определить
как р( п ( д )) = со- д. То есть волновая функция примет классический вид:
(29)
Рч (1 (п, (д ))) =
= А • рт (юя +ро),
где А < 1 - амплитуда колебаний (непрерывная случайная величина); ( - начальная фаза; при этом А не зависит от ( .
Такой случайный синусоидальный процесс является стационарным, но не эргодич-ным. Объемной модели процесса обмена соответствует и объемная волновая функция. Пульсация, выраженная отношением объемов внутреннего и внешнего (или внешнего и внутреннего) сфероидов задает волновые режимы, обеспечивающие (в терминах радиотехнических представлений волновых процессов) - полноволновой, полуволновой и четвертьволновой пульсаторы, а также их промежуточные варианты.
После пульсации объем ядра внутреннего сфероида радиусом г расширяется вплоть до объема внешнего сфероида радиусом гл при определенном значении q (рисунок 5). В экономическом смысле такую пульсацию объемной модели следует понимать так, что ядро объемом внутреннего сфероида, соответствующее до пульсации стоимости производства продукции (цене предложения), при заданном q, трансформируется после пульсации в объем выручки от реализации товара (объем внешнего сфероида) как результат обменного процесса на рынке.
На рисунке 5 видно, что величина поверхности ядра радиусом г до пульсации равна величине приращения поверхности сфероида радиусом тл после пульсации, или, что то же самое, длина окружности в сечении ядра по центральной плоскости до пульсации равна приращению длины окружности внешнего сфероида после пульсации. Приращение дуги окружности внешнего сфероида в результате пульсации образует стягивающую ее хорду , длина которой и есть длина волны.
Отношение этой хорды х =0 =2г к диаметру сфероида после пульсации 0=2гл, или, что то же самое, отношение радиусов внешнего и внутреннего сфероидов до и после пульсации, представляет собой функцию угла поворота фч=г (п/ тл (п^)), выраженную в радианах, из которой определяется волновая функция
V ч = /(п,* (д)), показывающая кратность
волны и величину импульса реализации интересов в волновой форме:
VI
(Р ( я. ,а ( д )))
— .гп-
( п ( Ч )) ?( п ( Ч ))
■ 900. (30)
(/ (па (д})) = .гп )) • 900 =
V ^ га (п (ч))
— .гп
Р (п (Ч))ч Р (п(Ч))ч
(31)
■ 900
б) волновой функции, характеризующей вероятность реализации импульса частного интереса при минимально допустимом уровне использования возможностей системы:
Если ^=1, то имеет место полноволновой пульсатор, если ^=1/2 - полуволновой, а при ^=1/4 - четвертьволновой.
Так как модуль волновой функции характеризует вероятность наступления состояния системы, то сама волновая функция есть функция распределения вероятности.
Продемонстрируем на рисунке 6 (на тестовом примере) изображение проекции комплекса волновых функций импульсов частных и коллективного экономических интересов:
а) волновой функции, характеризующей вероятность реализации импульса частного экономического интереса при максимальном уровне использования возможностей компании во внутренней производственной и внешней рыночной среде:
V
(/ (я (д))) — .гп Гм. (п(Ч)) 900 —
(Л (пм.,(д))) ™^ (п(ч)) 90
— .гп
. ( п ( Ч) )ч
(32)
900
(п (Ч))ч
в) волновой функции, характеризующей вероятность реализации импульса коллективного интереса:
= .гп
V (/Г (п,ма (Ч))) Г [ (п(Ч))ч ]
V
= гп
Г[а (п(Ч))ч ] (/Г (п., ма (д)))1/° ■ 900 ;
■ 900 = (33)
1 у
ч1/о
г) волновой функции, характеризующей реализацию импульса частного интереса, приведенного к импульсу коллективного интереса:
VI
((п.,а (д))) —
— . гп(/Ц (п.,ма (д)))2/0
(34)
•900
Рисунок 6
Волновые функции импульсов частных и коллективного интересов, приведенных в сопоставимый вид
К анализу волновых функций импульсов частных и коллективного интересов, приведенных в сопоставимый вид, принимаются следующие пары отношений рыночных и эквивалентных цен предложения и спроса:
1) 1 ^ ((д)))
и £к (пр^ ма (д))); 2) у( 15ч (пмр,м* (д)))
и £к (пр, „* (д))).
(35)
Волновые функции импульсов, представленные в каждой паре, характеризуются как совместимые, поэтому результирующие функции распределения вероятностей состояния системы, характерного для каждой пары, определяются как произведение этих волновых функций и соответственно произведение вероятностей для конкретного значения q: 1)
V (1рр,* / р , (п(д))) рез =
= У (1
Рр,с1 (п(д))ч к -V(1 Рр, м* (п(д))ч-к))
2)
V (1 Рмр, м* / р, м* (п(д))) рез I
- V (1рМр,м* (п(д))ч-к -V(1Рмр,м* (п(д))ч~к))
(36)
Такой подход к взаимосвязи результирующих волновых функций, отражающих частные и коллективные интересы, следует из мультипликативного эффекта взаимодействия импульсов эффективности реализации частных и коллективного интересов субъектов рынка.
Точно так же следует определять интегральную (общую) волновую функцию импульса экономических интересов субъектов рынка:
V (1 ч-к (п(д)))инт = V (1 Р р ,й (п(д)) рез -V (1 Рмр, м* (п(д))) рез )
(37)
Покажем на рисунке 7 отображения результирующих и интегральной волновых функций.
Результаты расчетов волновых функций импульсов реализации частных и коллективного интереса, приведенных в сопоставимый
.1 —I— —I— —I— —I— _Объем - О. ед-_
Рисунок 7
Результирующие и интегральная волновые функции импульсов согласованных экономических интересов субъектов рынка
петербургский экономический журнал • № 3 • 2014
115
вид, представленные на рисунке 7, показывают оптимальный объем qeчк=3702,5 ед., при котором удовлетворяется критерий минимизации риска и достигается максимальная вероятность (Р =1) согласования экономических интересов субъектов рынка в точке идеального равновесного состояния. Кроме того, предложенная модель отношений обмена позволяет оценить степень согласованности частных и коллективного интересов в точке классического рыночного равновесия в системе частных экономических интересов при qeч=3000 ед., когда соблюдается равенство Р^(ф=Рч(ф. Вероятность согласованности частных и коллективного интересов в этой точке равновесия составляет всего реч(1ч)=16%, значит, риски неопределенности (неясности) равны Кеч=84% из-за преобладания частных экономических интересов над коллективным экономическим интересом субъектов рынка.
То есть с учетом фактора согласования экономических интересов субъектов рынка, равновесное состояние экономической системы компании, достигаемое при равенстве объемов спроса и предложения и отвечающее требованию максимизации прибыли с позиции частных экономических интересов, оптимальным не является. Экономическая система в целом в этом состоянии имеет недоиспользованные возможности и потенциал развития. Фактором этого развития является согласование частных и коллективного экономических интересов. Его можно оценить только через вероятностный подход к оптимизации состояния экономической системы и применение критерия минимизации риска.
Вероятностный характер состояния экономической системы и критерий минимизации риска неопределенности
Необходимость применения трехкритери-альной модели отношений обмена, основанной на определении оптимума при условии согласования частных и коллективного экономических интересов и минимизации рисков, вытекает из метода решения (оценки) и проверки управленческих задач со случайными параметрами [6, с. 647-651]. Этот метод распространяется на важный класс практических управленческих ситуаций, требующих приня-
тия решения (гипотезы), которые могут быть смоделированы на основе зависимости риска (цены решения) функционирования экономической системы от факторов, описывающих состояние внешней среды. Покажем принципиальное решение такой модели, где функция цены некоторого действия системы определяется функцией от состояния среды, представленного п-мерной неопределенной величиной 5 = (51, 52, .., 5^, и от решения, представленного т-мерной величиной у = (у1,у2.., ут), то есть функцией риска: Я=Д5, у^)).
Система принимает решение у, основываясь на данных, представленных к-мерной неопределенной величиной q = q2, .., qk), которая связана с состоянием среды через совместное распределение 5 и q.
Лицо, принимающее решение, образует зависимость у=^) как решающую функцию от имеющихся данных. При этом не рассматривается частично случайный или случайный выбор решения, как это производится в играх со смешанной стратегией.
Если дано совместное распределение 5 и q вместе с функцией риска, представляющей действия системы для каждой комбинации состояния среды и для соответствующего решения, то задача состоит в минимизации риска путем оптимального выбора решающей функции y=f(q), то есть в определении предельной стоимости риска МЯ ( £, у ( Ч )):
МЯ(Б, у(ч) — — {{Я( Б, у(Ч))аФ( Б, Ч), (38)
£ Ч
где величины 5, q и у могут быть как непрерывными, так и дискретными.
При решении задач со случайными параметрами в качестве проверки и оценки на практике используют следующие основные методы [7, с. 648-649]:
• оценка с помощью формул Байеса;
• проверка гипотез в случае двух состояний;
• оценка по методу наименьших квадратов;
• иногда удается свести задачу к классическим методам оценок наибольшего правдоподобия и критерию Неймана-Пирсона.
Если неизвестны функции риска и (или) «априорное» распределение величины 5, которые выводятся из статических выборок данных о случайных параметрах, как в нашем случае, то применение перечисленных методов проверок становится невозможным.
Но возможности решения указанной задачи по критерию минимизации ожидаемого риска расширяются благодаря предложенному автором способу оценки вероятности состояния системы и риска неопределенности (неясности), связанной с институциональными факторами. Данный способ основан на применении критерия согласования экономических интересов субъектов системы, а также на применении волновых функций в модели обменных процессов.
В нашем случае функции распределения вероятности рч(ф) и риска Яч(ф)=1-рч(ф) в системе частных интересов определяются следующими критериальными формулами:
а)
Рч (q ) =
5 т
P ( л (q))ч
• 90и
max; (39)
P (n (q))ч
б) R( q ) = 1 | Рч (л, q min. (40)
Максимальный уровень вероятности состояния системы определяется как соответствующая мода плотности вероятности (частной производной от функции распределения
вероятности) ^ = 1ч-к (л(q))) , или как
m V ^ , ' '' инт
математическое ожидание функции распределения вероятности:
1ч-к (л(q)))
\ 4 '' инт
qek
= JL (n (q)) dq.
(41)
Соответственно минимальный уровень риска равен R =1-£ .
г г min 7m
Таким образом, критерии, заложенные в модели обменных процессов и учитывающие вероятность состояния системы, позволяют оценивать системный риск неопределенности
(неясности), что соответствует оценке результирующей энтропии системы. При этом вероятностный подход к моделированию обменных процессов был заложении изначально:
1. Импульс реализации частного экономического интереса 1ч, зависящий от числа оборотов п и объема ф, можно рассматривать как текущий коэффициент вероятности совпадения предложения со спросом. Это значит, что величина отклонения предложения от спроса, то есть отклонения фактического состояния экономической системы от идеального равновесного состояния при согласовании экономических интересов субъектов рынка для текущего ф равны А1ч =1- 1ч.
После перевода импульса в волновую форму (берется синус от угла, заданного отношением катета г к гипотенузе га) получаем текущее значение вероятности наступления равновесного состояния рч(п(ф)) в системе частных интересов. Соответственно величина 1-рч(п(ф))=Яч(п(ф)) показывает текущее значение риска.
2. Мультипликативный импульс коллективного интереса 1¥ё , который задан в виде произведения двух отношений (фактической эффективности реализации интереса к максимально возможной эффективности), определенных во внутренней и внешней среде фирмы, показывает текущий коэффициент вероятности совпадения фактической реализации коллективного интереса системы с эталонным (идеально равновесным) состоянием согласованности интересов субъектов системы при максимальном использовании ее возможностей.
После перевода импульса коллективного интереса в волновую форму получаем текущее значение вероятности наступления равновесного состояния в системе коллективного интереса. Соответственно величина А1к=1-1Ук характеризует отклонение от этого равновесного состояния, а 1- рк(п(ф) = =Кк(п(ф)) показывает текущее значение риска неопределенности.
Вероятностный подход к моделированию обменных процессов в экономической системе хорошо согласуется с известными моделями развития природных систем, которые
сводятся к тому, что функция состояния и развития системы есть функция результирующего сложения внутрисистемного производства энтропии и надсистемного потока энтропии (эгэнтропии), то есть функция результирующей энтропии. Такой же логике подчинено моделирование системы отношений обмена при согласовании экономических интересов субъектов рынка. Нулевая результирующая энтропия как результат, образно говоря, взаимодействия «хаоса» и «порядка», соответствуют равновесному состоянию. Отклонение от него говорит о росте энтропии.
В нашем случае двухканальный источник энтропии представлен:
• производством энтропии в системе несогласованных частных экономических интересов, где отклонение от состояния частного рыночного равновесия показывает риск Яч=1-р(1ч) несогласованности частных интересов, реализуемых при вертикальном взаимодействии субъектов (продавцов и покупателей) на рынке;
• потоком энтропии в системе коллективного (социально-институционального) интереса, где отклонение от состояния со-
гласованного коллективного интереса при условии сопоставимости частных и коллективного интересов показывает риск Як=1-р(1у) обменных процессов.
Учитывая иерархическую взаимосвязь коллективного и частных интересов, то есть мультипликативное взаимодействие вероятностей состояний компании в системе частных и коллективного интересов, интегральная вероятность достижения идеального равновесного состояния системы определяется как произведение этих вероятностей, которое должно быть равным единице. В этом «суперидеальном» случае произойдет слиянии двух точек равновесия (в системе частных интересов и в системе коллективного интереса), изображенных на рисунке 1. Соответственно интегральный риск несогласованности интересов как отклонение от «суперидеального» равновесного состояния системы равен: Яшт =1 - р(18ч_к) • р( II).
Эти актуальные и принципиальные выводы позволяют выбрать направление дальнейшего исследования модели рыночных обменных процессов, о чем будет изложено в следующей статье.
Список литературы
1. Норт Д. Институты, институциональные изменения и функционирование экономики / Пер. с англ. А. Н. Нестеренко; предисл. и науч. ред. Б. З. Мильнера. М.: Фонд экономической книги «Начала», 1997.
2. Нельсон Р., Уинтер С. Эволюционная теория экономических изменений / Пер. с англ. М. Я. Каждана. М.: Дело, 2002.
3. Скобелев В. Л. Моделирование отношений обмена хозяйствующих субъектов: Теория согласования интересов. СПб.: СПбГУЭФ, 2005.
4. Сафронов В. С. Практическое использование волн Эллиотта в трейдинге: диагностика, прогнозирование и принятие решений. М.: Альпина Паблишер, 2002.
5. Пректер Р., Фрост А. Дж. Волновой принцип Эллиотта: ключ к пониманию рынка. М.: Альпина Паблишер, 2001.
6. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка / Пер. с англ. М.: Мир, 2000.
7. Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1978.
